2024-2025學(xué)年湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={?6,?4,3,6}，B={x|3?x<x}，則A∩B=(

)A.{3,6} B.{?4,3} C.{?6} D.{6}2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(2,?1)，則|z2|=A.2 B.3 C.4 D.53.已知等差數(shù)列{an}中，a2=3，前5項和S5A.?2 B.?52 C.?1 4.馬德堡半球?qū)嶒炇?7世紀50年代由馬德堡市長進行的一項實驗，其主要目的是證明大氣壓的存在.實驗使用兩個直徑為14英寸的半球殼，將兩個半球內(nèi)的空氣抽掉，球不容易被分開，以證明大氣壓的存在.若把直徑為14英寸的一個實心球分割為兩個半球，則這兩個半球的表面積之和為(

)A.1176π平方英寸 B.294π平方英寸 C.245π平方英寸 D.196π平方英寸5.已知向量a=(1,2),b=(?1,1)，若c=(x,y)滿足(cA.?3 B.2 C.?5 D.46.已知函數(shù)f(x)=3x2?2lnx+(a?1)x+3在區(qū)間(1,2)上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是A.a>?3 B.?493<a<?10 C.?7.已知F1為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點，A.3 B.2 C.5 D.8.若α,β,γ∈(2π,5π2)，且sinα?2cosβ+γ2A.±12 B.12 C.±二、不定項選擇題：本大題共3小題，共18分。9.中國作為全球最大的產(chǎn)茶國和茶葉消勢市場，茶葉行業(yè)長期保持平穩(wěn)問好發(fā)展的趨勢，如表為2014年—2023年中國茶葉產(chǎn)量(單位：萬噸)，根據(jù)該表，則(

)年份2014201520162017201820192020202120222023產(chǎn)量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中國茶葉產(chǎn)量年增長率大于10%B.2014年?2023年中國茶葉產(chǎn)量的極差是150.1

C.2014年?2023年中國茶葉產(chǎn)量的60%分位數(shù)是277.7

D.2019年?2023年中國茶葉產(chǎn)量的平均數(shù)大于31010.已知n>m2，且x=|log2A.若x=y，則n>12B.若x=y，則m+n的最大值為2

C.若x=y=z，則m4+2m11.已知首項為1的正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn+1?4Sn+1SA.{Sn}為等比數(shù)列B.an=9n?1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x?y)7的展開式中x13.設(shè)拋物線y2=12x的焦點為F，經(jīng)過點P(4,1)的直線l與拋物線相交于A、B兩點，且點P恰為AB的中點，則|AF|+|BF|=______．14.在三棱錐P?ABC中，AB=BC=CA=2，PA=PB，二面角P?AB?C的大小為π3，則PA2+PB四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(a+b)：(b+c)：(c+a)=5：7：6．

(1)求cosA；

(2)若點D為AB的中點，且CD=10，求△ABC的面積．16.(本小題15分)

某機構(gòu)為了了解某地區(qū)中學(xué)生的性別和喜愛游泳是否有關(guān)，隨機抽取了100名中學(xué)生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡游泳不喜歡游泳合計男生25女生35合計已知在這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為35(1)請將上述列聯(lián)表補充完整；

(2)依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜歡游泳與性別有關(guān)聯(lián)；

(3)將樣本頻率視為總體概率，在該地區(qū)的所有中學(xué)生中隨機抽取3人，計抽取的3人中喜歡游泳的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望．

附：χ2=P(0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82817.(本小題15分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為22，且C的離心率為22．

(1)求C的標準方程；

(2)若A(?3,0)，直線l：x=ty+1(t>0)18.(本小題17分)

已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1底面ABCD為邊長為3的正方形，AA1=6，點E，F(xiàn)，G分別在線段A1D1，AA1，B1C1上，且A119.(本小題17分)

若函數(shù)f(x)的定義域為R，且存在非零常數(shù)T，使得對任意x∈R，都有f(x?T)+f(x+T)=Tf(x)，則稱f(x)是類周期為T的“類周期函數(shù)”．

(1)若函數(shù)f(x)是類周期為1的“類周期函數(shù)”，證明：f(x)是周期函數(shù)；

(2)已知f(x)=2x?sinωx(ω>0)是“類周期函數(shù)”，求ω的值及f(x)的類周期；

(3)若奇函數(shù)f(x)是類周期為T(T>0)的“類周期函數(shù)”，且f(3T)f(T)=1，求T的值，并給出符合條件的一個f(x)．

參考答案1.A

2.D

3.C

4.B

5.A

6.D

7.D

8.D

9.ABD

10.ACD

11.ACD

12.21

13.14

14.315.解：(1)因為(a+b)：(b+c)：(c+a)=5：7：6，

設(shè)a+b=5t(t>0)，則b+c=7t，c+a=6t，聯(lián)立解得a=2t，b=3t，c=4t，

所以由余弦定理得cosA=b2+c2?a22bc=9t2+16t2?4t224t2=78；

(2)在△ACD中，cosA=78，CD=10，16.解：(1)在這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為35，

則喜歡游泳的學(xué)生人數(shù)為100×35=60

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計

男生

25

25

50

女生

35

15

50

合計

60

40100(2)∵χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(25×15?35×25)260×40×50×50≈4.1667<10.828，

∴依據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，不能認為喜歡游泳與性別有關(guān)聯(lián)．

(3)由題意可得，X～B(3,35)，X所有可能取值為0，1，2，3，

X

0

1

2

3

P

8

36

5427故E(X)=3×3517.解：(1)由題意得：2c=22,e=ca=22，即c=2,a=2，則b2=a2?c2=2，

所以C的標準方程為：x24+y22=1．

(2)由題意設(shè)E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)18.解：(1)如圖，以點D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系：

依題意可得，A1(3,0,6)，B1(3,3,6)，F(xiàn)(3,0,4)，E(2,0,6)，G(32,3,6)，

設(shè)H(3,3,a)，則EF=(1,0,?2)，GH=(32,0,a?6)，

∵EF/?/GH，∴EF//GH，∴321=a?6?2，解得a=3，即H(3,3,3)，

易知平面A1B1HF的一個法向量n1=(1,0,0)，且FH=(0,3,?1)，

設(shè)平面EFHG的一個法向量n2=(a,b,c)，

由n2?FH=0n2?EF=0，可得3b?c=0a?2c=0，取n2=(6,1,3)，

∴銳二面角A119.解：(1)證明：因為f(x)是類周期為1的“類周期函數(shù)”，

所以f(x?1)+f(x+1)=f(x)，①

用x+1代換x得f(x)+f(x+2)=f(x+1)，②

①+②得f(x+2)=?f(x?1)，所以f(x+3)=?f(x)，

所以f(x+6)=?f(x+3)=f(x)，所以f(x)是周期為6的周期函數(shù)．

(2)因為f(x)是“類周期函數(shù)”，

所以存在非零常數(shù)T，使得對任意x∈R，都有f(x?T)+f(x+T)=Tf(x)，

即2(x?T)?sin(ωx?ωT)+2(x+T)?sin(ωx+ωT)=2Tx?Tsinωx，

整理得4x?2sinωxcosωT=2Tx?Tsinωx，

所以4=2T,2cosωT=T，所以T=2，cos2ω=1，

所以ω=kπ(k∈N?)，f(x)的類周期為2．

(3)因為奇