北師大版八年級數(shù)學上冊專題4.1比例線段【九大題型】同步練習(學生版+解析)

專題4.1比例線段【九大題型】【北師大版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1成比例線段的概念辨析】 1【題型2成比例線段與比例尺的結(jié)合】 2【題型3成比例線段的實際應用】 2【題型4利用比例的性質(zhì)求字母的值】 4【題型5利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值】 4【題型6利用比例的性質(zhì)進行證明】 4【題型7比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運用】 5【題型8黃金分割的概念辨析】 7【題型9黃金分割的實際應用】 7【知識點1成比例線段的概念】1．比例的項：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項，b，c稱為比例內(nèi)項．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．【題型1成比例線段的概念辨析】【例1】（2023春·浙江杭州·九年級?？计谥校┮阎€段a、b滿足ab=2，且a+2b=28．(1)求a、b的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項，求x的值．【變式1-1】（2023春·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）已知四條線段的長度分別為x，2，6，x+1，且它們是成比例線段，則x的值為.【變式1-2】（2023春·浙江杭州·九年級?？计谥校┮阎€段a、b滿足ab=2，且(1)求a、b的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項，求x的值．【變式1-3】（2023春·上海寶山·九年級統(tǒng)考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中項，那么b:c等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【題型2成比例線段與比例尺的結(jié)合】【例2】（2023春·四川成都·九年級統(tǒng)考期中）在比例尺是1:90000000的地圖上，量得甲乙兩地的距離是2厘米，上午9點20分有一架飛機從甲地飛往乙地，上午11點20分到達，這架飛機每小時飛行千米．【變式2-1】（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）地圖上兩地間的圖上距離為13.5厘米，比例尺是1：A．1350千米 B．135千米 C．13.5千米 D．1.35千米【變式2-2】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期末）長江二橋位于長江大橋下游3公里處、橋梁長度2400米，一張平面地圖上橋梁長度是4.8厘米，這張平面地圖的比例尺為【變式2-3】（2023春·江蘇連云港·九年級校聯(lián)考期末）相距24千米的甲、乙兩地，在比例尺為1：400000的地圖上的距離是厘米．【題型3成比例線段的實際應用】【例3】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）某班每位學生上、下學期各選擇一個社團，下表分別為該班學生上、下學期各社團的人數(shù)比例．若該班上、下學期的學生人數(shù)不變，關(guān)于上學期，下學期各社團的學生人數(shù)變化，下列敘述正確的是（）文學社籃球社動漫社上學期345下學期432A．文學社增加，籃球社不變B．文學社不變，籃球社不變C．文學社增加，籃球社減少D．文學社不變，籃球社減少【變式3-1】（2023春·六年級校考課時練習）將10本相同厚度的書疊起來，高度為25cm．如果有18本這樣厚度的書疊起來，那么書的高度是多少cm？【變式3-2】（2023春·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度是（

）mA．?1?5 B．?1±5 C．5+1【變式3-3】（2023春·九年級課時練習）如圖，一張矩形紙片AB?CD的長BC=5，寬AB=2，按照圖中所示方式將它裁成矩形ABFE與矩形CDEF.若矩形ABFE與矩形CDEF的短邊與長邊之比相等，求AE的長.【知識點2比例的性質(zhì)】比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當時，.【題型4利用比例的性質(zhì)求字母的值】【例4】（2023春·四川成都·九年級?？计谥校┮阎猘，b，c均為非零的實數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+cb=【變式4-1】（2023春·廣東茂名·九年級統(tǒng)考期中）已知x3=y5=z6【變式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年級?？计谀┮阎猘，b，c為△ABC的三邊長，且a+b+c=36，a3(1)求線段a，b，c的長；(2)若線段x是線段a，b的比例中頂（即ax=x【變式4-3】（2023春·四川成都·九年級成都七中校考期中）已知y+zx=x+zy【題型5利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值】【例5】（2023春·山東威?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期中）若a+bc=b【變式5-1】（2023春·內(nèi)蒙古包頭·九年級統(tǒng)考期末）若ab=cd=A．13 B．1 C．1.5 【變式5-2】（2023春·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學?？计谀┮阎鷶?shù)式A=ab+c，B=b①若a:b:c=1:1:2，則A?C+B=2②若A=B=C，則A+B+C=3③若a=c=2，b為關(guān)于a的方程x2+2023x+4=0的一個解，則④若a<b<c，則A<B<C；其中正確的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【變式5-3】（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谀?）若x3=y（2）若a+23=b4=【題型6利用比例的性質(zhì)進行證明】【例6】（2023春·九年級單元測試）已知a:b=c:d，且b≠nd，求證：ab【變式6-1】（2023春·浙江湖州·九年級統(tǒng)考階段練習）已知a(1)求：a(2)求證：a【變式6-2】（2023春·廣東惠州·九年級?？奸_學考試）已知a，b，c，d四個數(shù)成比例，且a，d為外項.求證：點（a，b），（c，d）和坐標原點O在同一直線上.【變式6-3】（2023春·全國·九年級專題練習）已知ax=by=cz，且1x【題型7比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運用】【例7】（2023春·重慶大渡口·九年級統(tǒng)考期末）材料：思考的同學小斌在解決連比等式問題：“已知正數(shù)x，y，z滿足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x?y?z的值”時，采用了引入?yún)?shù)法解；設y+zxy+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，將以上三個等式相加，得2x+k+z∵x，y，z都為正數(shù)，∴k=2，即y+zx∴2x?y?z=0.仔細閱讀上述材料，解決下面的問題：（1）若正數(shù)x，y，z滿足x2y+z=y（2）已知a+ba?b=b+c2b?c=c+a3c?a【變式7-1】（2023春·九年級課時練習）閱讀下面的解題過程，然后解題：題目：已知xa?b解：設xa?b則x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k?0=0，依照上述方法解答下列問題：已知：y+zx=z+x【變式7-2】（2023春·九年級課時練習）閱讀理解：已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且ab=c證明：∵ab∴ab∴a+bb根據(jù)以上方法，解答下列問題：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【變式7-3】（2023春·山西太原·九年級太原五中?？茧A段練習）【新概念定義】若有一條公共邊的兩個三角形稱為“共邊三角形”．如圖（1）△ABC與△ABD是以AB為公共邊的“共邊三角形”．“共邊三角形”的性質(zhì)：如圖（1）共邊△ABC與△ABD，連結(jié)第三個頂點DC并延長交AB于E，則S△ABC【問題解決】如圖（2），已知在△ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點，BE的連線交AC于F．（1）找出以BF為公共邊的所有“共邊三角形”，若△ABC的面積為45cm（2）求證：AF=1（3）若將“D為BC的中點”條件，改為“BD:DC=2:3”，則AF:CF=______．【知識點3黃金分割】若線段AB上一點C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項（即），則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）【題型8黃金分割的概念辨析】【例8】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）我們把寬與長的比等于5?12的矩形稱為黃金矩形．如圖，在黃金矩形ABCD（AB<BC）的邊BC上取一點E，使得CE=AB，連接AE，則BEABA．22 B．5?12 C．3?【變式8-1】（2023春·遼寧丹東·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點C是線段AB的黃金分割點，且AC<BC，下列選項錯誤的是（

）A．BCAB≈0.618 C．BC2=AB?AC【變式8-2】（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）已知線段AB=2，若C，D是AB的兩個黃金分割點，則CD長為．【變式8-3】（2023春·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，線段AB=1，點C是線段AB的黃金分割點AC>BC，C1是線段AC的黃金分割點C1AC1>C1【題型9黃金分割的實際應用】【例9】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期中）人體下半身與身高的比例越接近0.618，越給人美感．遺憾的是，即使芭蕾舞演員也達不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她應該選擇穿（精確到專題4.1比例線段【九大題型】【北師大版】 TOC\o"1-3"\h\u【題型1成比例線段的概念辨析】 1【題型2成比例線段與比例尺的結(jié)合】 3【題型3成比例線段的實際應用】 5【題型4利用比例的性質(zhì)求字母的值】 8【題型5利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值】 10【題型6利用比例的性質(zhì)進行證明】 13【題型7比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運用】 15【題型8黃金分割的概念辨析】 19【題型9黃金分割的實際應用】 22【知識點1成比例線段的概念】1．比例的項：在比例式（即）中，a，d稱為比例外項，b，c稱為比例內(nèi)項．特別地，在比例式（即）中，b稱為a，c的比例中項，滿足．2．成比例線段：四條線段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線段，簡稱比例線段．【題型1成比例線段的概念辨析】【例1】（2023春·浙江杭州·九年級?？计谥校┮阎€段a、b滿足ab=2，且(1)求a、b的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項，求x的值．【答案】(1)a=14,b=7(2)7【分析】（1）根據(jù)ab=2可得a=2b，再代入（2）根據(jù)比例中項的定義求解即可得．【詳解】（1）解：∵a∴a=2b，∵a+2b=28，∴2b+2b=28，解得b=7，則a=2×7=14．（2）解：∵線段x是線段a、b的比例中項，∴x2=ab解得x=72或x=?7則x的值為72【點睛】本題主要考查了比例線段和比例中項，屬于基礎題，熟記定義是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）已知四條線段的長度分別為x，2，6，x+1，且它們是成比例線段，則x的值為.【答案】3【分析】根據(jù)題意得x:2=6:(x+1)，根據(jù)比例的基本性質(zhì)即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得x:2=6:(x+1)，即x(x+1)=2×6，解得x1=3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查比例線段的定義．注意根據(jù)已知條件寫比例式的時候，一定要注意順序．然后根據(jù)比例的基本性質(zhì)進行求解．【變式1-2】（2023春·浙江杭州·九年級?？计谥校┮阎€段a、b滿足ab=2，且(1)求a、b的值；(2)若線段x是線段a、b的比例中項，求x的值．【答案】(1)a=14,b=7(2)7【分析】（1）根據(jù)ab=2可得a=2b，再代入（2）根據(jù)比例中項的定義求解即可得．【詳解】（1）解：∵a∴a=2b，∵a+2b=28，∴2b+2b=28，解得b=7，則a=2×7=14．（2）解：∵線段x是線段a、b的比例中項，∴x2=ab解得x=72或x=?7則x的值為72【點睛】本題主要考查了比例線段和比例中項，屬于基礎題，熟記定義是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·上海寶山·九年級統(tǒng)考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中項，那么b:c等于（

）A．4:3 B．3:2 C．2:3 D．3:4【答案】A【分析】由b是a、c的比例中項，根據(jù)比例中項的定義，即可求得bc=a【詳解】解：∵b是a、c的比例中項，∴b2∴∵a:b=10:15，∴bc【點睛】此題主要考查了比例線段，正確把握比例中項的定義是解題關(guān)鍵．【題型2成比例線段與比例尺的結(jié)合】【例2】（2023春·四川成都·九年級統(tǒng)考期中）在比例尺是1:90000000的地圖上，量得甲乙兩地的距離是2厘米，上午9點20分有一架飛機從甲地飛往乙地，上午11點20分到達，這架飛機每小時飛行千米．【答案】900【分析】由題意可知：上午9點20分有一架飛機從甲地飛往乙地，上午11點20分到達共飛了2小時，根據(jù)“比例尺是1：90000000”，又因為甲乙兩地的圖上距離是2厘米，求實際距離，進而求出答案．【詳解】解：甲乙兩地的實際距離：2÷1180000000cm1800÷2=900（千米）；答：這架飛機每小時行900千米．故答案為：900．【點睛】本題考查比例線段，正確根據(jù)比例進行計算是解題關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）地圖上兩地間的圖上距離為13.5厘米，比例尺是1：A．1350千米 B．135千米 C．13.5千米 D．1.35千米【答案】B【分析】根據(jù)比例尺定義代入計算，最后化單位即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，實際距離為：13.5×1000000=13500000（厘米），∴13500000（厘米）=135（千米），故選B．【點睛】本題考查比例尺的運用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握比例尺的定義及注意單位化簡．【變式2-2】（2023春·全國·九年級統(tǒng)考期末）長江二橋位于長江大橋下游3公里處、橋梁長度2400米，一張平面地圖上橋梁長度是4.8厘米，這張平面地圖的比例尺為【答案】1：50000【分析】根據(jù)比例尺的定義，用圖上距離比實際距離即可．【詳解】4.8：240000=1：50000，即這張平面地圖的比例尺為1：50000．故答案為1：50000．【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．解決本題的關(guān)鍵是記住比例尺的定義．【變式2-3】（2023春·江蘇連云港·九年級校聯(lián)考期末）相距24千米的甲、乙兩地，在比例尺為1：400000的地圖上的距離是厘米．【答案】6【分析】根據(jù)比例尺的定義，可得實際距離×比例尺=圖上距離，依此列式計算即可．【詳解】相距24千米的甲、乙兩地，在比例尺為1：400000的地圖上的距離是2400000×1400000=6(故答案為:6．【點睛】本題考查了比例線段，比例尺的定義，掌握比例尺=圖上距離：實際距離是解題的關(guān)鍵，注意單位之間的換算問題．【題型3成比例線段的實際應用】【例3】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期中）某班每位學生上、下學期各選擇一個社團，下表分別為該班學生上、下學期各社團的人數(shù)比例．若該班上、下學期的學生人數(shù)不變，關(guān)于上學期，下學期各社團的學生人數(shù)變化，下列敘述正確的是（）文學社籃球社動漫社上學期345下學期432A．文學社增加，籃球社不變B．文學社不變，籃球社不變C．文學社增加，籃球社減少D．文學社不變，籃球社減少【答案】D【分析】設該班上、下學期的學生人數(shù)都為x人，然后按照該班學生上、下學期各社團的人數(shù)比例計算出該班上、下學期的文學社的學生人數(shù)，上、下學期的籃球社的學生人數(shù)，再比較大小即可．【詳解】解：設該班上、下學期的學生人數(shù)都為x人，則該班上學期的文學社的學生人數(shù)＝33+4+5x＝14x，上學期的籃球社的學生人數(shù)＝43+4+5x＝該班下學期的文學社的學生人數(shù)＝44+3+2x＝49x，下學期的籃球社的學生人數(shù)＝34+3+2x＝故上學期、下學期文學社團的學生人數(shù)增加了，籃球社團的學生人數(shù)不變．【變式3-1】（2023春·六年級?？颊n時練習）將10本相同厚度的書疊起來，高度為25cm．如果有18本這樣厚度的書疊起來，那么書的高度是多少cm？【答案】45cm【分析】根據(jù)題意知道，一本書的厚度一定，書疊起的高度與書的本數(shù)成正比例，由此列比例解答．【詳解】解：設書的高度是x厘米，25：10=x：18x=45所以，書的高度是45cm．【點睛】解答此題的關(guān)鍵是，先判斷出哪兩種相關(guān)聯(lián)的量成何比例，再列出比例解答即可．【變式3-2】（2023春·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度是（

）mA．?1?5 B．?1±5 C．5+1【答案】D【分析】設下部高為xm【詳解】解：設下部的高度為xm，則上部高度是2?x∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，∴2?xx解得x=5?1或經(jīng)檢驗，x=5∴x=5故選：D．【點睛】本題考查比例的性質(zhì)及分式方程的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出分式方程解決問題．【變式3-3】（2023春·九年級課時練習）如圖，一張矩形紙片AB?CD的長BC=5，寬AB=2，按照圖中所示方式將它裁成矩形ABFE與矩形CDEF.若矩形ABFE與矩形CDEF的短邊與長邊之比相等，求AE的長.【答案】AE的長為1或4或52【分析】根據(jù)題意設未知數(shù)，分AEAB=EF【詳解】解：設AE=x(0<x<5)，則DE=5?x.應分兩種情況進行討論：⑴當AEAB即x2=25?x時，解得⑵當AEAB=DEEF，即綜上所述，AE的長為1或4或52【點睛】此題考查成比例的線段，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握比例式兩邊的關(guān)系以及分情況討論.【知識點2比例的性質(zhì)】比例的性質(zhì)示例剖析（1）基本性質(zhì)：（2）反比性質(zhì)：（3）更比性質(zhì)：或或（4）合比性質(zhì)：（5）分比性質(zhì)：（6）合分比性質(zhì)：（7）等比性質(zhì)：已知，則當時，.【題型4利用比例的性質(zhì)求字母的值】【例4】（2023春·四川成都·九年級校考期中）已知a，b，c均為非零的實數(shù)，且滿足a+b?cc=a?b+cb=【答案】1或?2【分析】根據(jù)題意得出a+b?c=ck,a?b+c=bk,?a+b+c=ak，三式相加得出a+b+c=a+b+c【詳解】解：∵a+b?cc∴a+b?c=ck,a?b+c=bk,?a+b+c=ak∴a+b?c+a?b+c?a+b+c=即a+b+c=a+b+c當a+b+c≠0時，k=1，當a+b+c=0時，k=a+b?c故答案為：1或?2．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·廣東茂名·九年級統(tǒng)考期中）已知x3=y5=z6【答案】x=6，y=10【分析】設x3=y5=z6=k，則x=3k，y=5k，z=6k，由【詳解】設x3=y5=z6=k，則x=3k∵3y=2z+6∴3×5k=2×6k+6解得：k=2∴x=3×2=6，y=5×2=10即x、y的值分別為6、10【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，若幾個比相等，即ab=cd=ef，常常設其比值為k，則有a=kb，c【變式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年級?？计谀┮阎猘，b，c為△ABC的三邊長，且a+b+c=36，a3(1)求線段a，b，c的長；(2)若線段x是線段a，b的比例中頂（即ax=x【答案】(1)a=9(2)x=6【分析】（1）設a3=b4=c5=k，則a=3k，b=4k，（2）由題意可直接得出9x=x【詳解】（1）由題意可設a3=b∵a+b+c=36，∴3k+4k+5k=36，解得：k=3，∴a=9，（2）∵ax∴9x整理，得：x2解得：x=63【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，比例中項的概念．利用“設k法”是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·四川成都·九年級成都七中?？计谥校┮阎獃+zx=x+zy【答案】1或4．【分析】由y+zx=x+z【詳解】解：∵y+zx∴y+z=kx,x+z=ky,x+y=kz，∴2x+2y+2z=2x+y+z當x+y+z≠0時，∴k=2，則k2當x+y+z=0時，x+y=?z，∴k=x+yz=故答案為：1或4．【點睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，掌握“利用比例的基本性質(zhì)進行求值”是解本題的關(guān)鍵．【題型5利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值】【例5】（2023春·山東威?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期中）若a+bc=b【答案】-1或8【分析】設a+bc=b【詳解】設a+∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），∴（a+b+c）(2-k)=0，當a+b+c=0時，即a+b=-c，∴k=a+bc=?c∴(a+b)(b+c)(c+當a+b+c≠0時，則2-k=0，解得：k=2，∴(a+b)(b+c)(c+故答案為：-1或8【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，分情況討論，注意整體代入思想的運用是解題關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·內(nèi)蒙古包頭·九年級統(tǒng)考期末）若ab=cd=A．13 B．1 C．1.5 【答案】D【分析】先用b、d、f分別表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【詳解】解：由ab∴b=3a，∴3a?2c+e【點睛】此題考查比例的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握其性質(zhì)定義．【變式5-2】（2023春·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學校考期末）已知代數(shù)式A=ab+c，B=b①若a:b:c=1:1:2，則A?C+B=2②若A=B=C，則A+B+C=3③若a=c=2，b為關(guān)于a的方程x2+2023x+4=0的一個解，則④若a<b<c，則A<B<C；其中正確的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①a:b:c=1:1:2，設a=t,b=t,c=2t，代入A、B、C，進行計算即可判斷；②根據(jù)A=B=C得A=ab+c=ba+c③當a=b=2時，代入A、B、C，可得1A+1B+1C④根據(jù)a，b，c為正整數(shù)，且a<b<c得b+c>a+c>a+b，即可判斷；【詳解】解：①a:b:c=1:1:2，設a=t,b=t,c=2t，∴A=t即A×C+B=1故①正確；②∵A=B=C，∴A=a若a+b+c=0，即b=c=?a，則A=a若a+b+c≠0，則A=a+b+c即A的值為?1或12故②不正確；③當a=c=2時，A=2b+2，B=b∴1A∵b是方程x2∴b2∴b+4∴1A故③不正確；④∵a，b，c為正整數(shù)，且a<b<c，∴b+c>a+c>a+b，∴A<B<C，故④正確；綜上，①④正確，正確的個數(shù)是2個，【點睛】本題考查了一元二次方程的解，分式的運算，比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點，并正確計算．【變式5-3】（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谀?）若x3=y（2）若a+23=b4=【答案】（1）5；（2）a:b:c=4:8:7【分析】（1）先設x3=y5=（2）先設a+23=b4=c+56【詳解】解：（1）設x3∴x=3k,y=5k,z=7k，∴x?y+zx+y?z（2）設a+23∴a=3k?2,b=4k,c=6k?5，∴2(3k?2)?4k+3(6k?5)=21，解得k=2，∴a=6?2=4,b=8,c=7，∴a:b:c=4:8:7．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，已知幾個量的比值時，常用的解法是：設一個參數(shù)，把題目中的幾個量用所設的參數(shù)表示出來，然后消掉所設的參數(shù)，即可求得所給代數(shù)式的值．【題型6利用比例的性質(zhì)進行證明】【例6】（2023春·九年級單元測試）已知a:b=c:d，且b≠nd，求證：ab【答案】見解析【分析】由a:b=c:d得到ad=bc，則利用等式的基本性質(zhì)得到adn=bcn，ab?adn=ab?bcn，則ab?nd【詳解】解：∵a:b=c:d，∴ad=bc，∴adn=bcn，∴ab?adn=ab?bcn，∴ab?nd∴a【點睛】此題考查了比例的基本性質(zhì)，等式的基本性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·浙江湖州·九年級統(tǒng)考階段練習）已知a(1)求：a(2)求證：a【答案】(1)14【分析】(1)根據(jù)a與b的比值，設a=2k，b=3k，再將a，b的值代入代數(shù)式化簡可求解.(2)由(1)中的a=2k，b=3k，分別代入等式的左右兩邊，即可得證.【詳解】(1)解：由ab∴aa(2)證明：由(1)得，aa+2bb∴a【點睛】本題考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)，設比例參數(shù)是解題的關(guān)鍵.【變式6-2】（2023春·廣東惠州·九年級?？奸_學考試）已知a，b，c，d四個數(shù)成比例，且a，d為外項.求證：點（a，b），（c，d）和坐標原點O在同一直線上.【答案】見解析【分析】設經(jīng)過點O和（a，b）的直線是y=kx，設經(jīng)過點O和（c，d）的直線的解析式是：y=mx，證明k=m即可證得．【詳解】證明：設經(jīng)過點O和（a，b）的直線是y=kx，則b=ak，則k=ba設經(jīng)過點O和（c，d）的直線的解析式是：y=mx，則d=cm，解得：m=dc∵a，b，c，d四個數(shù)成比例，∴ab=c∴ba=d∴k=m，則直線y=kx和直線y=mx是同一直線，即點（a，b），（c，d）和坐標原點O在同一直線上．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及比例線段的定義，解題關(guān)鍵是理解證明的思路．【變式6-3】（2023春·全國·九年級專題練習）已知ax=by=cz，且1x【答案】見解析【分析】根據(jù)已知設ax=by=cz=k，分別用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程組即可得出【詳解】設ax=by=cz=k，從而a=kx，b=k于是a+b+c=k（1x+1又因為1x+1a3【點睛】本題考查了分式的運算和比例的性質(zhì)，整體代入的思想即將一個表達式來表示另外一個，求出k的值是解題的關(guān)鍵【題型7比例的性質(zhì)在閱讀理解中的運用】【例7】（2023春·重慶大渡口·九年級統(tǒng)考期末）材料：思考的同學小斌在解決連比等式問題：“已知正數(shù)x，y，z滿足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x?y?z的值”時，采用了引入?yún)?shù)法解；設y+zxy+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，將以上三個等式相加，得2x+k+z∵x，y，z都為正數(shù)，∴k=2，即y+zx∴2x?y?z=0.仔細閱讀上述材料，解決下面的問題：（1）若正數(shù)x，y，z滿足x2y+z=y（2）已知a+ba?b=b+c2b?c=c+a3c?a【答案】（1）k=13【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以解答本題；（2）將題目中的式子巧妙變形，然后化簡即可證明結(jié)論成立．【詳解】解：（1）∵正數(shù)x、y、z滿足x2y+z∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），∴x+y+z=3k（x+y+z），∵x、y、z均為正數(shù)，∴k=13（2）證明：設a+ba?b則a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，∴8a+9b+5c=0．故答案為（1）k=13【點睛】本題考查比例的性質(zhì)、等式的基本性質(zhì)，正確理解給出的解題過程是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·九年級課時練習）閱讀下面的解題過程，然后解題：題目：已知xa?b解：設xa?b則x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k?0=0，依照上述方法解答下列問題：已知：y+zx=z+x【答案】?1【分析】設y+zx【詳解】解：設y+zx則y+z=xk，z+x=yk，x+y=zk，∴2（x+y+z）=k（x+y+z），解得，k=2，∴y+z=2x，z+x=2y，x+y=2z，解得，x=y=z，則x?y?zx+y+z【點睛】本題考查的是比例的性質(zhì)，正確理解給出的解題過程是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·九年級課時練習）閱讀理解：已知：a，b，c，d都是不為0的數(shù)，且ab=c證明：∵ab∴ab∴a+bb根據(jù)以上方法，解答下列問題：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【答案】（1）85【分析】（1）根據(jù)a+bb（2）先在等式兩邊同時減去1再結(jié)合a+bb【詳解】（1）∵ab∴a+bb（2）∵ab∴ab∴a?bb又∵a+bb∴a?bb∴a?ba+b【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)應用，準確計算是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·山西太原·九年級太原五中?？茧A段練習）【新概念定義】若有一條公共邊的兩個三角形稱為“共邊三角形”．如圖（1）△ABC與△ABD是以AB為公共邊的“共邊三角形”．“共邊三角形”的性質(zhì)：如圖（1）共邊△ABC與△ABD，連結(jié)第三個頂點DC并延長交AB于E，則S△ABC【問題解決】如圖（2），已知在△ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點，BE的連線交AC于F．（1）找出以BF為公共邊的所有“共邊三角形”，若△ABC的面積為45cm（2）求證：AF=1（3）若將“D為BC的中點”條件，改為“BD:DC=2:3”，則AF:CF=______．【答案】（1）△ABF、△DBF、△CBF，S△DBF=S△ABF=15【分析】（1）根據(jù)“共邊三角形”的概念可求解，則有S△DBFS△CBF（2）由（1）及題意可進行求解；（3）由題意易得S△DBFS△CBF【詳解】（1）解：由題意得：以BF為公共邊的“共邊三角形”為：△ABF、△DBF、△CBF，由“共邊三角形”的性質(zhì)：S△DBFS△CBF∴S△ABF∵△ABC的面積為45cm∴S△DBF∴S△CBF（2）證明：由“共邊三角形”的性質(zhì)：S即：1530∴AFAC∴AF=1（3）解：由“共邊三角形”的性質(zhì)：S△DBFS△CBF∴S△ABF∵S△ABF∴AFCF故答案為25【點睛】本題主要考查線段成比例，關(guān)鍵是根據(jù)“共邊三角形”的概念找到成比例的線段，然后進行解決問題即可．【知識點3黃金分割】若線段AB上一點C，把線段AB分成兩條線段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中項（即），則稱線段AB被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃金分割點，其中，，AC與AB的比叫做黃金比．（注意：對于線段AB而言，黃金分割點有兩個．）【題型8黃金分割的概念辨析】【例8】（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）我們把寬與長的比等于5?12的矩形稱為黃金矩形．如圖，在黃金矩形ABCD（AB<BC）的邊BC上取一點E，使得CE=AB，連接AE，則BEABA．22 B．5?12 C．3?【答案】B【分析】設BC=a，根據(jù)黃金矩形的概念求出AB，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】解：設BC=a，∵矩形ABCD為黃金矩形，∴AB=5?12∴BE=a-5?12a=3?∴?BE【點睛】本題考查的是黃金分割、矩形的性質(zhì)，掌握黃金比值為5?1【變式8-1】（2023春·遼寧丹東·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點C是線段AB的黃金分割點，且AC<BC，下列選項錯誤的是（

）A．BCAB≈0.618 C．BC2=AB?AC【答案】B【分析】根據(jù)黃金分割的定義得BCAB【詳解】解：∵點C是線段AB的黃金分割點，且AC<BC，∴BC∴BC2=AB?AC∴A、C、D選項不符合題意，【點睛】本題考查了黃金分割，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，這個比值為5?12，近似值為【變式8-2】（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期末）已知線段AB=2，若C，D是AB的兩個黃金分割點，則CD長為．【答案】2【分析】