2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）甲卷含答案

2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)，則A． B． C．10 D．2．集合，2，3，4，5，，，則A．，4， B．，4， C．，2， D．，3，3．若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件則的最小值為A．5 B． C． D．4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A． B． C．1 D．25．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為A．4 B．3 C．2 D．6．設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為A． B． C． D．7．函數(shù)的區(qū)間，的圖像大致為A． B． C． D．8．已知，則A． B． C． D．9．已知向量，，則A．“”的必要條件是“” B．“”的必要條件是“” C．“”的充分條件是“” D．“”的充分條件是“”10．已知、是兩個(gè)平面，、是兩條直線，．下列四個(gè)命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號(hào)是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④11．在中，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．12．已知，，成等差數(shù)列，直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是．14．已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為和，母線長(zhǎng)分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比．15．已知，，則．16．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球．記表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則與差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率是．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17題～第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車(chē)間2624050乙車(chē)間70282100總計(jì)96522150（1）填寫(xiě)如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車(chē)間乙車(chē)間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．設(shè)為升級(jí)改造后抽取的件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．19．（12分）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸．（1）求橢圓的方程；（2），過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線與交于，證明：軸．21．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫(xiě)出的直角坐標(biāo)方程；（2）直線為參數(shù)），若與交于、兩點(diǎn)，，求的值．[選修4-5：不等式選講]23．實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足．（1）證明：；（2）證明：．

2024年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（甲卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)，則A． B． C．10 D．【解析】：因?yàn)?，則，故，所以．故選：．2．集合，2，3，4，5，，，則A．，4， B．，4， C．，2， D．，3，【解析】：因?yàn)椋?，3，4，5，，，4，9，16，25，，所以，3，．故選：．3．若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件則的最小值為A．5 B． C． D．【解析】：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示：將約束條件兩兩聯(lián)立可得3個(gè)交點(diǎn)：，，，由得，則可看作直線在軸上的截距，經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，最小，代入目標(biāo)函數(shù)可得：．故選：．4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則A． B． C．1 D．2【解析】：，則，解得，又因?yàn)?，所以公差，故．故選：．5．已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為A．4 B．3 C．2 D．【解析】：解法一：因?yàn)?，，點(diǎn)在該雙曲線上，所以，，，所以．解法二：焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)雙曲線方程為：，則，解得，從而故選：．解法三：點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以是通徑的一半即則即，則雙曲線的離心率．故選：．解法四：雙曲線的離心率6．設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為A． B． C． D．【解析】：，則，故，所以曲線在點(diǎn)處的切線為，令，解得，令，解得，故所求三角形的面積為．故選：．7．函數(shù)的區(qū)間，的圖像大致為A． B． C． D．【解析】：解法一：，則，故為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；（1），故錯(cuò)誤，正確．故選：．解法二：函數(shù)為偶函數(shù)。且當(dāng)時(shí)，，因此只有選項(xiàng)符合題意8．已知，則A． B． C． D．【解析】：解法一：，則，所以，故．故選：．解法二：設(shè)，則，即，因此由得，即，故，即，故選：．9．已知向量，，則A．“”的必要條件是“” B．“”的必要條件是“” C．“”的充分條件是“” D．“”的充分條件是“”【解析】：，，若，則，解得或，故“”的充分條件是“”，故錯(cuò)誤，正確；若，則，解得，故錯(cuò)誤．故選：．10．已知、是兩個(gè)平面，、是兩條直線，．下列四個(gè)命題：①若，則或②若，則，③若，且，則④若與和所成的角相等，則其中，所有真命題的編號(hào)是A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④【解析】：①若，因?yàn)?，，則，若，因?yàn)?，，則，若不在也不在內(nèi)，因?yàn)?，，，所以且，故①正確；②若，則與，不一定垂直，也有可能相交，故②錯(cuò)誤；③過(guò)直線分別作平面，與，分別相交于直線，直線，因?yàn)?，過(guò)直線的平面與平面相交于直線，所以，同理可得，所以，因?yàn)?，，則，因?yàn)?，，則，又因?yàn)?，則，故③正確；④與和所成的角相等，則和不一定垂直，故④錯(cuò)誤；綜上只有①③正確．故選：．11．在中，內(nèi)角，，所對(duì)邊分別為，，，若，，則A． B． C． D．【解析】：解法一：因?yàn)椋?，所以由正弦定理可得，，由余弦定理可得：，即，，所以，因?yàn)?,所以．故選：．解法二：不妨設(shè)，根據(jù)題意得，根據(jù)余弦定理，由得，即，所以，由正弦定理有，則12．已知，，成等差數(shù)列，直線與圓交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．6【解析】：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以直線恒過(guò)，因?yàn)樵趫A內(nèi)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，．故選：．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是．【解析】：解法一：由于，，，，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)一定在下面的5項(xiàng)：，，，，，故系數(shù)的最大值為．解法二：根據(jù)展開(kāi)項(xiàng)的通項(xiàng)式為，若第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，因?yàn)?所以,所以系數(shù)最大值為故答案為：5．14．已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為和，母線長(zhǎng)分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比．【解析】：因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓臺(tái)上下底面的半徑均為和，母線長(zhǎng)分別為和，則兩個(gè)圓臺(tái)的體積之比．故答案為：．15．已知，，則．【解析】：因?yàn)?，，所以，所以，而，故，即．故答案為?4．16．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球．記表示前兩個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，記表示前三個(gè)球號(hào)碼的平均數(shù)，則與差的絕對(duì)值不超過(guò)的概率是．【解析】：記前三個(gè)球的號(hào)碼分別為、、，則共有種可能，令則，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性：或6時(shí)，均有2種可能；或5時(shí)，均有10種可能；或4時(shí)，均有16種可能；故滿(mǎn)足條件的共有56種可能，．故答案為：．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．第17題～第21題為必考題，每個(gè)考題考生必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造．升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)甲車(chē)間2624050乙車(chē)間70282100總計(jì)96522150（1）填寫(xiě)如下列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車(chē)間乙車(chē)間能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？（2）已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．設(shè)為升級(jí)改造后抽取的件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率．如果，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了．根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】：（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下的列聯(lián)表：優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品甲車(chē)間2624乙車(chē)間7030零假設(shè)：根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異，，有的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異；零假設(shè)：根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率不存在差異，，沒(méi)有的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異．（2）由題意得，，所以，故有優(yōu)化提升．18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．【解析】：（1）因?yàn)?，所以，兩式相減可得，即，,又因?yàn)?，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列，所以；（2），所以，，兩式相減可得：，所以．19．（12分）如圖，在以，，，，，為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，，，，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．【解答】（1）證明：由題意得：，，所以四邊形為平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，，由已知得，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，，，，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，1，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，則，3，，同理，平面的一個(gè)法向量為，3，，所以，因?yàn)?，故二面角的正弦值?0．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸．（1）求橢圓的方程；（2），過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線與交于，證明：軸．【解析】：（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且軸，則，，由勾股定理可知，，故，解得，，故橢圓的方程為；（2）證明：設(shè)，，，，，則，即①，又由可得②，結(jié)合①②可得，，，，，，，則直線的方程為，軸，直線與交于，則，故，故軸．21．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【解析】：（1）當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，無(wú)極大值；（2）由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，且，，所以，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，，故在，上單調(diào)遞增，恒成立，即的取值范圍為．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)