2021-2022學(xué)年江蘇省常州市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題解析版

2021-2022學(xué)年江蘇省常州市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．甲、乙、丙3名數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)同學(xué)邀請(qǐng)2名指導(dǎo)教師站在一排合影留念，若2名教師不相鄰，且教師不站在兩端，則不同的站法種數(shù)是（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】先安排2名同學(xué)在兩端，有種方法，2名老師內(nèi)部全排有種方法，2名老師不相鄰，需剩余同學(xué)排兩個(gè)老師中間，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種方法，故選：B2．疫情期間，學(xué)校進(jìn)行網(wǎng)上授課，某中學(xué)參加網(wǎng)課的100名同學(xué)每天的學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）服從正態(tài)分布，則這些同學(xué)中每天學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)10小時(shí)的人數(shù)估計(jì)為（

）附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）＝0.9974．A．14 B．16 C．30 D．32【答案】B【分析】根據(jù)題意，某中學(xué)參加網(wǎng)課的100名同學(xué)每天的學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）服從正態(tài)分布，所以，，得到，進(jìn)而計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)同學(xué)中每天學(xué)習(xí)的人數(shù)，根據(jù)正態(tài)分布，得，所以，，所以，同學(xué)中每天學(xué)習(xí)時(shí)間超過(guò)10小時(shí)的人數(shù)估計(jì)為故選：B3．現(xiàn)有4名醫(yī)生分別到A，B，C三所醫(yī)院支援抗疫，每名醫(yī)生有且只能去一所醫(yī)院且每所醫(yī)院至少去一名醫(yī)生，則甲、乙兩醫(yī)生恰好到同一醫(yī)院支援的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】基本事件總數(shù)，甲、乙兩醫(yī)生恰好到同一醫(yī)院支援包含的基本事件個(gè)數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式即可得解．【詳解】解：今4名醫(yī)生分別到、、三所醫(yī)院支援抗疫，每名醫(yī)生只能去一所醫(yī)院，且每個(gè)醫(yī)院至少去一名醫(yī)生，基本事件總數(shù)，甲、乙兩醫(yī)生恰好到同一醫(yī)院支援包含的基本事件個(gè)數(shù)，則甲、乙兩醫(yī)生恰好到同一醫(yī)院支援的概率為．故選：A．4．已知二面角，其中平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，則二面角的大小可能為（

）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】首先求的值，再根據(jù)法向量的夾角與二面角大小的關(guān)系，判斷選項(xiàng).【詳解】，所以，又因?yàn)槎娼堑拇笮∨c法向量夾角相等或互補(bǔ)，所以二面角的大小可能是或.故選：C5．我國(guó)中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對(duì)治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒(méi)，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化敗毒方、宣肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出兩種，事件表示選出的兩種中有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型分別求出，，根據(jù)條件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機(jī)選出兩種，事件表示選出的兩種中有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則，，∴.故選：D.6．已知的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A．－40 B．－20 C．20 D．40【答案】D【分析】令可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和，進(jìn)而求得，再根據(jù)，分別求得中的項(xiàng)和的項(xiàng)求解即可【詳解】的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，故，故，又中含的項(xiàng)為，含的項(xiàng)為，故該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為故選：D7．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段D1E上，點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線(xiàn)D1E與CC1的距離，利用空間向量可求得結(jié)果.【詳解】以D為原點(diǎn)，分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,，，,設(shè)(x，y，z)，,，則(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，令x＝1，則y＝-，∴u＝(1,-,0)，∴異面直線(xiàn)D1E與CC1的距離為d＝，∵P在D1E上運(yùn)動(dòng)，∴P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值為d＝.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將點(diǎn)P到直線(xiàn)CC1的距離的最小值轉(zhuǎn)化為為異面直線(xiàn)D1E與CC1的距離求解是解題關(guān)鍵.8．?dāng)?shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，，若，b1＝－λ，且數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＋1＞bn（n∈N），則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列遞推式得到是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式后代入，當(dāng)時(shí)，，且求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由得，，則，由，得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，由，得，因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，，即，所以，又∵，，由，得，得，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多選題9．北京冬奧會(huì)成功舉辦后，大眾對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)關(guān)注度不斷上升，為研究市民對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的喜好是否和性別有關(guān)，某校學(xué)生社團(tuán)對(duì)市民進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，得到列聯(lián)表如下：冰雪運(yùn)動(dòng)的喜好性別合計(jì)男性女性喜歡140m140＋m不喜歡n8080＋n合計(jì)140＋n80＋m220＋m＋n若男性喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男性人數(shù)，女性喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女性人數(shù)，則（

）A．列聯(lián)表中n的值為60，m的值為120B．隨機(jī)對(duì)一位路人進(jìn)行調(diào)查，有95%的可能性對(duì)方喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)C．有95%的把握認(rèn)為市民對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的喜好和性別有關(guān)D．沒(méi)有99%的把握認(rèn)為市民對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的喜好和性別有關(guān)【答案】ACD【分析】根據(jù)題意分別計(jì)算的值，填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值即可得出結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)槟行韵矚g冰雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男性人數(shù)的，所以，解得，又因?yàn)榕韵矚g冰雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女性人數(shù)的，所以，解得，所以選項(xiàng)A正確；計(jì)算，所以隨機(jī)對(duì)一路人進(jìn)行調(diào)查，有的可能性對(duì)方喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；填寫(xiě)列聯(lián)表為：冰雪運(yùn)動(dòng)的喜好性別合計(jì)男性女性喜歡140120260不喜歡6080140合計(jì)200200400由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，所以有的把握認(rèn)為市民性別和喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)系，選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為市民性別和喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)有關(guān)系，選項(xiàng)D正確．故選：ACD．10．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，則（

）A．S5＜S9 B．該數(shù)列的公差d＜0C．a(chǎn)7＝0 D．S11＜0【答案】BC【分析】由題意可得，從而得出等差數(shù)列中前6項(xiàng)為正，從第8項(xiàng)起均為負(fù)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和的公式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：由可得，，得，由得，所以等差數(shù)列的公差，故選項(xiàng)B正確.所以為正，，從第8項(xiàng)起均為負(fù).故選項(xiàng)C正確.所以，故選項(xiàng)A不正確.，故選項(xiàng)D不正確.故選：BC.11．盒子里有形狀大小都相同的4個(gè)球，其中2個(gè)紅球、2個(gè)白球，從中先后不放回地任取2個(gè)球，每次取1個(gè)．設(shè)“兩個(gè)球顏色相同”為事件A，“兩個(gè)球顏色不同”為事件B，“第1次取出的是紅球”為事件C，“第2次取出的是紅球”為事件D．則（

）A．A與B互為對(duì)立事件 B．A與C相互獨(dú)立C．C與D互斥 D．B與C相互獨(dú)立【答案】ABD【分析】根據(jù)對(duì)立事件，互斥事件的定義可判斷AC；根據(jù)古典概型的概率公式求出所對(duì)應(yīng)的事件的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷BD.【詳解】對(duì)于A，由題意知，取出兩個(gè)球要么顏色相同，要么顏色不同，即A與B互為對(duì)立事件，故A正確；對(duì)于C，“第1次取出的是紅球”，“第2次取出的是紅球”，C與D可能同時(shí)發(fā)生，故C錯(cuò)誤；對(duì)于CD，，，，，所以，所以A與C相互獨(dú)立，B與C相互獨(dú)立，故BD正確；故選：ABD12．已知正四棱錐P－ABCD的棱長(zhǎng)均為1，O為底面ABCD的中心，M，N分別是棱PA，PB的中點(diǎn)，則（

）A．PA⊥OM B．直線(xiàn)AP與平面OMN所成的角的余弦值為C．平面OMN∥平面PCD D．四棱錐P－ABCD的外接球的體積為【答案】AC【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線(xiàn)，得到由三線(xiàn)合一得到A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線(xiàn)面角；C選項(xiàng)，由線(xiàn)線(xiàn)平行證明面面平行；D選項(xiàng)，根據(jù)A選項(xiàng)的分析得出四棱錐P－ABCD的外接球的球心即為O點(diǎn)，半徑為，代入公式求出外接球體積.【詳解】如圖1，連接OP，則OP⊥底面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以PO⊥AO，由勾股定理得：因?yàn)锳P=1，所以因?yàn)镸為AP的中點(diǎn)，由三線(xiàn)合一得：OM⊥AP，A正確；,如圖2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線(xiàn)為x軸，OB所在直線(xiàn)為y軸，OP所在直線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面OMN的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線(xiàn)AP與平面OMN所成的角為，則，而，所以直線(xiàn)AP與平面OMN所成的角的余弦值為，B錯(cuò)誤；如圖3，因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，M為PA中點(diǎn)，所以O(shè)M是三角形ACP的中位線(xiàn)，所以O(shè)M∥PC，因?yàn)槠矫鍼CD，平面PCD，所以O(shè)M∥平面PCD，同理可知：ON∥平面PCD，因?yàn)?，平面OMN，平面OMN，所以平面OMN∥平面PCD，C正確；通過(guò)A選項(xiàng)的分析，可得：，所以四棱錐P－ABCD的外接球的球心即為O點(diǎn)，半徑為，則體積為，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題13．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝3，則a6＋a7＋a8＝___________．【答案】243【分析】設(shè)等比數(shù)列為，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解可得，進(jìn)而得到a6＋a7＋a8【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列為，則，故，所以故答案為：14．如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中4個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域涂1種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有___________種．【答案】48【分析】利用分步計(jì)數(shù)原理，一個(gè)個(gè)按照順序去考慮涂色.【詳解】按照分步計(jì)數(shù)原理，第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域3，分兩類(lèi)：（1）區(qū)域3與1同色，則區(qū)域4有2種方法；（2）區(qū)域3與1不同色，則區(qū)域3有2種方法，區(qū)域4有1種方法；所以不同的涂色種數(shù)有種．故答案為：4815．已知四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，平面，，以P為球心為半徑的球面與底面的交線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)__________．【答案】【分析】設(shè)為球面與底面的交線(xiàn)上任意一點(diǎn)，由得到球面與底面的交線(xiàn)為以為圓心，半徑為1的四分之一圓，再求交線(xiàn)長(zhǎng)即可.【詳解】設(shè)為球面與底面的交線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則，又平面，平面，則，又，則，又四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，則的軌跡為以為圓心，半徑為1的四分之一圓，故球面與底面的交線(xiàn)即為以為圓心，半徑為1的四分之一圓，則交線(xiàn)長(zhǎng)為.故答案為：.16．甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，則5次傳球后球在甲手中的概率為_(kāi)_____.【答案】0.3125【分析】設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，求出，根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式，求出的表達(dá)式，即可求得的值.【詳解】設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，當(dāng)時(shí)，，設(shè)“次傳球后球在甲手中”，則，則．即，所以，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以5次傳球后球在甲手中的概率為．故答案為：.四、解答題17．已知正整數(shù)n≥2，（x＋3）n的展開(kāi)式為anxn＋＋…＋a1x＋a0．(1)若（x＋3）n的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和比二項(xiàng)式系數(shù)之和大992，求n的值；(2)若n＝2022，且ak是an，an－1，…，a1，a0中的最大值，求正整數(shù)k的值．【答案】(1)5(2)505【分析】（1）令可得的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和，再結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)和為求解可得n（2）根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再根據(jù)最大項(xiàng)滿(mǎn)足大于等于前后兩項(xiàng)，進(jìn)而列式求解即可【詳解】(1)令得的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)和為，由題意可知：，所以，解得或（舍去），所以；(2)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：．令，解得，因此．因?yàn)槭侵械淖畲箜?xiàng)，所以．18．已知數(shù)列滿(mǎn)足a1＝3，a2＝5，且，n∈N．(1)設(shè)bn＝an＋1－an，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列{an}滿(mǎn)足（n∈N），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）構(gòu)造證明即可；（2）根據(jù)是等比數(shù)列，利用累加法與等比數(shù)列的求和公式可得，再根據(jù)的最大值分析即可【詳解】(1)因?yàn)?，所以．即，又因?yàn)?，所以，則，所以，數(shù)列是等比數(shù)列(2)由（1）數(shù)列是首項(xiàng)為2公比為的等比數(shù)列，則．所以，則．經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)也符合，則．又因?yàn)?，所以?9．小李準(zhǔn)備在某商場(chǎng)租一間商鋪開(kāi)服裝店，為了解市場(chǎng)行情，在該商場(chǎng)調(diào)查了20家服裝店，統(tǒng)計(jì)得到了它們的面積x（單位：m2）和日均客流量y（單位：百人）的數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，…，20），并計(jì)算得＝2400，＝220，＝42000，＝8400．(1)求y關(guān)于x的回歸直線(xiàn)方程；(2)已知服裝店每天的經(jīng)濟(jì)效益W＝k＋mx（k＞0，m＞0），該商場(chǎng)現(xiàn)有80~170m2的商鋪出租，根據(jù)（1）的結(jié)果進(jìn)行預(yù)測(cè)，要使單位面積的經(jīng)濟(jì)效益Z最高，小李應(yīng)該租多大面積的商鋪?附：在線(xiàn)性回歸方程?＝＋x中，＝，＝－，其中，為樣本平均值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)最小二乘法的公式求線(xiàn)性回歸方程即可；（2）根據(jù)題意構(gòu)造出經(jīng)濟(jì)效益和面積的函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值及取得最值時(shí)變量的取值即可.【詳解】(1)由已知可得，．，．所以回歸直線(xiàn)方程為．(2)根據(jù)題意得，．設(shè)，令所以．則，當(dāng)，即時(shí)，取最大值．又因?yàn)閗，，所以此時(shí)Z也取最大值．因此，小李應(yīng)該租的商鋪20．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列前項(xiàng)的和．【答案】(1)，，；(2)【分析】（1）取可算出，將遞推關(guān)系多列一項(xiàng)后作差，得到新的關(guān)于的遞推關(guān)系即可；（2）分組求和，前一段利用等差數(shù)列求和公式，后一段利用裂項(xiàng)求和，兩者相加即可.【詳解】(1)由題可知，，解得．在中令，得，解得；因?yàn)棰?，所以②，由?②得：，即，所以．所以數(shù)列是首項(xiàng)與公差都為2的等差數(shù)列，所以．(2)由題可知，當(dāng)時(shí)，所以．當(dāng)時(shí)，所以，所以．綜上：．21．小李下班后駕車(chē)回家的路線(xiàn)有兩條．路線(xiàn)1經(jīng)過(guò)三個(gè)紅綠燈路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是；路線(xiàn)2經(jīng)過(guò)兩個(gè)紅綠燈路口，第一個(gè)路口遇到紅燈的概率是，第二個(gè)路口遇到紅燈的概率是．假設(shè)兩條路線(xiàn)全程綠燈時(shí)的駕車(chē)回家時(shí)長(zhǎng)相同，且每個(gè)紅綠燈路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立．(1)若小李下班后選擇路線(xiàn)1駕車(chē)回家，求至少遇到一個(gè)紅燈的概率．(2)假設(shè)每遇到一個(gè)紅燈駕車(chē)回家時(shí)長(zhǎng)就會(huì)增加1min，為使小李下班后駕車(chē)回家時(shí)長(zhǎng)的累計(jì)增加時(shí)間（單位：min）的期望最小，小李應(yīng)選擇哪條路線(xiàn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)小李應(yīng)選擇路線(xiàn)1；理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)路線(xiàn)1遇到紅燈的個(gè)數(shù)的隨機(jī)變量為X，則，由對(duì)立事件概率公式計(jì)算概率；（2）設(shè)路線(xiàn)1累計(jì)增加時(shí)間的隨機(jī)變量為，則，由二項(xiàng)分布的期望公式得期望，設(shè)路線(xiàn)2第i個(gè)路口遇到紅燈為事件（，2），則，，設(shè)路線(xiàn)2累計(jì)增加時(shí)間的隨機(jī)變量為，則的所有可能取值為0，1，2，依獨(dú)立事件與互斥事件及對(duì)立事件概率公式計(jì)算出各概率，得期望，比較可得．【詳解】(1)設(shè)路線(xiàn)1遇到紅燈的個(gè)數(shù)的隨機(jī)變量為X，則，所以至少遇到一個(gè)紅燈