4.5　角的比較與補(bǔ)(余)角

4.5角的比較與補(bǔ)(余)角第1課時(shí)角的比較與角平分線1.角的比較方法：

和

.2.角的平分線的定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)

的角，這條射線叫作這個(gè)角的平分線.度量法疊合法相等如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOE＝∠COD，射線OC平分∠BOE，∠EOC＝50°.求∠DOE的度數(shù).【思路分析】由∠AOE＝∠COD，得∠AOD＝∠EOC＝50°，再由射線OC平分∠BOE，得∠AOD＝∠EOC＝∠BOC＝50°，進(jìn)而由平角減去這三個(gè)角，便可得∠DOE的度數(shù).【自主解答】因?yàn)椤螦OE＝∠COD，所以∠AOE－∠DOE＝∠COD－∠DOE，即∠AOD＝∠EOC＝50°，因?yàn)樯渚€OC平分∠BOE，所以∠EOC＝∠COB＝50°，所以∠DOE＝180°－3×50°＝30°.【名師支招】由角平分線可找出圖中相等的角，還要注意題中隱含的條件(∠AOB為平角)的應(yīng)用.【易錯(cuò)原因】對(duì)沒有給出圖形的求角問題，考慮不全面射線OC平分∠AOB，從點(diǎn)O引出一條射線OD，使∠AOB＝3∠AOD，若∠COD＝20°，則∠AOB的度數(shù)為____.【自主解答】24°或120°知識(shí)點(diǎn)一：角的大小比較1.在∠AOB的內(nèi)部任取一點(diǎn)C，作射線OC，那么有()A.∠AOC＝∠BOCB.∠AOC＞∠BOCC.∠BOC＞∠AOBD.∠AOB＞∠AOCD2.如圖，在正方形網(wǎng)格中有∠α和∠β，則∠α和∠β的大小關(guān)系是

.∠α＞∠β知識(shí)點(diǎn)二：角的和差3.將一副直角三角板如圖擺放，則∠ADC的度數(shù)為()A.75°B.120°C.135°D.150°C4.如圖，∠AOC＝

＋

＝

－

，∠BOC＝

－

＝

－

.∠AOB∠BOC∠AOD∠COD∠BOD∠COD∠AOC∠AOB

D6.如圖，點(diǎn)O在直線AB上，射線OC平分∠DOB.若∠COB＝35°，則∠AOD的度數(shù)為

.110°7.如圖，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分別是∠AOC，∠BOD的平分線，則∠MON＝

.135°8.在15°，65°，75°，135°的角中，能用一副三角尺畫出來的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)C9.(雨花區(qū)期末)如圖，OC是∠AOB的平分線，∠DOC＝3∠BOD，∠BOD＝18°，則∠AOD的度數(shù)為()A.72°B.80°C.90°D.108°C10.(金安區(qū)期末)如圖，已知OB，OC是∠AOD內(nèi)部的兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.(1)如果∠BOC＝40°，∠MON＝80°，那么∠AOD的度數(shù)為

；(2)如果∠AOD＝x°，∠MON＝80°，那么∠BOC的度數(shù)為

(用含x的代數(shù)式表示).120°(160－x)°【解析】(2)由角的加減可得∠AOM＋∠DON，易得∠BOM＋∠CON，再利用∠BOC＝∠MON－(∠BOM＋∠CON)可得結(jié)果.11.如圖，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，(1)∠BOD的度數(shù)為

；(2)請(qǐng)通過計(jì)算說明OE是否平分∠BOC.155°解：(2)因?yàn)椤螩OE＝∠DOE－∠DOC＝65°，∠BOC＝180°－∠AOC＝130°，所以∠BOE＝∠BOC－∠COE＝65°.所以∠COE＝∠BOE，所以O(shè)E平分∠BOC.12.如圖，射線OB，OC在∠AOD的內(nèi)部，且∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝2∶5∶3.若射線OM平分∠AOD，且∠BOM＝45°，求∠AOD的度數(shù).

13.【特例探究】(1)將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖①所示的方式折疊，BC，BD為折痕，則∠CBD的度數(shù)為

；(2)將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖②所示的方式折疊，BC，BD為折痕，若∠A′BE′＝50°，則∠CBD的度數(shù)為

；90°115°【規(guī)律總結(jié)】(3)將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖③所示的方式折疊，BC，BD為折痕，若∠A′BE′＝α，則∠CBD的度數(shù)為

(用含α的式子表示).

第2課時(shí)余角和補(bǔ)角1.如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說這兩個(gè)角互為

；如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說這兩個(gè)角互為

.2.同角(或等角)的補(bǔ)角

，同角(或等角)的余角

.補(bǔ)角余角相等相等

【自主解答】

【名師支招】1.已知一個(gè)角求其余角或補(bǔ)角時(shí)，根據(jù)余角或補(bǔ)角的概念直接計(jì)算即可.但要注意角度相減時(shí)要度、分、秒分別相減，并注意角度單位的進(jìn)制，往往將90°或180°化成如下形式：90°＝89°59′60”，180°＝179°59′60”.2.解有關(guān)余角和補(bǔ)角的問題時(shí)，先把這個(gè)角設(shè)成未知數(shù)，再根據(jù)這個(gè)角的余角、補(bǔ)角之間的關(guān)系列出方程，最后求出結(jié)果.知識(shí)點(diǎn)一：余角和補(bǔ)角的定義1.若α＝29°45′，則α的余角的度數(shù)為()A.60°55′B.60°15′C.150°55′D.150°15′B2.如圖，∠ACE的補(bǔ)角、余角分別是()A.∠ECB，∠ECDB.∠ECD，∠ECBC.∠ACB，∠ACDD.∠ECB，∠BCDA3.若兩個(gè)角互補(bǔ)，則（

）A.這兩個(gè)角都是銳角B.這兩個(gè)角都是鈍角C.這兩個(gè)角一定一個(gè)是銳角，一個(gè)是鈍角D.以上答案都不對(duì)D4.已知∠α與∠β互為余角，且它們的度數(shù)之比為2∶3，求∠α，∠β的補(bǔ)角的差.解：設(shè)∠α＝2x，則∠β＝3x，由題意得∠α＋∠β＝2x＋3x＝90°，解得x＝18°.所以∠α＝36°，∠β＝54°.所以∠α，∠β的補(bǔ)角的差為180°－∠α－(180°－∠β)＝∠β－∠α＝18°.知識(shí)點(diǎn)二：余角和補(bǔ)角的性質(zhì)5.若∠α＝∠β，∠α＋∠1＝180°，∠β＋∠2＝180°，則∠1與∠2的大小關(guān)系是

，理由是

.∠1＝∠2等角的補(bǔ)角相等6.如圖，O是直線EF上一點(diǎn)，∠DOE＝90°.(1)寫出圖中互為余角的角；(2)寫出圖中互為補(bǔ)角的角；(3)若∠1＝∠2，寫出圖中其他所有相等的角.解：(1)∠1與∠AOD互為余角；∠2與∠BOD互為余角.(2)∠AOF與∠1互為補(bǔ)角；∠EOD與∠FOD互為補(bǔ)角；∠BOE與∠2互為補(bǔ)角.(3)∠AOD＝∠BOD，∠AOF＝∠BOE，∠EOD＝∠FOD.7.若∠α＝90°－m°，∠β＝90°＋m°，則∠α與∠β的關(guān)系是（

）A.互補(bǔ)B.互余C.和為鈍角D.和為周角A8.如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，則其中使∠α與∠β互余的擺放方式是（

）A9.如果∠1與∠2互為余角，∠1與∠3互為補(bǔ)角，有下列結(jié)論：①∠3－∠2＝90°；②∠3＋∠2＝270°－2∠1；③∠3－∠1＝2∠2；④∠3>∠1＋∠2.其中正確的有（

）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)D10.已知一個(gè)角是它余角的3倍，那么這個(gè)角的度數(shù)為

.11.OC是從∠AOB的頂點(diǎn)O引出的一條射線，若∠AOB＝80°，∠AOB＝2∠BOC，則∠AOC的度數(shù)為

.67.5°40°或120°12.如圖，點(diǎn)A，O，B在一條直線上，∠AOD＝∠BOD＝∠EOC＝90°，∠BOC∶∠AOE＝3∶1.(1)∠COD的度數(shù)為

；(2)圖中有哪幾對(duì)角互為余角？22.5°解：(2)圖中互為余角的有∠AOE與∠DOE；∠EOD與∠COD；∠COD與∠BOC；∠BOC與∠AOE.(3)圖中有哪幾對(duì)角互為補(bǔ)角？解：圖中互為補(bǔ)角的有∠AOE與∠BOE；∠AOD與∠BOD；∠EOC與∠AOD；∠EOC與∠BOD；∠COD與∠BOE；∠DOE與∠AOC；∠AOC與∠BOC.13.如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，射線OC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，從OA出發(fā)，每秒旋轉(zhuǎn)10°，射線OD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，以相同的速度從OB出發(fā)，射線OC與OD同時(shí)旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為ts，當(dāng)OC旋轉(zhuǎn)到與OD重合時(shí)，OC，OD都停止運(yùn)動(dòng).(1)猜想：∠AOC＋∠AOD＝

°；180(2)已知射線OE始終平分∠BOD，射線OF在∠COD內(nèi)，且滿足∠BOD與∠EOF互余.①當(dāng)t＝3s時(shí)，∠EOF＝

°；②在運(yùn)動(dòng)過程中，試探究∠BOF與∠COF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.60

第3課時(shí)用尺規(guī)作角

C

B3.(廬陽區(qū)期末)如圖，已知∠AOB，∠DCE，利用尺規(guī)作圖，比較它們的大小(不寫作法，保留作圖痕跡).解：如圖所示，∠AOB＞∠DCE.