2.3二次函數(shù)與一元二次方程不等式（1）課件高一上學期數(shù)學人教A版

2.3二次函數(shù)與一元二次

方程、不等式①安徽淮南第四中學2023.6課程目標學科素養(yǎng)1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系，掌握圖象法解一元二次不等式的方法；2.經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的解法；3.培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。a.數(shù)學抽象：一元二次不等式的定義及解法；b.邏輯推理：理解三個二次的關系；c.數(shù)學運算：按步驟解決一元二次不等式；d.直觀想象：運用二次函數(shù)圖像解一元二次不等式；e.數(shù)學建模：將生中的不等關系轉化為一元二次不等式解決；從一次函數(shù)的角度看一元一次方程，一元一次不等式，發(fā)現(xiàn)了三者之間的內在聯(lián)系，利用這種聯(lián)系可以讓我們更簡便的解決問題：ax+b=0的解函數(shù)y=ax+b與x軸交點的橫坐標

ax+b>0的解函數(shù)y=ax+b的位于x軸的上方，對應x的取值范圍的集合ax+b<0的解函數(shù)y=ax+b的位于x軸的下方，對應x的取值范圍的集合

對于二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式，他們的聯(lián)系又是怎樣的呢？觀察二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象及性質xyOxyOxyOax2+bx+c＞0（a≠0）ax2+bx+c＞0（a≠0）ax2+bx+c＜0（a≠0）知識點1一元二次不等式的概念

園藝師傅打算在綠地上用柵欄圍成一個矩形區(qū)域種植花卉，若柵欄的長度是24m，圍成的矩形區(qū)域的面積要大于20m

2，則這個矩形的長和寬應該是多少？設這個矩形的一條邊長為xcm,則另一條邊長為（12-x）m，由題意，得（12-x）x>20，其中x∈｛x|0<x<12｝x2-12x+20<0，x∈｛x|0<x<12｝（1）類比一元一次不等式，這個不等式有什么特點？（2）能否給這個不等式取個名字，并寫出它的一般形式？一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式一元二次不等式的一般形式是

ax2＋bx＋c>0(a≠0)或

ax2＋bx＋c<0(a≠0)

其中a,b,c為常數(shù)，且a≠0．1.“一元”指的是只有一個未知數(shù)，不代表只有一個字母，如a,b,c等；2.“二次”指的是未知數(shù)的最高次必需存在且是2，并且最高次系數(shù)不為0探究

一元二次不等式x2－12x＋20<0與二次函數(shù)y＝x2－12x＋20之間的關系．xyO方程x2－12x＋20=0的兩個實根

x1=2，x2=10二次函數(shù)y=x2－12x＋20與x軸的兩個交點(2,0),(10,0)不等式x2－12x＋20<0的解集，即為二次函數(shù)y<0對應的x的集合知識點2

二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)的零點．【注意】零點不是點，是交點的橫坐標，是數(shù)零點就是函數(shù)對應方程的根.解析:由x2-3x＋2＝0得x1＝1,x2＝2,故函數(shù)y＝x2-3x＋2與x軸交點的橫坐標為1或2.知識點3一元二次不等式的解法

二次函數(shù)y=x2-12x+20的兩個零點x1＝2，x2＝10將x軸分成三段．xyo210當x＜2或x＞10時，圖像在x軸上方，y＞０，即x2-12x+20>0；當2<x＜10時，y<０，即x2-12x+20<0；故一元二次不等式x2－12x＋20＜0的解集是{x|2＜x＜10}.

求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，是否可以推廣到一般的一元二次不等式？一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系:△=b2-4ac△>0△=0△<0二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a>0)的圖象x1x2xyxx1(x2)yxy方程ax2+bx+c=0的根有兩相異實根x1x2(x1<x2)x1=x2沒有實數(shù)根y=ax2+bx+c>0(a>0)的解集

{x|x>x2或x<x1}{x|}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x2>x>x1}φφ提醒

三個“二次”關系的實質:①ax2＋bx＋c＝0的解?y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標(即二次函數(shù)的零點);②ax2＋bx＋c＞0的解集?y＝ax2＋bx＋c的圖象上的點(x,y)在x軸上方時,對應x的取值集合;③ax2＋bx＋c＜0的解集?y＝ax2＋bx＋c的圖象上的點(x,y)在x軸下方時,對應x的取值集合.將原不等式化成ax2+bx+c>0(a>0)的形式方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，解得x1，x2(x1<x2)方程ax2+bx+c＝0沒有實數(shù)根原不等式的解集為{x|x<x1

或x>x2}原不等式的解集為R1.化標準2.計算判別式3.求根（因式分解、求根公式）4.口訣（大于取兩邊，小于取中間）題型一不含參數(shù)的一元二次不等式的解法例1解下列不等式:(1)2x2＋5x-3＜0;(2)-3x2＋6x≤2;△＝49＞0,方程2x2＋5x-3＝0的兩根分別為x1＝-3,x2＝xyo-3原不等式等價于3x2-6x＋2≥0.△＝12＞0,解方程3x2-6x＋2＝0,題型二含參數(shù)的一元二次不等式的解法例2解關于x的不等式ax2-(a＋1)x＋1＜0(a＜1).解①當a＝0時,原不等式即為-x＋1＜0,解得x＞1.②當a＜0時,原不等式化為

＞0,解得x＜

或x＞1.③當0＜a＜1時,原不等式化為

＜0.解得1＜x＜綜上可知,當a＜0時,原不等式的解集為{x｜x＜

或x＞1};當a＝0時,原不等式的解集為{x｜x＞1};當0＜a＜1時,原不等式的解集為

解關于x的不等式x2＋(1-a)x-a＜0.解:方程x2＋(1-a)x-a＝0的兩根分別為x1＝-1,x2＝a.又函數(shù)y＝x2＋(1-a)x-a的圖象開口向上,則當a＜-1時,原不等式的解集為{x｜a＜x＜-1};當a＝-1時,原不等式的解集為?;當a＞-1時,原不等式的解集為{x｜-1＜x＜a}.題型三簡單的分式不等式例3

解下列不等式:原不等式等價于∴原不等式的解集為{x｜-2≤x＜3}.(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意等價變形，保證分母不為零.(2)對于不等號右邊不為零的較復雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解.由題意知m＜0,∵不等式(mx-1)(x-2)＞0的解集為{x｜

＜x＜2},∴方程(mx-1)(x-2)＝0的兩個實數(shù)根為

和2,答案:{m｜m＜0}2.解關于x的不等式x2-ax-2a2＜0(a∈R).解:原不等式可化為(x-2a)(x＋a)＜0.對應的一元二次方程的根為x1＝2a,x2＝-a.①當a＞0時,x1＞x2,不等式的解集為{x｜-a＜x＜2a};②當a＝0時,原不等式化為x2＜0,解集為?;③當a＜0時,x1＜x2,不等式的解集為{x｜2a＜x＜-a}.綜上,當a＞0時,不等式的解集為{x｜-a＜x＜2a};當a＝0時,不等式的解集為?;當a＜0時,不等式的解集為{x