北師大版2019選擇性必修第一冊專題5.1基本計數(shù)原理(5類必考點)(原卷版+解析)

專題5.1基本計數(shù)原理TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：分類加法計數(shù)原理】 1【考點2：分步乘法計數(shù)原理】 1【考點3：組數(shù)問題】 2【考點4：涂色問題】 2【考點5：利用兩個計數(shù)原理解決其他實際問題】 2【考點1：分類加法計數(shù)原理】【知識點：分類加法計數(shù)原理】(1)完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點：①完成一件事有若干種方法，這些方法可以分成n類．②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事．③把各類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2130是“六合數(shù)”），則其中首位為2的“六合數(shù)”共有（

）．A．18個 B．15個 C．12個 D．9個2．三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種 B．6種C．10種 D．16種3.(2022·杭州二中月考)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．104.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)是________．5．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若滿足|a－b|≤1，則稱a，b“心有靈犀”．則a，b“心有靈犀”的情形共有_______．【考點2：分步乘法計數(shù)原理】【知識點：分步乘法計數(shù)原理】(1)完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．(2)能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點：①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可．②完成每一步有若干種方法．③把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．(3)名稱分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點都是解決完成一件事的不同方法的種數(shù)問題不同點運用加法運算運用乘法運算分類完成一件事，并且每類辦法中的每種方法都能獨立完成這件事情，要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性．分類計數(shù)原理可利用“并聯(lián)”電路來理解分步完成一件事，并且只有各個步驟都完成才算完成這件事情，要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性．分步計數(shù)原理可利用“串聯(lián)”電路來理解1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）僅有甲、乙、丙三人參加四項比賽，所有比賽均無并列名次，則不同的奪冠情況共有（

）種.A．A43 B．43 C．32．（2022·全國·高二課時練習(xí)）從A地到B地要經(jīng)過C地，已知從A地到C地有三條路，從C地到B地有四條路，則從A地到B地不同的走法有______種．3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為______種．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若a,b,c??3,?2,?1,0,1,2,3,4，則符合條件的二次函數(shù)6．（2022·山東濰坊·高三階段練習(xí)）新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情爆發(fā)以來，中國人民萬眾一心，取得了抗疫斗，爭的初步勝利．面對秋冬季新冠肺炎疫情反彈風(fēng)險，某地防疫防控部門決定對某市A,B,C,D四個地區(qū)采取抽檢，每周都抽檢一個地區(qū)，且每周都是從上周未抽檢的地區(qū)中隨機(jī)抽取一個地區(qū)，設(shè)第1周抽到A地區(qū)，那么第6周也抽到A地區(qū)的概率是______（用最簡分?jǐn)?shù)表示）．7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（1）將4封信投入3個信箱中，共有_______種不同的投法；（2）某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有_________種不同的選法．【考點3：組數(shù)問題】【知識點：組數(shù)問題】對于組數(shù)問題,應(yīng)掌握以下原則

①明確特殊位置或特殊數(shù)字,是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類,分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成,如果正面分類較多,可采用間接法求解.

②要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的首位.1．（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市實驗高級中學(xué)高二期中）用數(shù)字0，1，2，3，4組成允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)個數(shù)為（

）A．125種 B．100種 C．64種 D．60種2．（2022·黑龍江·雞西實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選題）已知數(shù)字0，1，2，3，4，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有（

）A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有500個B．組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個C．組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個D．組成百位是奇數(shù)的四位偶數(shù)有28個3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）由0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字可以組成______個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).4．（2022·甘肅·玉門油田第一中學(xué)高二期中（理））用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有________個.（用數(shù)字回答）5．（2022·廣東·翠園中學(xué)高二期中）從不大于9的自然數(shù)中抽3個不同的數(shù)可以組成______個能被5整除的三位數(shù)．6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知集合A=2,4,6,8，B=1,3,5,7,9，從A中取一個數(shù)作為十位數(shù)字，從7．（2022·全國·高二專題練習(xí)）對于一個四位數(shù)，其各位數(shù)字至多有兩個不相同，試求共有多少個這種四位數(shù)？8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）由2、3、5、7組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：(1)這些數(shù)的數(shù)字和；(2)這些數(shù)的和．9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）由2、3、5、7組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：(1)這些數(shù)的數(shù)字和；(2)這些數(shù)的和．【考點4：涂色問題】【知識點：涂色問題】涂色問題常用方法:

①根據(jù)分步計數(shù)原理,對各個區(qū)域分步涂色,這是處理區(qū)域涂色問題的基本方法;

②根據(jù)共用了多少種顏色,分別計算出各種情形的種數(shù),再利用分類計數(shù)原理求出不同的涂色方法種數(shù);

③根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色進(jìn)行分類討論,從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同色入手,再利用分類計數(shù)原理求出不同涂色方法種數(shù).1．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某兒童游樂園有5個區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36

B．48

C．54

D．723．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（

）種A．144 B．73 C．48 D．324．（2023·全國·高三專題練習(xí)）四色定理又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里提出來的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”．某校數(shù)學(xué)興趣小組在研究給四棱錐P?ABCD的各個面涂顏色時，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公共棱的面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂法有（

）A．36種 B．72種 C．48種 D．24種5．（2022·河北保定·高二期末）在如圖所示的5個區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（

）A．1440 B．720 C．1920 D．9606．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末（理））用6種不同的顏色對正四棱錐的8條棱染色，每個頂點出發(fā)的棱的顏色各不相同，不同的染色方案共有_________種．7．（2021·民大附中海南陵水分校高二期中）如圖，一個正方形花圃被分成5份．若給這5個部分種植花，要求相鄰B兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，有_______種不同的種植方法8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有______種不同的涂色方法.9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖所示．將一個正四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，從左到右共有5個空格．(1)向5個空格中分別放入0，1，2，3，4這5個數(shù)字，一共可組成多少個不同的五位數(shù)的奇數(shù)？(2)用紅、黃、藍(lán)這3種顏色給5個空格涂色，要求相鄰空格用不同的顏色涂色，一共有多少種涂色方案？【考點5：利用兩個計數(shù)原理解決其他實際問題】【知識點：利用兩個計數(shù)原理解決其他實際問題】在解決實際問題的過程中，并不一定是單一的分類或分步，而可能是同時應(yīng)用兩個計數(shù)原理，即分類時，每類的方法可能要運用分步完成，而分步時，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求解．分類的關(guān)鍵在于做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步．[方法技巧]使用兩個計數(shù)原理進(jìn)行計數(shù)的基本思想對需用兩個計數(shù)原理解決的綜合問題要“先分類，再分步”，即先分為若干個“既不重復(fù)也不遺漏”的類，再對每類中的計數(shù)問題分成若干個“完整的步驟”，求出每個步驟的方法數(shù)，按照分步乘法計數(shù)原理計算各類中的方法數(shù)，最后再按照分類加法計數(shù)原理得出總數(shù)．1．（2022·全國·高二期末）有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙，需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為A．24 B．14 C．10 D．92．（2022·全國·高二課時練習(xí)）4位顧客將各自的帽子隨意放在衣帽架上，然后，每人隨意取走一頂帽子，則4人拿的都不是自己的帽子方案總數(shù)為____________.（用數(shù)字作答）3．（2021·天津·靜海一中高二期末）將編號為1，2，3，4，5，6，7的小球放入編號為1，2，3，4，5，6，7的七個盒子中，每盒放一球，若有且只有三個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為______________.專題5.1基本計數(shù)原理TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點1：分類加法計數(shù)原理】 1【考點2：分步乘法計數(shù)原理】 3【考點3：組數(shù)問題】 5【考點4：涂色問題】 9【考點5：利用兩個計數(shù)原理解決其他實際問題】 16【考點1：分類加法計數(shù)原理】【知識點：分類加法計數(shù)原理】(1)完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點：①完成一件事有若干種方法，這些方法可以分成n類．②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事．③把各類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2130是“六合數(shù)”），則其中首位為2的“六合數(shù)”共有（

）．A．18個 B．15個 C．12個 D．9個【答案】B【分析】首位數(shù)字是2，則后三位數(shù)字之和為4，然后分類排列即可求解.【詳解】由題知后三位數(shù)字之和為4，當(dāng)一個位置為4時有004，040，400，共3個；當(dāng)兩個位置和為4時有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9個；當(dāng)三個位置和為4時112，121，211，共3個，所以一共有15個.故選：B2．三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種 B．6種C．10種 D．16種【答案】B【解析】分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種方法(如圖)，同理，甲先踢給丙時，滿足條件有3種方法．由分類加法計數(shù)原理，共有3＋3＝6種傳遞方式．3.(2022·杭州二中月考)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．10【答案】B【解析】①當(dāng)a＝0時，有x＝－eq\f(b,2)，b＝－1,0,1,2，有4種可能；②當(dāng)a≠0時，則Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，(ⅰ)當(dāng)a＝－1時，b＝－1,0,1,2，有4種可能；(ⅱ)當(dāng)a＝1時，b＝－1,0,1，有3種可能；(ⅲ)當(dāng)a＝2時，b＝－1,0，有2種可能．∴有序數(shù)對(a，b)的個數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.4.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中，任取兩個不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)是________．【答案】6【解答】從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計數(shù)原理得共有N＝3＋3＝6(種)．5．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若滿足|a－b|≤1，則稱a，b“心有靈犀”．則a，b“心有靈犀”的情形共有_______．【答案】28種【分析】根據(jù)新定義，分析a取不同的值時，b取值的個數(shù)，即可得解.【詳解】當(dāng)a為0時，b只能取0，1兩個數(shù)；當(dāng)a為9時，b只能取8，9兩個數(shù)；當(dāng)a為其它數(shù)時，b都可以取三個數(shù)，例如a=1時，b可取0,1,2.綜上，一共有2+2+3×8=28種情形.故答案為：28種【考點2：分步乘法計數(shù)原理】【知識點：分步乘法計數(shù)原理】(1)完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．(2)能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有以下特點：①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可．②完成每一步有若干種方法．③把各個步驟的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．(3)名稱分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點都是解決完成一件事的不同方法的種數(shù)問題不同點運用加法運算運用乘法運算分類完成一件事，并且每類辦法中的每種方法都能獨立完成這件事情，要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性．分類計數(shù)原理可利用“并聯(lián)”電路來理解分步完成一件事，并且只有各個步驟都完成才算完成這件事情，要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性．分步計數(shù)原理可利用“串聯(lián)”電路來理解1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）僅有甲、乙、丙三人參加四項比賽，所有比賽均無并列名次，則不同的奪冠情況共有（

）種.A．A43 B．43 C．3【答案】C【分析】每個冠軍都有3種可能，因為有四項比賽，根據(jù)乘法原理，可得冠軍獲獎?wù)叩目赡芮闆r．【詳解】解：由題意，每項比賽的冠軍都有3種可能，因為有四項比賽，所以冠軍獲獎?wù)吖灿?×3×3×3=3故選：C．2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）從A地到B地要經(jīng)過C地，已知從A地到C地有三條路，從C地到B地有四條路，則從A地到B地不同的走法有______種．【答案】12【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】由分步乘法計數(shù)原理，從A地到B地不同的走法有3×4=12種.故答案為：12.3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為______種．【答案】12【分析】由分步計數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，有四件不同款式的上衣與三條不同顏色的長褲，從中四件不同款式的上衣中，任選一件有4種選法，從中三件不同顏色的長褲中，任選一件有3種選法，根據(jù)分步計數(shù)原理，可得共有4×3=12種不同的選法.故答案為：124．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某學(xué)校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．【答案】720【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求得正確答案.【詳解】原來7個節(jié)目，形成8個空位，安排一位老校友；8個節(jié)目，形成9個空位，安排一位老校友；9個節(jié)目，形成10個空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有8×9×10=720種.故答案為：7205．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若a,b,c??3,?2,?1,0,1,2,3,4，則符合條件的二次函數(shù)【答案】294【分析】由分步乘法原理求解【詳解】y=ax2+bx+c由集合元素的互異性知a,b,c互不相同，故符合條件的函數(shù)解析式有7×7×6=294個．故答案為：2946．（2022·山東濰坊·高三階段練習(xí)）新型冠狀病毒肺炎（COVID-19）疫情爆發(fā)以來，中國人民萬眾一心，取得了抗疫斗，爭的初步勝利．面對秋冬季新冠肺炎疫情反彈風(fēng)險，某地防疫防控部門決定對某市A,B,C,D四個地區(qū)采取抽檢，每周都抽檢一個地區(qū)，且每周都是從上周未抽檢的地區(qū)中隨機(jī)抽取一個地區(qū)，設(shè)第1周抽到A地區(qū)，那么第6周也抽到A地區(qū)的概率是______（用最簡分?jǐn)?shù)表示）．【答案】20【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理以及分類加法即可求解.【詳解】由于第一次抽到A，則第二次不會抽A，有3種選擇，若第三次抽到A,則第四次有3種選擇，由于第6次要抽到A，則第五次不能抽到A，故只有2種選擇，故在此種情況下，共有3×3×2=18種選擇，若第三次沒有抽A,則第三次有2種選擇，若第四次抽到A，則第五次有3種選擇；若第四次沒有抽到A,則第四次有2種選擇，第五次也有2種選擇，故共有3×2×1×3+2×2因此所以滿足第1周抽到A地區(qū)，那么第6周也抽到A地區(qū)的個數(shù)一共有18+42=60，全部情況有35=243，所以概率為故答案為：207．（2022·全國·高二課時練習(xí)）（1）將4封信投入3個信箱中，共有_______種不同的投法；（2）某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有_________種不同的選法．【答案】

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20【分析】（1）將信件分別投入郵箱，由分步乘法原理計算；（2）按照選取的人是否會兩種語言分類，用分類加法原理計算．【詳解】解析：（1）第1封信可以投入3個信箱中的任意一個，有3種投法；同理，第2，3，4封信各有3種投法．根據(jù)乘法原理，共有3×3×3×3=3（2）共分三類：第一類，當(dāng)選出的會英語的人既會英語又會日語時，選會日語的人有2種選法；第二類，當(dāng)選出的會日語的人既會英語又會日語時，選會英語的人有6種選法；第三類，當(dāng)既會英語又會日語的人不參與選擇時，則需從只會日語和只會英語的人中各選一人，有2×6=12種選法．故共有2+6+12=20種選法．【考點3：組數(shù)問題】【知識點：組數(shù)問題】對于組數(shù)問題,應(yīng)掌握以下原則

①明確特殊位置或特殊數(shù)字,是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類,分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成,如果正面分類較多,可采用間接法求解.

②要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的首位.1．（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市實驗高級中學(xué)高二期中）用數(shù)字0，1，2，3，4組成允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)個數(shù)為（

）A．125種 B．100種 C．64種 D．60種【答案】B【分析】首先確定百位數(shù)字，再根據(jù)允許有重復(fù)數(shù)字，即可確定十位與個位的數(shù)字，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：首先排百位數(shù)字，只能是1，2，3，4中的一個，故有4種排法，因為允許有重復(fù)數(shù)字，故十位與個位均有5種排法，故一共有4×5×5=100種；故選：B2．（2022·黑龍江·雞西實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選題）已知數(shù)字0，1，2，3，4，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有（

）A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有500個B．組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個C．組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個D．組成百位是奇數(shù)的四位偶數(shù)有28個【答案】AB【分析】對于A，注意首位不為0及數(shù)字可以重復(fù)即可；對于B，注意首位不為0及數(shù)字不可以重復(fù)即可；對于C，分個位數(shù)為0和不為0兩種情況討論，注意首位不為0；對于D，從特殊位置入手，先考慮首位、百位和個位，注意是可以重復(fù)的.【詳解】解：對于A，組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有4×5×5×5=500個，故A正確；對于B，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有4×4×3×2=96個，故B正確；對于C，若個位數(shù)為0時，則有4×3×2=24個，若個位數(shù)不為0時，則有2×3×3×2=36個，所以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有24+36=60個，故C錯誤；對于D，組成百位是奇數(shù)的四位偶數(shù)有4×2×5×3=120個，故D錯誤.故選：AB.3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）由0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字可以組成______個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).【答案】52【分析】由特殊位置法與特殊元素法分類討論，利用分類與分步計數(shù)原理即可解決.【詳解】根據(jù)題意，對該沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)進(jìn)行分類討論，第一類：0在個位數(shù)時，先填百位，有5種方法，再填十位，有4種方法，故能組成5×4=20個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；第二類，0不在個位數(shù)時，先填個位，只有2、4兩種方法，再填百位，0不能在此位，故有4種方法，最后填十位，有4種方法，故能組成2×4×4=32個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)；綜上，一共可以組成32+20=52個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).故答案為：52.4．（2022·甘肅·玉門油田第一中學(xué)高二期中（理））用0到9這10個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有________個.（用數(shù)字回答）【答案】648【分析】按特殊位置先排法,先排百位,再排十位,個位即可.【詳解】由于0不能做首位，按照百位,十位,個位的順序排，共有9×9×8=即可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有648個.故答案為：648.5．（2022·廣東·翠園中學(xué)高二期中）從不大于9的自然數(shù)中抽3個不同的數(shù)可以組成______個能被5整除的三位數(shù)．【答案】136【分析】根據(jù)分步乘法原理和分類加法原理計數(shù)．【詳解】不大于9的自然數(shù)有10個：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，從中取3個，組成被5整除的三位數(shù)，個位是0時，有9×8=72個，個位是5時，有8×8=64個，共有72+64=136個．故答案為：1366．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知集合A=2,4,6,8，B=1,3,5,7,9，從A中取一個數(shù)作為十位數(shù)字，從【答案】

20

10【分析】根據(jù)分步乘法和分類加法計數(shù)原理即可求解.【詳解】①從A中取一個數(shù)作為十位數(shù)字，有4種不同的取法，從B中取一個數(shù)作為個位數(shù)字，有5種不同的取法．由乘法原理可知，能組成4×5＝20個不同的兩位數(shù)．②要組成十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)，可分如下情況：當(dāng)個位數(shù)字為9時，十位上的數(shù)字有4種取法，能組成4個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)；當(dāng)個位數(shù)字為7時，十位上的數(shù)字有3種取法，能組成3個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)；當(dāng)個位數(shù)字為5時，十位上的數(shù)字有2種取法，能組成2個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)；當(dāng)個位數(shù)字為3時，十位上的數(shù)字有1種取法，能組成1個十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)．所以組成的十位數(shù)字小于個位數(shù)字的兩位數(shù)有1＋2＋3＋4＝10個．故答案為：20，10．7．（2022·全國·高二專題練習(xí)）對于一個四位數(shù)，其各位數(shù)字至多有兩個不相同，試求共有多少個這種四位數(shù)？【答案】576個【分析】由已知，可分三步來進(jìn)行考慮，先考慮千位數(shù)，有9種情況，然后再考慮后三位數(shù)字，共有9種情況，最后再確定后三位數(shù)字的順序，共有7種情況，合并在一起即可.【詳解】顯然四位數(shù)字全部相同的四位數(shù)恰有9個，下面考慮四位數(shù)字中恰有兩個不同數(shù)字的四位數(shù)，分三步考慮：第一步，先考慮千位數(shù)字，有9種選法：1，第二步，考慮百位、十位、個位上的數(shù)字，由于恰有兩個不同數(shù)字，故除了千位上的數(shù)字外，再從0，第三步，前兩步確定兩個數(shù)字后，再對個位、十位、百位上的數(shù)字進(jìn)一步確定.這三個位置上分別各有2種選擇，但要去掉一種情況：即選出的個位、十位、百位上的數(shù)字都和千位上的數(shù)字完全相同，故有（2×2×2?1綜上所述，共有這種四位數(shù)9+9×9×7=576種選法.所以，共有576個這種四位數(shù)8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）由2、3、5、7組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：(1)這些數(shù)的數(shù)字和；(2)這些數(shù)的和．【答案】(1)408(2)113322【分析】（1）根據(jù)分步乘法原理計算所有的四位數(shù)，進(jìn)而可得這24個數(shù)的數(shù)字之和，（2）確定24個數(shù)中，每個數(shù)位上2，3，5，7出現(xiàn)的次數(shù)，進(jìn)而可求這些數(shù)的和,（1）共可組成4×3×2×1＝24個四位數(shù)，這24個四位數(shù)的數(shù)字和為24×2+3+5+7（2）這24個四位數(shù)中，數(shù)字2在千位的有3×2×1＝6個，同樣，3、5、7在千位的各有6個．同理，2、3、5、7在百位、十位、個位各出現(xiàn)6次．所以所有數(shù)之和為2+3+5+79．（2022·全國·高二課時練習(xí)）由2、3、5、7組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，求：(1)這些數(shù)的數(shù)字和；(2)這些數(shù)的和．【答案】(1)408(2)113322【分析】（1）根據(jù)分步乘法原理計算所有的四位數(shù)，進(jìn)而可得這24個數(shù)的數(shù)字之和，（2）確定24個數(shù)中，每個數(shù)位上2，3，5，7出現(xiàn)的次數(shù)，進(jìn)而可求這些數(shù)的和,（1）共可組成4×3×2×1＝24個四位數(shù)，這24個四位數(shù)的數(shù)字和為24×2+3+5+7（2）這24個四位數(shù)中，數(shù)字2在千位的有3×2×1＝6個，同樣，3、5、7在千位的各有6個．同理，2、3、5、7在百位、十位、個位各出現(xiàn)6次．所以所有數(shù)之和為2+3+5+7【考點4：涂色問題】【知識點：涂色問題】涂色問題常用方法:

①根據(jù)分步計數(shù)原理,對各個區(qū)域分步涂色,這是處理區(qū)域涂色問題的基本方法;

②根據(jù)共用了多少種顏色,分別計算出各種情形的種數(shù),再利用分類計數(shù)原理求出不同的涂色方法種數(shù);

③根據(jù)某兩個不相鄰區(qū)域是否同色進(jìn)行分類討論,從某兩個不相鄰區(qū)域同色與不同色入手,再利用分類計數(shù)原理求出不同涂色方法種數(shù).1．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校高二階段練習(xí)）用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，不同的涂色方法共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.【詳解】對于①②③，兩兩相鄰，依次用不同顏色涂，共有4×3×2=24種涂色方法，對于④，與②③相鄰，但與①相隔，此時可用剩下的一種顏色或者與①同色，共2種涂色方法，則由分步乘法計數(shù)原理得故選:C2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某兒童游樂園有5個區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36

B．48

C．54

D．72【答案】D【分析】符合條件的涂色方案可分為兩類，第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，再利用分步乘法計數(shù)原理分別求出其方法數(shù)，相加即可求得結(jié)果.【詳解】如圖：將五個區(qū)域分別記為①，②，③，④，⑤，則滿足條件的涂色方案可分為兩類，第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，其中區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案有4×3×2×1×2種方案，即48種方案；區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案有4×3×2×1×1種方案，即24種方案；所以符合條件的涂色方案共有72種，故選：D.3．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（

）種A．144 B．73 C．48 D．32【答案】C【分析】依次對區(qū)域B、C、A、D涂色，結(jié)合分類加法與分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】先對區(qū)域B涂色，有4種選擇，其次再對區(qū)域C涂色，有3種選擇，然后再與區(qū)域A、D涂色，有兩種情況：（1）若區(qū)域A、D同色，有2種情況；（2）若區(qū)域A、D不同色，有2×1=2種情況.綜上所述，不同的涂法種數(shù)為4×3×2+2故選：C.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）四色定理又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里提出來的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”．某校數(shù)學(xué)興趣小組在研究給四棱錐P?ABCD的各個面涂顏色時，提出如下的“四色問題”：要求相鄰面（含公共棱的面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂法有（

）A．36種 B．72種 C．48種 D．24種【答案】B【分析】利用分步乘法原理和分類加法原理分析求解【詳解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4種選擇，側(cè)面PAB的涂色有3種選擇，側(cè)面PBC的涂色有2種選擇．①若側(cè)面PCD與側(cè)面PAB所涂顏色相同，則側(cè)面PAD的涂色有2種選擇；②若側(cè)面PCD與側(cè)面PAB所涂顏色不同，則側(cè)面PCD的涂色有1種選擇，側(cè)面PAD的涂色有1種選擇．綜上，不同的涂法種數(shù)為4×3×2×1×2+1×1故選：B．5．（2022·河北保定·高二期末）在如圖所示的5個區(qū)域內(nèi)種植花卉，每個區(qū)域種植1種花卉，且相鄰區(qū)域種植的花卉不同，若有6種不同的花卉可供選擇，則不同的種植方法種數(shù)是（

）A．1440 B．720 C．1920 D．960【答案】C【分析】按照地圖涂色問題的方法，先分步再分類去種植花卉即可求得不同的種植方法種數(shù).【詳解】如圖，設(shè)5個區(qū)域分別是A，B，C，D，E.第一步，選擇1種花卉種植在A區(qū)域，有6種方法可以選擇；第二步：從剩下的5種不同的花卉中選擇1種種植在B區(qū)域，有5種方法可以選擇；第三步：從剩下的4種花卉中選擇1種種植在C區(qū)域，有4種方法可以選擇；第四步；若區(qū)域D與區(qū)域A種植同1種花卉，則區(qū)域E可選擇的花卉有4種；若區(qū)域D與區(qū)域A種植不同種花卉，則有3種方法可以選擇；則區(qū)域E可選擇的花卉有4種，故不同的種植方法種數(shù)是6×5×4×(1×4+3×4)=1920.故選：C6．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二期末（理））用6種不同的顏色對正四棱錐的8條棱染色，每個頂點出發(fā)的棱的顏色各不相同，不同的染色方案共有_________種．【答案】38880【分析】第一步對四條側(cè)棱涂色，第二步對底面四邊形的四邊涂色（需分類討論：按選取的新顏色種類分類）．然后由分步乘法原理計算．【詳解】按題意可先對四條側(cè)棱涂色，有6×5×4×3=360種方法，再對底面四邊形的四條邊涂色，如果選取了1種新顏色，這1種顏色只涂一邊，方法數(shù)為2×4×(2+2)=32，這1種顏色涂對邊，方法數(shù)為2×2×(2×2)=16，如果選取的2種新顏色，涂2條鄰邊，方法數(shù)為2×4×(1+2)=24，涂兩條對邊，方法數(shù)為2×2×(2×2)=16，涂3條邊，方法數(shù)為4×2×2=16，涂4條邊，方法數(shù)為2，如果沒有選取新顏色，只有2種方法，所以底面4條邊的涂色方法數(shù)為(32+16)+(24+16+6+2)+2=108，所以所求涂色方法數(shù)為360×108=38880故答案為：38880.7．（2021·民大附中海南陵水分校高二期中）如圖，一個正方形花圃被分成5份．若給這5個部分種植花，要求相鄰B兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，有_______種不同的種植方法【答案】96【分析】先對A部分種植，再對B部分種植，對C部分種植進(jìn)行分類：①若與B相同，②若與B不同進(jìn)行討論即可.【詳解】先對A部分種植，有4種不同的種植方法，再對B部分種植，又3種不同的種植方法，對C部分種植進(jìn)行分類：①若與B相同，D有2種不同的種植方法，E有2種不同的種植方法，共有4×3×2×2=48（種），②若與B不同，C有2種不同的種植方法，D有1種不同的種植方法，E有2種不同的種植方法，共有4×3×2×1×2=48（種），綜上所述，共有96種種植方法．故答案為：96.8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有______種不同的涂色方法.【答案】66【分析】運用分類計數(shù)原理、分步計算原理，結(jié)合組合定義進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)選擇兩種顏色時，因為欖綠與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，所以共有C42?1=5當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中，則有2種方法選法，因此不同的涂色方法有2×2×2=8種，當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠只有一個被選中，則有2種方法選法，因此不同的涂色方法有2×3×2×(2+1)=36種，當(dāng)選擇四種顏色時，不同的涂色方法有2×2×2+2×2=12種，所以共有10+8+36+12=66種不不同的涂色方法，故答案為：669．（2023·全國·高三專題練習(xí)）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖所示．將一個正四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)．【答案】420【分析】分兩步,先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色,然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù),用乘法原理可求解【詳解】由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點S,A,B所染的顏色互不相同,它們共有5×4×3=60種染色方法；當(dāng)S,A,B染好時，不妨設(shè)所染顏色依次為1,2,3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4,則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或