人教版九年級上冊數(shù)學舉一反三21.6配方法的四種常見應用(學生版+解析)

專題21.6配方法的四種常見應用【人教版】考卷信息：本套訓練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對配方法的四種常見應用的理解！【類型1利用配方法確定未知數(shù)的取值】1．（2023春·安徽安慶·九年級安慶市第四中學?？计谀τ诙囗検絰2+2x+4，由于x2+2x+4=x+12+3≥3，所以xA．1 B．?1 C．?10 D．?192．（2023春·湖北省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程x+32=2c，則A．?3 B．0 C．1 D．33．（2023春·浙江杭州·九年級期末）若?2x2+4x?7=?2(x+m)2+n，則A．m=1,n=?5 B．m=?1,n=?5 C．m=1,n=9 D．m=?1,n=?94．（2023春·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）已知關于x的多項式?x2+mx+4A．1 B．2 C．4 D．55．（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）若關于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通過配方可以化成(x+a)2＝b(b＞0)的形式，則k的值可能是()A．0 B．2 C．3 D．96．（2023春·天津和平·九年級校考期中）若方程4x2?(m?2)x+1=0的左邊可以寫成一個完全平方式，則mA．?2 B．?2或6 C．?2或?6 D．2或?67．（2023春·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）將一元二次方程x2?8x+5=0配方成x+a2=b的形式，則8．（2023春·山東威?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期中）對于二次三項式x2+6x+3，若x取值為m，則二次三項式的最小值為n，那么m+n的值為9．（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）關于x的二次三項式x2+4x+9（1）則m=，n=；（2）求x為何值時，此二次三項式的值為7?10．（2023春·廣西賀州·九年級統(tǒng)考期中）請閱讀下列材料：我們可以通過以下方法求代數(shù)式的x2x∵∴當x=－1時，x2請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)x2+23x+5=x(2)若代數(shù)式x2?2kx+7的最小值為3，求【類型2利用配方法構造“非負數(shù)之和”解決問題】1．（2023春·九年級課時練習）已知a，b，c滿足a2+6b=7，b2?2c=?1，c2A．?1 B．5 C．6 D．?72．（2023·全國·九年級專題練習）已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，當b≥0，－2≤c＜1時，整數(shù)a的值是．3．（2023春·江蘇·九年級期末）若a，b滿足2a2+b24．（2023春·九年級課時練習）根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值；(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大邊c的值；(3)已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．5．（2023春·浙江·九年級專題練習）已知a+b?2a?1?4b?26．（2023春·廣東佛山·九年級?？计谥校?）若m2?2mn+2n2?8n+16=0解：因為m2?2mn+2由此，可求出m=______；n=______；根據(jù)上面的觀察，探究下面問題：（2）x2+4xy+5y7．（2023春·全國·九年級專題練習）已知a、b是等腰△ABC的兩邊長，且滿足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、b的值．8．（2023春·湖南益陽·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：我們知道：若幾個非負數(shù)相加得零，則這些數(shù)都必同時為零．例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我們可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我們將13拆成4和9，等式左邊就出現(xiàn)了兩個完全平方式）∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，

∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，

∴

n=2，m=-3．

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）a2﹣4a+4+b2=0，則a=．b=．（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求xy的值．（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的邊長，且滿足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周長．9．（2023春·江蘇·九年級專題練習）閱讀與思考配方法是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和．巧妙的運用“配方法”能對一些多項式進行因式分解．例如：x2（1）解決問題：運用配方法將下列多項式進行因式分解①x2②x（2）深入研究：說明多項式x2（3）拓展運用：已知a、b、c分別是△ABC的三邊，且a2?2ab+2b10．（2023春·內蒙古赤峰·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：若x2解：∵x∴x∴x?y∴x?y2=0∴y=4,x=4根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）m2?2mn+2n（2）a?b=6，ab+c2?4c+13=011．（2023春·湖南岳陽·九年級統(tǒng)考期末）設b為正整數(shù)，a為實數(shù)，記M=a2?4ab+5b2+2a?2b+114，在a，b變動的情況下，求12．（2013·四川達州·中考真題）選取二次三項式ax①選取二次項和一次項配方：x2②選取二次項和常數(shù)項配方：x2或x③選取一次項和常數(shù)項配方：x根據(jù)上述材料，解決下面問題：（1）寫出x2（2）已知x2+y13．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式．再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2解：原式=②M=a2?2ab+2解：a∵a?b2≥0∴當a=b=1時，M有最小值1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式：x2(2)用配方法因式分解：x2(3)若M=x2+8x?4(4)已知x2+2y【類型3利用配方法求最值】1．（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期末）代數(shù)式x2?4x+5的最小值為（A．?1 B．0 C．1 D．22．（2023春·山東威?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期中）已知A=x2+6x+n2A．B?A的最大值是0 B．B?A的最小值是?1C．當B=2A時，x為正數(shù) D．當B=2A時，x為負數(shù)3．（2023春·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標系xOy中，P點坐標為(m,2n2?10)，且實數(shù)m，n滿足2m?3n2+9=0，則點A．3510 B．125 C．64．（2023春·浙江·九年級期末）新定義，若關于x的一元二次方程：a1(x?m)2+n=0與a2(x?m)2+n=0，稱為“同族二次方程”．如2(x?3)2+4=0與3A．2011 B．2013 C．2018 D．20235．（2023春·福建福州·九年級福建省羅源第一中學?？计谥校┮阎獙崝?shù)m、n滿足m?n2=8，則代數(shù)式m6．（2023春·廣東韶關·九年級校考期末）閱讀下面的解答過程：求y2解：y===y+22≥0∴y+2即y2根據(jù)上面的解答過程，回答下列問題：(1)式子x2(2)求12(3)求?x7．（2023春·四川達州·九年級統(tǒng)考期末）根據(jù)學過的數(shù)學知識我們知道：任何數(shù)的平方都是一個非負數(shù)，即：對于任何數(shù)a，a2應用：代數(shù)式m2?1有值(填“最大”或“最小”)這個值是探究：求代數(shù)式n2n2+4n+5=n請你按照小明的方法，求代數(shù)式4x2+12x?1拓展：求多項式x2?4xy+5y2?12y+158．（2023春·廣東惠州·九年級期末）閱讀理解：求代數(shù)式x2解：因為x2所以當x=?3時，代數(shù)式x2仿照應用求值：(1)求代數(shù)式x2(2)求代數(shù)式?m9．（2023春·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）【提出問題】某數(shù)學活動小組在學習完反比例函數(shù)后，類比學到的方法嘗試研究函數(shù)y=x+1（1）初步思考：自變量x的取值范圍是_______________（2）探索發(fā)現(xiàn)：當x>0時，y>0；當x<0時，y<0．由此我們可猜想，該函數(shù)圖像在第_________象限；（3）深入思考：當x>0時，y=x+1x=x2+1請仿照上述過程，求當x<0時，y的最大值；【實際應用】（4）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形ABCD面積的最小值．

【類型4利用配方法比較大小】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若代數(shù)式M=10a2+2．（2023春·浙江杭州·九年級期末）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣32（1）當x＝﹣1時，求M﹣N的值；（2）當1＜x＜2時，試比較M，N的大?。?．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）【項目學習】“我們把多項式a2+2ab+b如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故街谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法．例如：求當a取何值，代數(shù)式a2解：a因為(a+3)2≥0，所以因此，當a=?3時，代數(shù)式a2【問題解決】利用配方法解決下列問題：(1)當x=___________時，代數(shù)式x2?2x?1有最小值，最小值為(2)當x取何值時，代數(shù)式2x【拓展提高】(3)當x，y何值時，代數(shù)式5x(4)如圖所示的第一個長方形邊長分別是2a+5、3a+2，面積為S1；如圖所示的第二個長方形邊長分別是5a、a+5，面積為S2，試比較S14．（2023春·江蘇宿遷·九年級校考期中）問題：對于形如x2+2xa+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成(x+a)2的形式．但對于二次三項式x2+2xa?3a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式===(x+3a)(x?a)像這樣，先添一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”，利用“配方法"，解決下列問題：(1)分解因式：a2(2)比較代數(shù)式x2?1與5．（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）“a2≥0”這個結論在數(shù)學中非常有用，有時我們需要將代數(shù)式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．試利用“配方法”解決下列問題：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比較代數(shù)式：x2﹣1與2x﹣3的大?。?．（2023春·江蘇蘇州·九年級校聯(lián)考期中）先閱讀后解題：若m2+2m+n2?6n+10=0解：等式可變形為：m即(m+1)因為(m+1)2≥0，所以m+1=0，n?3=0即m=?1，n=3．像這樣將代數(shù)式進行恒等變形，使代數(shù)式中出現(xiàn)完全平方式的方法叫做“配方法”．請利用配方法，解決下列問題：（1）已知x2+y（2）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足2a2+（3）在實數(shù)范圍內，請比較多項式2x2+2x?37．（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料利用完全平方公式，將多項式x2＋bx＋c變形為（x＋m）2＋n的形式．例如：x2﹣8x＋17＝x2﹣2?x?4＋42﹣42＋17＝（x﹣4）2＋1（1）填空：將多項式x2﹣2x＋3變形為（x＋m）2＋n的形式，并判斷x2﹣2x＋3與0的大小關系．∵x2﹣2x＋3＝（x﹣）2＋．∴x2﹣2x＋30（填“＞”、“＜”、“＝”）（2）如圖①所示的長方形邊長分別是2a＋5、3a＋2，求長方形的面積S1（用含a的式子表示）；如圖②所示的長方形邊長分別是5a、a＋5，求長方形的面積S2（用含a的式子表示）（3）比較（2）中S1與S2的大小，并說明理由．

8．（2023春·廣東肇慶·九年級德慶縣德城中學?？计谥校┎牧祥喿x小明同學在學習過程中非常重視歸納總結，學習了完全平方公式之后，他發(fā)現(xiàn)并總結出了三個很有價值的結論：①形如a±b2+c的式子，當a±b=0有最小值，最小值是②形如?a±b2+c的式子，當a±b=0③а2這三個結論有著廣泛的運用．比如：求x取何值時，代數(shù)式x2∵x∴當x?2=0，即x=2時x2?4x+3的值最小，最小值為理解運用請恰當?shù)剡x用上面的結論解答下面的問題(1)求x取何值時，代數(shù)式?x(2)某種產(chǎn)品的原料提價，因而廠家決定對產(chǎn)品進行提價，現(xiàn)有兩種方案：方案一：第一次提價p%，第二次提價q%：方案二：第一次，第二次提價均為p+q2其中p，q是不相等的正數(shù)，請比較兩種方案，哪種方案提價較多？

專題21.6配方法的四種常見應用【人教版】考卷信息：本套訓練卷共40題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對配方法的四種常見應用的理解！【類型1利用配方法確定未知數(shù)的取值】1．（2023春·安徽安慶·九年級安慶市第四中學?？计谀τ诙囗検絰2+2x+4，由于x2+2x+4=x+12+3≥3，所以xA．1 B．?1 C．?10 D．?19【答案】B【分析】原式配方后，利用非負數(shù)的性質確定出m的值即可．【詳解】解：?=?=?=?x?3∵x?32∴?x?3∴?x?3∴?x2+6x?m∴9?m=10，∴m=?1故選：B．【點睛】本題主要考查了配方法的應用，正確將原式配方是解題的關鍵．2．（2023春·湖北省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期末）若關于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程x+32=2c，則A．?3 B．0 C．1 D．3【答案】D【分析】根據(jù)完全平方式的特征對x2+6x+c=0配方可得x+32【詳解】解：∵對x2+6x+c=0∴x+32?9+c=0∴?c+9=2c∴c=3故選：D【點睛】本題考查了完全平方公式和一元二次方程的綜合運用，熟練完全平方式的配方是解題的關鍵.3．（2023春·浙江杭州·九年級期末）若?2x2+4x?7=?2(x+m)2+n，則A．m=1,n=?5 B．m=?1,n=?5 C．m=1,n=9 D．m=?1,n=?9【答案】B【分析】已知等式左邊變形后，配方得到結果，即可確定出m與n的值．【詳解】解：∵-2x2+4x-7=-2（x2-2x+1）-5=-2（x-1）2-5=-2（x+m）2+n，∴m=-1，n=-5．故選：B．【點睛】此題考查了配方法的應用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．4．（2023春·遼寧大連·九年級統(tǒng)考期末）已知關于x的多項式?x2+mx+4A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】利用配方法將?x【詳解】解：?故m2解得：m=±2.故選B.【點睛】本題考查了配方法的運用，掌握配方法是解題的關鍵.5．（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）若關于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通過配方可以化成(x+a)2＝b(b＞0)的形式，則k的值可能是()A．0 B．2 C．3 D．9【答案】B【分析】把選項中的k的值代入，得出方程，再解方程，即可得出選項．【詳解】解：A、當k＝0時，方程為﹣6x+3＝0，不能化成(x+a)2＝b(b＞0)的形式，故本選項不符合題意；B、當k＝2時，方程為2x2﹣6x+3＝0，xx2(x?3C、當k＝3時，方程為3x2﹣6x+3＝0，x2﹣2x+1＝0，(x﹣2)2＝0，b＝0，故本選項不符合題意；D、當k=92時，方程為9x2﹣12x+6＝0，9x2﹣12x+4＝﹣2，(3x﹣2)2＝﹣2，b＜0，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了解一元二次方程和一元二次方程的定義，能正確配方是解此題的關鍵．6．（2023春·天津和平·九年級校考期中）若方程4x2?(m?2)x+1=0的左邊可以寫成一個完全平方式，則mA．?2 B．?2或6 C．?2或?6 D．2或?6【答案】B【分析】根據(jù)完全平方式a2±2ab+b2=（a±b）2的結構，而4x2=（2x）2，即可求解．【詳解】?(m?2)=±2×2×1，∴m?2=±4，即m?2=4或m?2=?4，得m=?2或m=6.故選B.【點睛】考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.7．（2023春·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）將一元二次方程x2?8x+5=0配方成x+a2=b的形式，則【答案】7【分析】先移項，再在方程的兩邊都加上16，配方后可求解a，b的值，從而可得答案．【詳解】解：∵x移項得：x2∴x∴x?4∴a=?4，b=11，∴a+b=7，故答案為：7．【點睛】此題考查的是配方法的應用，掌握配方法的方法與步驟是解題的關鍵．8．（2023春·山東威海·九年級統(tǒng)考期中）對于二次三項式x2+6x+3，若x取值為m，則二次三項式的最小值為n，那么m+n的值為【答案】-9【分析】先將原式進行配方后即可得出m，n的值，再代入計算即可．【詳解】解：x=x=(x+3)2∵(x+3)2∴x2+6x+3≥?6，即當x=?3時，二次三項式∴m=?3,n=?6，∴m+n=?3?6=?9，故答案為：-9．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應用，正確進行配方是解答本題的關鍵．9．（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）關于x的二次三項式x2+4x+9（1）則m=，n=；（2）求x為何值時，此二次三項式的值為7?【答案】（1）2，5；（2）2±2【詳解】試題分析：（1）根據(jù)完全平方公式配方，即可得出答案；（2）根據(jù)題意得出方程，求出方程的解即可．試題解析：（1）x2+4x+9=x2+4x+4+5=（x+2）（2）根據(jù)題意得：x2+4x+9=7，（x+2）2=7-5，x+2=±2考點：解一元二次方程—配方法．10．（2023春·廣西賀州·九年級統(tǒng)考期中）請閱讀下列材料：我們可以通過以下方法求代數(shù)式的x2x∵∴當x=－1時，x2請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)x2+23x+5=x(2)若代數(shù)式x2?2kx+7的最小值為3，求【答案】(1)3，2(2)k=±2【分析】（1）根據(jù)配方法直接作答即可；（2）根據(jù)題中材料告知的方法，先配方，再根據(jù)平方的非負性求解即可．（1）解：x==x+∴a=3故答案為：3，2；（2）解：x==(x?k)∵（x?k)∴(x?k)2?k∵代數(shù)式x2∴?k2+7=3∴k=±2．【點睛】此題考查了配方法的應用，以及平方的非負性，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．．【類型2利用配方法構造“非負數(shù)之和”解決問題】1．（2023春·九年級課時練習）已知a，b，c滿足a2+6b=7，b2?2c=?1，c2A．?1 B．5 C．6 D．?7【答案】B【分析】首先把a2+6b=7，b2?2c=?1，c2?2a=?17，兩邊相加整理成a2【詳解】解：∵a2+6b=7，b∴a∴∴(a?1)∴a=1，b=?3，c=1，∴a?b+c=1+3+1=5．故選：B．【點睛】此題考查了配方法，解題的關鍵是掌握完全平方公式是解決問題的關鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習）已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，當b≥0，－2≤c＜1時，整數(shù)a的值是．【答案】2或3【分析】由a?b＝2，得出a＝b＋2，進一步代入ab+2b?c2+2c=0，利用完全平方公式得到b+22?【詳解】解：∵a?b＝2，∴a＝b＋2，∴ab+2b?=b==＝0，∴b+22∵b≥0，?2≤c＜1，∴?3≤c?1<0，∴0<c?1∴3<c?1∴3＜b+22∵a是整數(shù)，∴b是整數(shù)，∴b＝0或1，∴a＝2或3，故答案為：2或3．【點睛】此題考查配方法的運用，掌握完全平方公式是解決問題的關鍵．3．（2023春·江蘇·九年級期末）若a，b滿足2a2+b2【答案】?4【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非負數(shù)的性質求出a，b的值，代入原式計算即可得到結果．【詳解】解：已知等式變形得：a2即a+b2∵a+b2≥0，∴a+b=0，a?2=0，解得：a=2，b=?2，則a+3b=2?6=?4．故答案為：?4．【點睛】此題考查了配方法的應用，以及非負數(shù)的性質，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．4．（2023春·九年級課時練習）根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值；(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大邊c的值；(3)已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．【答案】(1)9(2)6、7、8、9、10(3)8【分析】（1）將已知的等式化為(x﹣（2）將已知的等式化為(a﹣5)2+(b﹣6)（3）將已知的等式化為(a﹣【詳解】（1）∵x2∴(x∴(x﹣∴x﹣y=0，∴x=﹣3，∴xy=(﹣即xy的值是9；（2）∵a2∴(a∴(a﹣∴a﹣5=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜∴6≤c＜∴△ABC的最大邊c的值可能是6、7、8、9、10；（3）∵a﹣b=8，∴a(a﹣∴(a﹣∴a﹣4=0，∴a=4，c=8，即b=a﹣∴a+b+c=4﹣即a+b+c的值是8．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應用以及平方數(shù)的非負性等知識，靈活運用完全平方公式是解答本題的關鍵．5．（2023春·浙江·九年級專題練習）已知a+b?2a?1?4b?2【答案】20【分析】利用完全平方公式及配方法變形，再利用完全平方公式的非負性列出方程求出a、b、c的值，代入所求代數(shù)式計算即可．【詳解】解：將等式整理配方，得(a?1則a?1?1=0，b?2?2=0，∴a=2，b=6，c=12，∴a+b+c=20．【點睛】本題考查了全平方公式，配方法、完全平方的非負性：解題的關鍵是掌握配方法的步驟進行求解，同時掌握當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．6．（2023春·廣東佛山·九年級校考期中）（1）若m2?2mn+2n2?8n+16=0解：因為m2?2mn+2由此，可求出m=______；n=______；根據(jù)上面的觀察，探究下面問題：（2）x2+4xy+5y【答案】（1）4，4；（2）?3【分析】（1）先把原式變形為m?n2（2）仿照（1）把原式變形為x+2y2+y?22【詳解】解：（1）∵m2∴m2∴m?n2∵m?n2∴m?n∴m?n=0，∴m=n=4，故答案為；4，4；（2）∵x2∴x2∴x+2y2∵x+2y2∴x+2y2∴x+2y=y?2∴x=?22∴2x+y=?32【點睛】本題主要考查了配方法的運用，偶次方的非負性，二次根式的加法等等，熟知配方法是解題的關鍵．7．（2023春·全國·九年級專題練習）已知a、b是等腰△ABC的兩邊長，且滿足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、b的值．【答案】a=4，b=2．【分析】利用配方法把原式化為平方和的形式，根據(jù)偶次方的非負性求出a、b，計算即可【詳解】解：a2+b2-8a-4b+20=0，a2-8a+16+b2-4b+4=0，(a-4)2+(b-2)2=0a-4=0，b-2=0，a=4，b=2．【點睛】本題考查的是配方法的應用、非負數(shù)的性質，掌握完全平方公式、偶次方的非負性是解題的關鍵．8．（2023春·湖南益陽·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：我們知道：若幾個非負數(shù)相加得零，則這些數(shù)都必同時為零．例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我們可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我們將13拆成4和9，等式左邊就出現(xiàn)了兩個完全平方式）∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，

∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，

∴

n=2，m=-3．

根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）a2﹣4a+4+b2=0，則a=．b=．（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求xy的值．（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的邊長，且滿足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周長．【答案】（1）a=2，b=0；（2）xy=-27；（3）當a為腰時，周長為7，當b為腰時，周長為8.【分析】（1）由題意給出的運算公式即可解答（2）根據(jù)完全平方公式，再根據(jù)非負數(shù)的性質進行解答即可（3）同（2）根據(jù)完全平方公式求出a,b的值，再根據(jù)情況分類討論等腰三角形的腰長即可解答【詳解】（1）a2﹣4a+4+b2=0，則a=2．b=0．（2）解:∵x2+2xy+2y2－6y+9=0,∴x2+2xy+y2+y2－6y+9=0

∴(x+y)2+(y－3)2=0

∴x+y=0,y－3=0∴y=3，x=-y=-3,

∴xy=(-3)3=-27（3）∵2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，∴2a2﹣8a+8+b2﹣6b+9=0∴2(a2﹣4a+4)+b2﹣6b+9=0∴2(a﹣2)2+(b-3)2=0∴a﹣2=0,

b-3=0∴a=2，b=3,

當a為腰時，周長為7，當b為腰時，周長為8.【點睛】此題考查配方法的應用，利用完全平方公式是解題關鍵9．（2023春·江蘇·九年級專題練習）閱讀與思考配方法是指將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和．巧妙的運用“配方法”能對一些多項式進行因式分解．例如：x2（1）解決問題：運用配方法將下列多項式進行因式分解①x2②x（2）深入研究：說明多項式x2（3）拓展運用：已知a、b、c分別是△ABC的三邊，且a2?2ab+2b【答案】（1）①x+4x?1；②x+1【分析】（1）仿照例子運用配方法進行因式分解即可；（2）利用配方法和非負數(shù)的性質進行說明即可；（3）展開后利用分組分解法因式分解后利用非負數(shù)的性質確定三角形的三邊的關系即可．【詳解】解：（1）①xx+3②x=（2）x∵x?3∴x?3∴多項式x2（3）△ABC為等邊三角形．理由如下：∵a∴a∴a?b∴a?b=0，b?c=0∴a=b=c∴△ABC為等邊三角形．【點睛】本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是仔細閱讀材料理解配方的方法．10．（2023春·內蒙古赤峰·九年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：若x2解：∵x∴x∴x?y∴x?y2=0∴y=4,x=4根據(jù)上述材料，解答下列問題：（1）m2?2mn+2n（2）a?b=6，ab+c2?4c+13=0【答案】（1）2m+n=3；（2）a+b+c=2．【分析】（1）將方程m2?2mn+2n2?2n+1=0（2）由a?b=6整理得，a=6+【詳解】解：（1）∵m∴m∴m?n∴m?n2=0∴n=1，m=n=1∴2m+n=2×1+1=3；（2）∵a?b=6，∴a=6+b∵ab+∴(b+6)b+∴(∴b+3∴b+32=0∴b=?3，c=2∴a=6+∴a+b+c=3+?3【點睛】本題考查配方法的應用，涉及完全平方公式化簡、偶次方的非負性，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．11．（2023春·湖南岳陽·九年級統(tǒng)考期末）設b為正整數(shù)，a為實數(shù)，記M=a2?4ab+5b2+2a?2b+114，在a，b變動的情況下，求【答案】5，b=1，a=12【分析】根據(jù)配方法把M進行變形，根據(jù)b為正整數(shù)，求出M可能取得的最小整數(shù)值，把M的最小值代入配方后的式子，求出a、b的值即可．【詳解】解：M=a?2b注意到b為正整數(shù)，所以M≥1+1所以M可能取得的最小整數(shù)值為5．當M=5時，a?2b+12故a?2b+12因為b為正整數(shù)，所以b+12所以一定有b+1=2，且a?2b+12所以b=1，a=12或【點睛】本題考查的是配方法的應用和非負數(shù)的性質，掌握配方法的步驟和非負數(shù)的性質是解題的關鍵．12．（2013·四川達州·中考真題）選取二次三項式ax①選取二次項和一次項配方：x2②選取二次項和常數(shù)項配方：x2或x③選取一次項和常數(shù)項配方：x根據(jù)上述材料，解決下面問題：（1）寫出x2（2）已知x2+y【答案】（1）答案解析；（2）1．【分析】（1）根據(jù)配方法的步驟根據(jù)二次項系數(shù)為1，常數(shù)項是一次項系數(shù)的一半的平方進行配方和二次項和常數(shù)項在一起進行配方即可．（2）根據(jù)配方法的步驟把x2+y2+xy?3y+3=0變形為x+y2【詳解】解：（1）x2或x2（2）∵x2∴x2+xy+y∴x+y2=0∴xy13．（2023春·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式．再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：a2解：原式=②M=a2?2ab+2解：a∵a?b2≥0∴當a=b=1時，M有最小值1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添加一個常數(shù)，使之成為完全平方式：x2(2)用配方法因式分解：x2(3)若M=x2+8x?4(4)已知x2+2y【答案】(1)1(2)x?y(3)?20(4)4【分析】（1）根據(jù)題意，由完全平方公式(a+b)2=a（2）按照題干上的示例可以將x2?4xy+3y（3）根據(jù)題意的方法，先將M因式分解為完全平方的形式即x+42（4）根據(jù)題意先將x2+2y2+z2?2xy?2y?4z+5=0因式分解，變成完全平方的形式即(x?y)2【詳解】（1）解：x2故答案為：19（2）解：x====x?y（3）解：M===x+4∵(x+4)2∴當x=?4時，M有最小值為?20；（4）解：x2x2x?y2∵x?y2≥0，y?12∴x?y=0y?1=0∴x=1，y=1，z=2，∴x+y+z=1+1+2=4，故答案為：4．【點睛】本題考查了利用配方法解決數(shù)學中的問題；把代數(shù)式通過配湊等手段，得到局部完全平方式，再進行有關運算和解題，這種解題方法叫做配方法；配方法在數(shù)學中應用比較廣泛，既可以利用配方法進行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同時對于（4）中幾個非負數(shù)的和為零時，可得這幾個加數(shù)同時為零，求出未知數(shù)的值，這一知識在數(shù)學中經(jīng)常運用，要熟練掌握．【類型3利用配方法求最值】1．（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期末）代數(shù)式x2?4x+5的最小值為（A．?1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】利用配方法對代數(shù)式做適當變形即可解答．【詳解】解：x∵x?2∴x?2即代數(shù)式x故選：C．【點睛】本題考查了完全平方公式、不等式等知識點，掌握運用配方法求最值是解題的關鍵．2．（2023春·山東威?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期中）已知A=x2+6x+n2A．B?A的最大值是0 B．B?A的最小值是?1C．當B=2A時，x為正數(shù) D．當B=2A時，x為負數(shù)【答案】B【分析】利用配方法表示出B?A，以及B=2A時，用含n的式子表示出x，確定x的符號，進行判斷即可．【詳解】解：∵A=x2+6x+∴B?A=2=2==x?1∴當x=1時，B?A有最小值?1；當B=2A時，即：2x∴2x∴?8x=n∴x≤0，即x是非正數(shù)；故選項A,C,D錯誤，選項B正確；故選B．【點睛】本題考查整式加減運算，配方法的應用．熟練掌握合并同類項，以及配方法，是解題的關鍵．3．（2023春·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標系xOy中，P點坐標為(m,2n2?10)，且實數(shù)m，n滿足2m?3n2+9=0，則點A．3510 B．125 C．6【答案】B【分析】由2m?3n2+9=0,得n2=2m+93，點P到原點【詳解】解：由2m?3n2+9=0∴點P到原點O的距離為：OP===≥16?故選:B.【點睛】本題考查點的坐標，但計算整理過程非常復雜，要求有極強的計算能力，確保計算的正確性，熟練掌握配方法是解題的關鍵.4．（2023春·浙江·九年級期末）新定義，若關于x的一元二次方程：a1(x?m)2+n=0與a2(x?m)2+n=0，稱為“同族二次方程”．如2(x?3)2+4=0與3A．2011 B．2013 C．2018 D．2023【答案】B【分析】根據(jù)同族二次方程的定義，可得出a和b的值，從而解得代數(shù)式的最小值．【詳解】解：∵2(x?1)2+1=0∴(a+2)x∴(a+2)x∴b?4=?2(a+2)8=a+3解得：a=5b=?10∴ax∴當x=1時，ax故選：B.【點睛】此題主要考查了配方法的應用，解二元一次方程組的方法，理解同族二次方程的定義是解答本題的關鍵．5．（2023春·福建福州·九年級福建省羅源第一中學校考期中）已知實數(shù)m、n滿足m?n2=8，則代數(shù)式m【答案】58【分析】根據(jù)題意把原式變形，根據(jù)配方法把原式寫成含有完全平方的形式，根據(jù)m≥8，即可求解．【詳解】∵m?n∴n2=m?8，則m====∵m≥8∴當m=8時取得最小值，最小值為8?12故答案為：58．【點睛】本題考查配方法的應用和非負數(shù)的性質，解題的關鍵是掌握配方法的應用和非負數(shù)的性質.6．（2023春·廣東韶關·九年級?？计谀╅喿x下面的解答過程：求y2解：y===y+22≥0∴y+2即y2根據(jù)上面的解答過程，回答下列問題：(1)式子x2(2)求12(3)求?x【答案】(1)小，1(2)?(3)5【分析】（1）原式配方后，利用非負數(shù)的性質確定出最小值即可；（2）原式配方后，利用非負數(shù)的性質確定出最小值即可；（3）原式變形后，利用完全平方公式配方，再利用非負數(shù)的性質確定出最大值即可．【詳解】（1）式子x2故答案為：小，1；（2）原式=1當x+1=0，即x=?1時，原式有最小值，最小值為?1（3）原式=?x當x?1=0，即x=1時，原式有最大值，最大值為5．【點睛】本題考查了配方法的應用，熟練掌握完全平方式是解題的關鍵．7．（2023春·四川達州·九年級統(tǒng)考期末）根據(jù)學過的數(shù)學知識我們知道：任何數(shù)的平方都是一個非負數(shù)，即：對于任何數(shù)a，a2應用：代數(shù)式m2?1有值(填“最大”或“最小”)這個值是探究：求代數(shù)式n2n2+4n+5=n請你按照小明的方法，求代數(shù)式4x2+12x?1拓展：求多項式x2?4xy+5y2?12y+15【答案】應用：最小，?1；探究：?10，此時x=?32；拓展：?21，此時x=12，【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質即可得出答案；先把給出的式子化成完全平方加常數(shù)的形式，再根據(jù)非負數(shù)的性質即可得出答案．【詳解】解：應用：∵m2≥0，∴代數(shù)式m2?1有最小值，這個值是?1，此時故答案為：最小，?1；探究：∵4x∴當2x+3=0，即x=?32時，代數(shù)式4x拓展：∵==(x?2y)∴當x?2y=0，y?6=0時，即x=12，y=6，多項式x2?4xy+5y【點睛】此題考查了配方法的應用，用到的知識點是完全平方公式，非負數(shù)的性質，解題的關鍵是把給出的式子化成完全平方加常數(shù)的形式進行解答．8．（2023春·廣東惠州·九年級期末）閱讀理解：求代數(shù)式x2解：因為x2所以當x=?3時，代數(shù)式x2仿照應用求值：(1)求代數(shù)式x2(2)求代數(shù)式?m【答案】(1)9(2)19【分析】（1）先配方，再根據(jù)完全平方的非負性即可得到答案；（2）先配方，再根據(jù)完全平方的非負性即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意可得，x2∵(x+1)2∴(x+1)2∴當x=?1時，代數(shù)式x2（2）解：由題意可得，?m∵(m?4)2∴?(m?4)∴當m=4時，代數(shù)式?m2+8m+3【點睛】本題考查代數(shù)式配方及根據(jù)非負性求最值，解題的關鍵是配方．9．（2023春·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）【提出問題】某數(shù)學活動小組在學習完反比例函數(shù)后，類比學到的方法嘗試研究函數(shù)y=x+1（1）初步思考：自變量x的取值范圍是_______________（2）探索發(fā)現(xiàn)：當x>0時，y>0；當x<0時，y<0．由此我們可猜想，該函數(shù)圖像在第_________象限；（3）深入思考：當x>0時，y=x+1x=x2+1請仿照上述過程，求當x<0時，y的最大值；【實際應用】（4）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形ABCD面積的最小值．

【答案】（1）x≠0；（2）一、三；（3）?2；（4）25【分析】（1）根據(jù)分母不為0即可求解；（2）根據(jù)當x>0時，y>0；當x<0時，y<0即可判斷；（3）模仿題干所給的求解過程，利用配方法即可求解；（4）設S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，則由等高三角形可知：S△BOC:S【詳解】解：（1）函數(shù)y=x+1x的自變量x的取值范圍為：故答案為：x≠0；（2）∵當x>0時，y>0；當x<0時，y<0．∴該函數(shù)的函數(shù)圖象在第一、三象限，故答案為：一、三；（3）當x<0時，x+1∵y=??x?∴當?x+1?x=0時，即x=?1時，∴當x<0時，x+1x的最大值為故答案為：?2；（4）設S△BOC=x，已知S由等高三角形可知：S△BOC∴x:9=4:∴:∴四邊形ABCD面積=4+9+x+36∵x+36當且僅當x?36x=0，即【點睛】本題考查了配方法在最值問題中的應用，同時本題還考查了函數(shù)的相關知識和等高三角形的性質，熟練掌握配方法是解題的關鍵．【類型4利用配方法比較大小】1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若代數(shù)式M=10a2+【答案】M>N【分析】兩數(shù)比較利用作差法M-N作差后的結果與0比較大小即可．【詳解】解：由題意可知：M?N=10a∵(3a?2)2∴(3a?2)2∴M>N，故答案為：M>N．【點睛】比較兩數(shù)的大小一個常用的方法是作差法，通過作差后的結果與0比較大小即可求解2．（2023春·浙江杭州·九年級期末）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣32（1）當x＝﹣1時，求M﹣N的值；（2）當1＜x＜2時，試比較M，N的大?。敬鸢浮浚?）8；（2）M<N．【分析】（1）根據(jù)整式的加減混合運算法則把原式化簡，代入計算即可；（2）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負性解答．【詳解】（1）M﹣N＝（x2﹣3）﹣（4x﹣6）＝x2﹣3﹣4x+6＝x2﹣4x+3，當x＝﹣1時，原式＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）+3＝8；（2）M﹣N＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∵1＜x＜2∴﹣1＜x﹣2＜0，∴0＜（x﹣2）2＜1，∴（x﹣2）2﹣1＜0，∴M＜N．【點睛】本題考查的是配方法的應用，掌握完全平方公式、偶次方的非負性是解題的關鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）【項目學習】“我們把多項式a2+2ab+b如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法．例如：求當a取何值，代數(shù)式a2解：a因為(a+3)2≥0，所以因此，當a=?3時，代數(shù)式a2【問題解決】利用配方法解決下列問題：(1)當x=___________時，代數(shù)式x2?2x?1有最小值，最小值為(2)當x取何值時，代數(shù)式2x【拓展提高】(3)當x，y何值時，代數(shù)式5x(4)如圖所示的第一個長方形邊長分別是2a+5、3a+2，面積為S1；如圖所示的第二個長方形邊長分別是5a、a+5，面積為S2，試比較S1【答案】(1)1，?2

；(2)x=?2時，4；(3)x=?3，y=?6，16；(4)S1【分析】（1）仿照文中所給的配方法的思路解答即可；（2）先提取公因數(shù)2，再利用文中所給的配方法的思路解答即可；（3）將5x2?4xy+（4）求出S1?S2=a2【詳解】（1）解：x因為x?12≥0，所以因此，當x=1時，代數(shù)式x2?2x?1故答案為：1；?2（2）解：2x因為x+22≥0，所以因此，當x=?2（3）解：5因為2x?y2≥0，x+3因此，當2x=y，x=?3時，即x=?3，y=?6時，代數(shù)式（4）解：S1=2a+5∴S1∵a?32∴S1?S【點睛】本題考查配方法，解題的關鍵是理解題意，掌握配方法的原則．4．（2023春·江蘇宿遷·九年級?？计谥校﹩栴}：對于形如x2+2xa+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成(x+a)2的形式．但對于二次三項式x2+2xa?3a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式===(x+3a)(x?a)像這樣，先添一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”，利用“配方法"，解決下列問題：(1)分解因式：a2(2)比較代數(shù)式x2?1與【答案】(1)a2-6a+8=(a-2)(a-4)；(2)x2-1>2x-3.【分析】(1)前兩項加9再減9，可以組成完全平方式；(2)將x2?1與【詳解】(1)a2-6a+8=a2-6a+9-9+8=(a-3)2-1=(a-2)(a-4)；(2)x2?1-(=x2-1-2x+3=x2-2x+2=x2-2x+1-1+2=(x-1)2+1，不論x為何值，總有(x-1)2+1≥1>0，所以x2-1>2x-3.【點睛】本題考查了配方法，十字相乘法分解因式，偶次方的性質，因式分解的應用等，配方法是數(shù)學習題里經(jīng)常出現(xiàn)的方法，應熟練掌握．5．（2023春·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）“a2≥0”這個結論在數(shù)學中非常有用，有時我們需要將代數(shù)式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．試利用“配方法”解決下列問題：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x）2+；（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；（3）比較代數(shù)式：x2﹣1與2x﹣3的大?。敬鸢浮浚?）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3【分析】（1）直接配方即可；（2）先配方得到非負數(shù)和的形式，再根據(jù)非負數(shù)的性質得到x、y的值，再求x＋y的值；（3）將兩式相減，再配方即可作出判斷．【詳解】解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，故答案為：-2，1；（2）x2﹣4x+y2+2