6 應(yīng)用一元二次方程 數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)

第二章一元二次方程6應(yīng)用一元二次方程初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)第1課時(shí)利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題情境導(dǎo)入你還記得本章開(kāi)始時(shí)梯子下滑的問(wèn)題嗎？如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10

m

的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8

m.如果梯子的頂端下滑1

m，那么梯子的底端滑動(dòng)多少米？（1）在這個(gè)問(wèn)題中，梯子頂端下滑1米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離大于1米，那么梯子頂端下滑幾米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等呢？xx設(shè)梯子頂端下滑x米，底端滑動(dòng)x米(8-x)2+(6+x)2=102x2-2x=0x1=0（舍），x2=2.（2）如果梯子長(zhǎng)度是13m，梯子頂端與地面的垂直距離為12m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動(dòng)的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個(gè)距離是多少？設(shè)梯子頂端下滑x米，底端滑動(dòng)x米(12-x)2+(5+x)2=132x2-7x=0x1=0（舍），x2=7.幾何畫板探究新知例1如圖：某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭。小島F位于BC中點(diǎn)。一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦。已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（結(jié)果精確到0.1海里）幾何畫板（1）要求

DE

的長(zhǎng)，需要如何設(shè)未知數(shù)？

（2）怎樣建立含

DE未知數(shù)的等量關(guān)系？從已知條件中能找到嗎？（3）利用勾股定理建立等量關(guān)系，如何構(gòu)造直角三角形？（4）選定Rt△DEF后，三條邊長(zhǎng)都是已知的嗎？DE，DF，EF分別是多少？解：連接DF.∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC

的中位線.∴DF∥AB，且DF=AB.∵AB⊥BC，DF=100nmile，BF=100nmile.設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了xnmile，那么DE=xnmile，AB+BE=2xnmile，EF=AB+BF-（AB+BE）=（300-2x）nmile.在Rt△DEF

中，根據(jù)勾股定理可得方程

x2=1002+(300-2x)2，整理，得3x2-1200x+100000=0.

解這個(gè)方程，得

所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4nmile.隨堂練習(xí)【選自教材P53隨堂練習(xí)】《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問(wèn)甲乙行各幾何?！贝笠馐钦f(shuō)：已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7，乙的速度為3。乙一直向東走，甲先向南走了10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇。那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？解：設(shè)所行時(shí)間為t，則有(3t)2+102=(7t-10)2，解得t1=0（舍去），t2=.∴甲走了×7=（步），乙走了×3=（步）.達(dá)標(biāo)檢測(cè)【選自教材P53習(xí)題2.9】有這樣一道阿拉伯古算題：有兩筆錢，一多一少，其和等于20，積等于96，多的一筆錢被許諾賞給賽義德，那么賽義德得到多少錢？解:設(shè)較多的錢為x．由題意,可得x(20－x)＝96，解得x1＝12，x2＝8(舍去)．所以，賽義德得到的錢數(shù)為12.如圖：在Rt△ACB中，∠C=90°，點(diǎn)P、Q

同時(shí)由A、B兩點(diǎn)出發(fā)分別沿AC、BC方向向點(diǎn)C

勻速移動(dòng)，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半？解:設(shè)經(jīng)過(guò)ts，△PCQ

面積為Rt△ACB

面積的一半．

(8－t)(6－t)＝×6×8×，解得t1＝2，t2＝12(舍去)．所以，經(jīng)過(guò)2s，△PCQ

面積為Rt△ACB

面積的一半．【選自教材P53習(xí)題2.9】如圖，一條水渠的斷面為梯形，已知斷面的面積為0.78m2，上口比渠底寬0.6，渠深比渠底少0.4m，求渠深.【選自教材P53習(xí)題2.9】解:設(shè)渠深為xm，則渠底為(x＋0.4)m．S＝·[(x＋0.4＋0.6＋x＋0.4)]·x

＝0.78，解得x1＝－1.3(舍去)，x2＝0.6．所以，渠深0.6m．解:設(shè)

ts后P

，Q

兩點(diǎn)相距15cm．由題意有t2＋(21－t)2＝152，解得t1＝9，t2＝12．所以，運(yùn)動(dòng)9s或12s時(shí),P,Q

兩點(diǎn)相距15cm．如圖，在Rt△ACB

中，∠C=90°，AC=30cm，BC=21cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng).如果動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度均為1cm/s，那么運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，它們相距15cm？.【選自教材P54習(xí)題2.9】第二章一元二次方程6應(yīng)用一元二次方程初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)第2課時(shí)利用一元二次方程解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題知識(shí)回顧請(qǐng)同學(xué)們回憶并回答與利潤(rùn)相關(guān)的知識(shí)利潤(rùn)=（）-

進(jìn)價(jià)售價(jià)售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣9折要乘以90%或0.9或，那么x

折呢？探究新知例2新華商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元。市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)。商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的降價(jià)應(yīng)為多少元？分析基本數(shù)量關(guān)系售價(jià)-進(jìn)價(jià)=利潤(rùn)每臺(tái)利潤(rùn)×每天的銷售量=每天的總利潤(rùn)例2新華商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元。市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)。商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的降價(jià)應(yīng)為多少元？進(jìn)價(jià)售價(jià)銷售量每臺(tái)利潤(rùn)總利潤(rùn)降價(jià)前降價(jià)后250029008400400×82500未知未知未知5000設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x

元售價(jià)每降低50元多售出4臺(tái)售價(jià)每降低100元多售出4×臺(tái)售價(jià)每降低x

元多售出4×臺(tái)例2新華商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元。市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)。商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的降價(jià)應(yīng)為多少元？進(jìn)價(jià)售價(jià)銷售量每臺(tái)利潤(rùn)總利潤(rùn)降價(jià)前降價(jià)后250029008400400×82500未知未知未知5000設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x

元售價(jià)每降低50元多售出4臺(tái)售價(jià)每降低100元多售出4×臺(tái)售價(jià)每降低x

元多售出4×臺(tái)2900-x8+4×400-x例2新華商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元。市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；而當(dāng)銷售價(jià)每降低50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)。商場(chǎng)要想使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，每臺(tái)冰箱的降價(jià)應(yīng)為多少元？解：設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x

元，根據(jù)題意，得8+4×(2900-x

-2500)()=5000解這個(gè)方程，得x1=x2=150.2900-150=2750所以，每臺(tái)冰箱應(yīng)定價(jià)為2750元.某商場(chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為30元的臺(tái)燈以40元售出，平均每月能售出600個(gè)。調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價(jià)在40元至60元范圍內(nèi)，這種臺(tái)燈的售價(jià)每上漲1元，其銷售量就將減少10個(gè).為了實(shí)現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤(rùn)，這種臺(tái)燈的售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)購(gòu)進(jìn)臺(tái)燈多少個(gè)？解：設(shè)這種臺(tái)燈售價(jià)上漲x

元，根據(jù)題意，得(40+x-30)(600-10x)=10000解這個(gè)方程，得x1=10.

x2=40（舍）.售價(jià)為：40+x=40+10=50（元）應(yīng)購(gòu)置臺(tái)燈：600-10x=600-10×10=500（個(gè)）利用方程解決實(shí)際問(wèn)題得關(guān)鍵和步驟是什么？關(guān)鍵：尋找等量關(guān)系步驟：其一是整體地、系統(tǒng)地審清問(wèn)題；其二是把握問(wèn)題中的“相等關(guān)系”；其三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性。隨堂練習(xí)【選自教材P55隨堂練習(xí)】某批發(fā)市場(chǎng)禮品柜臺(tái)春節(jié)期間購(gòu)進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張贏利0.3元.為了盡快減少庫(kù)存，攤主決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降價(jià)0.05元，那么平均每天可多售出200張.攤主要想平均每天贏利180元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元？解:設(shè)每張賀卡應(yīng)降價(jià)x

元．(0.3－x)(×200＋500)＝180，解得x1＝0.1，x2＝．又∵攤主想盡快減少庫(kù)存．∴減得越多,賣得越多．在盈利相同的情況下選擇降價(jià)0.1元更合適．達(dá)標(biāo)檢測(cè)【選自教材P55習(xí)題2.10】某種服裝，平均每天可銷售20件，每件贏利44元.在每件降價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下，若每件降價(jià)1元，則每天可多售5件.如果每天要贏利1600元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？解:設(shè)每件應(yīng)降價(jià)x

元．(5x＋20)(44－x)＝1600，解得:x1＝4，x2＝36(舍去)所以，每件應(yīng)降價(jià)4元．一個(gè)農(nóng)業(yè)合作社以64000元的成本收獲了某種農(nóng)產(chǎn)品80t，目前可以以1200元/t的價(jià)格售出．如果儲(chǔ)藏起來(lái)，每星期會(huì)損失2t，且每星期需支付各種費(fèi)用1600元，但同時(shí)每星期每噸的價(jià)格將上漲200元.那么，儲(chǔ)藏多少個(gè)星期出售這批農(nóng)產(chǎn)品可獲利122000元？【選自教材P55習(xí)題2.10】解:設(shè)儲(chǔ)藏x個(gè)星期出售這批農(nóng)產(chǎn)