安徽省“皖江名校聯(lián)盟”2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁安徽省“皖江名校聯(lián)盟”2025屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={x|x<2}，B={x|(x?1)2<4}，則A∪B=A.x|x<2 B.x|?1<x<2 C.x|x<3 D.x|?1<x<32.已知復(fù)數(shù)z滿足z(2?i)=(1+i)2，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量a、b滿足a=(1,3)，|a?A.[2,6] B.2,23 C.24.樹人學(xué)校開展學(xué)雷鋒主題活動，某班級5名女生和2名男生，分配成兩個小組去兩地參加志愿者活動，每小組均要求既要有女生又要有男生，則不同的分配方案有(

)A.20種 B.40種 C.60種 D.80種5.有三臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，任取一個零件，則它是次品的概率(

)A.0.054 B.0.0535 C.0.0515 D.0.05256.已知直線x+y?k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點(diǎn)A,B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|OAA.(3,6) B.[7.已知函數(shù)f(x)=x+4x,x>0log2xA.?28 B.28 C.?14 D.148.“三角換元思想”是三角函數(shù)中的基本思想.運(yùn)用三角換元法可以處理曲線中的最值問題.譬如：已知x2+y2=r2r>0，求x+y的最大值.我們令x=rcosθ，y=rsinθ，則x+y=r(A.12 B.14 C.16 D.18二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1A.直線BC與平面ABC1D1所成的角等于π4

B.四棱錐C?ABC1D1的體積為13

C.兩條異面直線D10.已知數(shù)列an滿足a1+2aA.an=n+1 B.an的前n項(xiàng)和為n(n+2)2

C.?1nan的前100項(xiàng)和為10011.中國結(jié)是一種手工編制工藝品，它有著復(fù)雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的數(shù)字“8”對應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.在xOy平面上，把與定點(diǎn)M(?a,0)，N(a,0)距離之積等于a2a>0的動點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.曲線C是當(dāng)a=2時的雙紐線，P是曲線C上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[?2,2] B.|OP|的最大值是22

C.?PMN面積的最大值為2 D.PM三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知cosα+cosβ=1010，sin13.橢圓C：x24+y2=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M為其上的動點(diǎn).14.“算24”游戲是以除去大小王的52張撲克牌為載體，任意抽取4張，把撲克牌對應(yīng)的4個整數(shù)(A=1,J=11,Q=12,K=13)通過加減乘除(沒有乘方開方)以及括號運(yùn)算，使最后的運(yùn)算結(jié)果是24的一個數(shù)學(xué)游戲.因?yàn)楹蛽淇伺频幕ㄉ珶o關(guān)，所以游戲可以看作在集合M=n|n≤13,n∈N?=1,2,3,?,13中每次任選1個數(shù)，選4次得到4個整數(shù)，記為數(shù)組(a,b,c,d)，因?yàn)樗?4和選取4個數(shù)的順序無關(guān)，可以假設(shè)a≤b≤c≤d，比如(3,4,6,11)，顯然游戲不同的牌組就對應(yīng)不同的數(shù)組，那么所有不同的數(shù)組一共有

個.如果數(shù)組為(1,6,6,8)，寫出一個結(jié)果為24四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在?ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，面積為S，且4S=(1)求B；(2)若a=2，b=27，D為AC邊的中點(diǎn)，求BD16.(本小題12分)如圖，四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=2，AB=22，SC=4，M是SB的中點(diǎn)，(1)證明：SA⊥平面ABCD；(2)若點(diǎn)P是棱SC上的動點(diǎn)，直線AP與平面AMC所成角的正弦值為3010，求SP17.(本小題12分)高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題每小題滿分6分，每小題有4個選項(xiàng)，其中只有2個或者3個選項(xiàng)是正確的.若正確選項(xiàng)有2個，則選對其中1個得3分；若正確選項(xiàng)有3個，則選對其中1個得2分，選對其中2個得4分，答案中有錯誤選項(xiàng)的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題中有2個選項(xiàng)正確的概率為p0<p<1，有3個選項(xiàng)正確的概率為1?p.(1)小明可以確認(rèn)一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是錯誤的，從其余的三個選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；(2)小明可以確認(rèn)另一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個.共選2個；③從另外三個選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個，共選3個.若p=1318.(本小題12分)已知雙曲線C：x2a2?y(1)求C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且OA?OB=0(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求19.(本小題12分)給出以下三個材料：①若函數(shù)fx可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)f′x的導(dǎo)數(shù)叫做fx的二階導(dǎo)數(shù)，記作f′′x.類似的，函數(shù)fx的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)fx的三階導(dǎo)數(shù)，記作f′′′x，函數(shù)fx的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)fx的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)fx②若n∈N?，定義③若函數(shù)fx在包含x0的某個開區(qū)間(a,b)上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任意x∈a,b有g(shù)(x)=fx0+f′例如f1(x)=ex根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出f(x)=cosx在點(diǎn)x=0處的泰勒展開式(2)用fx=cosx在點(diǎn)x=0處的泰勒展開式前三項(xiàng)計(jì)算(3)現(xiàn)已知sinxx=1?x參考答案1.C

2.C

3.A

4.C

5.B

6.C

7.A

8.D

9.ABC

10.AD

11.BCD

12.?113.(?214.1820；6÷1?6÷815.

解：(1)由三角形面積公式及條件可知：4S=由余弦定理知b2所以?因?yàn)锽∈0,π，所以B=

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)余弦定理有a2所以c=4，易知2BD所以4BD即BD=

16.

解：(1)取AB的中點(diǎn)N，連接MN,CN，BD與CN交于Q點(diǎn)，在底面矩形ABCD中，易知tan∠DBC=所以∠BNC=∠DBC?BD⊥CN，因?yàn)?，MC∩NC=C，MC、NC?平面CMN，所以BD⊥平面CMN，因?yàn)镸N?平面CMN，所以BD⊥MN，易知MN//SA，所以BD⊥SA，由題意可知AC所以SA⊥AC，而AC,BD相交，且AC,BD?平面ABCD，所以SA⊥平面ABCD；

(2)由上可知SA⊥AD，SA⊥AB，AB⊥AD，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD、AB、AS分別為x軸、y軸、z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)、S(0,0,2)、C(2,22,0)、B(0,2則AC=(2,22,0)，AM=(0,2則m?AC=2x+22設(shè)SP=λSC=λ(2,2則AP=因?yàn)橹本€AP與平面AMC所成角的正弦值為30則cosAP解得λ=14，即

17.

解：(1)根據(jù)題意可知，X=0,4,6，若該題有2個選項(xiàng)正確，則P(X=0)=23p若該題有3個選項(xiàng)正確，則PX=4則分布列如下：X046P21?p1所以EX解之得p=1

(2)不妨記一道多選題“有2個選項(xiàng)正確”為事件A1“有3個選項(xiàng)正確”為事件A2若小明選擇方案①，記小明該題得分為X，則X的可能取值為2，3，對應(yīng)概率為：P(X=2)=P(A2)=故EX若小明選擇方案②，記小明該題得分為Y，則Y的可能取值為0,4,6，對應(yīng)概率為：PY=0PY=4PY=6故EY若小明選擇方案③，記小明該題得分為Z，則Z的可能取值為0,6，對應(yīng)概率為：PZ=0PZ=6故EZEZ故以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇方案②．

18.

解：(1)由題意可得4a2?9b2故雙曲線方程為C:x

(2)當(dāng)直線l斜率不存在時，可設(shè)A(xA,則OA=(xA將其代入雙曲線方程得xA又OA?OB=此時AB=2當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+m，設(shè)A(x1,聯(lián)立方程y=kx+mx2?y23故則OA?OB=(1+k2)化簡得3k2+3=2所以AB=1+=6×當(dāng)k=0時，此時AB=當(dāng)k≠0