2025屆湖南省長沙市開福區(qū)周南中學(xué)數(shù)學(xué)八年級第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆湖南省長沙市開福區(qū)周南中學(xué)數(shù)學(xué)八年級第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題學(xué)業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．已知：如圖，在中，，的垂直平分線，分別交，于點(diǎn)，．若，，則的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．132．下列計算中，正確的是（）A． B． C． D．3．如圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，若，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（）A．52 B．68 C．72 D．764．計算的結(jié)果為（）A． B． C． D．5．如圖，長和寬為a、b的長方形的周長為14，面積為10，則ab（a+b）的值為（）A．140 B．70 C．35 D．246．如圖，等邊三角形中，，有一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒一個單位長度的速度沿著折線運(yùn)動至點(diǎn)，若點(diǎn)的運(yùn)動時間記作秒，的面積記作，則與的函數(shù)關(guān)系應(yīng)滿足如下圖象中的（）A． B． C． D．7．自從太原市實(shí)施“煤改氣”“煤改電”清潔供暖改造工程以來，空氣質(zhì)量明顯好轉(zhuǎn)．下表是年月日太原市各空氣質(zhì)量監(jiān)測點(diǎn)空氣質(zhì)量指數(shù)的統(tǒng)計結(jié)果：監(jiān)測點(diǎn)尖草坪金勝巨輪南寨上蘭村桃園塢城小店空氣質(zhì)量指數(shù)等級優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)優(yōu)良優(yōu)這一天空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是（）A． B． C． D．8．下列運(yùn)算正確的是()A．a(chǎn)+a=a2 B．a(chǎn)6÷a3=a2 C．(a+b)2=a2+b2 D．(ab3)2=a2b69．如圖，兩直線和在同一坐標(biāo)系內(nèi)圖象的位置可能是（）A． B．C． D．10．如圖，一根竹竿AB，斜靠在豎直的墻上，P是AB中點(diǎn)，A′B′表示竹竿AB端沿墻上、下滑動過程中的某個位置，則在竹竿AB滑動過程中OP（）A．下滑時，OP增大 B．上升時，OP減小C．無論怎樣滑動，OP不變 D．只要滑動，OP就變化11．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂線交AC于D，P是BD的中點(diǎn)，若BC＝4，AC＝8，則S△PBC為（）A．3 B．3.3 C．4 D．4.512．已知：一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（，1）和點(diǎn)B（，-3）且＜，則它的圖像大致是（）．A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．?dāng)?shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差是______.14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上：OA＝3，OC＝4，D為OC邊的中點(diǎn)，E是OA邊上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△BDE的周長最小時，E點(diǎn)坐標(biāo)為_____．15．當(dāng)x=__________時，分式的值為零.16．函數(shù)y＝自變量x的取值范圍是__．17．如圖，在中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，、交于點(diǎn)，若，則的面積為______．18．已知，，則的值是________________________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，于點(diǎn)E（1）求證：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的長．20．（8分）如圖1，與都是等腰直角三角形，直角邊，在同一條直線上，點(diǎn)、分別是斜邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，，，．（1）觀察猜想：圖1中，與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．（2）探究證明：將圖1中的繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（），得到圖2，與、分別交于點(diǎn)、，請判斷（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展延伸：把繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)，若，，請直接列式求出面積的最大值．21．（8分）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，并且與軸相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)恰與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，求這個一次函數(shù)的表達(dá)式．22．（10分）在中，，點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接，．(1)如圖，若，，，求的度數(shù)；(2)若，，直接寫出(用的式子表示)23．（10分）如圖，在中，∠．（1）尺規(guī)作圖：作的平分線交于點(diǎn)；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）已知，求的度數(shù)．24．（10分）為了創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市，某社區(qū)要清理一個衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾，租用甲、乙兩車運(yùn)送，兩車各運(yùn)12趟可完成，需支付運(yùn)費(fèi)4800元．已知甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾，乙車所運(yùn)趟數(shù)是甲車的2倍，且乙車每趟運(yùn)費(fèi)比甲車少200元．（1）求甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾各需運(yùn)多少趟？（2）若單獨(dú)租用一臺車，租用哪臺車合算？25．（12分）如圖，四邊形ABCD中，AC=5，AB=4，CD=12，AD=13，∠B=90°．（1）求BC邊的長；（2）求四邊形ABCD的面積．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個動點(diǎn)，設(shè).（1）若的值最小，求的值；（2）若直線將分割成兩個等腰三角形，請求出的值，并說明理由.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的定義和性質(zhì)可得，,然后求出周長等于，再根據(jù)已知條件，代入數(shù)據(jù)計算即可得解．【詳解】∵是的垂直平分線∴，∴的周長∵，∴的周長．故選：C【點(diǎn)睛】本題涉及到的知識點(diǎn)主要是線段垂直平分線的定義和性質(zhì)，能夠靈活運(yùn)用知識點(diǎn)將求三角形周長的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．2、C【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算法則以及冪的乘方、積的乘方運(yùn)算法則計算得出答案．【詳解】A.，故此選項錯誤；B.，故此選項錯誤；C.，故此選項正確；D.，故此選項錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算以及冪的乘方、積的乘方運(yùn)算，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3、D【分析】先根據(jù)勾股定理求出BD的長度，然后利用外圍周長=即可求解．【詳解】由題意可知∵∴∴風(fēng)車的外圍周長是故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．4、B【分析】根據(jù)分式乘除運(yùn)算法則對原式變形后，約分即可得到結(jié)果．【詳解】解：==.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5、B【分析】直接利用長方形面積求法以及長方形周長求法得出ab，a+b的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵長和寬為a、b的長方形的周長為14，面積為10，∴2（a+b）=14，ab=10，則a+b=7，故ab（a+b）=7×10=1．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了單項式乘以多項式，正確得出a+b的值是解題關(guān)鍵．6、A【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動，當(dāng)P運(yùn)動到B，△APC的面積即為△ABC的面積，求出即可判定圖象.【詳解】作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，如圖所示：由題意，得當(dāng)點(diǎn)P從A運(yùn)動到B時，運(yùn)動了4秒，△APC面積逐漸增大，此時，即當(dāng)時，，即可判定A選項正確，B、C、D選項均不符合題意；當(dāng)點(diǎn)P從B運(yùn)動到C，△APC面積逐漸縮小，與從A運(yùn)動到B時相對稱，故選：A.【點(diǎn)睛】此題主要考查根據(jù)動點(diǎn)問題確定函數(shù)圖象，解題關(guān)鍵是找出等量關(guān)系.7、B【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解．【詳解】把各地的空氣質(zhì)量指數(shù)從小到大排列為:19,23,27,28,39,45,48,61,故中位數(shù)為=33.5,故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查中位數(shù)的求解,解題的關(guān)鍵是熟知中位數(shù)的定義．8、D【分析】直接利用合并同類項法則、同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則、冪的乘方運(yùn)算法則和完全平方公式分別進(jìn)行計算，再進(jìn)行判斷．【詳解】A、a+a=2a，故此選項錯誤；B、a6÷a3=a6－3＝a3，故此選項錯誤；C、(a+b)2=a2+b2+2ab,故此選項錯誤；D、(ab3)2=a2b6，故此選項計算正確.故選D.【點(diǎn)睛】考查了冪的乘方運(yùn)算以及同底數(shù)冪的除法運(yùn)算、合并同類項等知識，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．9、D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關(guān)系依次分析選項，找k、b取值范圍相同的即得答案．【詳解】根據(jù)一次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關(guān)系依次分析選項可得：

A、由圖可得，中，，，中，，，不符合；

B、由圖可得，中，，，中，，，不符合；

C、由圖可得，中，，，中，，，不符合；

D、由圖可得，中，，，中，，，符合；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象問題，解答本題注意理解：直線所在的位置與的符號有直接的關(guān)系．10、C【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP=AB．【詳解】解：∵AO⊥BO，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，

∴OP=AB，

∴在滑動的過程中OP的長度不變．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11、A【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DA=DB，根據(jù)勾股定理求出BD，得到CD的長，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上，∴DA＝DB，在Rt△BCD中，BC2+CD2＝BD2，即42+（8﹣BD）2＝BD2，解得，BD＝5，∴CD＝8﹣5＝3，∴△BCD的面積＝×CD×BC＝×3×4＝6，∵P是BD的中點(diǎn)，∴S△PBC＝S△BCD＝3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．12、B【分析】結(jié)合題意，得，；結(jié)合＜，根據(jù)不等式的性質(zhì)，得；再結(jié)合與y軸的交點(diǎn)，即可得到答案．【詳解】∵一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（，1）和點(diǎn)B（，-3）∴，∴，∵＜∴∴∴選項A和C錯誤當(dāng)時，∴選項D錯誤故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、不等式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)圖像和不等式的性質(zhì)，從而完成求解．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】根據(jù)方差的公式計算．方差．【詳解】解：數(shù)據(jù)1，1，3，4，5的平均數(shù)為，故其方差．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查方差的計算．一般地設(shè)個數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，則方差，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．14、(1,0)【分析】本題是典型的“將軍飲馬”問題，只需作D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，連接D′B交x軸于點(diǎn)E，如圖，則此時△BDE的周長最小，易得點(diǎn)B和D′坐標(biāo)，故可利用待定系數(shù)法求出直線BD'的解析式，然后求直線BD'與x軸的交點(diǎn)即得答案．【詳解】解：如圖，作D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′，連接D′B交x軸于點(diǎn)E，連接DE，則DE=D′E，此時△BDE的周長最小，∵D為CO的中點(diǎn)，∴CD＝OD＝2，∵D和D′關(guān)于x軸對稱，∴D′（0，﹣2），由題意知：點(diǎn)B（3，4），∴設(shè)直線BD'的解析式為y＝kx+b，把B（3，4），D′（0，﹣2）代入解析式，得：，解得，，∴直線BD'的解析式為y＝2x﹣2，當(dāng)y＝0時，x＝1，故E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．故答案為：（1，0）．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求直線的解析式和兩線段之和最小問題，屬于?？碱}型，熟練掌握求解的方法是解題關(guān)鍵．15、-1【分析】根據(jù)分式的解為0的條件，即可得到答案.【詳解】解：∵分式的值為零，∴，解得：，∴；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的值為0的條件，由于該類型的題易忽略分母不為0這個條件，所以常以這個知識點(diǎn)來命題．16、【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于0即可確定a的取值范圍．【詳解】∵二次根式有意義，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．17、1【分析】根據(jù)E為AC的中點(diǎn)可知，S△ABE=S△ABC，再由BD：CD=2：3可知，S△ABD=S△ABC，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，

∴S△ABE=S△ABC．

∵BD：CD=2：3，

∴S△ABD=S△ABC，

∵S△AOE-S△BOD=1，

∴S△ABE-S△ABD=S△ABC-S△ABC=1，解得S△ABC=1．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的面積，熟知三角形的中線將三角形分為面積相等的兩部分是解答此題的關(guān)鍵．18、1【分析】先化簡，然后將，代入計算即可．【詳解】解：=ab（a+b）將，代入得6×9=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)求值，將化成ab（a+b）是解題關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）見解析（2）BD=2【解析】解：（1）證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED，CD=1，∴DC=DE=1．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE，根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可．（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可．20、（1），；（2）結(jié)論仍成立，證明見解析；（3）的面積的最大值【分析】（1）延長AE交BD于點(diǎn)H，易證，得，，進(jìn)而得，結(jié)合中位線的性質(zhì)，得，，，，進(jìn)而得，；（2）設(shè)交于，易證，得，，進(jìn)而得，結(jié)合中位線的性質(zhì)，得，，，，進(jìn)而得，；（3）易證是等腰直角三角形，，當(dāng)、、共線時，的值最大，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）如圖1，延長AE交BD于點(diǎn)H，∵和是等腰直角三角形，∴，，，∴，∴，∴（SAS），∴，，又∵，∴，∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，∴，，，，∴，∴PM⊥AH，∴．故答案是：，；（2）（1）中的結(jié)論仍成立，理由如下：如圖②中，設(shè)交于，∵和是等腰直角三角形，∴，，，∴，∴，∴（SAS），∴，又∵，∴，∵點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，∴，，，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）由（2）可知是等腰直角三角形，，∴當(dāng)?shù)闹底畲髸r，的值最大，的面積最大，∴當(dāng)、、共線時，的最大值，∴，∴的面積的最大值．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定定理，掌握旋轉(zhuǎn)全等三角形模型，是解題的關(guān)鍵．21、y=-4x-1．【分析】先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，繼而根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后將（-2，5），點(diǎn)P坐標(biāo)代入解析式利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可．【詳解】∵直線與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)x=0時，y=-x+1=1，∴Q（0，1），∵點(diǎn)恰與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，∴P（0，-1），將（-2，5）、（0，-1）分別代入y=kx+b，得，解得：，所以一次函數(shù)解析式為：y=-4x-1．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．22、（1）30°；（2）90°－【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠B＋∠C，然后根據(jù)等邊對等角可得∠BAE=∠BEA、∠CAD=∠CDA，從而求出∠BEA＋∠CDA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠DAE；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠B＋∠C，然后根據(jù)等邊對等角可得∠BAE=∠BEA、∠CAD=∠CDA，從而求出∠BEA＋∠CDA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠DAE；【詳解】解：（1）∵∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=60°∵，∴∠BAE=∠BEA=（180°－∠B）∠CAD=∠CDA=（180°－∠C）∴∠BEA＋∠CDA=（180°－∠B）＋（180°－∠C）=[360°－（∠B＋∠C）]=150°∴=180°－（∠BEA＋∠CDA）=30°（2）∵∴∠B＋∠C=180°－∠BAC=180°－∵，∴∠BAE=∠BEA=（180°－∠B）∠CAD=∠CDA=（180°－∠C）∴∠BEA＋∠CDA=（180°－∠B）＋（180°－∠C）=[360°－（∠B＋∠C）]=90°＋∴=180°－（∠BEA＋∠CDA）=90°－故答案為：90°－．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)角和定理和等邊對等角是解決此題的關(guān)鍵．23、（1）見解析；（2）30°【分析】（1）首先以A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，交AC、AB于H、F，再分別以H、F為圓心，大于HF長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，再畫射線AM交CB于D；

（2）先根據(jù)角平分線定義和等腰三角形的性質(zhì)得：∠B=∠BAD=∠CAD，則∠B=30°．【詳解】解：（1）如圖所示：AD即為所求；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD，∵∠C＝90°，∴∠B＝30°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的基本作圖，以及等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，熟練掌握角平分線的基本作圖是關(guān)鍵．24、（1）甲車單獨(dú)運(yùn)完需18趟，乙車單獨(dú)運(yùn)完需1趟；（2）單獨(dú)租用一臺車，租用乙車合算．【分析】（1）設(shè)甲車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)x趟，則乙車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)2x趟，根據(jù)總工作效率得出等式方程求出即可．（2）分別表示出甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)每一趟所需費(fèi)用，再根據(jù)關(guān)鍵語句“兩車各運(yùn)12趟可完成，需支付運(yùn)費(fèi)4800元”可得方程，再解出方程，再分別計算出利用甲或乙所需費(fèi)用進(jìn)行比較即可．【詳解】解：（1）∴甲車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)x趟，則乙車單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾需運(yùn)2x趟，根據(jù)題意得出：，解得：x=18，則2x=1．經(jīng)檢驗得出：x=18是原方程的解．答：甲車單獨(dú)運(yùn)完需18趟，乙車單獨(dú)運(yùn)完需1趟；（2）設(shè)甲車每一趟的運(yùn)費(fèi)是a元，由題意得：12a+12（a﹣200）=4800，解得：a=2．則乙車每一趟的費(fèi)用是：2﹣200=100（元），單獨(dú)租用甲車總費(fèi)用是：18×2=5400（元），單獨(dú)租用乙車總費(fèi)用是：1×100=100（元）．∵100＜5400，故單獨(dú)租用一臺車，租用乙車合算．25、（1）3；（2）1．【分析】（1）先根據(jù)勾股定理求出BC的長度；

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△A