模型14 全等三角形-平行線中點(diǎn)模型-原卷版

全等三角形模型（14）——平行線中點(diǎn)模型◎結(jié)論：如圖，AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在直線AB、CD上，點(diǎn)O為EF中點(diǎn)， P為AB上一點(diǎn)，則△POE≌△QOF【證明】延長PO交CD于Q,∵AB∥CD∴∠OPE＝∠OQF,∠OEP＝∠OFQ在△POE和△QOF中，∠POE＝∠QOFOE＝OF∠OEP＝∠OFQ∴△POE≌△QOFeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)有中點(diǎn)，有平行，輕輕延長就能行1．（2021·全國·八年級專題練習(xí)）在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，為上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．1．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，直線l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分別為P、Q，一塊含有45°的直角三角板的頂點(diǎn)A、B、C分別在直線l1、l2、線段PQ上，點(diǎn)O是斜邊AB的中點(diǎn)，若PQ等于，則OQ的長等于_____．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）感知：（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，，由，，可得；又因為，可得，進(jìn)而得到______．我們把這個模型稱為“一線三等角”模型．應(yīng)用：（2）實戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在中，，，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)（不與B、C重合），點(diǎn)D是AC邊上的一個動點(diǎn)，且．①求證：；②當(dāng)點(diǎn)P為BC中點(diǎn)時，求CD的長；拓展：（3）在（2）的條件下如圖2，當(dāng)為等腰三角形時，請直接寫出BP的長．3．（2020·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，∠D＝∠C＝90°，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．1．（2022·浙江湖州·一模）我們把有一個直角，而且其中一條對角線平分一個內(nèi)角的四邊形叫做直分四邊形．（1）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，矩形的四個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請僅用無刻度的直尺分別在圖1和圖2的邊上找出不同的點(diǎn)E，使得四邊形是一個直分四邊形．（2）如圖3，在直分四邊形中，和互補(bǔ)，且，請求出的長度．（3）如圖4，在邊長為2的正方形中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)，使得，點(diǎn)G在的延長線上，連結(jié)交于點(diǎn)H，且．①請證明四邊形為直分四邊形．②求證：．2．（2021