離散型隨機(jī)變量及其分布列 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

7.2

離散型隨機(jī)變量及其分布列一般地，一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下列條件：

①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行;

②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不只一個(gè);

③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果;這種試驗(yàn)就是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，為了方便起見，也簡(jiǎn)稱試驗(yàn).1.隨機(jī)試驗(yàn)的概念

我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn).2.樣本點(diǎn)與樣本空間的概念

求隨機(jī)事件的概率時(shí),我們往往需要為隨機(jī)試驗(yàn)建立樣本空間,并會(huì)涉及樣本點(diǎn)和隨機(jī)事件的表示問題,類似函數(shù)在數(shù)集與數(shù)集之間建立對(duì)應(yīng)關(guān)系,如果我們?cè)陔S機(jī)試驗(yàn)的樣本空間與實(shí)數(shù)集之間建立某種對(duì)應(yīng),將不僅可以為一些隨機(jī)事件的表示帶來(lái)方便,而且能更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)試驗(yàn).有些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與數(shù)值有關(guān)系，我們可以直接與實(shí)數(shù)建立對(duì)應(yīng)關(guān)系.例如，擲一枚骰子，用實(shí)數(shù)m(m＝1,2,3,4,5,6)表示“擲出的點(diǎn)數(shù)為m”;又如，擲兩枚骰子，樣本空間為Ω＝{(x,y)|x,y=1,2,???,6}，用x+y表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和”，樣本點(diǎn)(x,y)就與實(shí)數(shù)x+y對(duì)應(yīng).有些隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與數(shù)值沒有直接關(guān)系，我們可以根據(jù)問題的需要為每個(gè)樣本點(diǎn)指定一個(gè)數(shù)值.例如，隨機(jī)抽取一件產(chǎn)品，有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能結(jié)果，它們與數(shù)值無(wú)關(guān).如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定義那么這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)與實(shí)數(shù)就建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系.情景引入類似地，擲一枚硬幣，可將試驗(yàn)結(jié)果“正面朝上”用1表示，“反面朝上”用0表示；隨機(jī)調(diào)查學(xué)生的體育綜合測(cè)試成績(jī)，可將等級(jí)成績(jī)優(yōu)、良、中等、及格、不及格分別賦值5,4,3,2,1；等等.對(duì)于任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，總可以把它的每個(gè)樣本點(diǎn)與一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng).即通過(guò)引人一個(gè)取值依賴于樣本點(diǎn)的變量X，來(lái)刻畫樣本點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)樣本點(diǎn)的數(shù)量化.因?yàn)樵陔S機(jī)試驗(yàn)中樣本點(diǎn)的出現(xiàn)具有隨機(jī)性，所以變量X的取值也具有隨機(jī)性.情景引入

探究考察下列隨機(jī)試驗(yàn)及其引入的變量:

試驗(yàn)1:從100個(gè)電子元件(至少含3個(gè)以上次品)中隨機(jī)抽取三個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，變量X表示三個(gè)元件中的次品數(shù)；

試驗(yàn)2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).

這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間各是什么?各個(gè)樣本點(diǎn)與變量的值是如何對(duì)應(yīng)的?變量X,Y有哪些共同的特征?對(duì)于試驗(yàn)1，如果用0表示“元件為合格品”，1表示“元件為次品”，用0和1組成長(zhǎng)度為3的字符串表示樣本點(diǎn)，則樣本空間Ω1＝{000,001,010,011,100,101,110,111}.各樣本點(diǎn)與變量X的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示.

探究考察下列隨機(jī)試驗(yàn)及其引入的變量:

試驗(yàn)1:從100個(gè)電子元件(至少含3個(gè)以上次品)中隨機(jī)抽取三個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，變量X表示三個(gè)元件中的次品數(shù)；

試驗(yàn)2:拋擲一枚硬幣直到出現(xiàn)正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數(shù).

這兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間各是什么?各個(gè)樣本點(diǎn)與變量的值是如何對(duì)應(yīng)的?變量X,Y有哪些共同的特征?對(duì)于試驗(yàn)2，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出現(xiàn)“正面朝上”，則樣本空間Ω2＝{h,th,tth,tth,???}.Ω2包含無(wú)窮多個(gè)樣本點(diǎn).各樣本點(diǎn)與變量Y的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下圖所示.一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量.在上面兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，每個(gè)樣本點(diǎn)都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).變量X，Y有如下共同點(diǎn):

(1)取值依賴于樣本點(diǎn)；(2)所有可能取值是明確的.隨機(jī)變量：

隨機(jī)變量將隨機(jī)事件的結(jié)果數(shù)量化1.隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量試驗(yàn)1中隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,共有4個(gè)值；試驗(yàn)2中隨機(jī)變量Y的可能取值為1,2,3,???，有無(wú)限個(gè)取值，但可以一一列舉出來(lái).離散型隨機(jī)變量的定義:1.隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量例1

判斷下列各個(gè)量是否為隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由.題型一隨機(jī)變量的概念(1)從10張已編好號(hào)碼的卡片(從1號(hào)到10號(hào))中任取一張，被抽出卡片的號(hào)數(shù)；(2)拋兩枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和；(3)體積為8cm3的正方體的棱長(zhǎng).解(1)被抽取卡片的號(hào)數(shù)可能是1，2，…，10，出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的，是隨機(jī)變量.(2)拋兩枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11種情況，出現(xiàn)哪種情況都是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量.(3)正方體的棱長(zhǎng)為定值，不是隨機(jī)變量.1.解題的關(guān)鍵是判斷變量(試驗(yàn)結(jié)果)是否符合隨機(jī)變量的定義.2.隨機(jī)變量X滿足三個(gè)特征：(1)可以用不同的數(shù)來(lái)表示不同的試驗(yàn)結(jié)果；(2)試驗(yàn)前可以判斷其可能出現(xiàn)的所有值(取值是明確的)；(3)在試驗(yàn)前不能確定取何值.思維升華訓(xùn)練1

指出下列哪些是隨機(jī)變量，哪些不是隨機(jī)變量，并說(shuō)明理由.(1)一個(gè)袋中裝有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，其中所含白球的個(gè)數(shù)；(2)某林場(chǎng)樹木最高達(dá)30m，則此林場(chǎng)中樹木的高度.(3)某個(gè)人的屬相隨年齡的變化.解(1)從5個(gè)球中取2個(gè)球，所得的結(jié)果有以下幾種：2個(gè)白球；1個(gè)白球和1個(gè)黑球；2個(gè)黑球.且出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果都是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量.(2)林場(chǎng)樹木的高度可以取(0，30]內(nèi)的一切值，是一個(gè)隨機(jī)變量.(3)一個(gè)人的屬相在他出生時(shí)就確定了，不隨年齡的變化而變化，因此屬相不是隨機(jī)變量.2.隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系隨機(jī)變量的定義與函數(shù)的定義類似，這里的樣本點(diǎn)ω相當(dāng)于函數(shù)定義中的自變量，而樣本空間Ω相當(dāng)于函數(shù)的定義域，不同之處在于Ω不一定是數(shù)集.隨機(jī)變量的取值X(ω)隨著試驗(yàn)結(jié)果ω的變化而變化，這使我們可以比較方便地表示一些隨機(jī)事件.現(xiàn)實(shí)生活中，離散型隨機(jī)變量的例子有很多.例如，某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次可能命中的環(huán)數(shù)X，它的可能取值為0,1,2,???,10；某網(wǎng)頁(yè)在24h內(nèi)被瀏覽的次數(shù)Y，它的可能取值為0,1,2,???；等等.現(xiàn)實(shí)生活中還有大量不是離散型隨機(jī)變量的例子.例如，種子含水量的測(cè)量誤差X1；某品牌電視機(jī)的使用壽命X2；測(cè)量某一個(gè)零件的長(zhǎng)度產(chǎn)生的測(cè)量誤差X3.這些都是可能取值充滿了某個(gè)區(qū)間、不能一一列舉的隨機(jī)變量.本節(jié)我們只研究取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量.解：2.下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示?若能，請(qǐng)寫出各隨機(jī)變量可能的取值，并說(shuō)明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果.(1)拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和；(2)某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù)；(3)任意抽取一瓶標(biāo)有1500ml的飲料，其實(shí)際含量與規(guī)定含量之差.(1)點(diǎn)數(shù)之和X是離散型隨機(jī)變量，X的可能取值為2，3，???，12.{X＝k}表示擲出的點(diǎn)數(shù)之和為k.(2)進(jìn)球個(gè)數(shù)Y是離散型隨機(jī)變量，Y的可能取值為0，1，2，3，4，5.{Y＝k}表示射進(jìn)k個(gè)球.(3)誤差Z不是離散型隨機(jī)變量.課堂練習(xí)課本P60T2根據(jù)問題引入合適的隨機(jī)變量，有利于我們簡(jiǎn)潔地表示所關(guān)心的隨機(jī)事件，并利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)試驗(yàn)中的概率問題.例如，擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，X表示擲出的點(diǎn)數(shù)，則事件“擲出m點(diǎn)”可以表示為{X＝m}(m=1,2,3,4,5,6)，事件“擲出的點(diǎn)數(shù)不大于2”可以表示為{X≤2}，事件“擲出偶數(shù)點(diǎn)”可以表示為{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等.由擲出各種點(diǎn)數(shù)的等可能性，我們還可以得到這一規(guī)律我們還可以用下表來(lái)表示.X123456P隨機(jī)變量X的概率分布列3.隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，

???，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率為X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，簡(jiǎn)稱分布列.Xx1x2???xnPp1p2???pn4.離散型隨機(jī)變量的分布列與函數(shù)的表示法類似，離散型隨機(jī)變量的分布列也可以用表格表示，還可以用圖形表示.例如，下圖直觀地表示了擲骰子試驗(yàn)中擲出的點(diǎn)數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖.根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì):5.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)利用分布列和概率的性質(zhì)，可以計(jì)算由離散型隨機(jī)變量表示的事件的概率.例如，在擲骰子試驗(yàn)中，由概率的加法公式，得事件“擲出的點(diǎn)數(shù)不大于2”的概率為類似地，事件“擲出偶數(shù)點(diǎn)”的概率為2.某位同學(xué)求得一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布列為X0123P0.20.30.150.45課本P61T2T4課堂練習(xí)

試說(shuō)明該同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是否正確.不正確4.某位射箭運(yùn)動(dòng)員命中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)X的分布列為X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9環(huán)或10環(huán)為優(yōu)秀，那么他一次射擊成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率是多少？根據(jù)X的定義，{X＝1}＝“抽到次品”，{X＝0}＝“抽到正品”，X的分布列為解：

例1一批產(chǎn)品中次品率為5%，隨機(jī)抽取1件，定義求X的分布列.用表格表示如下：X01P0.950.05兩點(diǎn)分布例題研討6.兩點(diǎn)分布對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，

表示“失敗”,定義如果P(A)＝p，則P()＝1－p，那么X的分布列如下表所示.X01P1－pp實(shí)際上，X為在一次試驗(yàn)中成功(事件A發(fā)生)的次數(shù)(0或1).像購(gòu)買的彩券是否中獎(jiǎng)，新生嬰兒的性別，投籃是否命中等，都可以用兩點(diǎn)分布來(lái)描述.我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布.3.籃球比賽中每次罰球命中得1分，不中得0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7，求他一次罰球得分的分布列.設(shè)罰球得分為X，{X＝0}＝“罰球未命中”，{X＝1}＝“罰球命中品”，則X的分布列為解：用表格表示如下：X01P0.30.7課本P60T3課堂練習(xí)

由題意得，X的可能取值為1,2,3,4,5，則X的分布列為解：

例2某學(xué)校高二年級(jí)有200名學(xué)生，他們的體育綜合測(cè)試成績(jī)分5個(gè)等級(jí)，每個(gè)等級(jí)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如下表所示.從這200名學(xué)生中任意選取1人，求所選同學(xué)分?jǐn)?shù)X的分布列，以及P(X≥4).用表格表示如下：等級(jí)不及格及格中等良優(yōu)分?jǐn)?shù)12345人數(shù)2050604030X12345P例題研討4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2次，寫出正面向上次數(shù)X的分布列.由題意得，正面向上的次數(shù)X的可能取值為解：用表格表示如下：0，1，2.∴X的分布列為由于拋擲一枚硬幣2次可能出現(xiàn)的結(jié)果有正正，正反，反正，反反.X012P課本P60T4課堂練習(xí)

設(shè)隨機(jī)挑選的2臺(tái)電腦中A品牌的臺(tái)數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2.根據(jù)古典概型的知識(shí)，可得X的分布列為解：

例3一批筆記本