2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 45 課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(四十五)

課時(shí)質(zhì)量評價(jià)(四十五)1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，4a1，2a3，a5成等差數(shù)列，則a1等于()A．52－5 B．52＋5C．52 D．5A解析：設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，q>0，由前4項(xiàng)和為15，4a1，2a3，a5成等差數(shù)列，可得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，4a3＝4a1＋a5，即4a1＋a1q4＝4a1q2，即q2－2＝0，解得q＝2，所以a1＝52－5.2．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是正項(xiàng)等比數(shù)列，Sn，Tn分別為數(shù)列{lgan}與{lgbn}的前n項(xiàng)和，且SnTn＝n+12A．35 B．9C．59 D．D解析：因?yàn)閿?shù)列{an}，{bn}都是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以數(shù)列{lgan}與{lgbn}為等差數(shù)列．因?yàn)镾n所以S＝logb3a3＝610＝35，所以log3．若函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列1fn(n∈N*)的前n項(xiàng)和為A．nn+1 C．nn－1 A解析：因?yàn)閒(x)＝xm＋ax，所以f′(x)＝"mx^〖m-1〗〗又因?yàn)閒′(x)＝2x＋1，所以m＝2，a＝1，所以f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，所以1f所以數(shù)列1fn1f4．(新定義)定義[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1，則a15＋a25＋a35＋…A．30 B．29a1C．28 D．27D解析：a15＋a25＋a35＋…＋a105＝25＋55＋85＋…＋295＝0＋(1×2)＋(2×2)＋(35．(2024·岳陽模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2＝－2a5，1<a3<2，則數(shù)列{a3n}的前5項(xiàng)和S5的取值范圍是()A．1116，118C．－118，－11A解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q3＝a5所以數(shù)列{a3n}是首項(xiàng)為a3，公比為q3＝－12則S5＝a31－－16．(多選題)已知函數(shù)f(x)＝lgx，則下列四個(gè)命題中，是真命題的為()A．f(2)，f10，f(5)成等差數(shù)列B．f(2)，f(4)，f(8)成等差數(shù)列C．f(2)，f(12)，f(72)成等比數(shù)列D．f(2)，f(4)，f(16)成等比數(shù)列ABD解析：對于A，f(2)＋f(5)＝lg2＋lg5＝lg10＝1，2f10＝2lg10＝1，故f(2)，f10，f(5)成等差數(shù)列，故A是真命題；對于B，f(2)＋f(8)＝lg2＋lg8＝lg16，2f(4)＝2lg4＝lg16，故f(2)，f(4)，f(8)成等差數(shù)列，故B是真命題；對于C，f(2)·f(72)＝lg2×lg72<lg2+lg7222＝故f(2)，f(12)，f(72)不成等比數(shù)列，故C是假命題；對于D，f(2)·f(16)＝lg2×lg16＝4(lg2)2＝(2lg2)2＝(lg4)2＝(f(4))2，故f(2)，f(4)，f(16)成等比數(shù)列，故D是真命題．7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，{lgSn}是公差為lg3的等差數(shù)列，則a2＋a4＋…＋a2n＝________.9n－14解析：因?yàn)镾1＝a1＝1，則lgS1因?yàn)閧lgSn}是公差為lg3的等差數(shù)列，所以lgSn＝(n－1)lg3＝lg3n-1，則Sn＝3n-1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n-1－3n-2＝2×3n-2，則an+1an＝2×所以數(shù)列{an}自第二項(xiàng)起構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列，則偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，9為公比的等比數(shù)列，所以a2＋a4＋…＋a2n＝218．(數(shù)學(xué)與文化)元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》中記載了“垛積術(shù)”，其中“落—形”錐垛就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐垛，如圖所示，三角錐垛從上到下最上面是1個(gè)球，第二層是3個(gè)球，第三層是6個(gè)球，第四層是10個(gè)球……則這個(gè)三角錐垛的第十五層的球的個(gè)數(shù)為________.120解析：因?yàn)椤叭切螖?shù)”可寫為1，1＋2，1＋2＋3，1＋2＋3＋4，1＋2＋3＋4＋5，…，所以“三角形數(shù)”構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn所以這個(gè)三角錐垛的第十五層的球的個(gè)數(shù)為a15＝15×169．設(shè)n∈N*，有三個(gè)條件：①an是2與Sn的等差中項(xiàng)；②a1＝2，Sn＋1＝a1(Sn＋1)；③Sn＝2n+1－2.在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題的橫線上，再作答．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且________.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若{an·bn}是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按第一個(gè)解答計(jì)分．解：(1)選擇條件①.因?yàn)閍n是2與Sn的等差中項(xiàng)，所以2an＝2＋Sn，所以當(dāng)n≥2時(shí)，2an－1＝2＋Sn－1，兩式相減，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1(n≥2)．在2an＝2＋Sn中，令n＝1，可得a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2·2n-1＝2n.選擇條件②.由a1＝2，Sn＋1＝a1(Sn＋1)，知Sn＋1＝2(Sn＋1)，當(dāng)n＝1時(shí)，可求得a2＝4，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2(Sn－1＋1)，兩式相減，得an＋1＝2an(n≥2)．又a1＝2，a2＝4也滿足上式，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2·2n-1＝2n.選擇條件③.在Sn＝2n+1－2中，令n＝1，得a1＝21+1－2＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn－1＝2n－2，兩式相減，得an＝2n(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2滿足上式，所以an＝2n.(2)因?yàn)閧an·bn}是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以an·bn＝2＋(n－1)·4＝4n－2.由(1)知an＝2n，所以bn＝2n所以Tn＝1×12兩邊同乘1212兩式相減，得1＝1所以Tn＝6－2n10．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，P(an，an＋1)(n∈N*)在直線x－y＋1＝0上，如果函數(shù)f(n)＝1n+a1+1n+a2+…+1n+an(A．13 B．1C．712 D．C解析：將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線方程，得an＋1－an＝1，又a1＝1，所以{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以an＝n.所以f(n)＝1nf(n＋1)＝1n所以f(n＋1)－f(n)＝1n+n+1所以f(n)單調(diào)遞增，故f(n)的最小值為f(2)＝71211．直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前受到了廣大消費(fèi)者的追捧．針對這種現(xiàn)狀，某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為2000萬元，并在此基礎(chǔ)上，以后每年的資金投入均比上一年增長12%，則該公司需經(jīng)過________年其投入資金開始超過7000萬元．(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.049，lg2≈0.301，lg7≈0.845.)12解析：設(shè)該公司經(jīng)過n年投入的資金為an萬元，則a1＝2000×1.12，由題意可知，數(shù)列{an}是以2000×1.12為首項(xiàng)，以1.12為公比的等比數(shù)列，所以an＝2000×1.12n.由an＝2000×1.12n>7000，可得n>log1.1272＝lg因此，該公司需經(jīng)過12年其投入資金開始超過7000萬元．12．在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋Sn－1＝12an2(n≥2)．若數(shù)列bn＝(－1)n·2n+1Sn－20202021解析：在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＋Sn－1＝12an2(n≥2)，可得Sn－1＋Sn－2＝12兩式相減，得an＋an－1＝12因?yàn)樵谡?xiàng)數(shù)列{an}中，有an＋an－1≠0，化簡得an－an－1＝2(n≥3)．當(dāng)n＝2時(shí)，S2＋S1＝4＋a2＝12解得a2＝4.因?yàn)閍2－a1＝2，所以{an}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則an＝2n，Sn＝n(n＋1)，所以bn＝(－1)n·2n+1Sn＝(－1)n·n+n+數(shù)列{bn}的前2020項(xiàng)和為－1－1213．函數(shù)y＝f(x)，x∈[1，＋∞)，數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，①函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增的；②數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．寫出一個(gè)滿足①的函數(shù)f(x)的解析式________.寫出一個(gè)滿足②但不滿足①的函數(shù)f(x)的解析式________.f(x)＝x2(答案不唯一)f(x)＝x－432(答案不唯一)解析：易知在[1，＋∞)這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)有許多，可寫為f(x)第二個(gè)空需要找一個(gè)數(shù)列是遞增數(shù)列，而對應(yīng)的函數(shù)在[1，＋∞)上不是單調(diào)遞增的，可寫為f(x)＝x－此時(shí)f(x)在1,43上單調(diào)遞減，在所以f(x)＝x－432在[1，＋∞而對應(yīng)的數(shù)列為an＝n－432在n14．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝1－4an(n∈N*)，定義所有滿足cm·cm＋1＜0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的變號數(shù)，求數(shù)列{cn}解：(1)依題意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.又由a＞0，得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4，所以Sn＝n2－4n＋4.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－4＋4＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.所以an＝1(2)由題意得cn＝－由cn＝1－42n－5可知，當(dāng)n≥5時(shí)，恒有又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－13即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0.所以數(shù)列{cn}的變號數(shù)為3.15．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S