八年級期末真題（原卷版）

八年級上期末真題精選【考題猜想，壓軸60題21個考點專練】【題型展示】一、利用全等三角形的性質與判定解決面積問題（共3小題）二、利用全等三角形的性質與判定探究線段間存在關系（共3小題）三、利用全等三角形的性質與判定解決動點問題（共3小題）四、坐標系與全等三角形綜合（共3小題）五、全等三角形的多結論問題（共3小題）六、利用全等三角形的性質與判定解決最值問題（共4小題）七、利用軸對稱的性質求最短距離（共3小題）八、折疊問題（共3小題）九、等腰三角形性質與判定綜合（共3小題）十、等邊三角形手拉手模型（共3小題）一十一、軸對稱綜合（共4小題）一十二、勾股定理與折疊問題（共2小題）一十三、勾股定理的證明方法（共3小題）一十四、勾股定理的證明方法（共1小題）一十五、利用勾股定理求最短距離（共3小題）一十六、與實數運算有關的規(guī)律題（共4小題）一十七、坐標與圖形的規(guī)律探究問題（共4小題）一十八、一次函數與三角形面積綜合（共1小題）一十九、一次函數與全等三角形（共1小題）二十、一次函數與等腰三角形（共2小題）二十一、一次函數與動點問題（共4小題）一、利用全等三角形的性質與判定解決面積問題（共3小題）1．（2023下·北京海淀·八年級?？计谀?）探究規(guī)律：已知：如圖，點為平行四邊形內一點，、的面積分別記為、，平行四邊形的面積記為，試探究與之間的關系．

（2）解決問題：如圖矩形中，，，點、、、分別在、、、上，且，．點為矩形內一點，四邊形、四邊形的面積分別記為、，求．

2．（2023下·江蘇淮安·七年級校聯考期末）如圖①，在中，，．現有一動點，從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為．設運動時間為．

(1)當時，；當時，；(2)如圖①，當時，的面積等于面積的一半；(3)如圖②，在中，，，，．在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止．在兩點運動過程中的某一時刻，恰好與全等，請直接寫出點的運動速度．3．（2021下·湖北武漢·八年級武漢一初慧泉中學?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，經過點且與平行的直線，交x軸于點B．(1)如圖1，試求的面積；(2)在圖1中，過的直線與成夾角，試求該直線與交點的橫坐標；(3)如圖2，現有點在線段上運動，點在x軸上，N為線段的中點．①試求點N的縱坐標y關于橫坐標x的函數關系式；②直接寫出N點的運動軌跡長度為．二、利用全等三角形的性質與判定探究線段間存在關系（共3小題）4．（2021上·山東日照·八年級統考期末）（1）方法呈現：如圖①：在中，若，，點為邊的中點，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點，使，再連接，可證，從而把、，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍是（直接寫出范圍即可）．這種解決問題的方法我們稱為“倍長中線法”；（2）探究應用：如圖②，在中，點是的中點，于點，交于點，交于點，連接，判斷與的大小關系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的角平分線，試探究線段、、之間的數量關系，并說明理由．

5．（2023下·山西忻州·八年級統考期末）綜合與實踐【問題情境】在學?；顒诱n上，樊老師讓同學們探究特殊平行四邊形的性質，小明和他的小伙伴們準備了如圖1所示的正方形，連接對角線，在上取一點P，連接，延長至點E，連接，交于點F，且．

(1)如圖1，小明連接了，小伙伴們發(fā)現了與之間存在一定的關系，其數量關系為________，位置關系為________．(2)如圖2，小明連接了，小伙伴們發(fā)現了和之間存在一定的數量關系，請你幫助小明和小伙伴們探究和之間的數量關系，并說明理由．(3)如圖3．小明將正方形改為菱形，當時，請直接寫出與之間的數量關系．6．（2023下·重慶南岸·七年級統考期末）在中，平分交于點，交于點，P是邊上的動點（不與重合），連接，將沿翻折得，記．

(1)如圖1，點與點重合時，用含的式子表示；(2)當點與點不重合時，①如圖2，若平分交于點，猜想之間存在的等量關系，并說明你的理由；②若，請直接寫出的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆⒗萌热切蔚男再|與判定解決動點問題（共3小題）7．（2022下·江蘇揚州·八年級校聯考期末）在平面直角坐標系中，矩形AOCD的頂點A（0，2），C（2，0）．(1)如圖一，E是OC邊的中點，將△AOE沿AE翻折后得到△AEF，延長AF交CD于點G，求CG的長；(2)如圖二，∠AOC的角平分線交AD于點B，交CD的延長線于點E，F為BE的中點，連接CF，求∠ACF的大??；(3)如圖三，M，N分別是邊CD和對角線AC上的動點，且AN=CM，則OM+ON的最小值=____________．（直接寫出結果）8．（2022下·江蘇泰州·八年級校考期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，動點E從點A出發(fā)，沿邊AD，DC向點C運動，A，D關于直線BE的對稱點分別為M，N，連接MN．(1)如圖，當E在邊AD上且DE＝2時，求∠AEM的度數．(2)當N在BC延長線上時，求DE的長，并判斷直線MN與直線BD的位置關系，說明理由．(3)當直線MN恰好經過點C時，求DE的長．9．（2022下·江蘇無錫·八年級統考期末）在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4．(1)將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P處（如圖1），折痕AO與邊BC交于點O，連AP、OP、OA．求線段CO的長；(2)在（1）的條件下，連BP（如圖2）．動點M在線段AP上（與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN＝PM，連MN交PB于點F，作MEBP于點E．試問點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．四、坐標系與全等三角形綜合（共3小題）10．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統考期末）如圖1，平面直角坐標系中，一次函數的圖像經過點，分別與x軸、y軸相交于點A、B，．為y軸上一點，P為線段上的一個動點．(1)求直線的函數表達式；(2)①連接，若的面積為面積的，則點P的坐標為______；②若射線平分，求點P的坐標；(3)如圖2，若點C關于直線的對稱點為，當恰好落在x軸上時，點P的坐標為______．（直接寫出所有答案）11．（2022上·江蘇揚州·八年級統考期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點E是邊BC上一點，AB＝EC，BE＝CD，連接AE、DE．判斷△AED的形狀，并說明理由；（2）在平面直角坐標系中，已知點A（2，0），點B（5，1），點C在第一象限內，若△ABC是等腰直角三角形，求點C的坐標；（3）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點A（0，1），點C是x軸上的動點，線段CA繞著點C按順時針方向旋轉90°至線段CB，連接BO、BA，則BO+BA的最小值是．12．（2022上·江蘇無錫·八年級統考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（5，0），點B在第一象限內，且AB＝4，OB＝3．(1)試判斷△AOB的形狀，并說明理由．(2)點P是線段OA上一點，且PB－PA＝1，求點P的坐標；(3)如圖2，點C、點D分別為線段OB、BA上的動點，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．五、全等三角形的多結論問題（共3小題）13．（2023下·山東威?！ぐ四昙壭Ｂ摽计谀┤鐖D，已知正方形邊長為4．連接其對角線，的平分線交于點，過點作于點，交于點，過點作，交延長線于點．①；②的面積為；③；以上三個選項正確的是（

）

A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②14．（2022上·福建漳州·八年級統考期末）如圖，在中，，，，點D在線段AO上，以CD為邊作等邊三角形CDE，點E和點A分別位于CD兩側，連接OE，BE．現給出以下結論：①；②；③；④直線．其中結論正確的是（

）A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④15．（2023上·河北張家口·八年級張家口市第一中學?？计谀┤鐖D所示，點為三個內角平分線的交點，度，，點，分別為，上的點，且．甲、乙、丙三位同學有如下判斷：甲：度；乙：四邊形的面積是不變的；丙：當時，周長取得最小值．其中正確的是（

）A．只有丙正確 B．只有甲、乙正確 C．只有乙、丙正確 D．甲、乙、丙都正確六、利用全等三角形的性質與判定解決最值問題（共4小題）16．（2022上·福建福州·八年級統考期末）如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．(1)求證：∠ACB＝∠ACD；(2)過點E作ME∥AB，交AC的延長線于點M，過點M作MP⊥DC，交DC的延長線于點P．①連接PE，交AM于點N，證明AM垂直平分PE；②點O是直線AE上的動點，當MO+PO的值最小時，證明點O與點E重合．17．（2021上·湖北武漢·八年級校聯考期末）如圖，在等邊中，為上一點，，且．(1)如圖1，若點在邊上，求證：；(2)如圖2，若點在內，連接，為的中點，連接，，求證：；(3)如圖3，點為邊上一點，連接，．若的值最小時，的度數為______（直接寫出結果）．18．（2022上·重慶云陽·八年級統考期末）在銳角△ABC中，AD⊥BC于點D，E為AD上一點，且DE＝CD，連接BE．(1)如圖1，若∠DBE＝30°，BE＝6，AE＝4，求△ACD的面積；(2)如圖2，E為AD中點，F為BE上一點，連接AF，若∠DBE＝∠CAD＝∠AFE，求證AF＝2CD；(3)如圖3，若∠DBE＝∠CAD，M是直線BC上一動點，連接AM并繞A點逆時針旋轉90°，得到AN，連接DN，EN．當DN長度最小時，請直接寫出∠ABE與∠DNE所滿足的等量關系19．（2022上·重慶·九年級統考期末）如圖1，為等邊三角形，D為AC右側一點，且，連接BD交AC于點E，延長DA、CB交于點F．(1)若，，求AD；(2)證明：；(3)如圖2，若，G為BC中點，連接AG，M為AG上一動點，連接CM，將CM繞著M點逆時針旋轉90°到MN，連接AN，CN，當AN最小時，直接寫出的面積．七、利用軸對稱的性質求最短距離（共3小題）20．（2021下·山東青島·七年級統考期末）古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側的兩個軍營A，B．他總是先去A營，再到河邊飲馬，之后，再巡查B營．他時常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖2，作B關于直線l的對稱點B′，連結AB′與直線l交于點C，點C就是所求的位置．證明：如圖3，在直線l上另取任一點C′，連結AC′，BC，B′C′，∵直線l是點B，B′的對稱軸，點C，C′在l上，∴CB=_________，C′B=_________，∴AC+CB=AC+CB′=_________．在△AC′B′，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．本問題實際上是利用軸對稱變換的思想，把A，B在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C在AB′與l的交點上，即A，C，B′三點共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”的問題的數學模型．拓展應用：如圖，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC交AC于D，點P是BD上一個動點，點M是BC上一個動點，請在圖5中畫出PC+PM的值最小時P的位置．（可用三角尺）21．（2022上·陜西西安·八年級統考期中）問題情境：老師在黑板上出了這樣一道題：直線同旁有兩個定點A，B，在直線上是否存在點，使得的值最小？小明的解法如下：如圖，作點關于直線的對稱點，連接，則與直線的交點即為，且的最小值為．問題提出：(1)如圖，等腰的直角邊長為4，E是斜邊的中點，是邊上的一動點，求的最小值．問題解決：(2)如圖，為了解決A，B兩村的村民飲用水問題，A，B兩村計劃在一水渠上建造一個蓄水池，從蓄水池處向A，B兩村引水，A，B兩村到河邊的距離分別為千米，千米，千米．若蓄水池往兩村鋪設水管的工程費用為每千米15000元，請你在水渠上選擇蓄水池的位置，使鋪設水管的費用最少，并求出最少的鋪設水管的費用．22．（2022上·遼寧鞍山·八年級統考期末）如圖，P為內一定點，M、N分別是射線OA、OB上的點，（1）當周長最小時，在圖中畫出（保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，已知，求的度數．

八、折疊問題（共3小題）23．（2021上·河北承德·八年級統考期末）如圖，在直角三角形紙片中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD(1)求△AED的周長；(2)過點C作△ABC的高，并求出這個高長．24．（2022上·吉林長春·八年級期末）操作：第一步：如圖1，對折長方形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開．第二步：如圖2，再一次折疊紙片，使點A落在EF上的N處，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN．連結AN，易知△ABN的形狀是．論證：如圖3，若延長MN交BC于點P，試判定△BMP的形狀，請說明理由．25．（2021上·江蘇泰州·八年級統考期末）如圖1，將三角形紙片ABC，沿AE折疊，使點B落在BC上的F點處；展開后，再沿BD折疊，使點A恰好仍落在BC上的F點處（如圖2），連接DF．（1）求∠ABC的度數；（2）若△CDF為直角三角形，且∠CFD=90°，求∠C的度數；（3）若△CDF為等腰三角形，求∠C的度數．九、等腰三角形性質與判定綜合（共3小題）26．（2021上·湖南張家界·八年級統考期末）已知，，為直線上一點，為直線上一點，，設，，(1)如圖1，若點在線段上，點在線段上，，，則；．(2)如圖2，若點在線段上，點在線段上，則，之間有什么關系式？說明理由．(3)探究：當點在線段的延長線上，點在線段上，（或在線段的延長線上）時，是否存在不同于（2）中的，之間的關系式？若存在，請直接寫出這個關系式．27．（2022上·江蘇南通·八年級統考期末）【了解概念】定義：如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，則稱這個三角形為“唯美三角形”，這條中線叫這條邊的“唯美線”．【理解運用】（1）如圖1，為“唯美三角形”，為邊的“唯美線”，試判斷的形狀，并說明理由；【拓展提升】（2）在中，，E為外一點，連接，若和均為“唯美三角形”，且和分別為這兩個三角形邊的“唯美線”．①如圖2，若點在直線異側，連接，求的度數；②若點E為平面內一點，滿足，請直接寫出點A到的距離．

28．（2021上·浙江杭州·八年級杭州市采荷中學?？计谥校┤鐖D，中，，現有兩點、分別從點、點同時出發(fā)，沿三角形的邊順時針運動，點的速度為，點的速度為，當點第一次到達點時，，同時停止運動．

(1)點，運動幾秒后，，兩點重合？(2)點，運動時，是否存在以為底邊的等腰三角形？如存在，請求出此時，運動的時間．若不存在，請說明理由．(3)點，運動幾秒后，可得到直角三角形？十、等邊三角形手拉手模型（共3小題）29．（2019上·黑龍江齊齊哈爾·八年級統考期末）綜合與實踐：(1)問題發(fā)現如圖1，和均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．請寫出的度數及線段之間的數量關系，并說明理由．(2)類比探究：如圖2，和均為等腰直角三角形，，點A，D，E在同一直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE．填空：①的度數為_______；②線段之間的數量關系為_________，并說明理由．(3)拓展延伸；在（2）的條件下，若，求四邊形ABEC的面積．30．（2020下·四川成都·七年級統考期末）探究等邊三角形“手拉手”問題．（1）如圖1，已如△ABC，△ADE均為等邊三角形，點D在線段BC上，且不與點B、點C重合，連接CE，試判斷CE與BA的位置關系，并說明理由；（2）如圖2，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC＝60°，試說明點B，點D，點E在同一直線上；（3）如圖3，已知點E在ABC外，并且與點B位于線段AC的異側，連接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜測線段BE、AE、CE三者之間的數量關系，并說明理由．31．（2020上·浙江臺州·八年級統考期末）【閱讀材料】小明同學發(fā)現這樣一個規(guī)律：兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點連接起來則形成一組全等的三角形，小明把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，小明發(fā)現若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，則△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在圖1中證明小明的發(fā)現．【深入探究】（2）如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，連接AO，下列結論：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正確的有．（將所有正確的序號填在橫線上）．【延伸應用】（3）如圖3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，試探究∠A與∠C的數量關系．一十一、軸對稱綜合（共4小題）32．（2020上·江蘇揚州·八年級校聯考期中）如圖1，四邊形中，，，，經過點的直線將四邊形分成兩部分，直線與所成的角設為，將四邊形的直角沿直線折疊，點落在點處（如圖1）．（1）若點與點重合，則_______，_______；（2）若折疊后點恰為的中點（如圖2），則的度數為_________．（3）在（2）的條件下，求證：．33．（2023上·江蘇常州·八年級統考期中）如圖，在中，，，點F是邊上一點，．用直尺和圓規(guī)按要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡），并回答問題：(1)在邊上作點D，使得點D到邊的距離相等；(2)在射線上作點E，使得點E到點A、點C的距離相等；(3)若點P是射線上一個動點，當取最小值時，在圖中作出符合要求的點P，的最小值是．34．（2021上·江蘇無錫·八年級統考期末）如圖，已知四邊形ABCD．（1）在邊BC上找一點P，使得AP+PD的值最小，在圖①中畫出點P；（2）請用無刻度直尺和圓規(guī)，完成下列作圖（不要求寫作法，保留作圖痕跡）：①在線段AC上找一點M，使得BM＝CM，請在圖②中作出點M；②若AB與CD不平行，且AB＝CD，請在線段AC上找一點N，使得△ABN和△CDN的面積相等，請在圖③中作出點N．35．（2020·江蘇無錫·統考模擬預測）如圖，在直角坐標系內，已知，直線過，、關于的對稱點分別為，請利用直尺（無刻度）和圓規(guī)按下列要求作圖．（l）當與重合時，請在圖中畫出點位置，并求出的值；（2）當都落在軸上時，請在圖2中畫出直線，并求出的值．一十二、勾股定理與折疊問題（共2小題）36．（2020上·廣東清遠·八年級統考期末）如圖，在中，，將沿著折疊以后點正好落在邊上的點處．(1)當時，求的度數；(2)當，時，①求線段的長；②求線段的長．37．（2023上·四川成都·八年級統考期末）如圖，在中，，把沿直線折疊，點與點重合．(1)若，則的度數為；(2)若，，求的長；(3)當的周長為，，求的面積用含、的代數式表示一十三、勾股定理的證明方法（共3小題）38．（2023上·河南省直轄縣級單位·八年級校聯考期末）對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數學等式．

(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成的．用兩種不同的方法計算圖中空白部分的面積，可以得到的數學等式是_______；(2)將圖1中兩個陰影的長方形沿著對角線切開，則可以得到四個全等的直角三角形，其中兩直角邊長分別為，斜邊長為，將這四個直角三角形拼成如圖2所示的大正方形時，中間空白圖形是邊長為的正方形．試通過兩種不同的方法計算中間正方形的面積，并探究之間滿足怎樣的等量關系．(3)應用：已知直角三角形兩條直角邊長為6和8，求這個直角三角形斜邊上的高．39．（2023上·江蘇宿遷·八年級統考期末）綜合與實踐：小明制作了2張如圖①的紙片，其中四邊形、均為正方形，他把其中的一張紙片沿對稱軸把它剪開，然后把對稱軸一側的部分，沿翻折，再繞著的中點旋轉，這樣就形成了如圖②的圖形．(1)在圖②中，請先判斷與的數量關系，再說明理由．(2)圖①圖形的面積可以表示為______．圖②圖形的面積可以表示為______．從而得數學等式：______，化簡證得定理______．(3)在圖②中，，，連接，求圖②中的長．一十四、勾股定理的證明方法（共1小題）40．（2023上·山東濟寧·八年級統考期末）計算圖1的面積，把圖1看作一個大正方形，它的面積是，如果把圖1看作是由2個長方形和2個小正方形組成的，它的面積為，由此得到：．(1)如圖2，正方形是由四個邊長分別是a，b的長方形和中間一個小正方形組成的，用不同的方法對圖2的面積進行計算，你發(fā)現的等式是______（用a，b表示）(2)已知：兩數x，y滿足，，求的值．(3)如圖3，正方形的邊長是c，它由四個直角邊長分別是a，b的直角三角形和中間一個小正方形組成的，對圖3的面積進行計算，你發(fā)現的等式是______．（用a，b，c表示，結果化到最簡）一十五、利用勾股定理求最短距離（共3小題）41．（2022上·廣東深圳·八年級統考期末）如圖，一個無蓋長方體的小杯子放置在桌面上，，；(1)一只螞蟻從點出發(fā)，沿小杯子外表面爬到點，求螞蟻怎樣走最短，最短路程是多少？(2)為了怕杯子落入灰塵又方便使用，現在需要給杯子蓋上蓋子，并把一雙筷子放進杯子里，請問，筷子的最大長度是多少？42．（2022下·山東日照·八年級統考期末）（1）如圖1，矩形的兩鄰邊長分別為5和3，某一動點從點A運動到點C的最短路線長是________；（2）如圖2，在棱長分別為5，3，11的長方體模型中，若設定動點P從頂點以1個單位/秒的速度在長方體的外部沿向下勻速運動，同時動點Q從頂點A出發(fā)在長方體外部側面上勻速運動，若要使動點Q在第5秒時恰好攔截到動點P，則動點Q的速度至少應設定為多少？43．（2022下·重慶九龍坡·八年級統考期末）如圖有一個四級臺階，它的每一級的長、寬分別為18分米、4分米．(1)如果給臺階表面8個矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，那么每一級臺階的高為多少分米？(2)A和C是這個臺階上兩個相對的端點，臺階角落點A處有一只螞蟻，想到臺階頂端點C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為多少分米？一十六、與實數運算有關的規(guī)律題（共4小題）44．（2023下·江西南昌·七年級南昌二中?？计谀┯^察表格，回答問題：a…0.00010.01110010000……0.01x1yz…(1)表格中，；；(2)從表格中探究a與數位的規(guī)律，利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知，則；②已知，若，用含m的代數式表示b，則b＝；(3)試比較與a的大?。敃r，；當時，；當時，．45．（2023下·安徽合肥·七年級統考期末）觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式：________；（用含有n的等式表示），并說明理由．46．（2020上·江蘇常州·八年級統考期末）觀察被開方數的小數點與算術平方根的小數點的移動規(guī)律：a0.00010.011100100000.01x110100(1)填空:x=_______.(2)根據你發(fā)現的規(guī)律填空:①已知≈1.414，則________，_______；②=0.274，記的整數部分為，則=___________47．（2022下·浙江衢州·七年級統考期末）我們在小學階段已經知道，個位上是5的兩位數的平方運算的規(guī)律．現我們從中學的角度進一步研究此規(guī)律：(1)探究規(guī)律：，，，____________，……(2)猜想規(guī)律：____________（表示十位上數字是，個位上數字是5的兩位數，表示此兩位數的平方）．(3)推理規(guī)律：一十七、坐標與圖形的規(guī)律探究問題（共4小題）48．（2022上·安徽淮北·八年級校考期末）在平面直角坐標系中，某點按向下、向右、向上、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其運動路線如圖所示，根據圖形規(guī)律，解決下列問題．(1)點的坐標為___________，點的坐標為___________，點的坐標為___________，點的坐標為___________．(2)直接寫出點到點的距離：___________．49．（2022上·安徽合肥·八年級統考期末）如圖，所有正方形的中心均在坐標原點，且各邊與x軸或y軸平行，從內到外，它們的邊長依次為2、4、6、…，頂點依次用、、、、…表示．(1)請直接寫出、、、的坐標；(2)根據規(guī)律，求出的坐標；50．（2021上·山東青島·九年級?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校cA從原點O出發(fā)，沿x軸正方向按半圓形弧線不斷向前運動，其移動路線如圖所示，其中半圓的半徑為1個單位長度，這時點的坐標分別為，按照這個規(guī)律解決下列問題：寫出點的坐標；點的位置在_____________填“x軸上方”“x軸下方”或“x軸上”；試寫出點的坐標是正整數．51．（2018上·山東青島·八年級統考期末）如下圖所示，在直角坐標系中，第一次將△OAB變換成，第二次將變換成，第三次將變換成，已知，，，，，，．（1）觀察每次變換前后的三角形有何變化，找出規(guī)律，按此規(guī)律再將變換成，則的坐標為，的坐標為．（2）可以發(fā)現變換過程中……的縱坐標均為．（3）按照上述規(guī)律將△OAB進行n次變換得到，則可知的坐標為，的坐標為．（4）線段的長度為．一十八、一次函數與三角形面積綜合（共1小題）52．（2022上·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，直線與x軸交于點D，直線與x軸交于點A，且經過定點，直線與交于點．

(1)求k、b和m的值；(2)求的面積．53．（2023上·山西運城·八年級統考期末）【探索發(fā)現】如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經過點，過作于點．過作于點，則，我們稱這種全等模型為“k型全等”．【遷移應用】已知：直線的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．

(1)如圖2，當時，在第一象限構造等腰直角，；①直接寫出，；②求點E的坐標；(2)如圖3，當k的取值變化，點A隨之在x軸負半軸上運動時，在y軸左側過點B作，并且，連接，問的面積是否為定值，請說明理由；【拓展應用】(3)如圖4，在平