第章平行四邊形中考真題演練（解析版） 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題訓(xùn)練

第18章平行四邊形2023中考真題演練（解析版）考點(diǎn)一平行四邊形的性質(zhì)和判定1．（2023?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上，且AM＝CN．求證：DM＝BN．【思路引領(lǐng)】由平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AB＝CD，再證BM＝DN，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AM＝CN，∴AB﹣AM＝CD﹣CN，即BM＝DN，又∵BM∥DN，∴四邊形MBND是平行四邊形，∴DM＝BN．【總結(jié)提升】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明BM＝DN是解題的關(guān)鍵．2．（2023?杭州）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線BD上，且BE＝EF＝FD，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．（2）若△ABE的面積等于2，求△CFO的面積．【思路引領(lǐng)】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AO＝CO，BO＝DO，再證OE＝OF，即可得出結(jié)論；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：∵BE＝EF，∴S△ABE＝S△AEF＝2，∵四邊形AECF是平行四邊形，∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，∴△CFO的面積＝1．【總結(jié)提升】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?株洲）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上，連接BH，點(diǎn)G、F分別為BH、CH的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求線段BG的長(zhǎng)度．【思路引領(lǐng)】（1）由三角形中位線定理得DE∥BC，DE=12BC，GF∥BC，GF=12BC，則DE∥GF，（2）由平行四邊形的性質(zhì)得DG＝EF＝2，再由勾股定理求出BG的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F分別為BH、CH的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，GF是△HBC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC，GF∥BC，GF=∴DE∥GF，DE＝GF，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）解：∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝2，∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°，∴BG=B即線段BG的長(zhǎng)度為5．【總結(jié)提升】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023?貴州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延長(zhǎng)CB至D，使得BD＝CB，過點(diǎn)A，D分別作AE∥BD，DE∥BA，AE與DE相交于點(diǎn)E．下面是兩位同學(xué)的對(duì)話：小星：由題目的已知條件，若連接BE，則可證明BE⊥CD．小紅：由題目的已知條件，若連接CE，則可證明CE＝DE．（1）請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說法，并進(jìn)行證明；（2）連接AD，若AD=52，CB【思路引領(lǐng)】（1）小星：連接BE，根據(jù)平行四邊的判定定理得到四邊形ABDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AE＝BD，推出四邊形AEBC是平行四邊形，根據(jù)矩形性質(zhì)得到BE⊥CD；小紅：連接BE，CE，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)定理即可得到論；（2）連接AD，設(shè)CB＝2k，AC＝3k，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：小星：連接BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四邊形AEBC是平行四邊形，∵∠C＝90°，∴四邊形AEBC是矩形，∴∠EBC＝90°，∴BE⊥CD；小紅：連接CE，BE，∵AE∥BD，DE∥BA，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE＝BD，AB＝DE，∵BD＝BC，∴AE＝BC，∵AE∥BC，∴四邊形AEBC是平行四邊形，∵∠C＝90°，∴四邊形AEBC是矩形，∴AB＝CE，∴DE＝CE；（2）∵CBAC∴設(shè)CB＝2k，AC＝3k，∴CD＝4k，∵AC2+DC2＝AD2，∴（3k）2+（4k）2＝（52）2，∴k=2∴AC＝32．【總結(jié)提升】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023?揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE相交于點(diǎn)M，連接AG、CH相交于點(diǎn)N．（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；（2）若?AMCN的面積為4，求?ABCD的面積．【思路引領(lǐng)】（1）依據(jù)四邊形AFCH是平行四邊形，可得AM∥CN，依據(jù)四邊形AECG是平行四邊形，可得AN∥CM，進(jìn)而得出四邊形AMCN是平行四邊形；（2）連接AC，依據(jù)三角形重心的性質(zhì)，即可得到S△ACN=23S△ACH，再根據(jù)CH是△ACD的中線，即可得出S△ACN=13S△ACD，進(jìn)而得到S平行四邊形AMCN=13S【解答】解：（1）∵點(diǎn)E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，∴AH∥CF，AH＝CF，∴四邊形AFCH是平行四邊形，∴AM∥CN，同理可得，四邊形AECG是平行四邊形，∴AN∥CM，∴四邊形AMCN是平行四邊形；（2）如圖所示，連接AC，∵H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N是△ACD的重心，∴CN＝2HN，∴S△ACN=23S△又∵CH是△ACD的中線，∴S△ACN=13S△又∵AC是平行四邊形AMCN和平行四邊形ABCD的對(duì)角線，∴S平行四邊形AMCN=13S平行四邊形又∵?AMCN的面積為4，∴?ABCD的面積為12．【總結(jié)提升】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形重心性質(zhì)的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定方法以及三角形重心性質(zhì)．考點(diǎn)二直角三角形斜邊的中線6．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【思路引領(lǐng)】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計(jì)算出CD的長(zhǎng)．【解答】解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB＝3故選：B．【總結(jié)提升】本題考查直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．7．（2023?赤峰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點(diǎn)D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形CFDE的周長(zhǎng)和面積分別是（）A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16【思路引領(lǐng)】先論證四邊形CFDE是平行四邊形，再分別求出CF，CD，DF，繼而用平行四邊形的周長(zhǎng)公式和面積公式求出即可．【解答】解：由平移的性質(zhì)可知DF∥CE，DF＝CE，∴四邊形CFDE是平行四邊形，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=A在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴CF=12∵DF∥CE，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴ADAC=AFAB=∴點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴CD=12∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴DF是Rt△ABC的中位線，∴DF=12∴四邊形CFDE的周長(zhǎng)為2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，四邊形CFDE的面積為DF?CD＝3×4＝12．故選：C．【總結(jié)提升】本題主要考查了平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理等知識(shí)，推到四邊形FDE是平行四邊形和DF是Rt△ABC的中位線是解決問題的關(guān)鍵．8．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，E為AC的中點(diǎn)．若AC＝8，CD＝5，則DE＝3．【思路引領(lǐng)】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得到AB＝2CD＝10，根據(jù)勾股定理得到BC=A【解答】解：∵CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴BC=A∵E為AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12故答案為：3．【總結(jié)提升】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，三角形中位線定理，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023?郴州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，求CM＝5．【思路引領(lǐng)】由勾股定理可求解AB的長(zhǎng)，再利用直角三角形斜邊上的中線可求解．【解答】解：連接CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=A∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴CM=12故答案為：5．【總結(jié)提升】本題主要考查由勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，求解AB的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三中位線定理10．（2023?云南）如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，A、B、C三點(diǎn)不共線．設(shè)AC、BC的中點(diǎn)分別為M、N．若MN＝3米，則AB＝（）A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)M，N分別是AC和BC的中點(diǎn)，∴AB＝2MN＝6（m），故選：B．【總結(jié)提升】本題考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．11．（2023?德陽）如圖，在△ABC中，∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，BD＝DE＝EC，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，則DF＝（）A．54 B．52 C．2【思路引領(lǐng)】先在直角△CAD中利用勾股定理求出DC＝5，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AE=52，最后利用三角形的中位線定理求出DF=1【解答】解：∵∠CAD＝90°，AD＝3，AC＝4，∴DC=A∵DE＝EC，DE+EC＝DC＝5，∴DE＝EC＝AE=5∵BD＝DE，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，∴DF=12AE故選：A．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，準(zhǔn)確識(shí)圖并且熟記相關(guān)定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023?鹽城）在△ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，BC＝10cm，則DE的長(zhǎng)為5cm．【思路引領(lǐng)】由三角形中位線定理可直接求解．【解答】解：∵D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，BC＝10cm，∴DE=12BC＝5故答案為：5．【總結(jié)提升】本題考查了三角形中位線定理，掌握中位線定理是解題的關(guān)鍵．13．（2023?金華）如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個(gè)端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，若CD＝4cm，則該工件內(nèi)槽寬AB的長(zhǎng)為8cm．【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)C，D分別是OA，OB的中點(diǎn)，∴CD是△AOB的中位線，∴AB＝2CD，∵CD＝4cm，∴AB＝2CD＝8（cm），故答案為：8．【總結(jié)提升】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．14．（2023?廣州）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，點(diǎn)M是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AB，MB的中點(diǎn)，當(dāng)AM＝2.4時(shí)，DE的長(zhǎng)是1.2.若點(diǎn)N在邊BC上，且CN＝AM，點(diǎn)F，G分別是MN，AN的中點(diǎn)，當(dāng)AM＞2.4時(shí)，四邊形DEFG面積S的取值范圍是3≤S≤4．【思路引領(lǐng)】依據(jù)題意，根據(jù)三角形中位線定理可得DE=12AM＝1.2；設(shè)AM＝x，從而DE=12x，由DE∥AM，且DE=12AM，又FG∥AM，F(xiàn)G=12AM，進(jìn)而DE∥FG，DE＝FG，從而四邊形DEFG是平行四邊形，結(jié)合題意可得DE邊上的高為（4?12x），故四邊形DEFG【解答】解：由題意，點(diǎn)D，E分別是AB，MB的中點(diǎn)，∴DE是三角形ABM的中位線．∴DE=12如圖，設(shè)AM＝x，∴DE=12AM=由題意得，DE∥AM，且DE=12又FG∥AM，F(xiàn)G=12∴DE∥FG，DE＝FG．∴四邊形DEFG是平行四邊形．由題意，GF到AC的距離是12x，BC=∴DE邊上的高為（4?12∴四邊形DEFG面積S＝2x?14x2，=?14（∵2.4＜x≤6，∴3≤S≤4．故答案為：1.2；3≤S≤4．【總結(jié)提升】本題主要考查了三角形的中位線定理，解題時(shí)要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．15．（2023?湖州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BD=12BC【解答】解∵AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴BD=1∵BC＝10，∴BD＝5，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，∵AD＝12，∴AB=A∵E為AB的中點(diǎn)，D點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，∴DE=1【總結(jié)提升】此題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四矩形的性質(zhì)和判定16．（2023?蘇州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC．動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)O，B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿OA，BC向終點(diǎn)A，C移動(dòng)．當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，AC?EF的值為（）A．10 B．910 C．15 D．30【思路引領(lǐng)】利用點(diǎn)的坐標(biāo)，分別計(jì)算AC和EF，再相乘即可．【解答】解：連接AC、EF．∵四邊形OABC為矩形，∴B（9，3）．又∵OE＝BF＝4，∴E（4，0），F(xiàn)（5，3）．∴AC=OC2EF=(5?4∴AC?EF＝310×故選：D．【總結(jié)提升】本題主要考查矩形的性質(zhì)及坐標(biāo)，較為簡(jiǎn)單，直接計(jì)算即可．17．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，以B為圓心，BF長(zhǎng)為半徑的圓弧過AD與CE的交點(diǎn)G，連接BG．若AB＝4，CE＝10，則AG＝（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【思路引領(lǐng)】先根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得BF＝EF＝CF＝5，然后在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，在Rt△BCE中，點(diǎn)F為斜邊CE的中點(diǎn)，∴BF=1∴BG＝BF＝5，在Rt△ABG中，AB＝4，BG＝5，由勾股定理得：AG=B故選：C．【總結(jié)提升】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，圓的概念，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；同圓的半徑相等．18．（2023?雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則DE的最小值為32．【思路引領(lǐng)】連接CP，由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再證四邊形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)求出CP的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接CP，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，AB=AC2∵PD⊥BC，PE⊥AC，∴∠PDC＝∠PEC＝90°，∴四邊形CDPE是矩形，∴DE＝CP，由垂線段最短可得，當(dāng)CP⊥AB時(shí)，線段DE的值最小，此時(shí)，AP＝BP，∴CP=12AB＝3∴DE的最小值為32，故答案為：32．【總結(jié)提升】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023?河南）矩形ABCD中，M為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AD上，且AN＝AB＝1．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，AD的長(zhǎng)為2或1+2【思路引領(lǐng)】以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，分兩種情況：如圖1，當(dāng)∠MND＝90°時(shí)，如圖2，當(dāng)∠NMD＝90°時(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，分兩種情況：①如圖1，當(dāng)∠MND＝90°時(shí)，則MN⊥AD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB，∵M(jìn)為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴AN＝DN，∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2；如圖2，當(dāng)∠NMD＝90°時(shí)，則MN⊥BD，∵M(jìn)為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN，∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，∴BN=2AB=∴AD＝AN+DN＝1+2綜上所述，AD的長(zhǎng)為2或1+2故答案為：2或1+2【總結(jié)提升】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．20．（2023?大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段CD的中點(diǎn)，連接AC，AE，延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)F，連接DF，∠ACF＝90°．（1）求證：四邊形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．【思路引領(lǐng)】（1）證明△ADE≌△FCE（AAS），得AE＝FE，所以四邊形ACFD是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形即可解決問題；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出DF的值，由△ADE≌△FCE，可得四邊形ABCE的面積＝平行四邊形ABCD﹣△CEF的面積，進(jìn)而可以解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE，∵E為線段CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE，∴四邊形ACFD是平行四邊形，∵∠ACF＝90°，∴四邊形ACFD是矩形；（2）解：∵四邊形ACFD是矩形，∴∠CFD＝90°，AC＝DF，∵CD＝13，CF＝5，∴DF=C∵△ADE≌△FCE，∵△CEF的面積=12△ACF的面積平行四邊形ABCD的面積＝BC?AC＝5×12＝60，∴四邊形ABCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積﹣△CEF的面積＝60﹣15＝45．【總結(jié)提升】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．21．（2023?樂山）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D為AB邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)D作DE∥BC，DF∥AC，分別交AC、BC于點(diǎn)E、F，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形ECFD是矩形；（2）若CF＝2，CE＝4，求點(diǎn)C到EF的距離．【思路引領(lǐng)】（1）先證四邊形ECFD為平行四邊形，即可求解；（2）由勾股定理可求EF的長(zhǎng)，由面積法可求解．【解答】（1）證明：∵FD∥CA，BC∥DE，∴四邊形ECFD為平行四邊形，又∵∠C＝90°，∴四邊形ECFD為矩形；（2）解：過點(diǎn)C作CH⊥EF于H，在Rt△ECF中，CF＝2，CE＝4，∴EF=CE2+CF∵S△ECF=12×CF?CE=1∴CH=CF?CE∴點(diǎn)C到EF的距離為45【總結(jié)提升】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，面積法等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五菱形的性質(zhì)和判定22．（2023?湘潭）如圖，菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．60° C．70° D．80°【思路引領(lǐng)】根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．23．（2023?德陽）如圖，?ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點(diǎn)O，分別過點(diǎn)C，D作BD，AC的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PG的最小值是（）A．1 B．32 C．32【思路引領(lǐng)】先判定四邊形OCFD為菱形，找出當(dāng)GP垂直于菱形OCFD的一邊時(shí)，PG有最小值．過D點(diǎn)作DM⊥AC于M，過G點(diǎn)作GP⊥AC與P，則GP∥OD，利用平行四邊形的面積求解DM的長(zhǎng)，再利用三角形的中位線定理可求解PG的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，AC＝BD，∴OD＝OC，∵DF∥AC，OD∥CF，∴四邊形OCFD為菱形，∵點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)GP垂直于菱形OCFD的一邊時(shí)，PG有最小值．過D點(diǎn)作DM⊥AC于M，過G點(diǎn)作GP⊥AC與P，則GP∥MD，∵矩形ABCD的面積為12，AC＝6，∴2×12AC?即2×12×解得DM＝2，∵G為CD的中點(diǎn)，∴GP為△DMC的中位線，∴GP=12故PG的最小值為1．故選：A．【總結(jié)提升】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線等知識(shí)的綜合運(yùn)用，找準(zhǔn)PG有最小值時(shí)的P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．24．（2023?臨沂）若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，則該菱形的面積為24．【思路引領(lǐng)】由菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，由△DAC的面積=12AC?OD，△BAC的面積=12AC?OB，得到菱形ABCD的面積=12AC?（OD+OB【解答】解：如圖：菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴△DAC的面積=12AC?OD，△BAC的面積=12∴菱形ABCD的面積＝△DAC的面積+△BAC的面積=12AC?（OD+OB）=12AC故答案為：24．【總結(jié)提升】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由三角形面積公式，得到菱形ABCD的面積=12AC?25．（2023?金昌）如圖，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分別為B，D，若AB＝6cm，則EF＝23cm．【思路引領(lǐng)】連接BD交AC于O，則AO＝CO，BO＝OD根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，求得BD＝AB＝6cm，根據(jù)勾股定理得到AC＝2AO＝2×AB2?BO2=63【解答】解：連接BD交AC于O，則AO＝CO，BO＝OD∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD，∵∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA＝30°，∴BD＝AB＝6cm，∴AO=AB2?BO∴AC＝2AO＝63（cm），∵BE⊥AB，DF⊥CD，∴∠CDF＝∠ABE＝90°，∴△CDF≌△ABE（ASA），∴AE＝CF，∵BE＝DF=∴AE＝CF＝2BE=43∴EF＝AE+CF﹣AC＝23（cm），故答案為：23．【總結(jié)提升】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．26．（2023?云南）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE＝AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，△ABE的面積等于43，求平行線AB與DC【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等得到∠BAD＝∠BCD，再根據(jù)AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，可得到∠DAE＝∠BCF，再根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行得到∠DAE＝∠AEB，于是有∠BCF＝∠AEB，得出AE∥FC，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得四邊形AECF是平行四邊形，最后根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；（2）連接AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可證得AB＝EB，結(jié)合已知∠ABC＝60°得到△ABE是等邊三角形，從而求出AB＝AE＝EB＝EC＝4，∠BAE＝60°，再證得∠EAC＝30°，即可得到∠BAC＝90°，根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，從而得出平行線AB與DC間的距離．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，∵AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD∴∠DAE＝∠BCF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BCF＝∠AEB，∴AE∥FC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AE＝AF，∴四邊形AECF是菱形；（2）解：連接AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝EB，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝∠ABE＝60°，∵△ABE的面積等于43∴34∴AB＝4，即AB＝AE＝EB＝4，由（1）知四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE＝4，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠AEB是△AEC的一個(gè)外角，∴∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，即AC⊥AB，由勾股定理得AC=B即平行線AB與DC間的距離是43【總結(jié)提升】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是此題的關(guān)鍵，理解平行線間的距離的定義，等邊三角形的性質(zhì)與判定．27．（2023?哈爾濱）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，點(diǎn)F在邊BC上，連接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．（1）如圖①，求證△AED≌△EFB；（2）如圖②，若AB＝AD，AE≠ED，過點(diǎn)C作CH∥AE交BE于點(diǎn)H，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖②中四個(gè)角（∠BAE除外），使寫出的每個(gè)角都與∠BAE相等．【思路引領(lǐng)】（1）由平行四邊形的性質(zhì)推出AD∥BC，AD＝BC，得到∠ADE＝∠EBF，又BC＝BE，得到AD＝BE，即可證明△AED≌△EFB（SAS）；（2）由平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADE＝∠EBF，∵BC＝BE，∴AD＝BE，在△AED和△EFB中，AD=BE∠ADE=∠FBE∴△AED≌△EFB（SAS）；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB∥CD，∵AB＝AD，∴AB＝BC，∵BE＝BC，∴AB＝BE，∴∠BEA＝∠BAE，∵CH∥AE，∴∠DHC＝∠BEA，∵AB∥CD，∴∠CDH＝∠ABE，∴∠DCH＝∠BAE，∵△AED≌△EFB（SAS），∴∠AED＝∠EFB，∴∠EFC＝∠AEB，∴與∠BAE相等角是∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH．【總結(jié)提升】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六正方形的性質(zhì)和判定28．（2023?重慶）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，則∠FEC一定等于（）A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α【思路引領(lǐng)】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABG，易證△GAE≌△FAE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠AEF＝∠AEG，進(jìn)一步根據(jù)∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB求解即可．【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABG，G、B、E三點(diǎn)共線，如圖所示：則AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，AF=AG∠FAE=∠GAE∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF