第一章特殊平行四邊形培優(yōu)檢測卷(原卷版+解析)(重點(diǎn)突圍)-【學(xué)霸滿分】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練(北師大版)

《第一章特殊平行四邊形》培優(yōu)檢測卷班級___________姓名___________學(xué)號____________分?jǐn)?shù)____________考試范圍：全冊；考試時間：120分鐘；總分：120分一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（2022·北京八十中八年級期中）在矩形中，對角線相交于點(diǎn)，，，則的長為（

）A． B．3 C．4 D．2．（2022·浙江紹興·八年級期末）如圖，以正方形ABCD的一邊AD為邊向外作等邊三角形ADE，則∠BED等于（

）A．30°B．37.5°C．45°D．50°3．（2022·湖北荊門·八年級期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論不正確的是（

）A．當(dāng)時，它是菱形 B．當(dāng)時，它是菱形C．當(dāng)時，它是矩形 D．當(dāng)時，它是菱形4．（2021·浙江臺州·八年級期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點(diǎn)C落在DP（P為AB中點(diǎn)）所在的直線上，得到經(jīng)過點(diǎn)D的折痕DE．則∠BEC′的大小為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°5．（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室八年級期中）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點(diǎn)M，N．若正方形ABCD邊長為6，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（

）A．18 B．12 C．9 D．86．（2022·河南·漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖1，點(diǎn)F從菱形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A-D-B以1cm/s的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)B，圖2是點(diǎn)F運(yùn)動時，F(xiàn)BC的面積（cm2）隨時間x（s）變化的關(guān)系圖像，則a的值為（

）A．5 B．4 C． D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級期末）如圖所示，菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，則這個菱形的周長是________．8．（2022·江蘇南京·八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，連接CE，若BC=8，AE=5，則CE=_____．9．（2022·福建省廈門集美中學(xué)八年級期中）如圖，菱形的邊長為2，且，是的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)且的周長最小，則的周長的最小值為_____．10．（2022·安徽合肥·八年級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，P為AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，若AB=8，∠BAD=60°，則線段EF長度的最小值為______________．11．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，DE＝12cm．當(dāng)點(diǎn)D沿DA方向滑動時，點(diǎn)E同時從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AF方向滑動．當(dāng)點(diǎn)D滑動到點(diǎn)A時，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長為_____cm．12．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校八年級期中）在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點(diǎn)E為射線DC上一個動點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，若△CEF為直角三角形時，DE的長為______．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級中學(xué)校八年級期中）如圖、在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作對角線BD的垂線交BC的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△CDE的周長．14．（2022·江蘇常州·八年級期末）如圖，在矩形ABCD中，E、F為BC上兩點(diǎn)，且BE＝CF，連接AF、DE交于點(diǎn)O．(1)求證：△AOD是等腰三角形；(2)若AF⊥DE，OF＝OA＝1，求矩形ABCD的周長．15．（2022·江蘇·泰州市第二中學(xué)附屬初中八年級期中）如圖，在菱形中，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，僅用無刻度的直尺按要求畫圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）(1)在圖①中畫出的中點(diǎn)H；并證明理由．(2)在圖②中的菱形對角線上，找兩個點(diǎn)E、F，使．16．（2022·廣西南寧·八年級期末）如圖，正方形ABCD中，延長BC至點(diǎn)E，使得點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，連接AC，BD，DE．(1)求證：；(2)若，求正方形ABCD的面積．17．（四川省德陽市2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在□ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E．(1)求證；四邊形ABEF是菱形；(2)若AB＝5，BF＝8，，求□ABCD的面積．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（2022·四川省榮縣中學(xué)校八年級期中）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)F，G，H分別是AE，ED，BC的中點(diǎn)．(1)判斷四邊形FHCG的形狀，并證明；(2)求證：∠DEH＝∠FHE19．（2022·湖北荊門·八年級期末）我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH．(1)判斷這個中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)AC和BD之間滿足________時，這個中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．20．（2022·江蘇·蘇州市第十六中學(xué)八年級期中）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD、AN．(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；(2)在點(diǎn)M移動過程中：①當(dāng)四邊形AMDN成矩形時，求此時AM的長；②當(dāng)四邊形AMDN成菱形時，求此時AM的長．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（2022·江西·定南縣教學(xué)研究室八年級期中）（1）如圖1，紙片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCF的位置，拼成四邊形AEFD，則四邊形AEFD的形狀為A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEFD中，在EF上取一點(diǎn)G，使EG＝4，剪下△AEG，將它平移至△DFH的位置，拼成四邊形AGHD．①求證：四邊形AGHD是菱形；②求四邊形AGHD的兩條對角線的長．22．（2022·貴州·仁懷市教育研究室三模）某數(shù)學(xué)興趣小組開展圖形的折疊實(shí)驗(yàn)探究，如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E為CD上一動點(diǎn)（不與C，D重合）(1)如圖（1），將沿BE折疊，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在AD邊上的F處，求DE的長；(2)如圖（2），將沿BE折疊，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為F，連接DF，當(dāng)DF取得最小值時，求DE的長；(3)如圖（3），小明準(zhǔn)備用上述紙片折疊一種紙飛機(jī)，發(fā)現(xiàn)其中一個步驟是需將沿BE折疊，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的對稱軸上，在這種情況下，求DE的長．六、（本大題共12分）23．（2022·江蘇·蘇州市景范中學(xué)校八年級期中）如圖1，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接AE，并將AE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到EG，過點(diǎn)G作于點(diǎn)F，于點(diǎn)H．(1)①判斷：四邊形CFGH的形狀為____________；②證明你的結(jié)論；(2)如圖2，連接AG，交DC于I，連接EI，若，，求正方形ABCD的邊長；(3)如圖3，連接BD，與AE、AG交于P、Q兩點(diǎn)，試探索BP、PQ、QD之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出結(jié)論：________________．《第一章特殊平行四邊形》培優(yōu)檢測卷班級___________姓名___________學(xué)號____________分?jǐn)?shù)____________考試范圍：全冊；考試時間：120分鐘；總分：120分一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．（2022·北京八十中八年級期中）在矩形中，對角線相交于點(diǎn)，，，則的長為（

）A． B．3 C．4 D．【答案】A【解析】【分析】由矩形的性質(zhì)可得，再證為等邊三角形，再由勾股定理即可求解．【詳解】解：在矩形ABCD中，，，∵∠AOB＝60°，∴為等邊三角形，∴，∴AC=4，在中，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江紹興·八年級期末）如圖，以正方形ABCD的一邊AD為邊向外作等邊三角形ADE，則∠BED等于（

）A．30°B．37.5°C．45°D．50°【答案】C【解析】【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AD=AE，∠BAE=150°，可求∠BEA=15°，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵△ADE是等邊三角形，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°，∴∠BAE=150°，AB=AE，∴∠AEB=15°，∴∠BED=45°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．3．（2022·湖北荊門·八年級期末）已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論不正確的是（

）A．當(dāng)時，它是菱形 B．當(dāng)時，它是菱形C．當(dāng)時，它是矩形 D．當(dāng)時，它是菱形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)菱形、矩形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A，對角線相等的平行四邊形為矩形，時，四邊形ABCD是矩形，該結(jié)論不正確；B，菱形的對角線互相垂直，因此當(dāng)時，四邊形ABCD是菱形，該結(jié)論正確；C，有一個角是直角的平行四邊形是矩形，因此當(dāng)時，四邊形ABCD是矩形，該結(jié)論正確；D，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，因此當(dāng)時，四邊形ABCD是菱形，該結(jié)論正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形和矩形的判定，解題關(guān)鍵是熟記相關(guān)判定定理，準(zhǔn)確進(jìn)行判斷．4．（2021·浙江臺州·八年級期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點(diǎn)C落在DP（P為AB中點(diǎn)）所在的直線上，得到經(jīng)過點(diǎn)D的折痕DE．則∠BEC′的大小為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【解析】【分析】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A=60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點(diǎn)，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，進(jìn)而求出∠PDC=90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P為AB的中點(diǎn)，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，∠DEC=∠DEC′，在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．∴∠BEC′=180°-（∠DEC+∠DEC′）=30°．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．5．（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室八年級期中）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點(diǎn)M，N．若正方形ABCD邊長為6，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（

）A．18 B．12 C．9 D．8【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)E作EG⊥DC于點(diǎn)G，EH⊥BC于點(diǎn)H，證明△GEN≌△HEM，得到計(jì)算即可．【詳解】過點(diǎn)E作EG⊥DC于點(diǎn)G，EH⊥BC于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，AD⊥CD，AB⊥BC，∠BCD=90°，∴EG=EH，四邊形EHCG是矩形，∴四邊形EHCG是正方形，∴∠HEG=90°，∵∠MEN=90°，∴∠HEM=∠GEN=90°-∠MEG，∴△GEN≌△HEM，∵AE=EC，∴=9，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，三角形全等，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·河南·漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級期中）如圖1，點(diǎn)F從菱形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A-D-B以1cm/s的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)B，圖2是點(diǎn)F運(yùn)動時，F(xiàn)BC的面積（cm2）隨時間x（s）變化的關(guān)系圖像，則a的值為（

）A．5 B．4 C． D．【答案】D【解析】【分析】通過分析圖像，點(diǎn)F從點(diǎn)A到D用as，此時，△FBC的面積為2a，依此可求菱形的高DE，再由圖像可知，BD=5，應(yīng)用勾股定理分別求BE和a即可．【詳解】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，由圖像可知，點(diǎn)F由點(diǎn)A到點(diǎn)D用時為as，△FBC的面積為2acm2．∴AD=a∴DE?AD＝2a∴DE=4點(diǎn)F從D到B，用了5s∴BD=5，Rt△DBE中，BE===3，∵ABCD是菱形∴EC=a-1，DC=aRt△DEC中，a2=42+(a-3)2解得a=．故選D．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了菱形性質(zhì)和一次函數(shù)圖像性質(zhì)，解答過程中要注意函數(shù)圖像變化與動點(diǎn)位置之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級期末）如圖所示，菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，則這個菱形的周長是________．【答案】4【解析】【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得OA、OB，再利用勾股定理即可求得AB，據(jù)此即可解答．【詳解】解：四邊形ABCD是菱形，，，AB=BC=CD=DA，在中，，這個菱形的周長為：4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握和運(yùn)用菱形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇南京·八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，連接CE，若BC=8，AE=5，則CE=_____．【答案】【解析】【分析】首先證明AB=AE=CD=5，在Rt△CED中，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=8，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=5，∴DE=8-5=3，在Rt△EDC中，CE=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．9．（2022·福建省廈門集美中學(xué)八年級期中）如圖，菱形的邊長為2，且，是的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)且的周長最小，則的周長的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】先求PC+CE的最小值，再計(jì)算周長的最小值即可．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴A、C關(guān)于BD對稱，連接AE，交BD于點(diǎn)F，當(dāng)P與F重合時，PE+PC最小，過點(diǎn)E作EG⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)G，∵

菱形的邊長為2，且，是的中點(diǎn)，∴BE=EC=1，AB=2，∠EBG=，∴BG=，，∴AG=AB+BG=，∴，∴的周長的最小值為AE+EC=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，將軍飲馬河原理，勾股定理，熟練掌握菱形性質(zhì)和將軍飲馬河原理是解題的關(guān)鍵．10．（2022·安徽合肥·八年級期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，P為AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，若AB=8，∠BAD=60°，則線段EF長度的最小值為______________．【答案】【解析】【分析】連接OP，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，∠CAB=∠DAB=30°，根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形OEPF是矩形，求得EF=OP，當(dāng)OP⊥AB時，OP最小，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)論得到結(jié)論．【詳解】解：連接OP，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠CAB=∠DAB=30°，∵PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，∴四邊形OEPF是矩形，∴EF=OP，∵當(dāng)OP取最小值時，EF的值最小，∴當(dāng)OP⊥AB時，OP最小，∵AB=8，∴OB=AB=4，OA==4，∴S△ABO=OA?OB=AB?OP，∴OP=，∴EF的最小值為2，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，菱形的性質(zhì)，熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵．11．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，DE＝12cm．當(dāng)點(diǎn)D沿DA方向滑動時，點(diǎn)E同時從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AF方向滑動．當(dāng)點(diǎn)D滑動到點(diǎn)A時，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長為_____cm．【答案】【解析】【分析】由題意易得cm，則當(dāng)點(diǎn)D沿DA方向下滑時，得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，作于點(diǎn)M，然后可得，進(jìn)而可知點(diǎn)D沿DA方向下滑時，點(diǎn)C′在射線AC上運(yùn)動，最后問題可求解．【詳解】解：由題意得：∠DEC=45°，DE＝12cm，∴cm，如圖，當(dāng)點(diǎn)D沿DA方向下滑時，得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)N，作于點(diǎn)M，∵∠DAM=90°，∴四邊形NAMC′是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴平分∠NAM，即點(diǎn)D沿DA方向下滑時，點(diǎn)C′在射線AC上運(yùn)動，∴當(dāng)時，此時四邊形是正方形，CC′的值最大，最大值為，∴當(dāng)點(diǎn)D滑動到點(diǎn)A時，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．12．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校八年級期中）在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，點(diǎn)E為射線DC上一個動點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，若△CEF為直角三角形時，DE的長為______．【答案】或8或或???????【解析】【分析】先利用勾股定理計(jì)算出AC=10，當(dāng)△CEF為直角三角形時，有幾種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時，如圖1所示．根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AFE=∠D=90°，設(shè)DE=x，則EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x即可．②當(dāng)點(diǎn)F落在AB延長線上時，如圖2所示．此時四邊形ADEF為正方形，得出DE=AD=8．③當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時，如圖3所示，易知AF=AD=8，BF=，設(shè)DE=EF=x，CE=6-x，然后在Rt△CEF中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x即可；④當(dāng)點(diǎn)F落在CB延長線上時，如圖4，設(shè)DE=EF=x，CE=x-6，BF=，然后在Rt△CEF中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出x即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=90°，CD=AB=6，∴AC==10，當(dāng)△CEF為直角三角形時，有下列幾種情況：①當(dāng)點(diǎn)F落在矩形內(nèi)部時，F(xiàn)落在AC上，如圖1所示．由折疊的性質(zhì)得：EF=DE，AF=AD=8，CF=2，設(shè)DE=x，則EF=x，∴CE=6-x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：∵EF2+CF2=CE2，∴x2+22=（6-x）2，解得，∴；②當(dāng)點(diǎn)F落在AB延長線上時，如圖2所示．此時四邊形ADEF為正方形，∴DE=AD=8．③當(dāng)點(diǎn)F落在BC邊上時，如圖3：易知AF=AD=8，BF=，設(shè)DE=EF=x，CE=6-x，在Rt△EFC中，x2=（6-x）2+（8-）2，∴，∴；④當(dāng)點(diǎn)F落在CB延長線上時，如圖4，設(shè)DE=EF=x，CE=x-6，則BF=，在Rt△CEF中，解得．綜上所述，DE的長為或8或或．故答案為：或8或或【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級中學(xué)校八年級期中）如圖、在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作對角線BD的垂線交BC的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：四邊形ACED是平行四邊形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△CDE的周長．【答案】(1)證明見解析；(2)18．【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD∥BC，AC⊥BD，進(jìn)一步可得：AD∥CE，再由DE⊥BD，可得DE∥AC，即可求證；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DE=AC=8，AD=CE，再由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，，，，從而得到AD=5，從而得到AD=CD=CE=5，即可求解．(1)證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，∵B、C、E共線，∴AD∥CE，∵DE⊥BD，∴DE∥AC，∴四邊形ACDE是平行四邊形；(2)解：∵四邊形ACDE是平行四邊形，AC＝8，BD＝6，∴DE=AC=8，AD=CE，在菱形ABCD中，AC⊥BD，，，，∴∠AOD=90°，∴，∴AD=CD=CE=5，∴△CDE的周長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇常州·八年級期末）如圖，在矩形ABCD中，E、F為BC上兩點(diǎn)，且BE＝CF，連接AF、DE交于點(diǎn)O．(1)求證：△AOD是等腰三角形；(2)若AF⊥DE，OF＝OA＝1，求矩形ABCD的周長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）通過證明得到和，利用等角對等邊和等式的性質(zhì)即可得到，即可完成求證；（2）利用等腰三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理分別求出AD和AB的長即可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∠B=∠C=90°，∵BE＝CF，∴BC-BE＝BC-CF，∴BF=CE，∴，∴，，∴，∴，∴△AOD是等腰三角形．(2)∵OF＝OA＝1，∴∴∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠OAD=∠ODA=45°，∵矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，∴∠BAF=∠CDE=45°，∴∠AFB=45°=∠BAF，∴AB=BF，∵，∴，∴矩形ABCD的周長為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、等腰三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是理解題意并牢記相關(guān)概念．15．（2022·江蘇·泰州市第二中學(xué)附屬初中八年級期中）如圖，在菱形中，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，僅用無刻度的直尺按要求畫圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）(1)在圖①中畫出的中點(diǎn)H；并證明理由．(2)在圖②中的菱形對角線上，找兩個點(diǎn)E、F，使．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)連接AC、BD，交點(diǎn)為O，畫直線PO，交AD于點(diǎn)H，則H即為所求．(2)連接AC、BD，交點(diǎn)為O，畫直線PO，連接CH，交BD于點(diǎn)F；連接AP，交BD于點(diǎn)E．(1)連接AC、BD，交點(diǎn)為O，畫直線PO，交AD于點(diǎn)H，則H即為所求．證明如下：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∵BP=PC，∴PO是△ABC的中位線，∴AB∥PH，∴四邊形ABPH是平行四邊形，∴BP=AH=，故點(diǎn)H為AD的中點(diǎn)．(2)如圖，連接AC、BD，交點(diǎn)為O，畫直線PO，交AD于點(diǎn)H，連接CH，交BD于點(diǎn)F；連接AP，交BD于點(diǎn)E，則E、F即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．16．（2022·廣西南寧·八年級期末）如圖，正方形ABCD中，延長BC至點(diǎn)E，使得點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，連接AC，BD，DE．(1)求證：；(2)若，求正方形ABCD的面積．【答案】(1)證明見解析(2)36【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出，從而得到四邊形ACED是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)四邊形ACED是平行四邊形得到，再根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得到，，在中根據(jù)勾股定理解得，即可求出正方形ABCD的面積．(1)（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形∴，即∵點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)∴∴又∵∴四邊形ACED是平行四邊形∴(2)解：由（1）知四邊形ACED是平行四邊形∴∵四邊形ABCD是正方形∴，∴在中解得∴正方形ABCD的面積為：【點(diǎn)睛】本題主要考察了平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，熟悉以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（四川省德陽市2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在□ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E．(1)求證；四邊形ABEF是菱形；(2)若AB＝5，BF＝8，，求□ABCD的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明四邊形ABEF是平行四邊形，再由AFBE可得出結(jié)論；（2）先由菱形的性質(zhì)得出AE⊥BF，，AO＝OE，AB＝BE＝5，再由勾股定理求出OE=3，從而得AE=6，即可求得CE=3，則BC=8，設(shè)AD與BC之間的距離為h，則可求解菱形ABEF的面積平行四邊形ABCD的面積，而菱形ABEF的面積，代入即可求解．(1)證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，即，又∵，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵，∴∠AFB＝∠FBE，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴四邊形ABEF是菱形．(2)解：∵四邊形ABEF是菱形∴AE⊥BF，，AO＝OE，AB＝BE＝5∴，∴AE＝6∵，∴CE＝3，∴BC＝8設(shè)AD與BC之間的距離為h，則∵菱形ABEF的面積，平行四邊形ABCD的面積∴菱形ABEF的面積平行四邊形ABCD的面積∵菱形ABEF的面積∴四邊形ABCD的面積【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．（2022·四川省榮縣中學(xué)校八年級期中）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊CB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)F，G，H分別是AE，ED，BC的中點(diǎn)．(1)判斷四邊形FHCG的形狀，并證明；(2)求證：∠DEH＝∠FHE【答案】(1)四邊形FHCG是平行四邊形，證明詳見解析(2)詳見解析【解析】【分析】（1）由點(diǎn)F，G分別是AE，ED的中點(diǎn)，可得，由矩形的性質(zhì)可得，又H是BC的中點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得四邊形FHCG是平行四邊形；（2）由矩形的性質(zhì)可得∠DCB=90°，即△ECD是直角三角形，又點(diǎn)G是ED的中點(diǎn)，可得GC=GE，可得∠GCB=∠DEH，再由GC∥FH得∠GCB=∠FHE，進(jìn)而可證結(jié)論．(1)解：四邊形FHCG是平行四邊形，證明如下：∵四邊形ABCD矩形，∴∵點(diǎn)F，G，H分別是AE，ED，BC的中點(diǎn)，∴，，∴，∴四邊形FHCG是平行四邊形．(2)證明：∵四邊形ABCD矩形，∴∠DCB=90°，在直角三角形△ECD中，點(diǎn)G是ED的中點(diǎn)，∴GC=GE，∴∠GCB=∠DEH，由（1）得四邊形FHCG是平行四邊形，∴GC∥FH，∴∠GCB=∠FHE，∴∠DEH＝∠FHE．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．19．（2022·湖北荊門·八年級期末）我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到中點(diǎn)四邊形EFGH．(1)判斷這個中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)AC和BD之間滿足________時，這個中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．【答案】(1)平行四邊形，理由見解析(2)理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形的形狀，及三角形中位線的性質(zhì)可判斷出四邊形EFGH是平行四邊形；連接AC、利用三角形的中位線定理可得出HG=EF、，繼而可判斷出四邊形EFGH的形狀；（2）根據(jù)中位線的性質(zhì)先證明結(jié)合（1）的結(jié)論可得結(jié)論．(1)證明：連接AC，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴，同理，綜上可得：，EF=HG，故四邊形EFGH是平行四邊形．(2)當(dāng)時，這個中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形，理由如下：連接BD，由中位線的性質(zhì)可得：由（1）得：四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，掌握“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”是解本題的關(guān)鍵．20．（2022·江蘇·蘇州市第十六中學(xué)八年級期中）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長ME交射線CD于點(diǎn)N，連接MD、AN．(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形；(2)在點(diǎn)M移動過程中：①當(dāng)四邊形AMDN成矩形時，求此時AM的長；②當(dāng)四邊形AMDN成菱形時，求此時AM的長．【答案】(1)見解析(2)①AM=1；②AM=2【解析】【分析】（1）由題意可證△DNE≌△AEM，則DN=AM，即可征四邊形AMDN是平行四邊形；（2）①若四邊形AMDN成矩形，可證△ADM是直角三角形，根據(jù)勾股定理可求AM的長；②若四邊形AMDN成菱形，可證△ADM是等邊三角形，可求AM的長．(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD=AD=2，AB∥CD，∴∠NDA=∠DAM，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE，且∠NDA=∠DAM，∠NED=∠AEM，∴△AEM≌△DNE，∴DN=AM，∵NC∥AB，∴四邊形AMDN是平行四邊形；(2)①若四邊形AMDN成矩形，則DM⊥AB，在Rt△ADM中，DM⊥AB，∠DAB=60°，AD=AB=2，∴∠ADM=30°，∴AM=AD=1，∴當(dāng)AM=1時，四邊形AMDN成矩形；②若四邊形AMDN成菱形，則DM=AM，∵DM=AM，∠DAB=60°，∴△ADM是等邊三角形，∴AM=AD=AB=2，∴當(dāng)AM=2時，四邊形AMDN成菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．（2022·江西·定南縣教學(xué)研究室八年級期中）（1）如圖1，紙片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCF的位置，拼成四邊形AEFD，則四邊形AEFD的形狀為A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形（2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEFD中，在EF上取一點(diǎn)G，使EG＝4，剪下△AEG，將它平移至△DFH的位置，拼成四邊形AGHD．①求證：四邊形AGHD是菱形；②求四邊形AGHD的兩條對角線的長．【答案】（1）C；（2）①見解析；②，【解析】【分析】（1）由已知可得四邊形AEFD為平行四邊形，再根據(jù)AE⊥BC即可得到四邊形AEFD的形狀；（2）①與（1）類似可得四邊形AGHD為平行四邊形，再由勾股定理可得AG的長度，最后根據(jù)菱形的定義可以得解；②連接AH，DG，分別在Rt△DFG和Rt△AEH中利用勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：（1）∵△AEB，將它平移至△DFC，∴AE∥DF，AE＝DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形,又AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四邊形AEFD為矩形，故選C；（2）①證明：∵在□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15，∴AE＝3．∵△AEG，將它平移至△DFH，∴AG∥DH，AG＝DH，∴四邊形AGHD是平行四邊形．在Rt△AEG中，AG＝，∴AG＝AD＝5，∴四邊形AGHD是菱形；②連接AH，DG，如圖3，在Rt△DFG中，F(xiàn)G＝GH﹣FH＝5﹣4＝1，DF＝3，∴DG＝，在Rt△AEH中，EH＝EG+GH＝4+5＝9，AE＝3，∴AH＝．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握矩形和菱形的判定、平移的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．22．（2022·貴州·仁懷市教育研究室三模）某數(shù)學(xué)興趣小組開展圖形的折疊實(shí)驗(yàn)探究，如圖，在矩形紙片ABCD中，，，點(diǎn)E為CD上一動點(diǎn)（不與C，D重合）(1)如圖（1），將沿BE折疊，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在AD邊上的F處，求DE的長；(2)如圖（2），將沿BE折疊，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為F，連接DF，當(dāng)DF取得最小值時，求DE的長；(3)如圖（3），小明準(zhǔn)備用上述紙片折疊一種紙飛機(jī)，發(fā)現(xiàn)其中一個步驟是需將沿BE折疊，使點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)F落在矩形ABCD的對稱軸上，在這種情況下，求DE的長．【答案】(1)(2)(3)或【解析】【分析】（1）設(shè)DE=x，求出FD=2，根據(jù)勾股定理列出方程即可求解；（2）連接BD，DF≥BD-BF，當(dāng)B、F、D三點(diǎn)共線時，DF最小，類似于（1）的方法求出DE長即可；（3）分F落在AD中垂線上，點(diǎn)F落在CD的中垂線上，類似（1）結(jié)合勾股定理求解即可．(1)解：∵，，由翻折可知，，F(xiàn)E=EC，設(shè)DE=x，則FE=EC=6-x，，F(xiàn)D=AD-AF=2，∴，解得，，DE長為．(2)解：連接BD，如圖1所示，∵DF≥BD-BF，當(dāng)B、F、D三點(diǎn)共線時，DF最小，如圖2所示，，設(shè)DE=x，則FE=EC=6-x，F(xiàn)D=BD-BF=，∴，解得，，DE長為．

圖1