2.3導數(shù)的計算課件高二下學期數(shù)學北師大版選擇性

第二章導數(shù)及其應用3導數(shù)的計算北師大版

數(shù)學

選擇性必修第二冊目錄索引

基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.能根據(jù)定義求函數(shù)y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的導數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求簡單函數(shù)的導數(shù).基礎落實·必備知識一遍過知識點1

函數(shù)f(x)在x=x0處的導數(shù)求解步驟(1)通過自變量在x=x0處的改變量Δx,確定函數(shù)值在x0處的改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).(2)確定函數(shù)y=f(x)從x0到x0+Δx處的平均變化率(3)當Δx趨于0時,得到導數(shù)名師點睛函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)即函數(shù)y=f(x)在點x0處的瞬時變化率.思考辨析導數(shù)或瞬時變化率可以反映函數(shù)變化的什么特征?提示

導數(shù)或瞬時變化率可以反映函數(shù)在某一點處變化的快慢程度.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)f'(x0)即函數(shù)y=f(x)在點x0處的瞬時變化率.(

)(2)若函數(shù)f(x)=x,則f'(1)=f'(2).(

)√√2.求函數(shù)y=f(x)=在x=3處的導數(shù)f'(3).知識點2

導函數(shù)一般地,如果一個函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)的每一點x處都有導數(shù)

,那么稱f'(x)為y=f(x)的導函數(shù),也簡稱為導數(shù),有時也將導數(shù)記作y'.

f'(x)的值與Δx無關,同時又是關于x的函數(shù)

思考辨析你會區(qū)分“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”與“導函數(shù)”嗎?提示

“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”是一個數(shù)值,“導函數(shù)”是一個函數(shù),二者有本質(zhì)的區(qū)別,但又有密切關系,f'(x0)是導函數(shù)y=f'(x)在x=x0處的一個函數(shù)值.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若y=f(x)=x,則f'(x)=1.(

)(2)若y=f(x)=x2,則f'(x)=2x.(

)(3)已知f'(x)=2x,則f'(3)=6.(

)√√√2.利用導函數(shù)的定義求函數(shù)f(x)=(2x+1)(3x-1)的導函數(shù).知識點3

基本初等函數(shù)的導數(shù)公式表

函數(shù)導數(shù)y=c(c是常數(shù))y'=

y=xα(α是實數(shù))y'=

y=ax(a>0,a≠1)y'=

特別地(ex)'=exy=logax(a>0,a≠1)y'=

特別地(ln

x)'=0αxα-1axlna函數(shù)導數(shù)y=sin

xy'=

y=cosxy'=

y=tan

xy'=

cosx-sinx思考辨析常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0說明什么?提示

說明常數(shù)函數(shù)f(x)=c圖象上每一點處的切線的斜率都為0,即每一點處的切線都平行(或重合)于x軸.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若y=sin60°,則y'=cos60°.(

)(2)若f'(x)=sin

x,則f(x)=cosx.(

)××√2.[人教B版教材例題]求曲線y=sinx在(0,sin0)處的切線方程.解

因為y'=cos

x,因此所求切線的斜率為cos

0=1,又因為sin

0=0,因此所求切線方程為y-0=1(x-0),即y=x.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一求函數(shù)在某一點處的導數(shù)【例1】

(1)設函數(shù)y=f(x)在x=x0處可導,且,則f'(x0)=

.

a

(2)利用導數(shù)的定義求函數(shù)y=f(x)=x3在x=1處的導數(shù).規(guī)律方法

用導數(shù)定義求函數(shù)在某一點處的導數(shù)的步驟

變式訓練1已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,求x0.探究點二利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)【例2】

求下列函數(shù)的導數(shù):解

(1)y'=0.規(guī)律方法

1.若給出的函數(shù)解析式符合導數(shù)公式,則直接利用公式求導.2.若給出的函數(shù)解析式不符合基本初等函數(shù)的導數(shù)公式,則通過恒等變換對解析式進行化簡或變形后求導,如根式要化成指數(shù)冪的形式求導,y=可以寫成y=x-4,y=等,這樣就可以直接使用冪函數(shù)的求導公式求導,避免在求導過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運算失誤.3.要特別注意“與ln

x”“ax與logax”“sin

x與cos

x”的導數(shù)區(qū)別.變式訓練2求下列函數(shù)的導數(shù).解

(1)y'=(x12)'=12x11.探究點三利用導數(shù)公式解決切線問題【例3】

已知P,Q為拋物線f(x)=x2上兩點,點P,Q的橫坐標分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點A,則點A的坐標為

.

(1,-4)解析

由拋物線方程,得f'(x)=x,∴kPA=4,kQA=-2.∵P(4,8),Q(-2,2),∴直線PA的方程為y-8=4(x-4),即y=4x-8.直線QA的方程為y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.∴A(1,-4).規(guī)律方法

解決切線問題,關鍵是確定切點,要充分利用以下三個條件聯(lián)立方程解決:(1)切點處的導數(shù)是切線的斜率.(2)切點在切線上.(3)切點在曲線上.變式訓練3[人教B版教材例題]已知f(x)=,求f'(4)以及曲線y=f(x)在點(4,f(4))處的切線的方程.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)求函數(shù)在某一點處的導數(shù).(2)利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù).(3)利用導數(shù)公式解決切線問題.2.方法歸納:公式變形及數(shù)學運算.3.常見誤區(qū):未將函數(shù)解析式恒等變換而亂用導數(shù)公式.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎練1819201.[探究點二](多選題)下列結(jié)論正確的是(

)AD12345678910111213141516171819202.[探究點二]已知函數(shù)f(x)=xα(α是實數(shù)),若f'(-1)=-4,則α的值等于(

)A.4 B.-4C.5 D.-5A解析

∵f'(x)=αxα-1,f'(-1)=α(-1)α-1=-4,∴α=4.12345678910111213141516171819203.[探究點三]“以直代曲”是重要的數(shù)學思想.具體做法是:在函數(shù)圖象某個切點附近用切線代替曲線來近似計算.比如要求sin0.05的近似值,我們可以先構(gòu)造函數(shù)y=sinx,由于0.05與0比較接近,所以求出在x=0處的切線方程為y=x,再把x=0.05代入切線方程,故有sin0.05≈0.05,類比上述方式,則≈(

)A.1.001 B.1.005 C.1.015 D.1.025A12345678910111213141516171819204.[探究點三]曲線y=ex在點(2,e2)處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為(

)D解析

因為y'=ex,所以切線的斜率k=e2,所以切線方程為y=e2x-e2,它與兩坐標軸的交點坐標分別為(0,-e2),(1,0),所以切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為

.12345678910111213141516171819205.[探究點三](多選題)已知曲線y=x3在點P處的切線斜率為k,則當k=3時,點P的坐標為(

)A.(-1,1) B.(-1,-1)C.(1,1) D.(1,-1)BC解析

y'=3x2,因為k=3,所以3x2=3,所以x=±1,則點P的坐標為(-1,-1)或(1,1).12345678910111213141516171819206.[探究點三]以正弦曲線y=sinx上一點P為切點的切線為直線l,則直線l的傾斜角的取值范圍是(

)A12345678910111213141516171819207.[探究點一]若指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,a≠1)滿足f'(1)=ln27,則f'(-1)=

.

12345678910111213141516171819208.[探究點一]求函數(shù)f(x)=x2+5x在x=3處的導數(shù)和它的導函數(shù).12345678910111213141516171819209.[探究點二]求下列函數(shù)的導數(shù).1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718192010.[探究點二]已知f(x)=cosx,g(x)=x,求滿足f'(x)+g'(x)≤0的x的值.解

因為f(x)=cos

x,g(x)=x,所以f'(x)=(cos

x)'=-sin

x,g'(x)=x'=1.由f'(x)+g'(x)≤0,得-sin

x+1≤0,即sin

x≥1,但sin

x∈[-1,1],所以sin

x=1,所以x=2kπ+,k∈Z.1234567891011121314151617181920B級關鍵能力提升練11.[2024山東日照期末]已知函數(shù)f(x)=x2-2,則

=(

)A.-12 B.-9 C.9 D.12D123456789101112131415161718192012.已知曲線f(x)=x3在點(2,8)處的切線方程為y=kx+b,則k-b等于(

)A.4 B.-4 C.28 D.-28C解析

∵點(2,8)在切線上,∴2k+b=8,①又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,②由①②可得k=12,b=-16,∴k-b=28.123456789101112131415161718192013.

已知直線l是曲線y=ex的切線,切點橫坐標為-1,直線l與x軸和y軸分別相交于A,B兩點,則△OAB的面積為(

)C123456789101112131415161718192014.設曲線y=xn+1(n∈N+)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,則x1·x2·…·xn的值為(

)B123456789101112131415161718192015.設函數(shù)f(x)在x=x0處可導,當h趨于0時,對于

的值,以下說法正確的是

.(填序號)

①與x0,h都有關;②僅與x0有關而與h無關;③僅與h有關而與x0無關;④與x0,h均無關.②123456789101112131415161718192016.寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)f(x)=

.

①f(x1x2)=f(x1)+f(x2);②當x∈(0,+∞)時,f'(x)>0.lnx(答案不唯一)解析

由題意,可寫函數(shù)f(x)=ln

x,由f(x1x2)=ln(x1x2)=ln

x1+ln

x2=f(x1)+f(x2),即滿足①;又由f(x)=ln

x的定義域為(0,+∞),且f'(x)=