2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心素養(yǎng)測評第8章8.6利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系含解析新人教B版

PAGE10-核心素養(yǎng)測評四十三利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,1,1),則 ()A.l∥α B.l⊥αC.l?α或l∥α D.l與α斜交【解析】選C.因?yàn)閍=(1,0,2),n=(-2,1,1),所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或l?α.2.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1).若c與a及b都垂直,則m,n的值分別為 ()A.-1,2 B.1,-2C.1,2 D.-1,-2【解析】選A.由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1),故a·c=3m+n+1=0,b·c=m+5n-9=0.解得m=-1,n=2.3.已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1,-1,2),平面α的一個法向量為n=(6,-3,6),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是 ()A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1)C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4)【解析】選A.逐一驗(yàn)證法,對于選項(xiàng)A,QUOTE=(1,4,1),所以QUOTE·n=6-12+6=0,所以QUOTE⊥n,所以點(diǎn)P在平面α內(nèi),同理可驗(yàn)證其他三個點(diǎn)不在平面α內(nèi).4.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,P,Q分別為棱AB,CD,BC的中點(diǎn),若平行六面體的各棱長均相等,則:①A1M∥D1P;②A1M∥B③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB以上說法正確的個數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE∥QUOTE,所以A1M∥D1P,由線面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正確.5.如圖,F是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn).E是BB1上一點(diǎn),若D1F⊥DE,A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=QUOTEEB D.E與B重合【解析】選A.分別以DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,則D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),設(shè)E(2,2,z),則QUOTE=(0,1,-2),QUOTE=(2,2,z),因?yàn)镼UOTE·QUOTE=0×2+1×2-2z=0,所以z=1,所以B1E=EB.二、填空題(每小題5分,共15分)6.若A0,2,QUOTE,B1,-1,QUOTE,C-2,1,QUOTE是平面α內(nèi)的三點(diǎn),設(shè)平面α的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=________.

【解析】QUOTE=1,-3,-QUOTE,QUOTE=-2,-1,-QUOTE,a·QUOTE=0,a·QUOTE=0,QUOTEx∶y∶z=QUOTEy∶y∶-QUOTEy=2∶3∶(-4).答案:2∶3∶(-4)7.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則直線ON,AM的位置關(guān)系是________【解析】以A為原點(diǎn),分別以QUOTE,QUOTE,QUOTE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則A(0,0,0),MQUOTE,OQUOTE,NQUOTE,0,1,QUOTE·QUOTE=0,1,QUOTE·0,-QUOTE,1=0,所以O(shè)N與AM垂直.答案:垂直8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別是棱BC,DD1上的點(diǎn),假如B1E⊥平面ABF,則CE與DF的和的值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【解析】以D1A1,D1C1,D則易知E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0,0,1-y),B(1,1,1),所以QUOTE=(x-1,0,1),QUOTE=(1,1,y),因?yàn)锽1E⊥平面ABF,所以QUOTE·QUOTE=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,所以x+y=1.答案:1三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直,AB=QUOTE,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).求證:(1)AM∥平面BDE. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(2)AM⊥平面BDF.【證明】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AC∩BD=N,連接NE.則NQUOTE,QUOTE,0,E(0,0,1),A(QUOTE,QUOTE,0),MQUOTE,QUOTE,1,所以QUOTE=-QUOTE,-QUOTE,1,QUOTE=-QUOTE,-QUOTE,1.所以QUOTE=QUOTE且NE與AM不共線.所以NE∥AM.又因?yàn)镹E?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知QUOTE=-QUOTE,-QUOTE,1,因?yàn)镈(QUOTE,0,0),F(QUOTE,QUOTE,1),所以QUOTE=(0,QUOTE,1)所以QUOTE·QUOTE=0,所以AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,所以AM⊥平面BDF.10.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側(cè)面PBC⊥底面ABCD. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號證明:(1)PA⊥BD.(2)平面PAD⊥平面PAB.【證明】(1)取BC的中點(diǎn)O,連接PO,因?yàn)槠矫鍼BC⊥底面ABCD,△PBC為等邊三角形,平面PBC∩底面ABCD=BC,PO?平面PBC,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以BC所在直線為x軸,過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.不妨設(shè)CD=1,則AB=BC=2,PO=QUOTE,所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,QUOTE),所以QUOTE=(-2,-1,0),QUOTE=(1,-2,-QUOTE).因?yàn)镼UOTE·QUOTE=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-QUOTE)=0,所以QUOTE⊥QUOTE,所以PA⊥BD.(2)取PA的中點(diǎn)M,連接DM,則MQUOTE,-1,QUOTE.因?yàn)镼UOTE=QUOTE,0,QUOTE,QUOTE=(1,0,-QUOTE),所以QUOTE·QUOTE=QUOTE×1+0×0+QUOTE×(-QUOTE)=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即DM⊥PB.因?yàn)镼UOTE·QUOTE=QUOTE×1+0×(-2)+QUOTE×(-QUOTE)=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即DM⊥PA.又因?yàn)镻A∩PB=P,PA,PB?平面PAB,所以DM⊥平面PAB.因?yàn)镈M?平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.(15分鐘35分)1.(5分)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,點(diǎn)M在AC1上且QUOTE=QUOTE,N為B1B的中點(diǎn),則|QUOTE|為 ()A.QUOTEa B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】選A.以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,QUOTE.設(shè)M(x,y,z),因?yàn)辄c(diǎn)M在AC1上且QUOTE=QUOTE,所以(x-a,y,z)=QUOTE(-x,a-y,a-z),所以x=QUOTEa,y=QUOTE,z=QUOTE,得MQUOTE,QUOTE,QUOTE,所以|QUOTE|=QUOTE=QUOTEa.2.(5分)(多選)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),假如=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).下列結(jié)論正確的是 ()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.是平面ABCD的法向量D.∥【解析】選ABC.因?yàn)椤?0,·=0,所以AB⊥AP,AD⊥AP,則AB正確.又與不平行,所以是平面ABCD的法向量,則C正確.由于=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),所以與不平行,故D錯誤.3.(5分)已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個法向量n=(-1,-1,-1),則不重合的兩個平面α與β的位置關(guān)系是________.

【解析】設(shè)平面α的法向量為m=(x,y,z),由m·QUOTE=0,得x·0+y-z=0?y=z,由m·QUOTE=0,得x-z=0?x=z,取x=1,所以m=(1,1,1),m=-n,所以m∥n,所以α∥β.答案:α∥β4.(10分)如圖所示,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直角三角形∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn).求證(1)DE∥平面ABC.(2)B1F⊥平面【證明】(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,令A(yù)B=AA1=4,則A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).取AB的中點(diǎn)N,連接CN,則N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),所以QUOTE=(-2,4,0),QUOTE=(-2,4,0),所以QUOTE=QUOTE,所以DE∥NC,又因?yàn)镹C?平面ABC,DE?平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)由(1)知QUOTE=(-2,2,-4),QUOTE=(2,-2,-2),QUOTE=(2,2,0).QUOTE·QUOTE=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0,QUOTE·QUOTE=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0.所以QUOTE⊥QUOTE,QUOTE⊥QUOTE,即B1F⊥EF,B1F⊥AF,又因?yàn)锳F∩FE=F,所以B1F⊥平面AEF.5.(10分)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥CD. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GF⊥平面PCB,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)如圖,以DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、Ea,QUOTE,0、P(0,0,a)、FQUOTE,QUOTE,QUOTE.QUOTE=-QUOTE,0,QUOTE,QUOTE=(0,a,0).因?yàn)镼UOTE·QUOTE=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即EF⊥CD.(2)設(shè)G(x,0,z