考點(diǎn)08 二次函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系（原卷版）

考點(diǎn)八二次函數(shù)與方程不等式之間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)拓展一、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．a(chǎn)x2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3．（1）b2–4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）b2–4ac<0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．考向一二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的綜合拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及相應(yīng)的一元二次方程根的情況都由Δ=b2–4ac決定.1．當(dāng)Δ>0，即拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，這兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程的兩個(gè)根．2．當(dāng)Δ=0，即拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)）時(shí)，方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)一元二次方程的根即為拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)．3．當(dāng)Δ<0，即拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)時(shí)，方程ax2+bx+c=0無(wú)實(shí)數(shù)根，此時(shí)拋物線在x軸的上方（a>0時(shí)）或在x軸的下方（a<0時(shí)）．典例引領(lǐng)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（k是常數(shù)）與x軸交于A、B兩，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，(1)求此拋物線的解析式；(2)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，且的值隨m的增大而增大時(shí)，求m的取值范圍；(4)當(dāng)拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)P之間的部分（包括點(diǎn)P）的最高點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于時(shí)，直接寫出m的值．2．已知拋物線與x軸交于不同的兩點(diǎn)．(1)求的取值范圍；(2)證明該拋物線經(jīng)過(guò)象限內(nèi)的某個(gè)定點(diǎn)P，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是A，B，當(dāng)時(shí)，的面積是否有最大值或最小值？若有，求出該最大值或最小值及對(duì)應(yīng)的的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為C，連接．

(1)若，，求a的值；(2)若，，（?。┊?dāng)，請(qǐng)判斷此時(shí)拋物線的圖像與直線的圖像公共點(diǎn)的情況；（ⅱ）已知點(diǎn)和點(diǎn)在該拋物線上，若，求a的取值范圍．4．如圖，函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C．(1)已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)B，C，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)（b為常數(shù)）的值大于函數(shù)的值，直接寫出b的取值范圍．變式拓展5．如圖所示，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，m的取值范圍為_(kāi)_________．(3)不等式的解集為_(kāi)_________；6．已知二次函數(shù)的圖象與x軸兩交點(diǎn)為、．(1)填空：________；(2)求代數(shù)式的值．7．如圖，拋物線y＝a（x﹣2）2+3（a為常數(shù)且a≠0）與y軸交于點(diǎn)A（0，）．（1）求該拋物線的解析式；（2）若直線y＝kx（k≠0）與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，當(dāng)x12+x22＝10時(shí)，求k的值；（3）當(dāng)﹣4＜x≤m時(shí)，y有最大值，求m的值．8．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．(1)若，①求此拋物線的對(duì)稱軸；②當(dāng)時(shí)，直接寫出m的取值范圍；(2)若，點(diǎn)在該拋物線上，且，請(qǐng)比較p，q的大小，并說(shuō)明理由．9．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為