專題42即學即用之復合二次根式的化簡

專題42即學即用之復合二次根式的化簡1．像這樣的根式叫做復合二次根式有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡．例1：；例2：請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：；(2)化簡：；(3)若，且為正整數(shù)，求a的值．【答案】(1)(2)(3)a的值為或【分析】（1）根據(jù)題目提供的方法將，化簡為，進而得到答案；（2）根據(jù)題目提供的方法將，化簡為，進而得到答案；（3）將化簡為，繼而得到，，再根據(jù)為正整數(shù)，即可求出其值，代入即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，，又為正整數(shù)，，或者，當時，；當，，綜上所述，a的值為或．【點睛】本題考查完全平方公式，二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握完全平方公式的結(jié)構特征是正確解答的前提．2．閱讀材料：康康在學習二次根式后、發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的康康進行了以下探索：設（其中、、m、n均為正整數(shù)），則有（有理數(shù)和無理數(shù)分別對應相等），∴，，這樣康康就找到了一種把式子化為平方式的方法．請你仿照康康的方法探索并解決下列問題：(1)當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含、的式子分別表示a、b，得：________，________；(2)若，且、均為正整數(shù)，試化簡：；(3)化簡：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式進行計算進行求解；（2）將變?yōu)榧纯汕蠼?；?）將化為進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，故答案為：；（2）∵，∴；（3）．【點睛】此題考查了二次根式的化簡能力，關鍵是能準確理解并運用相關知識進行求解．3．觀察下列各式及其化簡過程：，．(1)按照上述兩個根式的化簡過程的基本思路，將化簡；(2)化簡；(3)針對上述各式反映的規(guī)律，請你寫出中，m，n與a，b之間的關系．【答案】(1)；(2)；(3)，．【分析】（1）將31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案；（2）先將7分解成，計算第二層根式，再將35分解成，利用完全平方公式即可求出答案；（3）將等式兩邊同時平方即可求出答案．【詳解】（1）（2）（3）兩邊平方可得：∴，【點睛】本題考查了二次根式的化簡與性質(zhì)及配方法的應用，讀懂題中的配方法并明確二次根式的化簡方法是解題關鍵．4．像，，…這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，如：再如：請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：；(2)化簡：；(3)若，且，，為正整數(shù)，求的值．【答案】(1)(2)(3)14或46．【分析】（1）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（2）利用題中復合二次根式借助構造完全平方式的新方法求解；（3）利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解．（1）解：；（2）解：（3）解：，且，且，，，為正整數(shù)，當，時；當，時，．所以的值為：14或46．【點睛】本題考查了二次根式的化簡，解題的關鍵是結(jié)合完全平方公式進行求解．5．先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及一次根式的性質(zhì)化去一層根號．例如：．解決問題：化簡下列各式(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將根號里面的7拆分成4和3，4寫成2的平方，3寫成的平方，進而逆用完全平方和公式，最后將算式整體開方；（2）將根號里面的9拆分成4和5，4寫成2的平方，5寫成的平方，進而逆用完全平方差公式，最后將算式整體開方．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題考查乘法公式的逆用，能夠快速的尋找，歸納，總結(jié)，并應用規(guī)律是解決本題的關鍵．6．小明在解決問題：已知a＝，求2a2－8a＋1的值，他是這樣分析與解答的：因為a＝＝＝2－，所以a－2＝－.所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.所以a2－4a＝－1.所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：(1)計算：=

－.(2)計算：＋…＋；(3)若a＝，求4a2－8a＋1的值．【答案】(1)，1；(2)9；(3)5【分析】（1）；（2）根據(jù)例題可得：對每個式子的分子和分母中同時乘以與分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同類項二次根式即可求解；（3）首先化簡，然后把所求的式子化成代入求解即可.【詳解】(1)計算：

；(2)原式；(3)，則原式，當時，原式.【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，正確讀懂例題，對根式進行化簡是關鍵.7．閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將化簡，若你能找到兩個數(shù)m和n，使m2+n2=a且mn=，則a+2可變?yōu)閙2+n2+2mn，即變成（m+n）2，從而使得化簡．例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2∴==+請你仿照上例將下列各式化簡（1），（2）．【答案】（1）1+；（2）.【分析】參照范例中的方法進行解答即可.【詳解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴.8．閱讀材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例題，根據(jù)，即可求解；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案．【詳解】（1）解：∵，；（2）解：．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，將被開方數(shù)化為平方的形式是解題的關鍵．9．閱讀材料：小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進行了以下探索：設（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；（3）化簡：．【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．【分析】（1）利用完全平方公式展開得到，再利用對應值相等即可用m、n表示出a、b；（2）直接利用完全平方公式，變形后得到對應值相等，即可求出答案；（3）直接利用完全平方公式，變形化簡即可．【詳解】解：（1）∵，∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案為：m2+6n2，2mn；（2）∵，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均為正整數(shù)，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）∵，則．【點睛】本題考查了二次根式性質(zhì)和完全平方式的內(nèi)容，考生須先弄清材料中解題的方法，同時熟練掌握和靈活運用二次根式的相關運算法則以及二次根式的化簡公式是解題的關鍵.10．同學們，我們以前學過完全平方公式，你一定熟練掌握了吧！現(xiàn)在，我們又學習了二次根式，那么所有的非負數(shù)（以及0）都可以看作是一個數(shù)的平方，如，，下面我們觀察：，反之，，∴，∴求：（1）；（2）；（3）若，則m、n與a、b的關系是什么？并說明理由．【答案】（1）；（2）；（3），，理由見解析【分析】（1）將3拆分為2+1，再根據(jù)完全平方公式和二次根式化簡即可求解；（2）將4拆分為3+1，再根據(jù)完全平方公式和二次根式化簡即可求解；（3）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公式直接化簡得出即可．【詳解】解：（1）＝＝；（2）；（3）m+n＝a，mn＝b.理由：∵，∴，∴m+n+2＝a+2，∴m+n＝a，mn＝b【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確理解二次根式化簡的意義是解題關鍵．11．閱讀理解題，下面我們觀察：反之，所以，所以完成下列各題：（1）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：；（2）化簡：；（3）化簡：．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可；（2）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可；（3）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可．【詳解】解：（1）（2）（3）．【點睛】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確理解二次根式化簡的意義是解題關鍵．12．閱讀材料：黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合壁，天下無敵．這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，團結(jié)一致、優(yōu)勢互補、取長補短、威力無比．在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”．如：（+3）（﹣3）＝﹣4，像（+3）和（﹣3）這樣的兩個二次根式，它們的積不含根號，我們就稱這兩個二次根式互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式．再如（）與（）也互為有理化因式．于是，下面二次根式除法可以這樣運算：＝＝7+4．像這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去的過程叫分母有理化．解決問題：（1）2+3的一個有理化因式是，分母有理化結(jié)果是；（2）計算：+．【答案】（1）2﹣3，3+；（2）1【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義即可求出答案．（2）先將分母有理化，然后根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案．【詳解】解：（1）由題意可知：，．（2）原式＝，＝，＝1．故答案為：（1）2﹣3，3+．【點睛】本題主要考查了二次根式的知識點，二次根式的運算是解題的關鍵．13．小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式進行了以下探索：．請你仿照小明的方法解決下列問題：（1），則______，_______；（2）已知是的算術平方根，求的值；（3）當時，化簡_______．【答案】（1）2，1；（2）－2018；（3）2．【分析】（1）根據(jù)題目所給方法對變形即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合所給方法求出，然后對所求式子變形，整體代入計算即可；（3）根據(jù)題目所給方法，將寫成的形式，然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：（1）∵，∴a＝2，b＝1；故答案為：2,1（2）∵是的算術平方根，∴，∴；（3）∵，∴，，，，．故答案為：2【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關鍵是正確理解題中所給方法，將根號內(nèi)的式子變形為完全平方式的形式．14．先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，形如，如果你能找到兩個數(shù)、，使，且，則可變形為，從而達到化去一層根號的目的．例如：仿照上例完成下面各題：填上適當?shù)臄?shù)：②試將予以化簡．【答案】①，，；②5.【分析】①直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案；②直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案.【詳解】先閱讀下列材料，再解決問題：①填上適當?shù)臄?shù)：②解：原式【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確應用完全平方公式