北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列7.6期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)之生活中的軸對(duì)稱(chēng)十六大必考點(diǎn)同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題7.6生活中的軸對(duì)稱(chēng)十六大必考點(diǎn)【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形】 1【考點(diǎn)2畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸】 2【考點(diǎn)3求對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)】 4【考點(diǎn)4作軸對(duì)稱(chēng)圖形】 4【考點(diǎn)5根據(jù)成軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征進(jìn)行判斷】 6【考點(diǎn)6根據(jù)成軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征進(jìn)行求解】 7【考點(diǎn)7臺(tái)球桌上的軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題】 8【考點(diǎn)8軸對(duì)稱(chēng)中的光線反射問(wèn)題】 10【考點(diǎn)9折疊問(wèn)題】 11【考點(diǎn)10尺規(guī)作角平分線與垂直平分線】 12【考點(diǎn)11根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解】 13【考點(diǎn)12根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解】 14【考點(diǎn)13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解】 15【考點(diǎn)14判尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 15【考點(diǎn)15尺規(guī)作等腰三角形】 16【考點(diǎn)16設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】 17【考點(diǎn)1判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形】【例1】（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在以下表示“節(jié)水”“節(jié)能”“回收”“綠色食品”含義的四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B．C． D．【變式1-1】（2022秋·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）以下是清華大學(xué)、北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)的?；?，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C． D．【變式1-2】（2022春·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）七巧板是我國(guó)的一種傳統(tǒng)智力玩具．下列用七巧板拼成的圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）B．C．D．【變式1-3】（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列四個(gè)圖案的設(shè)計(jì)中，沒(méi)有運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)2畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸】【例2】（2022秋·上?！て吣昙?jí)期末）如圖，已知三角形紙片ABC，將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕分別與邊AC、BC交于點(diǎn)D、E．(1)畫(huà)出直線DE；(2)若點(diǎn)B關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)F，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)F；(3)在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)EF、DF，如果△DEF的面積為2，△DEC的面積為4，那么△ABC的面積等于．【變式2-1】（2022秋·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC與△DEF關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)．（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出該對(duì)稱(chēng)軸l；（2）在對(duì)稱(chēng)軸l上找一點(diǎn)P，使PB+PC的和最?。ㄕ?qǐng)保留作圖痕跡）【變式2-2】（2022春·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，△ABC是等邊三角形，請(qǐng)僅使用無(wú)刻度的直尺分別畫(huà)出圖1和圖2的對(duì)稱(chēng)軸．(1)若△DEF是等腰三角形，A點(diǎn)是DE的中點(diǎn)，且DE∥BC(2)若△ADE是等腰三角形，四邊形BCGF為等腰梯形．【變式2-3】（2022春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖①和圖②均為正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上．（1）請(qǐng)你分別在圖①，圖②中確定格點(diǎn)D，畫(huà)出一個(gè)以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形，使其成為軸對(duì)稱(chēng)圖形，并畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸用直線m表示；（2）每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)分別求出圖①，圖②中以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的面積．【考點(diǎn)3求對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)】【例3】（2022春·四川眉山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）正方形的對(duì)稱(chēng)軸有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式3-1】（2022秋·山東聊城·八年級(jí)聊城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）下列圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形并且對(duì)稱(chēng)軸最多的是（

）A． B．C． D．【變式3-2】（2022春·廣東深圳·七年級(jí)校考期末）如圖所示的五角星是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸共有（）A．1條 B．3條 C．5條 D．無(wú)數(shù)條【變式3-3】（2022秋·浙江臺(tái)州·七年級(jí)?？计谥校┮粡堥L(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線），繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折2次后，可以得3條折痕，那么對(duì)折4次可以得到______條折痕．【考點(diǎn)4作軸對(duì)稱(chēng)圖形】【例4】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，M，N都在格點(diǎn)上．(1)作△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)的圖形△A(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長(zhǎng)為1，求△ABC的面積；(3)在直線MN上找一點(diǎn)P，使得PC?PA1的值最大，并畫(huà)出點(diǎn)【變式4-1】（2022秋·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，網(wǎng)格中的每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC為格點(diǎn)三角形（點(diǎn)A、B、C在小正方形的格點(diǎn)上），直線m為格點(diǎn)直線（直線m經(jīng)過(guò)小正方形的格點(diǎn)）．(1)如圖1，作出△ABC關(guān)于直線m的軸對(duì)稱(chēng)圖形△A(2)如圖2，在直線m上找到一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小；(3)如圖3，僅用直尺將網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形ABC的面積三等分，并將其中的一份用鉛筆涂成陰影．【變式4-2】（2022春·山東濟(jì)南·七年級(jí)校考期末）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色.現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格中選出一個(gè)涂成黑色，使涂成黑色的圖形成為軸對(duì)稱(chēng)圖形.在下面每個(gè)網(wǎng)格中分別畫(huà)出一種符合要求的圖形（畫(huà)出三種即可）．【變式4-3】（2022春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形ABCD的頂點(diǎn)與點(diǎn)E都是格點(diǎn)．(1)作四邊形ABCD關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)的四邊形A'B'C'D．(2)求四邊形ABCD的面積：______．(3)若在直線MN上有一點(diǎn)P使得PA+PE最小(點(diǎn)E位置如圖所示)，連接PD，請(qǐng)求出此時(shí)的PD=______．【考點(diǎn)5根據(jù)成軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征進(jìn)行判斷】【例5】（2022春·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有下列說(shuō)法：①軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)三角形形狀相同；②面積相等的兩個(gè)三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；③軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；④經(jīng)過(guò)平移、翻折或旋轉(zhuǎn)得到的三角形與原三角形是形狀相同的．其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式5-1】（2022·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是()A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2【變式5-2】（2022春·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF關(guān)于直線l的軸對(duì)稱(chēng)圖形是六邊形A′B′C′D′E′F′，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．AB=A′B′ B．BC∥B′C′ C．直線l⊥BB′ D．∠A′=120°【變式5-3】（2022春·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是以直線AF為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，下列結(jié)論中不一定成立的是()A．△ABD與△ACD完全一樣 B．AFC．直線BG，CE的交點(diǎn)在AF上 D．△DEG是等邊三角形【考點(diǎn)6根據(jù)成軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征進(jìn)行求解】【例6】（2022秋·廣西柳州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形，直線AC是它的對(duì)稱(chēng)軸，若∠BAC＝85°，∠B＝25°，則∠BCD的大小為（）A．150° B．140° C．130° D．120°【變式6-1】（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，則△PMN的周長(zhǎng)為（）A．16 B．15 C．14 D．13【變式6-2】（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)福建省廈門(mén)第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形，BD所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸，AB=3cm，CD=2cm．則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)______【變式6-3】（2022秋·甘肅·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是軸對(duì)稱(chēng)圖形，∠B=25°，（1）求∠E的度數(shù)；（2）求AB的長(zhǎng)度；（3）若ΔOCD是等邊三角形，CF=22cm，求ΔOCD的周長(zhǎng).【考點(diǎn)7臺(tái)球桌上的軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題】【例7】（2022秋·黑龍江雙鴨山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（

）A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【變式7-1】（2022秋·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，桌面上有A、B兩球，若要將B球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個(gè)點(diǎn)中，可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有____個(gè)．【變式7-2】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在一個(gè)規(guī)格為4×8的球臺(tái)上，有兩個(gè)小球P和Q．若擊打小球P經(jīng)過(guò)球臺(tái)的邊AB反彈后，恰好擊中小球Q，則小球P擊出時(shí)，應(yīng)瞄準(zhǔn)AB邊上的（

）A．點(diǎn)O1 B．點(diǎn)O2 C．點(diǎn)O3【變式7-3】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為M，…．第2022次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【考點(diǎn)8軸對(duì)稱(chēng)中的光線反射問(wèn)題】【例8】（2022·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（

）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【變式8-1】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，在水平地面AB上放一個(gè)平面鏡BC，一束垂直于地面的光線經(jīng)平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡BC與地面AB所成的銳角α為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【變式8-2】（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在8×4的長(zhǎng)方形ABCD網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．一發(fā)光電子位于AB邊上格點(diǎn)P處，將發(fā)光電子沿PR方向發(fā)射（其中∠PRB=45°），碰撞到長(zhǎng)方形的BC邊時(shí)發(fā)生反彈，設(shè)定此時(shí)為發(fā)光電子第1次與長(zhǎng)方形的邊碰撞（點(diǎn)R為第1次碰撞點(diǎn)）．發(fā)光電子碰撞到長(zhǎng)方形的邊時(shí)均發(fā)生反彈，若發(fā)光電子與長(zhǎng)方形的邊共碰撞了2021次，則它與AB邊碰撞次數(shù)是____【變式8-3】（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）如圖，一束水平光線照在有一定傾斜角度的平面鏡上，若入射光線與反射光線的夾角為50°，則平面鏡與水平地面的夾角α的度數(shù)是______．【考點(diǎn)9折疊問(wèn)題】【例9】（2022春·湖北黃石·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，若CD∥BE，∠1=35°，則A．90° B．100° C．105° D．110°【變式9-1】（2022·河南鄭州·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示，將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條折成如圖的形狀，若已知∠1=108°，則∠2為（）A．24° B．32° C．36° D．42°【變式9-2】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將圖1中的△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為ED，點(diǎn)E，D分別在AB，AC上，得到圖形2．若BC=4，AB=5，則△EBC的周長(zhǎng)是________．【變式9-3】（2022秋·安徽蕪湖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）利用折紙可以作出角平分線，如圖1折疊，則OC為∠AOB的平分線，如圖2、圖3，折疊長(zhǎng)方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'，連接(1)如圖2，若點(diǎn)B'恰好落在OA'上，且∠AOC=32°(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)B'在∠COA'的內(nèi)部時(shí)，連接OB'，若∠AOC=44°【考點(diǎn)10尺規(guī)作角平分線與垂直平分線】【例10】（2022秋·福建泉州·八年級(jí)期末）如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（）A．FH>HG B．FH=HG C．FH<HG D．PF<PG【變式10-1】（2022春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中：(1)作∠ABC的角平分線交AC于D，作線段BD的垂直平分線EF分別交AB于E，交BC于F，垂足為O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，連接DF，則DF與邊AB的位置關(guān)系是______，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．【變式10-2】（2022秋·陜西延安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC，圖中虛線為∠BAC的角平分線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作⊙O，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，并且圓心O在∠BAC的角平分線上．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【變式10-3】（2022秋·甘肅天水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在勞動(dòng)植樹(shù)節(jié)活動(dòng)中，兩個(gè)班的學(xué)生分別在M，N兩處參加植樹(shù)勞動(dòng)，現(xiàn)要在道路的AB，AC交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)P，使P到兩條道路的距離相等，且使PM＝PN，請(qǐng)同學(xué)們用圓規(guī)、直尺在圖中畫(huà)出供應(yīng)點(diǎn)P的位置，保留畫(huà)圖痕跡，不要證明．【考點(diǎn)11根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解】【例11】（2022秋·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB=10，AC=8，則S△ABDA．25：16 B．5：4C．16：25 D．4：5【變式11-1】（2022春·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，則△ABD的面積為_(kāi)____．【變式11-2】（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）Rt△ABC中，∠C是直角，O是兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，AC=6，BC=8，BA=10，O到三邊的距離是______.【變式11-3】（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，若BC＝8cm，BD＝5cm，AB=10cm,則S△ABD=______．【考點(diǎn)12根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解】【例12】（2022秋·江蘇宿遷·八年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，在△ABC中，∠BAC=105°，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點(diǎn)E、N在BC上，則∠EAN=______【變式12-1】（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)廈門(mén)市第十一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，AB邊的垂直平分線交AC與點(diǎn)D，連接DB，如果AC=8，BC=5，那么△BCD的周長(zhǎng)等于__________．【變式12-2】（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分線DE分別交AC、AB于點(diǎn)D、【變式12-3】（2022秋·湖北荊門(mén)·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點(diǎn)．（1）若△CDE的周長(zhǎng)為4，求AB的長(zhǎng)；（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度數(shù)；（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），則∠DCE=___________.【考點(diǎn)13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解】【例13】（2022秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知∠AOB=45°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，它關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為M，N，則△MON是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【變式13-1】（2022秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）等腰三角形有一個(gè)角是90°，則另兩個(gè)角分別是(

)A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°【變式13-2】（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)南京第五初中?？茧A段練習(xí)）在等腰三角形ABC中，AB=AC，一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為18和15兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)．【變式13-3】（2022秋·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等腰三角形ABC中，其中一內(nèi)角為50°，腰AB的垂直平分線MN交AC所在的直線于點(diǎn)D，則∠DBC的度數(shù)為_(kāi)_____．【考點(diǎn)14判尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例14】（2022·廣東·豐順縣潘田中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)頂點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點(diǎn)C有（

）A．8個(gè) B．7個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)【變式14-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點(diǎn)P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有___個(gè)．【變式14-2】（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，△ABC的點(diǎn)A、C在直線l上，∠B=120°,?∠ACB=40°，若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ABP成為等腰三角形時(shí)，則【變式14-3】（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD的邊上找到一點(diǎn)P，使得△AEP為等腰三角形，請(qǐng)畫(huà)出所有的點(diǎn)P．【考點(diǎn)15尺規(guī)作等腰三角形】【例15】（2022·山東青島·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知：點(diǎn)P和直線BC．求作：等腰直角三角形MPQ，是∠PMQ=45°，點(diǎn)M落在BC上．【變式15-1】（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期中）我們知道，含有36°角的等腰三角形是特殊的三角形，通常把一個(gè)頂角等于36°的等腰三角形稱(chēng)為“黃金三角形”．在△ABC中，已知：AB=AC，且∠B=36°，請(qǐng)用兩種不同的尺規(guī)作圖在BC上找點(diǎn)D，使得△ABD是黃金三角形，并說(shuō)明其中一種做法的理由．【變式15-2】（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，射線CM∥AB．(1)在線段AB上取一點(diǎn)E，使得CE=CB，在射線CM上確定一點(diǎn)D，使△CDE是以CE為底邊的等腰三角形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，連接AD，求證：AD=BC．【變式15-3】（2022·山東省青島第六十三中學(xué)八年級(jí)期中）已知∠α，線段a，求作：等腰△ABC，使得頂角∠A=∠α，BC上的高為a．【考點(diǎn)16設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】【例16】（2022·江蘇·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示的“鉆石”型網(wǎng)格（由邊長(zhǎng)都為1個(gè)單位長(zhǎng)度的等邊三角形組成），其中已經(jīng)涂黑了3個(gè)小三角形（陰影部分表示），請(qǐng)你再只涂黑一個(gè)小三角形，使它與陰影部分合起來(lái)所構(gòu)成的圖形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，一共有（

）種涂法．A．1 B．2 C．3 D．4【變式16-1】（2022·河北·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖為5×5的方格，其中有A、B、C三點(diǎn)，現(xiàn)有一點(diǎn)P在其它格點(diǎn)上，且A、B、C、P為軸對(duì)稱(chēng)圖形，問(wèn)共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)P（）專(zhuān)題7.6生活中的軸對(duì)稱(chēng)十六大必考點(diǎn)【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形】 1【考點(diǎn)2畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸】 4【考點(diǎn)3求對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)】 8【考點(diǎn)4作軸對(duì)稱(chēng)圖形】 10【考點(diǎn)5根據(jù)成軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征進(jìn)行判斷】 16【考點(diǎn)6根據(jù)成軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征進(jìn)行求解】 18【考點(diǎn)7臺(tái)球桌上的軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題】 21【考點(diǎn)8軸對(duì)稱(chēng)中的光線反射問(wèn)題】 24【考點(diǎn)9折疊問(wèn)題】 27【考點(diǎn)10尺規(guī)作角平分線與垂直平分線】 30【考點(diǎn)11根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解】 34【考點(diǎn)12根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解】 37【考點(diǎn)13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解】 40【考點(diǎn)14判尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】 42【考點(diǎn)15尺規(guī)作等腰三角形】 45【考點(diǎn)16設(shè)計(jì)軸對(duì)軸圖案】 49【考點(diǎn)1判斷軸對(duì)稱(chēng)圖形】【例1】（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在以下表示“節(jié)水”“節(jié)能”“回收”“綠色食品”含義的四個(gè)標(biāo)志中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸．【詳解】解：選項(xiàng)A、B、C中的標(biāo)志都不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，都不符合題意；選項(xiàng)D中的標(biāo)志是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，確定軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式1-1】（2022秋·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）以下是清華大學(xué)、北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)的?；?，其中是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)圖形定義進(jìn)行依次分析即可．【詳解】A.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；B.是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D.不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形．【變式1-2】（2022春·河南平頂山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）七巧板是我國(guó)的一種傳統(tǒng)智力玩具．下列用七巧板拼成的圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（

）B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義去逐一判斷即可．【詳解】解：A是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意，B不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意，C不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意，D不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，準(zhǔn)確理解定義，是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2022秋·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列四個(gè)圖案的設(shè)計(jì)中，沒(méi)有運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義得出符合題意的答案．【詳解】解：A、，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)正確；D、，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，正確把握軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2畫(huà)對(duì)稱(chēng)軸】【例2】（2022秋·上海·七年級(jí)期末）如圖，已知三角形紙片ABC，將紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕分別與邊AC、BC交于點(diǎn)D、E．(1)畫(huà)出直線DE；(2)若點(diǎn)B關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)F，請(qǐng)畫(huà)出點(diǎn)F；(3)在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)EF、DF，如果△DEF的面積為2，△DEC的面積為4，那么△ABC的面積等于．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)12【分析】（1）畫(huà)出線段AC的垂直平分線即為直線DE；（2）作出點(diǎn)B關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F即可；（3）先求得S△AEC=8，S△BDE＝2，再求得S△BDES△CDE＝BEEC＝12和S△AECS△ABC＝EC【詳解】（1）解：如圖，直線DE即為所作：（2）如圖，點(diǎn)F即為所作：（3）連接AE，如圖所示：由對(duì)折可得：S△AED=S△DEC，S△BDE=S△DEF，∴S△AEC=8，S△BDE=2，設(shè)△BED中BE邊上的高為h，S△AECS△ABC＝=即BEEC則2BE=EC，設(shè)△AEC中EC邊上的高為h'，則：S△AECS△ABC∴S△ABC故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查作圖——軸對(duì)稱(chēng)變換，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式2-1】（2022秋·安徽阜陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC與△DEF關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)．（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺畫(huà)出該對(duì)稱(chēng)軸l；（2）在對(duì)稱(chēng)軸l上找一點(diǎn)P，使PB+PC的和最?。ㄕ?qǐng)保留作圖痕跡）【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）找到每個(gè)圖中的對(duì)應(yīng)線段，延長(zhǎng)找到交點(diǎn)，過(guò)交點(diǎn)作直線l即可．（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短，連接EC，交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：（1）如圖，直線l即為所求；（2）如圖，點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖--軸對(duì)稱(chēng)變換以及利用軸對(duì)稱(chēng)求最短路徑，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)找出P點(diǎn)．【變式2-2】（2022春·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，△ABC是等邊三角形，請(qǐng)僅使用無(wú)刻度的直尺分別畫(huà)出圖1和圖2的對(duì)稱(chēng)軸．(1)若△DEF是等腰三角形，A點(diǎn)是DE的中點(diǎn)，且DE∥BC(2)若△ADE是等腰三角形，四邊形BCGF為等腰梯形．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）因?yàn)閳D1中的對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)等腰三角形的頂點(diǎn)F和底邊中點(diǎn)A,所以連接AF，則AF即為所求.（2）因?yàn)閳D2中的對(duì)稱(chēng)軸一定經(jīng)過(guò)等腰梯形對(duì)角線的交點(diǎn)和等腰三角形的頂點(diǎn)A，所以先連接等腰梯形的對(duì)角線得到交點(diǎn)，再與頂點(diǎn)A連接即可.【詳解】解：如圖：．【點(diǎn)睛】本題考查了畫(huà)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸，熟練掌握基本軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸位置是解題關(guān)鍵.【變式2-3】（2022春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖①和圖②均為正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上．（1）請(qǐng)你分別在圖①，圖②中確定格點(diǎn)D，畫(huà)出一個(gè)以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形，使其成為軸對(duì)稱(chēng)圖形，并畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸用直線m表示；（2）每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，請(qǐng)分別求出圖①，圖②中以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形的面積．【答案】見(jiàn)解析.【分析】(1)圖①中以AC為對(duì)稱(chēng)軸作圖即可，圖②中以線段AC的中垂線為對(duì)稱(chēng)軸作圖即可；(2)圖①中四邊形面積為兩倍的△ABC的面積，圖②中四邊形為梯形.【詳解】解：（1）如圖①、圖②所示，四邊形ABCD和四邊形ABDC即為所求；（2）如圖①，四邊形ABCD的面積為：2×4=8；如圖②，四邊形ABDC的面積為：×2×（2+4）=6．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)中理解和作圖的能力.【考點(diǎn)3求對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)】【例3】（2022春·四川眉山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）正方形的對(duì)稱(chēng)軸有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】根據(jù)正方形的對(duì)稱(chēng)性解答．【詳解】如圖，正方形對(duì)稱(chēng)軸為經(jīng)過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線，兩條對(duì)角線所在的直線，共4條．故選D．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟記正方形的對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022秋·山東聊城·八年級(jí)聊城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）下列圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形并且對(duì)稱(chēng)軸最多的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)確定出各選項(xiàng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)，然后選擇即可．【詳解】A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形但有3條對(duì)稱(chēng)軸；B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形但有1條對(duì)稱(chēng)軸；C、圖形不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形但有4條對(duì)稱(chēng)軸；所以，是軸對(duì)稱(chēng)圖形且對(duì)稱(chēng)軸條數(shù)最多的是D選項(xiàng)圖形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念，軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式3-2】（2022春·廣東深圳·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示的五角星是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸共有（）A．1條 B．3條 C．5條 D．無(wú)數(shù)條【答案】A【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分析即可．【詳解】五角星的對(duì)稱(chēng)軸共有5條，故選C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義．【變式3-3】（2022秋·浙江臺(tái)州·七年級(jí)?？计谥校┮粡堥L(zhǎng)方形的紙對(duì)折，如圖所示可得到一條折痕（圖中虛線），繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對(duì)折2次后，可以得3條折痕，那么對(duì)折4次可以得到______條折痕．【答案】15【分析】根據(jù)對(duì)折次數(shù)得到分成的份數(shù)，再減去1即可得到折痕條數(shù)．【詳解】解：根據(jù)觀察可以得到：對(duì)折1次，一張紙分成兩份，折痕為1條；對(duì)折2次，一張紙分成22對(duì)折3次，一張紙分成23∴對(duì)折4次，一張紙分成24故答案為15．【點(diǎn)睛】本題考查折疊問(wèn)題，掌握分成份數(shù)與折疊次數(shù)、折痕條數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)4作軸對(duì)稱(chēng)圖形】【例4】（2022·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，M，N都在格點(diǎn)上．(1)作△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)的圖形△A(2)若網(wǎng)格中最小正方形邊長(zhǎng)為1，求△ABC的面積；(3)在直線MN上找一點(diǎn)P，使得PC?PA1的值最大，并畫(huà)出點(diǎn)【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)7(3)詳見(jiàn)解析【分析】（1）利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)分別作出A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．（3）連接A1C1交直線MN于點(diǎn)P（1）如圖，△A（2）△ABC的面積為3×3?（3）點(diǎn)P即為所求【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-軸對(duì)稱(chēng)變換，軸對(duì)稱(chēng)一最短路徑問(wèn)題，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)準(zhǔn)確作出點(diǎn)P．【變式4-1】（2022秋·河北滄州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，網(wǎng)格中的每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC為格點(diǎn)三角形（點(diǎn)A、B、C在小正方形的格點(diǎn)上），直線m為格點(diǎn)直線（直線m經(jīng)過(guò)小正方形的格點(diǎn)）．(1)如圖1，作出△ABC關(guān)于直線m的軸對(duì)稱(chēng)圖形△A(2)如圖2，在直線m上找到一點(diǎn)P，使PA+PB的值最??；(3)如圖3，僅用直尺將網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形ABC的面積三等分，并將其中的一份用鉛筆涂成陰影．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′、B′、C′，然后順次連接即可即可．（2）作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'，交直線m于點(diǎn)P（3）如圖，取格點(diǎn)O，使得S△AOC【詳解】（1）解：如圖1所示，△A（2）解：如圖2，點(diǎn)P即為所求作．（3）解：如圖3所示即為所作．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)變換、格點(diǎn)三角形的面積，線段和最小值問(wèn)題，掌握數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2022春·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？计谀┤鐖D是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色.現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格中選出一個(gè)涂成黑色，使涂成黑色的圖形成為軸對(duì)稱(chēng)圖形.在下面每個(gè)網(wǎng)格中分別畫(huà)出一種符合要求的圖形（畫(huà)出三種即可）．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)設(shè)計(jì)出圖案即可．【詳解】解：如圖所示．．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案，熟知軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，四邊形ABCD的頂點(diǎn)與點(diǎn)E都是格點(diǎn)．(1)作四邊形ABCD關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)的四邊形A'B'C'D．(2)求四邊形ABCD的面積：______．(3)若在直線MN上有一點(diǎn)P使得PA+PE最小(點(diǎn)E位置如圖所示)，連接PD，請(qǐng)求出此時(shí)的PD=______．【答案】(1)圖見(jiàn)解析．(2)6．(3)3．【分析】1根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)作圖即可．2將所求四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)小三角形的面積之和，求解即可．3過(guò)MN作點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接AE'，與MN交于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PE最小，進(jìn)而可得出答案．【詳解】（1）如圖，四邊形A'B'C'D即為所求．（2）S四邊形故答案為：6．（3）過(guò)MN作點(diǎn)E的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E'，連接AE'，與MN交于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PE最小，∴PD=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?軸對(duì)稱(chēng)變換、三角形的面積公式、軸對(duì)稱(chēng)?最短路線問(wèn)題，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5根據(jù)成軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征進(jìn)行判斷】【例5】（2022春·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有下列說(shuō)法：①軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)三角形形狀相同；②面積相等的兩個(gè)三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；③軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；④經(jīng)過(guò)平移、翻折或旋轉(zhuǎn)得到的三角形與原三角形是形狀相同的．其中正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平移、翻折或旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可求解．【詳解】解：①軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)三角形形狀相同，故正確；②面積相等的兩個(gè)三角形形狀不一定相同，故不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故錯(cuò)誤；③軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，故正確；④經(jīng)過(guò)平移、翻折或旋轉(zhuǎn)得到的三角形與原三角形是形狀相同的，故正確．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變換，掌握平移、翻折或旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2022·四川德陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是()A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2【答案】B【詳解】試題分析：如圖，∵點(diǎn)P關(guān)于直線OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1、P2，∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2．∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB．∵∠AOB度數(shù)任意，∴OP1⊥OP2不一定成立．故選B．【變式5-2】（2022春·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形ABCDEF關(guān)于直線l的軸對(duì)稱(chēng)圖形是六邊形A′B′C′D′E′F′，下列判斷錯(cuò)誤的是（

）A．AB=A′B′ B．BC∥B′C′ C．直線l⊥BB′ D．∠A′=120°【答案】B【詳解】因?yàn)檎呅蜛BCDEF關(guān)于直線l的軸對(duì)稱(chēng)圖形是六邊形A’B‘C’D‘E’F‘，所以AB=A’B‘，直線l⊥BB’，所以A、C正確，不符合題意，又六邊形A‘B’C‘D’E‘F’是正六邊形，所以∠A‘=120°，所以D正確，不符合題意，故選B．【變式5-3】（2022春·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是以直線AF為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，下列結(jié)論中不一定成立的是()A．△ABD與△ACD完全一樣 B．AFC．直線BG，CE的交點(diǎn)在AF上 D．△DEG是等邊三角形【答案】D【分析】認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)得選項(xiàng)A、B、C都是正確的，沒(méi)有理由能夠證明△DEG是等邊三角形．【詳解】A．因?yàn)榇藞D形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，正確；B．對(duì)稱(chēng)軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線，正確；C．由三角形全等可知，BG＝CE，且直線BG，CE的交點(diǎn)在AF上，正確；D．題目中沒(méi)有60°條件，不能判斷是等邊三角形，錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；解答此題要注意，不要受圖形誤導(dǎo)，要找準(zhǔn)各選項(xiàng)正誤的具體原因是正確解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6根據(jù)成軸對(duì)稱(chēng)圖形的特征進(jìn)行求解】【例6】（2022秋·廣西柳州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形，直線AC是它的對(duì)稱(chēng)軸，若∠BAC＝85°，∠B＝25°，則∠BCD的大小為（）A．150° B．140° C．130° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可求得∠ACB，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得∠ACB=∠ACD，即可求解．【詳解】解：根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)可求得∠ACB=180°?∠BAC?∠B=70°由軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可得，∠ACB=∠ACD∴∠BCD=2∠ACB=140°故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握并利用相關(guān)基本性質(zhì)進(jìn)行求解．【變式6-1】（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，則△PMN的周長(zhǎng)為（）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得P1M=PM，P2N=PN，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)定義，求出△PMN的周長(zhǎng)為P1P2，從而得解．【詳解】解：∵P點(diǎn)關(guān)于OB、OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1，P2，∴P1M＝PM，P2N＝PN，∴△PMN的周長(zhǎng)＝MN+PM+PN＝MN+P1M+P2N＝P1P2，∵P1P2＝15，∴△PMN的周長(zhǎng)為15．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，解題時(shí)注意：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分，對(duì)稱(chēng)軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等．【變式6-2】（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)福建省廈門(mén)第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形，BD所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸，AB=3cm，CD=2cm．則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為_(kāi)______【答案】10【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到AB=BC=3cm，CD=AD=2cm，即可求得四邊形【詳解】解：∵四邊形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形，BD所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸，AB=3cm，CD=2∴AB=BC=3cm，CD=AD=2∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為AB+BC+CD+AD=10cm故答案為：10【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022秋·甘肅·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是軸對(duì)稱(chēng)圖形，∠B=25°，（1）求∠E的度數(shù)；（2）求AB的長(zhǎng)度；（3）若ΔOCD是等邊三角形，CF=22cm，求ΔOCD的周長(zhǎng).【答案】（1）∠E=30°；（2）AB=90cm；（3）ΔOCD的周長(zhǎng)是【分析】（1）由已知條件，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)解答．（2）由已知條件，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)解答．（3）由已知條件，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；【詳解】（1）∵圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，AF為對(duì)稱(chēng)軸，∠B與∠E是對(duì)應(yīng)角，∠B=30∴∠E=∠B=30（2）∵圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，AF為對(duì)稱(chēng)軸，AB與AE是對(duì)應(yīng)邊，AE=90cm，∴AB=AE=90cm；（3）∵圖案是軸對(duì)稱(chēng)圖形，AF為對(duì)稱(chēng)軸，CF與DF是對(duì)應(yīng)邊，CF=22cm，∴DF=CF=22cm，∵ΔOCD是等邊三角形，∴OC=OD=CD=22cm+22cm=44cm，∴ΔOCD的周長(zhǎng)是44×3=132cm【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)圖形是按一條直線折疊后兩邊重合的圖形，題中圖形對(duì)稱(chēng)軸為AF，B點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E點(diǎn)，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7臺(tái)球桌上的軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題】【例7】（2022秋·黑龍江雙鴨山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是臺(tái)球桌面示意圖，陰影部分表示四個(gè)入球孔，小明按圖中方向擊球（球可以多次反彈），則球最后落入的球袋是（

）A．1號(hào)袋 B．2號(hào)袋 C．3號(hào)袋 D．4號(hào)袋【答案】B【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)畫(huà)圖可得答案.【詳解】解：如圖所示，球最后落入的球袋是2號(hào)袋，故選：B.【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的軸對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形.【變式7-1】（2022秋·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，桌面上有A、B兩球，若要將B球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中A球，則如圖所示8個(gè)點(diǎn)中，可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有____個(gè)．【答案】2【分析】根據(jù)入射角等于反射角，結(jié)合網(wǎng)格特點(diǎn)即可求解．【詳解】解：如圖，將B球射向桌面的點(diǎn)1和點(diǎn)6，可使一次反彈后擊中A球，故可以瞄準(zhǔn)的點(diǎn)有2個(gè)，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)找到使入射角等于反射角相等的點(diǎn)．【變式7-2】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在一個(gè)規(guī)格為4×8的球臺(tái)上，有兩個(gè)小球P和Q．若擊打小球P經(jīng)過(guò)球臺(tái)的邊AB反彈后，恰好擊中小球Q，則小球P擊出時(shí)，應(yīng)瞄準(zhǔn)AB邊上的（

）A．點(diǎn)O1 B．點(diǎn)O2 C．點(diǎn)O3【答案】B【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)判定正確選項(xiàng)．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知小球P走過(guò)的路徑為：根據(jù)入射角等于反射角可知應(yīng)瞄準(zhǔn)AB邊上的點(diǎn)O2．【點(diǎn)睛】主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)．軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分；（2）對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等．注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．【變式7-3】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，彈性小球從點(diǎn)P出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為Q，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為M，…．第2022次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【答案】D【分析】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖，經(jīng)過(guò)6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)P，∵2022÷6=337，∴當(dāng)點(diǎn)P第2022次碰到矩形的邊時(shí)為第337個(gè)循環(huán)組的最后一次反彈，∴第2022次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的點(diǎn)P，【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)8軸對(duì)稱(chēng)中的光線反射問(wèn)題】【例8】（2022·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，光線自點(diǎn)P射入，經(jīng)鏡面EF反射后經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是（

）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【答案】B【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P，點(diǎn)B的射線交于一點(diǎn)O，【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式8-1】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期末）如圖，在水平地面AB上放一個(gè)平面鏡BC，一束垂直于地面的光線經(jīng)平面鏡反射，若反射光線與地面平行，則平面鏡BC與地面AB所成的銳角α為（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)和光的反射原理計(jì)算．【詳解】解：∵入射光線垂直于水平光線，∴它們的夾角為90°，虛線為法線，∠1為入射角，∴∠1∵∠1∴∠3∵兩水平線平行∴∠α【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、光的反射原理、入射角等于反射角等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式8-2】（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在8×4的長(zhǎng)方形ABCD網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．一發(fā)光電子位于AB邊上格點(diǎn)P處，將發(fā)光電子沿PR方向發(fā)射（其中∠PRB=45°），碰撞到長(zhǎng)方形的BC邊時(shí)發(fā)生反彈，設(shè)定此時(shí)為發(fā)光電子第1次與長(zhǎng)方形的邊碰撞（點(diǎn)R為第1次碰撞點(diǎn)）．發(fā)光電子碰撞到長(zhǎng)方形的邊時(shí)均發(fā)生反彈，若發(fā)光電子與長(zhǎng)方形的邊共碰撞了2021次，則它與AB邊碰撞次數(shù)是____【答案】673【分析】如圖，根據(jù)反射角與入射角的定義可以在格點(diǎn)中作出圖形，可以發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)過(guò)6次反射后，發(fā)光電子回到起始的位置，即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)圖形可以得到：每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，經(jīng)過(guò)6次反彈后動(dòng)點(diǎn)回到出發(fā)點(diǎn)，且每次循環(huán)它與AB邊的碰撞有2次，∵2021÷6=336…5，當(dāng)點(diǎn)P第2021次碰到長(zhǎng)方形的邊時(shí)為第336個(gè)循環(huán)組后的第5次反彈，∴它與AB邊的碰撞次數(shù)是=336×2+1=673次，故答案為：673．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2022秋·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，一束水平光線照在有一定傾斜角度的平面鏡上，若入射光線與反射光線的夾角為50°，則平面鏡與水平地面的夾角α的度數(shù)是______．【答案】65°【分析】作CD⊥平面鏡，垂足為G，交地面于D．根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠CDH+α=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AGC=∠CDH，根據(jù)入射角等于反射角可得∠AGC=25°，從而可得夾角α的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作CD⊥平面鏡，垂足為G，交地面于D．∴∠CDH+α=90°，根據(jù)題意可知：AG∥DF，∴∠AGC=∠CDH，∵∠AGC=1∴∠CDH=25°，∴α=65°．故答案為：65°．【點(diǎn)睛】本題考查了入射角等于反射角問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)、明確法線CG平分∠AGB．【考點(diǎn)9折疊問(wèn)題】【例9】（2022春·湖北黃石·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一條對(duì)邊互相平行的紙帶進(jìn)行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，若CD∥BE，∠1=35°，則A．90° B．100° C．105° D．110°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，推出∠5=35°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠6=35°，即可求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：延長(zhǎng)BC，∵AF∥∴∠3=∠1=35°，∵AD∥∴∠4=∠3=35°，∵CD∥∴∠5=∠4=35°，由折疊的性質(zhì)可知，∠5=∠6=35°，∴∠2=180°?∠5?∠6=110°，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)找出圖中角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2022·河南鄭州·鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示，將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條折成如圖的形狀，若已知∠1=108°，則∠2為（）A．24° B．32° C．36° D．42°【答案】A【分析】先根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)得出∠2=∠3，再通過(guò)平角的定義求出∠3，最后求得答案即可．【詳解】如圖所示，∵紙條的兩邊互相平行，∴∠2=∠3．∵∠1=108°，∴∠3+∠4=180°?∠1=180°?108°=72°．根據(jù)翻折的性質(zhì)得，∠4=∠3=36°．∴∠2=∠3=36°．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將圖1中的△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為ED，點(diǎn)E，D分別在AB，AC上，得到圖形2．若BC=4，AB=5，則△EBC的周長(zhǎng)是________．【答案】9【分析】根據(jù)折疊，得到AE=CE，利用△EBC的周長(zhǎng)=BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為ED，∴AE=CE，∴△EBC的周長(zhǎng)=BC+CE+BE=BC+AE+BE=BC+AB=4+5=9；故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查折疊．熟練掌握折疊的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（2022秋·安徽蕪湖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）利用折紙可以作出角平分線，如圖1折疊，則OC為∠AOB的平分線，如圖2、圖3，折疊長(zhǎng)方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'，點(diǎn)B落在點(diǎn)B'，連接(1)如圖2，若點(diǎn)B'恰好落在OA'上，且∠AOC=32°(2)如圖3，當(dāng)點(diǎn)B'在∠COA'的內(nèi)部時(shí)，連接OB'，若∠AOC=44°【答案】(1)58°(2)30°【分析】（1）由折疊得出∠AOC=∠A'OC，∠BOD=∠B'（2）同（1）的方法求出∠A'OD【詳解】（1）解：由題意知∠AOC=∠A'OC∵∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠∴∠BOD=1（2）解：由題意知∠AOC=∠A'OC∵∠AOC+∠A'OC+∠A'∴∠A∴∠A【點(diǎn)睛】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，平角的定義，角的和差的計(jì)算，從圖形中找出角之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)10尺規(guī)作角平分線與垂直平分線】【例10】（2022秋·福建泉州·八年級(jí)期末）如圖，由作圖痕跡做出如下判斷，其中正確的是（）A．FH>HG B．FH=HG C．FH<HG D．PF<PG【答案】D【分析】由作圖痕跡得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，作HM⊥PA，依據(jù)垂線段最短，可得結(jié)論；【詳解】解：由作圖痕跡得PC平分∠APB，EF垂直平分PQ，過(guò)H點(diǎn)作HM⊥PA于M點(diǎn)，如圖，∴HM=HG，∵HF>HM，∴HF>HG，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查角的平分線作圖和線段的垂直平分線的作圖，解題關(guān)鍵判斷出角的平分線、線段的垂直平分線．【變式10-1】（2022春·河南鄭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中：(1)作∠ABC的角平分線交AC于D，作線段BD的垂直平分線EF分別交AB于E，交BC于F，垂足為O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；(2)在（1）的條件下，連接DF，則DF與邊AB的位置關(guān)系是______，請(qǐng)說(shuō)明你的理由．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)DF∥AB，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行判斷即可．【詳解】（1）解：以點(diǎn)B為圓心任意長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交AB、BC于兩個(gè)點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫(huà)弧相交于∠ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接點(diǎn)B與這點(diǎn)的射線BD即為角平分線，再以點(diǎn)B、D分別為圓心，大于12BD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧線，與AB交于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)F，連接EF（2）DF與邊AB的位置關(guān)系是DF∥AB，理由：由作圖可知，∠ABD=∠CBD，∵EF垂直平分線段BD，∴FB=FD，∴∠CBD=∠FDB，∴∠ABD=∠BDF，∴DF∥AB．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，做角平分線、做線段的垂直平分線，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式10-2】（2022秋·陜西延安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC，圖中虛線為∠BAC的角平分線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作⊙O，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，并且圓心O在∠BAC的角平分線上．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）【答案】見(jiàn)解析【分析】分別以B、C為圓心，以大于12BC為半徑畫(huà)弧，兩弧交于M、N，連接MN，再以MN和虛線的交點(diǎn)為圓心O，以【詳解】解：如圖，⊙O即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖－基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】（2022秋·甘肅天水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在勞動(dòng)植樹(shù)節(jié)活動(dòng)中，兩個(gè)班的學(xué)生分別在M，N兩處參加植樹(shù)勞動(dòng)，現(xiàn)要在道路的AB，AC交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)P，使P到兩條道路的距離相等，且使PM＝PN，請(qǐng)同學(xué)們用圓規(guī)、直尺在圖中畫(huà)出供應(yīng)點(diǎn)P的位置，保留畫(huà)圖痕跡，不要證明．【答案】見(jiàn)解析【分析】因?yàn)镻到兩條道路的距離相等，且使PM＝PN，所以P應(yīng)是∠BAC的平分線和MN的垂直平分線的交點(diǎn)．【詳解】解：∠BAC的平分線和MN的垂直平分線的交點(diǎn)P即為所求，如圖，【點(diǎn)睛】此題考查了基本作圖以及線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，需仔細(xì)分析題意，結(jié)合圖形，利用線段的垂直平分線和角的平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)11根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解】【例11】（2022秋·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，若AB=10，AC=8，則S△ABDA．25：16 B．5：4C．16：25 D．4：5【答案】B【分析】先根據(jù)角平分線性質(zhì)得到點(diǎn)D到AB和AC的距離相等，然后根據(jù)三角形的面積公式得到S△ABD【詳解】∵AD平分∠BAC，∴點(diǎn)D到AB和AC的距離相等，S△ABD故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，能熟記角平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．【變式11-1】（2022春·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，AB＝4，DC＝6，則△ABD的面積為_(kāi)____．【答案】12【分析】過(guò)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DC＝6，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【詳解】解：過(guò)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于E，∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，∴DE＝DC，∵DC＝6，∴DE＝6，∵AB＝4，∴△ABD的面積是12×AB×DE＝故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，能根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=DC=6是解此題的關(guān)鍵．【變式11-2】（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）Rt△ABC中，∠C是直角，O是兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，AC=6，BC=8，BA=10，O到三邊的距離是______.【答案】2【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OE＝OD＝OF，根據(jù)三角形面積公式求出R即可．【詳解】解：過(guò)O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，連接OC，∵O為∠A、∠B的平分線的交點(diǎn)，∴OD＝OF，OE＝OF，∴OD＝OE＝OF，設(shè)OD＝OE＝OF＝R，∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO，則12×6×8＝12×6R＋12解得R＝2，即OD＝OE＝OF＝2，∴點(diǎn)O到三邊的距離為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式的應(yīng)用，熟知角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．【變式11-3】（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，若BC＝8cm，BD＝5cm，AB=10cm,則S△ABD=______．【答案】15cm2【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD，根據(jù)三角形的面積公式即可求得△ABD的面積．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分線，∠C＝90°，DE⊥AB∴DE=DC，∵BC＝8cm，BD＝5cm，∴DE=DC=3cm，∴S△ABD=12·AB·DE=12×10×3=15(cm故答案為：15cm2．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．【考點(diǎn)12根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解】【例12】（2022秋·江蘇宿遷·八年級(jí)沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)校考期中）如圖所示，在△ABC中，∠BAC=105°，EF、MN分別是AB、AC的垂直平分線，點(diǎn)E、N在BC上，則∠EAN=______【答案】30°【分析】先由∠BAC=105°及三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出∠B=∠BAE,∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN，由∠EAN=∠BAC?∠BAE+∠CAN【詳解】解∶∵△ABC中，∠BAC=105°，∴∠B+∠C=180°?∠BAC=180°?105°=75°∵EF、MN分別是AB、AC的中垂線，∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAN，即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=75°，∴∠EAN=∠BAC?(∠BAE+∠CAN)=105°?75°=30°．故答案為30°．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，能根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B+∠C=∠BAE+∠CAN是解答此題的關(guān)鍵．【變式12-1】（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)廈門(mén)市第十一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知△ABC，AB邊的垂直平分線交AC與點(diǎn)D，連接DB，如果AC=8，BC=5，那么△BCD的周長(zhǎng)等于__________．【答案】13【分析】AB邊的垂直平分線交AC與點(diǎn)D，連接DB，由此可知AD=BD，△BCD的周長(zhǎng)的是CD+BD+BC，由此即可求解．【詳解】解：AB邊的垂直平分線交AC與點(diǎn)D，連接DB，如果AC=8，BC=5，∴AD=BD，∴AD+DC=BD+DC=8，△BCD的周長(zhǎng)等于BD+DC+BC=8+5=13，故答案是：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)求線段的關(guān)系，掌握垂直平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2022秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分線DE分別交AC、AB于點(diǎn)D、【答案】15°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠C=【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∵DE垂直平分AB，∴AD=∴∠ABD=∴∠CBD【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式12-3】（2022秋·湖北荊門(mén)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點(diǎn)．（1）若△CDE的周長(zhǎng)為4，求AB的長(zhǎng)；（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度數(shù)；（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），則∠DCE=___________.【答案】（1）4；（2）20°；（3）2α-180°.【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC=DA，EC=EB，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠DCA+∠ECB，根據(jù)題意計(jì)算即可；（3）根據(jù)（2）的方法解答．【詳解】（1）∵D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點(diǎn)，∴DC=DA，EC=EB，∵△CDE的周長(zhǎng)=DC+DE+EC=4，∴DA+DE+EB=4，即AB的長(zhǎng)為4；（2）∵∠ACB=100°，∴∠A+∠B=80°，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DCE=100°-80°=20°；（3）∵∠ACB=α，∴∠A+∠B=180°-α，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=180°-α，∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，故答案為：2α-180°．【考點(diǎn)13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解】【例13】（2022秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知∠AOB=45°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，它關(guān)于OA，OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為M，N，則△MON是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，繼而可得OM=OP=ON,∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，根據(jù)等腰直角三角形的判定即可求解．【詳解】∵點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是M、N，∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，∴OM=OP=ON,∴∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，∴△MON是等腰直角三角形故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)．【變式13-1】（2022秋·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）等腰三角形有一個(gè)角是90°，則另兩個(gè)角分別是(

)A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°【答案】B【分析】由于等腰三角形的兩底角相等，所以90°的角只能是頂角，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得另兩底角．【詳解】解：∵等腰三角形的兩底角相等，∴兩底角的和為180°﹣90°=90°，∴兩個(gè)底角分別為45°，45°，故選B．【變式13-2】（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)南京第五初中?？茧A段練習(xí)）在等腰三角形ABC中，AB=AC，一邊上的中線BD將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為18和15兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)．【答案】9或13．【詳解】解：根據(jù)題意，①當(dāng)18是腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)一半時(shí)，AC+12所以底邊長(zhǎng)=15﹣12②當(dāng)15是腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)一半時(shí)，AC+12所以底邊長(zhǎng)=18﹣12所以底邊長(zhǎng)為9或13．【變式13-3】（2022秋·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等腰三角形ABC中，其中一內(nèi)角為50°，腰AB的垂直平分線MN交AC所在的直線于點(diǎn)D，則∠DBC的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】15或30【分析】根據(jù)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50°，分類(lèi)討論等腰三角形，①當(dāng)?shù)妊切谓菫椋?0，65，65；②當(dāng)?shù)妊切谓菫椋?0，50，80；再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可．【詳解】∵等腰三角形ABC中，其中一個(gè)內(nèi)角為50°，∴①當(dāng)AB=AC，∠A=50°，如下圖：∴∠CBA=65°，∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠BAD=∠DBA=50°，∴∠CBD=∠CBA?∠ABD=15°；②當(dāng)BA=BC，∠A=∠C=50°，如下圖：∴∠ABC=80°，∵M(jìn)N垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠CBD=80°?50°=30°，∴∠DBC的度數(shù)為：15或者30．故答案為：15或者30．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形和垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)．【考點(diǎn)14判尋找構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)的個(gè)數(shù)】【例14】（2022·廣東·豐順縣潘田中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)頂點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的頂點(diǎn)C有（

）A．8個(gè) B．7個(gè) C．6個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作弧，分別找到格點(diǎn)即可求解．【詳解】解：當(dāng)AB為底時(shí)，作AB的垂直平分線，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有5個(gè)，當(dāng)AB為腰時(shí)，分別以A、B點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AB為半徑作弧，可找出格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有3個(gè)；∴這樣的頂點(diǎn)C有8個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式14-1】（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直線BC上取一點(diǎn)P使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有___個(gè)．【答案】4【分析】分別以A、B為圓心，以AB為半徑作圓，再作AB的垂直平分線，即可得出答案．【詳解】解：以A為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有一個(gè)交點(diǎn)；同理以B為圓心，以AB為半徑作圓，與直線BC有兩個(gè)交點(diǎn)；作AB的垂直平分線與BC有一個(gè)交點(diǎn)，即有1+2+1＝4個(gè)，故答案為4．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和動(dòng)手操作能力．【變式14-2】（2022·安徽·利辛縣汝集鎮(zhèn)西關(guān)學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，△ABC的點(diǎn)A、C在直線l上，∠B=120°,?∠ACB=40°，若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△ABP成為等腰三角形時(shí)，則【答案】10°或80°或20°或140°【分析】分三種情形：AB=AP，PA=PB，BA=BP分別求解即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，在ΔABC中，∵∠BAC=180°?∠ABC?∠ACB=180°?120°?40°=20°，①當(dāng)AB=AP時(shí)，∠ABP1=∠A②當(dāng)PA=PB時(shí)，∠ABP③當(dāng)BA=BP時(shí)，∠ABP綜