1.4.1（第一課時(shí)）空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示同步練習(xí)-2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第13頁（共13頁）1.4.1（第一課時(shí)）空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示同步練習(xí)一．選擇題1．若，0，，，4，在直線上，則直線的一個(gè)方向向量為A．，2， B．，3， C．，1， D．，2，2．設(shè)平面內(nèi)兩個(gè)向量的坐標(biāo)分別為，2，、，1，，則下列向量中是平面的法向量的是A．，， B．，1， C．，1， D．，，3．已知平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，，，的一個(gè)法向量為，1，，則下列點(diǎn)中，在平面內(nèi)的是A．，， B． C． D．4．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則可能使的是A． B． C． D．5．已知，0，，，1，，，0，，則平面的一個(gè)單位法向量是A．，1， B．，， C．，1， D．，，6．已知平面內(nèi)的兩個(gè)向量，1，，，2，，且，，．若為平面的法向量，則，的值分別為A．，2 B．1， C．1，2 D．，7．設(shè)的方向向量為，2，，的方向向量為，3，，若，則實(shí)數(shù)的值為A．3 B．2 C．1 D．8．如圖，在正方體中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，分別在棱，上，且，，則下列向量中，能作為平面的法向量的是A．，， B．，， C．，， D．，3，9．已知直線過點(diǎn)，0，，平行于向量，平面過直線與點(diǎn)，2，，則平面的法向量不可能是A．，， B． C． D．，，10．已知，6，，，3，，則下列各向量中是平面是坐標(biāo)原點(diǎn)）的一個(gè)法向量的是A．，1， B．，2， C．，4， D．，4，11．平面中，點(diǎn)坐標(biāo)為，1，，點(diǎn)坐標(biāo)為，2，，點(diǎn)坐標(biāo)為，0，．若向量，，，且為平面的法向量，則A．2 B．0 C．1 D．12．（多選題）在長(zhǎng)方體中，，，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法正確的是A．的坐標(biāo)為，2， B．，0， C．平面的一個(gè)法向量為，3， D．二面角的余弦值為二．填空題13．在平面中，，1，，，2，，，0，，若，且為平面的法向量，則．14．空間直角坐標(biāo)系中，兩平面與分別以，1，與，2，為其法向量，若，則直線的一個(gè)方向向量為（寫出一個(gè)方向向量的坐標(biāo)）15．已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)為，1，，平面過點(diǎn)且與直線垂直，動(dòng)點(diǎn)，，是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件是．四．解答題16．已知向量，，和，1，，點(diǎn)，，，，，．（1）求；（2）在直線上是否存在一點(diǎn)，使為原點(diǎn)），若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．17．如圖，四棱錐中，底面積為矩形，平面，為的中點(diǎn)，，，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量．18．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，平面，，，分別為，的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并解答下列問題．（1）求的坐標(biāo)；（2）求證：；（3）求平面的一個(gè)法向量；（4）在平面內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)，使平面．19．已知四棱錐的底面是直角梯形，，，平面，，，試建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的一個(gè)法向量．1.4.1（第一課時(shí)）空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示1．解：由題意可得：直線的一個(gè)方向向量，4，，又，2，，4，，，2，是直線的一個(gè)方向向量．故選：．2．解：，1，，2，，，1，，1，，向量是此平面的法向量．故選：．3．解：由題意可知符合條件的點(diǎn)應(yīng)滿足，選項(xiàng)，，，，，，0，，，故不在平面內(nèi)；同理可得：選項(xiàng)，，，，，故在平面內(nèi)；選項(xiàng)，，2，，，故不在平面內(nèi)；選項(xiàng)，，，，，故不在平面內(nèi)；故選：．4．解：在中，，不可能使；在中，，不可能使；在中，，不可能使；在中，，有可能使．故選：．5．解：，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，設(shè)平面的一個(gè)單位法向量為，則，解得，，，或，，．故選：．6．解：，1，，，2，，，，，，，，，，，，．由為平面的法向量，得，解得．故選：．7．解：，，解得．實(shí)數(shù)的值為2．故選：．8．解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，平面的法向量為．則，0，，，，所以，，則，不妨取，則，，故．故選：．9．解：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而，2，，0，，2，，選項(xiàng)，，1，，，，，2，，，滿足垂直，故正確；選項(xiàng)，，1，，，，，2，，，滿足垂直，故正確；選項(xiàng)，，1，，1，，，2，，1，滿足垂直，故正確；選項(xiàng)，，1，，，，但，2，，，，故錯(cuò)誤．故選：．10．解：設(shè)平面是坐標(biāo)原點(diǎn)）的一個(gè)法向量是，，則，即，①②得：令，解得無合適選項(xiàng)，令，解得故，4，，故選：．11．解：，，與平面垂直的向量應(yīng)與上面的向量的數(shù)量積為零，向量，，，且為平面的法向量，則且，即，且，即且，即，則，故選：．12．解：在長(zhǎng)方體中，，，以為原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于，點(diǎn)的坐標(biāo)為，2，，故正確；對(duì)于，，2，，，2，，，0，，故正確；對(duì)于，，0，，，2，，，2，，，0，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，得，3，，故錯(cuò)誤；對(duì)于，平面的一個(gè)法向量為，3，，平面的法向量為，0，，，二面角的余弦值為，故正確．故選：．13．解：，1，，，，，為平面的法向量，，，，聯(lián)立解得，．．故答案為：1．14．解：設(shè)直線的一個(gè)方向向量為，，，由兩平面與分別以，1，與，2，為其法向量，可得，，可得，，可設(shè)，則，，可得，1，．故答案為：，1，．15．解：因?yàn)?，所以，，，．?，，由勾股定理可得：，即，化簡(jiǎn)得：．點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件是：．故答案為：．16．解：（1），，，1，，，，；（2）假設(shè)在直線上存在一點(diǎn)，使為原點(diǎn)），則存在實(shí)數(shù)，使得，，，，，，，，，解得．，即．故在直線上存在一點(diǎn)，使為原點(diǎn)）．17．解：四棱錐中，底面積為矩形，平向，為的中點(diǎn)，，，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，，，，0，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，．平面的一個(gè)法向量為，，．18．解：（1）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，1，1，，，1，，，0，，，0，，，，，，，0，．（2）證明：，，，，0，．，．（3）解：設(shè)平面的法向量，，，，1，，，0，，，取，得平面的一個(gè)法向量，0，．（4）解：令點(diǎn)，0，，，，，平面，，0，，