解直角三角形的應(yīng)用（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)題型歸納與變式演練（全國(guó)卷）

專(zhuān)題06解直角三角形的應(yīng)用

目錄

熱點(diǎn)題型歸納...................................................................................

題型01仰角與俯角問(wèn)題.........................................................................

題型02坡度問(wèn)題...............................................................................

題型03方位角問(wèn)題.............................................................................

中考練場(chǎng).......................................................................................

熱點(diǎn)題型歸納

題型01仰角與俯角問(wèn)題

【解題策略】

仰、俯角：視線(xiàn)在水平線(xiàn)上方的角叫做仰角.視線(xiàn)在水平線(xiàn)下方的角叫做俯角.

【典例分析】

例.（2023?湖北襄陽(yáng)?中考真題）在襄陽(yáng)市諸葛亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像.某校數(shù)學(xué)

興趣小組利用熱氣球開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量諸葛亮銅像的高度.如圖，在點(diǎn)C處，探測(cè)器

顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離CE為32m,從熱氣球C看銅像頂部A的俯

角為45。，看銅像底部8的俯角為63.4。.已知底座8D的高度為4m,求銅像AB的高度.（結(jié)

果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin63.4°?0.89,cos63.4°?0.45,tan63.4°。2.00,72?1.41）

第1頁(yè)共39頁(yè)

【答案】銅像A5的高度是14m；

【分析】根據(jù)題意可得JCF=tan63.4。p2.00,從而求出CG=M=14m,即可求解.

BF

【詳解】解：由題意得：CE=32m,EF=BD=4m,:.CF=CE—EF=28m,

,/四邊形BFCG是矩形，BG=CF=14m,

VZACG=45°,ZBCG=63.4°,Z.FBC=Z.BCG=63.4°,

CF

：.——=tan63.4°?2.00,/.BF=14m,

BF

CG=M=14m,；.CG=AG=14m,AB=3G—AG=14m,銅像A3的高度是14m；

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出C歹.

【變式演練】

1.（2024.山西朔州?一模）山西“應(yīng)縣木塔”，又名山西“應(yīng)縣佛宮寺釋迦塔”，它是當(dāng)今世界

上的第一奇塔.它不僅是中國(guó)，而且是世界上現(xiàn)存最古老、最高峻的木構(gòu)建筑物，所以它在

世界建筑中占有突出的地位.已知“應(yīng)縣木塔”的高度A3為67.3米，塔前“女神雕像”的高度

8為10.3米，木塔與雕像之間有障礙物，不能直接測(cè)量，某測(cè)量小組為了測(cè)量“應(yīng)縣木塔”

與塔前“女神雕像”之間的距離，采用了如下測(cè)量方案（如圖所示）：

①他們?cè)凇澳舅焙汀暗裣瘛敝g選擇一觀景平臺(tái)E,測(cè)得“木塔”頂部A的仰角為30。，測(cè)得“雕

像”頂部C的仰角為45。；

②測(cè)得測(cè)角儀的高度斯為L(zhǎng)3米；

③測(cè)得點(diǎn)民在同一條直線(xiàn)上，AB±BD,EF±BD,CDLBD,垂足分別是民RD.

求“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像’之間的距離3D.（結(jié)果精確到01米，參考數(shù)據(jù)：6"7）

【答案】121.2米

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【分析】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)E作MN〃BD,

交AB于M,交CD于構(gòu)造矩形MBFE,NDFE,MBDN,再利用三角函數(shù)解RtAAME

和RtZxCNE即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作MN〃BD,交AB于交。于M,

AB±BD,EF±BD,CD±BD,MN//BD,..MNIAB,MNLCD,

四邊形AffiFE,NDFE,MBDN均為矩形，MB=DN=EF=1.3,BD=MN,

AM=AB-MB=613-13=66,CN=CD-DN=10.3-13=9.

3篇琛=66X&』2.2

在RtAAAlE中，ZAEM=30°

3

CN9

在RtZXCNE中，NCEN=45°,:.ME=---------=-=9,

tan4501

BD=MN=ME+EN=112.2+9=121.2,

即“應(yīng)縣木塔”與塔前“女神雕像’之間的距離3D約為121.2米.

2.（2024?陜西西安.一模）小雁塔位于西安市南郊的薦福寺內(nèi)，又稱(chēng)“薦福寺塔”，建于唐景

龍年間，與大雁塔同為唐長(zhǎng)安城保留至今的重要標(biāo)志.小港為測(cè)量小雁塔的高度、制定了如

下測(cè)量方案：如圖所示，當(dāng)小港站在點(diǎn)A處仰望塔頂，測(cè)得仰角為30。，再往塔的方向前進(jìn)

50m至B處，測(cè)得仰角為60。、小港的身高忽略不計(jì)，請(qǐng)根據(jù)題目信息，求出小雁塔的高度

CD.（參考數(shù)據(jù)：道田.73,結(jié)果精確到0.1m）

第3頁(yè)共39頁(yè)

【答案】43.4m

【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)CD=jan,先解RtADC得到

AC=43xm,再解Rt.BDC得到BC=*xm,進(jìn)而建立方程瓜-gx=50,解方程即可

得到答案.

【詳解】解：設(shè)CD=xm,在RtADC中，/ACD=90。，NA=30。，

AC3x=yfixm,

tanAtan30°

x6

在Rt中，ZBC￡>=90°,ZCBD=60°,ABC=—^~二——xm，

tanCBDtan60°3

VAB=50m,.?.氐一立x=50,解得彳。43.4,ACD?43.4m,

3

???小雁塔的高度CD約為43.4m.

3.（2024.西藏拉薩.一模）如圖，學(xué)校的教學(xué)樓對(duì)面是一幢辦公樓，教學(xué)樓與辦公樓的水平

距離3。=30m,卓瑪在教學(xué)樓頂部A處測(cè)得辦公樓頂部。處的俯角。=30。，測(cè)得辦公樓

底部。處俯角4=60。，求辦公樓高CD（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】辦公樓的高CO為20鬲.

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用（仰角俯角問(wèn)題），過(guò)A作/歸，CD交CO的延長(zhǎng)

線(xiàn)于E,在用AED和比AEC中，由三角函數(shù)定義求出CE的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：

第4頁(yè)共39頁(yè)

過(guò)A作AE_LCD交8的延長(zhǎng)線(xiàn)于則AE=5C=30m,

在Rt_AE￡>中，VZDAE=a=30°,：.tanZDAE=—=tan30°=—,，

AE3

?/NEAC=戶(hù)=60°,：.tanZEAC=一=tan60°=73,：.CE=^3AE=30V3m,

AE

CD=C￡-DE=30A/3-10A/3=20^(m),

答：辦公樓的高CD為20gm.

4.(2023?海南三亞?二模)某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河的寬度。.如圖所

示，一架水平飛行的無(wú)人機(jī)在A處測(cè)得正前方河流的左岸C處的俯角為。，無(wú)人機(jī)沿水平線(xiàn)

AF方向繼續(xù)飛行60米至8處，測(cè)得正前方河流右岸。處的俯角為30。，線(xiàn)段A4的長(zhǎng)為無(wú)

人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)〃、C、。在同一條直線(xiàn)上，其中tana=VLMC=604米.

(2)求無(wú)人機(jī)的飛行高度AM；

(3)求河流的寬度CD.(結(jié)果保留根號(hào))

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【答案】⑴60,30；(2)無(wú)人機(jī)的飛行高度為180米；(3)河流的寬度。為k0+120⑹格

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.

(1)根據(jù)仰角、俯角的概念、平行線(xiàn)的性質(zhì)解答；

(2)根據(jù)正確的定義計(jì)算，得到答案；

(3)過(guò)點(diǎn)8作跖，于點(diǎn)E,根據(jù)正切的定義求出DE,進(jìn)而求出8.

【詳解】(1)解：［tana=,

/.a—60°,

,:AF〃MD,

ZACM=&=60。，ZBDC=ZFBD=30°,

故答案為：60,30；

(2)解：在Rt-ACM中，MC=60/米，ZACM=60°,

貝UAM=MCtanNACM=60百x百=180(米)，

答：無(wú)人機(jī)的飛行高度為180米；

(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)3作于點(diǎn)E,

在Rt△皿中，々由3。。，貝產(chǎn)=號(hào)506(米),

3

第6頁(yè)共39頁(yè)

/.MD=ME+DE=（60+180百）米，

MC=60百米，CD=MD-MC=（60+120石）米，

答：河流的寬度8為（60+1206）米.

題型02坡度問(wèn)題

【解題策略】

坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母，表示.

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用夕表示，則有/=tantz.

【典例分析】

例.（2023?江蘇泰州?中考真題）如圖，堤壩長(zhǎng)為10m,坡度z?為1:0.75,底端A在地面

上，堤壩與對(duì)面的山之間有一深溝，山頂。處立有高20m的鐵塔8.小明欲測(cè)量山高DE,

他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線(xiàn)AB上,又在壩頂B處測(cè)得塔底O的仰角。為26。35'.求

堤壩高及山高DE.（sin26°35'=0.45,cos26°35,?0.89,tan26°35,?0.50,小明身高忽

略不計(jì)，結(jié)果精確到1m）

【答案】堤壩高為8米，山高DE為20米.

【分析】過(guò)8作于"，設(shè)①/=4x,AH=3x,根據(jù)勾股定理得到

AB=^AH2+BH2=5X=10>求得AH=6,BH=8,過(guò)2作WCE于R貝lj

EF=BH=8,BF=EH,設(shè)=解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)B作于H,

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c

???坡度z?為1:0.75,?,?設(shè)5H=4x,AH=3x,AB=^AH2+BH2=5x=10x=2^

AH=6,BH=8,

過(guò)3作M_LC石于尸，則印=3H=8,BF=EH,

.??.='^黑藥=*=2〃，

設(shè)DF=a,???。=26。35'.AE=6+2a,

;坡度，為1:0.75,CE：AE=（20+o+8）:（6+2a）=1:0.75,

：.a=12,：.DF=n（米），；.DE=Z）尸+砂=12+8=20（米），

答：堤壩高為8米，山高DE為20米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-俯角仰角，解直角三角形的應(yīng)用-坡角坡度，正確

地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2023?安徽?模擬）如圖，一棟樓房A3后有一個(gè)小山坡CO,其坡度i=3:4.某一時(shí)刻

太陽(yáng)光線(xiàn)與水平線(xiàn)的夾角為40。時(shí)，樓房43在小山坡C。上的影長(zhǎng)為25米，測(cè)得坡腳C與

樓房的水平距離3c=40米，求樓房A3的高度.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：

sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84）

【答案】65米

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【分析】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形以及矩形的判定及性質(zhì)，通過(guò)作恰當(dāng)?shù)妮o

助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形求解是解題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)。分別作交8C的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,Db，于點(diǎn)尸，則四邊形是矩

形，DF=BE,DE=BF.設(shè)￡>E=3x,可得CE=4x,由勾股定理得(3x>+(4x)?=252,解

得x=5,從而CE=20,3尸=DE=15,在Rt廠(chǎng)中，解直角三角形得

AF=DFtan40°?60x0.84=50.4米，從而即可得解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。分別作上_LBC,交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,。尸，于點(diǎn)歹，則四邊

形3FDE是矩形，

:.DF=BE,DE=BF.

在RtVOCE中，

,DE3

I=----=—,

CE4

*e?設(shè)DE=3無(wú)，可得CE=4x,

由勾股定理得（3x）2+（4x）2=252,解得1=5,

..CE=20,BF=DE=15,

,\DF=BE=BC+CE=40+20=60（米）.

在RtADb中，

tanZADF=tan40°=—,

DF

:.AF^DFtan40°?60x0.84=50.4（米），

AB=AF+BF=50.4+15-65（米）.

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答：樓房AB的高度約為65米.

2.(2023?甘肅天水?模擬預(yù)測(cè))如圖，在葫蘆河的右岸邊有一高樓AB,左岸邊有一坡度，=1：2

的山坡CF,點(diǎn)C與點(diǎn)3在同一水平面上，CP與在同一平面內(nèi).某數(shù)學(xué)興趣小組為了

測(cè)量樓A3的高度，在坡底C處測(cè)得樓頂A的仰角為45。，然后沿坡面CF上行了206米到

達(dá)點(diǎn)。處，此時(shí)在。處測(cè)得樓頂A的仰角為30。.

⑴求DE的值.

(2)求樓A3的高度.

【答案】⑴DE=20m；(2)樓AB的高度為(50+30百)米.

【分析】本題考查了解三角形的應(yīng)用，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì).

(1)由i===l：2,DE1+EC-=CD2,解得。E=20m；

EC

(2)過(guò)點(diǎn)。作。G_LAB于G,過(guò)點(diǎn)C作CHJLDG于則四邊形DE3G、四邊形DEC”、

四邊形都是矩形，=設(shè)A5=3C=mi,則AG=(x-20)m,DG=(x+40)m,

AG

在RtADG中，—=tanZADG,代入即可得出結(jié)果.

DG

【詳解】(1)解：在RtDEC中,

普=1：2,DE2+EC2=CD2,CD=2075,

：.D￡2+(2￡>￡)2=(20A/5)2,

解得：DE=20m.

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。GJLAB于G,過(guò)點(diǎn)C作于

第10頁(yè)共39頁(yè)

EC=40m,

VZACB=45°,AB1BC,

AB=BC,

設(shè)AB=BC=xm,

則AG=(x-20)m,Z)G=(x+40)m,

在Rt_ADG中,

/AG

???——=tanZADG,

DG

:?痣…0。,

解得：X=50+3(K/L

經(jīng)檢驗(yàn)，x=50+30g是方程的解.

答：樓AB的高度為（50+30A）米.

3.（2023?河南濮陽(yáng)?三模）如圖，李東在延時(shí)課上利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量校園內(nèi)教學(xué)樓

的高度，在教學(xué)樓前方有一斜坡，坡長(zhǎng)AB=10m,坡比李東在A點(diǎn)處測(cè)得樓頂

4

端C的仰角為45。，在2點(diǎn)處測(cè)得樓頂端C的仰角為61。（點(diǎn)42,C,O在同一平面內(nèi)）.求

教學(xué)樓8的高度（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：131161。21.80）

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【答案】教學(xué)樓8的高度約為31.5m.

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，正確地作出輔助

線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

過(guò)點(diǎn)A作AF_La),垂足為F,過(guò)點(diǎn)A作AE_LCD,垂足為E,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AF=DE,

AE=DF,設(shè)A尸=3/,BF=4t,根據(jù)勾股定理得到AF=6,BF=8,在R.ACE中，

ZCAE=45°,設(shè)AE=CE=x,求得DF=x,CD=x+6,得至l]3￡>=x—8,根據(jù)三角函數(shù)的

定義即可得到結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AFL3。，垂足為E過(guò)點(diǎn)A作AELCD,垂足為E,

CDLBD,

四邊形AEZ/是矩形,

AF=DE,AE=DF

AF3

在RASF中，—AB=10,AF2+BF2=AB2>

BF4

設(shè)A尸=37,BF=4t,

(3r)2+(4f)2=100,

第12頁(yè)共39頁(yè)

,.t=29

:.AF=6,BF=8,

在吊ACE中，ZCAE=45°f

ZACE=45°=ZCAEf

AE=CE,

設(shè)AE=CE=x,

/.DF=x,CD=x+6,

BD—x—8,

在RtBDE中,ZCBD=61°,.\CD=BDtan61°,

x+6?1.8(x—8),

解得：x=25.5,

/.CD=25.5+6=31.5(m),

答：教學(xué)樓8的高度約為3L5m.

4.(2024?上海普陀?一模)如圖，小河的對(duì)岸有一座小山，小明和同學(xué)們想知道山坡A3的

坡度，但由于山坡前有小河阻礙，無(wú)法直接從山腳B處測(cè)得山頂A的仰角，于是小明和

同學(xué)們展開(kāi)了如下的測(cè)量：

第一步：從小河邊的C處測(cè)得山頂A的仰角為37。；

第二步：從C處后退30米，在。處測(cè)得山頂A的仰角為26.6。；

第三步：測(cè)得小河寬8C為33米.

已知點(diǎn)8、C、。在同一水平線(xiàn)上，請(qǐng)根據(jù)小明測(cè)量的數(shù)據(jù)求山坡AB的坡度.

第13頁(yè)共39頁(yè)

(參考數(shù)據(jù)：sin22.6。g0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°。0.5,sin37°?0.6,cos37°?0.8,

tan37°?0.75)

【答案】山坡AB的坡度，=5:3

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題、坡度坡角問(wèn)題，熟記銳角三角

函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.過(guò)點(diǎn)A作AHLOC,交。C的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)X,根據(jù)正切的定義

用AH表示出DH、CH,進(jìn)而出去再求出根據(jù)坡度的概念計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AHLOC,交。C的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

在RtAD“中，ZADH=26.6°,

Apr

?：=——,

DH

Apr

：.DH=--------------?2AH,

tanZ.ADH

在RtACT/中，ZACH=37°,

Apr

'：tanZACH=——

CH

A”

CH=

tanNACH3

,:DC=DH-CH,

4

???2AH——AH=30,

3

解得：AW=45,

4

：.CH=-AH=60（米），

3

???BH=CH-CB=60-33=27,

第14頁(yè)共39頁(yè)

，山坡AB的坡度為：45:27=5:3.

題型03方位角問(wèn)題

【解題策略】

方向角：平面上，通過(guò)觀察點(diǎn)o作一條水平線(xiàn)（向右為東向）和一條鉛垂線(xiàn)（向上為北向），

則從點(diǎn)O出發(fā)的視線(xiàn)與水平線(xiàn)或鉛垂線(xiàn)所夾的角，叫做觀測(cè)的方向角.

【典例分析】

例.（2023?海南?中考真題）如圖，一艘輪船在A處測(cè)得燈塔M位于A的北偏東30。方向上，

輪船沿著正北方向航行20海里到達(dá)B處，測(cè)得燈塔M位于B的北偏東60。方向上，測(cè)得港

口C位于6的北偏東45。方向上.己知港口C在燈塔M的正北方向上.

北木C

⑴填空：ZAMB一度,NBCM=_度;

⑵求燈塔M到輪船航線(xiàn)的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；

（3）求港口C與燈塔”的距離（結(jié)果保留根號(hào)）.

【答案】（1）30,45（2）燈塔M到輪船航線(xiàn)A3的距離為10g海里⑶港口C與燈塔M的距離

為10（石-1）海里

【分析】（1）作?！辏?，帥交43于。，作血石，45交42于石，由三角形外角的定義與性

質(zhì)可得N/UWB=30。，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得N3CN=45。，即可得解；

（2）作CD_L43交AB于。，作ME_L交AB于E,由（1）可得：NA=ZBMA=3O。,

從而得到BM=AB=20海里，再由EM=-sinZEBM進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）作CD_LAB交A3于D,作AB交A2于E,證明四邊形CDEM是矩形，得到

第15頁(yè)共39頁(yè)

CD=￡M=10g海里，DE=CM,由3E=3N計(jì)算出BE的長(zhǎng)度，證明△68是

等腰直角三角形，得到CO=8。=10若海里，即可得到答案.

【詳解】(1)解：如圖，作CD_LAB交AB于。，作交A3于E,

ZDBM=ZA+ZAMB=30°+ZAMB=60°,ZAMB=30°,

AB.C似都是正北方向，

ZDBC=45°,:.ZBCM=45°,故答案為：30,45；

(2)解：如圖，作CD_LAB交AB于。，作ME_LAB交A3于E,

由（1）可得：ZA=ZBMA=30°,.?.3河=筋=20海里,

在RtBEM中，ZEBM=60°,BM=20海里，

EM=BM-sinZEBM=20xsin60°=20x

第16頁(yè)共39頁(yè)

二燈塔M到輪船航線(xiàn)AB的距離為10石海里；

(3)解：如圖，作CD_LAB交A3于。，作ME_LAB交A3于E,

CDLAB,ME±AB,AB.CM都是正北方向,

四邊形CDEM是矩形，

.?.CD=￡M=106海里，DE=CM,

在Rt班河中，ZEBM=60°,5M=20海里，

BE=8M.cos/EBM=20xcos60°=20xL10海里,

2

在RtACDB中，ZDBC=45°,

CDS是等腰直角三角形，

=104海里，

r.CM=OE=BO-8E=10舁10=10便-1）海里,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形外

角的定義與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2024?陜西西安?一模)如圖，我國(guó)某海域上有A、8兩個(gè)小島，B在A的正東方向.有

第17頁(yè)共39頁(yè)

一艘漁船在點(diǎn)C處捕魚(yú)，在A島測(cè)得漁船在東北方向上，在B島測(cè)得漁船在北偏西60。的方

向上，且測(cè)得3、C兩處的距離為200海里.

（1）求A、C兩處的距離；

⑵突然，漁船發(fā)生故障，而滯留C處等待救援.此時(shí)，在。處巡邏的救援船立即以每小時(shí)

40海里的速度沿OC方向前往C處,測(cè)得。在小島A的北偏西15。方向上距A島30海里處.求

救援船到達(dá)C處所用的時(shí)間.（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】（1）A、C兩處的距離為20海里；（2）救援船到達(dá)C處所用的時(shí)間為五小時(shí).

4

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一方向角問(wèn)題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾

股定理的應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)定義等知識(shí),正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

（1）過(guò)C作于點(diǎn)E,由含30。角的直角三角形的性質(zhì)得CE=1O0海里，再由等

腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)。作小工AC于點(diǎn)尸，由銳角三角函數(shù)定義得/F=15海里，。尸=156海里，

則B=AC-AF=5海里，再由勾股定理求出CO的長(zhǎng)，即可解決問(wèn)題.

【詳解】（1）解：如圖1,過(guò)C作CE1A6于點(diǎn)E,

圖1

由題意得：2C=2O0海里，ZCBE=90°-60°=30°,ZC4￡,=90o-45o=45o,

第18頁(yè)共39頁(yè)

.?.CE=；BC=gx20夜=10夜（海里），△AEC是等腰直角三角形,

AC=42CE=y/2xWy/2=20（海里），

答：A、C兩處的距離為20海里；

（2）解：如圖2,過(guò)點(diǎn)。作。尸1AC于點(diǎn)尸，

圖2

在Rt_AZ*中，AD=30海里，ZZMF=45°+15°=60°,

AF=AT>-cosZDAF=30x1=15（海里）,

DF=ADsmZDAF=30x—=15j3（海里），

2

.-.CF=AC-AF=20-15=5（海里），

在RtZkCD尸中，由勾股定理得：CD=>JDF2+CF2=J（15A^）2+52=10A/7（海里），

.-.10V7-40=—（小時(shí)），

4

答：救援船到達(dá)C處所用的時(shí)間為五小時(shí).

4

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）如圖，燈塔B位于港口A的北偏東58。方向，且A3之間的距離

為30km,燈塔C位于燈塔8的正東方向，且5c之間的距離為10km.一艘輪船從港口A出

發(fā)，沿正南方向航行到達(dá)。處，測(cè)得燈塔C在北偏東37。方向上，燈塔8到直線(xiàn)4D的距離

為BE.

第19頁(yè)共39頁(yè)

⑴求BE的長(zhǎng)；

(2)求DE的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1).(參考數(shù)據(jù)：

sin58°x0.85,cos58°?0.53,lan58°?1.60,sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75)

【答案】(1)25.5km(2)47.3km

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟悉掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

(1)用正弦三角函數(shù)求解即可.

(2)結(jié)合第一問(wèn)，求解CE長(zhǎng)度，用正切三角函數(shù)求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得，4=90。，

ZBAE=58°,AB=30km,

3E=AB-sin58°工30x0.85=25.5(km).

(2)BC=10km,

:.CE=BE+BC=35.5(km)

DE=CE+tan37。?35.5+0.75?47.3(km).

4.(2023?山東青島?模擬預(yù)測(cè))如圖，在航線(xiàn)/的兩側(cè)分別有觀測(cè)點(diǎn)A和2,點(diǎn)A到航線(xiàn)/的

距離為2km,點(diǎn)8位于點(diǎn)A北偏東60。方向且與A相距10km處.現(xiàn)有一艘輪船從位于點(diǎn)8南

偏西76。方向的C處，正沿該航線(xiàn)自西向東航行，5min后該輪船行至點(diǎn)A的正北方向的。處.

第20頁(yè)共39頁(yè)

⑴求觀測(cè)點(diǎn)B到航線(xiàn)/的距離；

⑵求該輪船航行的距離CD的長(zhǎng)(結(jié)果精確到O」km).(參考數(shù)據(jù)：73=1,732,sin76°?0.97,

cos76°?0.24,tan76°?4.01)

【答案】⑴3km(2)3.4km

【分析】本題考查解直角三角形應(yīng)用的問(wèn)題.

(1)圖中已將觀測(cè)點(diǎn)B到航線(xiàn)/的距離用輔助線(xiàn)3E表示出來(lái)，要求BE,先求出OB,

再在RtOBE中，求出3E即可.

(2)RtAOD中求出O。，在RtBQE中求出0E,進(jìn)而可求出DE,在RtZXCBE中，根據(jù)

NCBE=76°,BE=3km,求出CE,則CD=CE—DE.

【詳解】(1)解：設(shè)A3與/交于點(diǎn)。.

在RtA0D中,

^OAD=60°,AD=2(km),

?AD、

:.OA=---------=4(km).

cos60°17

AB=10(km),

:.OB=AB-OA=.

第21頁(yè)共39頁(yè)

在RtBOE中，NOBE=NOAD=60。,

BE=OBcos60°=3(km).

答：觀測(cè)點(diǎn)8到航線(xiàn)/的距離為3km.

(2)在RtAOD中，OD=AD-tan60°=2^(km),

在Rt_BOE中，OE=BE-tan60°=373(km),

:.DE=OD+OE=573(km).

在RtC3E中，ZCBE=n6°,3E=3km,

.0.CE=BE?tan/CBE1=3tan76°.

:.CD=CE-DE=3tan76°-5百?3.4(km).

???該輪船航行的距離CD的長(zhǎng)為3.4km.

5.(2024?重慶大渡口?一模)某送貨司機(jī)在各站點(diǎn)間上門(mén)送貨的平面路線(xiàn)如圖所示：

A-3-C-O.已知點(diǎn)2在點(diǎn)A的北偏東45。方向3.6km處，點(diǎn)C在點(diǎn)B的正東方2.4km處,

點(diǎn)。在點(diǎn)C的南偏東30。方向，點(diǎn)。在點(diǎn)A的正東方.(參考數(shù)據(jù)：應(yīng)=1.414,退亡1.732,

76a2.449)

■I>東

的

⑴求線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度；(結(jié)果精確到0.01km)

(2)已知送貨司機(jī)在送貨過(guò)程中全程保持10〃次的速度勻速行駛，若現(xiàn)在有急件需要在16分

鐘內(nèi)從A點(diǎn)運(yùn)送到。點(diǎn)，則送貨司機(jī)按既定路線(xiàn)A-3-C-。進(jìn)行運(yùn)送能否按時(shí)送達(dá)？(送

貨司機(jī)在各站點(diǎn)停留的時(shí)間忽略不計(jì))

【答案】(1)2.94km；(2)能

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，正確構(gòu)造直角三角形從而利用

解直角三角形的相關(guān)知識(shí)求解是解題的關(guān)鍵.

第22頁(yè)共39頁(yè)

（口分別過(guò)點(diǎn)夙門(mén)乍防,也于石，CV_LAD于凡得到四邊形班尸。是矩形，BE=CF,

利用AB=3.6km,44￡=45。求出5￡,即CF,從而利用ZDCF=30。求出C。；

（2）先算出總路程，再除以速度得到送貨時(shí)間，與16分鐘比較即可得解.

【詳解】（1）分別過(guò)點(diǎn)2、C作3ELAD于E,CPLAD于尸，

依題意可知：BC//AD,ZfiAE=45°,ZDCF=30°,AB=3.6km,BC=2.4km,

ZCBE=ZAEB=ZBEF=NEFC=ZCFD=BCF=90°，二四邊形BEFC是矩形，BE=CF,

'：AB=3.6km,NBAE=45。,BE=CF=ABsinZBAE=3.6x^=|V2（km）

又：Z￡>CF=30°,

2五r

vQQA伍

?CD=-------------=^v=—后三=工a1.2x2.449=2.9388a2.94（km）

,*cosZDCF5石5''

（2）16分鐘=960秒，

AB=3.6km,BC-2.4km,CD?2.94km,

AF+BC+CD?3.6+2.4+2.94=8.94（km）,

AB+BC+CD8.94x1000、、

，從A點(diǎn)運(yùn)送到。點(diǎn)的時(shí)間為：------------=—芯一=8o9n4A（（s）<960（s）,

V送1U

送貨司機(jī)按既定路線(xiàn)A-3-C-。進(jìn)行運(yùn)送能按時(shí)送達(dá).

第23頁(yè)共39頁(yè)

中考練場(chǎng)

1.（2023?湖北恩施?中考真題）小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過(guò)觀察廣場(chǎng)的臺(tái)階與信

號(hào)塔之間的相對(duì)位置，他認(rèn)為利用臺(tái)階的可測(cè)數(shù)據(jù)與在點(diǎn)A,8處測(cè)出點(diǎn)。的仰角度數(shù)，可

以求出信號(hào)塔DE的高.如圖，AB的長(zhǎng)為5m,高為3m.他在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)D的仰角

為45。，在點(diǎn)8處測(cè)得點(diǎn)。的仰角為38.7。，AB,C,D,E在同一平面內(nèi).你認(rèn)為小王同

學(xué)能求出信號(hào)塔DE的高嗎？若能，請(qǐng)求出信號(hào)塔的高；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考

數(shù)據(jù)：sin38.7°?0.625,cos38.7°?0.780,tan38.7。=0.80,結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】能求出信號(hào)塔DE的高，信號(hào)塔DE的高為31m；

【分析】過(guò)B作所，DE,垂足為歹，根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)AE=DE,

進(jìn)而設(shè)=根據(jù)銳角三角函數(shù)解答即可.

【詳解】解：過(guò)2作3尸，小，垂足為F,

VZACB=90°,ZEDA=90°,，四邊形3CEF是矩形，:.CE=BF,EF=BC.

：A3的長(zhǎng)為5m,高BC為3m,:.EF=BC=3m.

...在RtZkABC中，AC=y/AB2-BC2=A/52-32=4（m）.

VZDE4=90°,ZDAE=45°,ZADE=45°.AAE=DE.：.^AE=DE=xm.

DF

DF=(%-3)m,CE=BF=(x+4)mtan/DBF=——

BF

Y—3x—3

VZDBF=38.7°,tan38.7。=0.80,Z.tan38.7°=——.A0.8=——./.x=31.即信號(hào)塔

元+4x+4

第24頁(yè)共39頁(yè)

的DE高為31m.

，能求出信號(hào)塔DE的高，信號(hào)塔DE的高為31m.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)是

解題的關(guān)鍵.

2.（2023?遼寧?中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山，需要登頂600m

高的山峰，由山底A處先步行300m到達(dá)8處，再由8處乘坐登山纜車(chē)到達(dá)山頂。處.已知

點(diǎn)A,B.D,E,尸在同一平面內(nèi)，山坡的坡角為30。，纜車(chē)行駛路線(xiàn)3。與水平面的夾

角為53°（換乘登山纜車(chē)的時(shí)間忽略不計(jì)）

⑴求登山纜車(chē)上升的高度DE；

⑵若步行速度為30m/min,登山纜車(chē)的速度為60m/min,求從山底A處到達(dá)山頂。處大約

需要多少分鐘（結(jié)果精確到O.lmin）

（參考數(shù)據(jù)：sin53°~0.80,cos53°?0.60,tan53°。1.33）

【答案】（1）登山纜車(chē)上升的高度DE=450m；（2）從山底A處到達(dá)山頂。處大約需要19.4min.

【分析】（1）過(guò)8點(diǎn)作于C,BELDF于E,則四邊形3EFC是矩形，在RtZXABC

中，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)求得3C的長(zhǎng)，據(jù)此求解即可；

（2）在中，求得8。的長(zhǎng)，再計(jì)算得出答案.

第25頁(yè)共39頁(yè)

【詳解】（1）解：如圖，過(guò)3點(diǎn)作BCLAF于C,BELDF^-E,則四邊形BEFC是矩形,

在RtzXABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=300m,Z.EF=BCAB=150m,

2

：,D￡=DF-EF=600-150=450（m）,答：登山纜車(chē)上升的高度DE=450m；

(2)解：在Rt^BDE中，ZDEB=90°,ZDBE=53°,DE=450m,：

3益=黑=5625g,

???從山底A處到達(dá)山頂。處大約需要：絲+當(dāng)竺=19.375R9.4（min）,

3060

答：從山底A處到達(dá)山頂。處大約需要19.4min.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3.（2023?貴州?中考真題）貴州旅游資源豐富.某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在

如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道.設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳A為起點(diǎn)，沿途修建A3、CD

兩段長(zhǎng)度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂。處，中途設(shè)計(jì)了一段與AF平行的觀光平臺(tái)5c為

50m.索道AB與AF的夾角為15。，CO與水平線(xiàn)夾角為45。，兩處的水平距離AEr為

576m,DFYAF,垂足為點(diǎn)F.（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)AE、P在同一水平

線(xiàn)上）

（1）求索道A3的長(zhǎng)（結(jié)果精確至I]1m）；

第26頁(yè)共39頁(yè)

(2)求水平距離AF的長(zhǎng)(結(jié)果精確至IJlm).

(參考數(shù)據(jù)：sin150~0.25,cosl5°?0.96,tan15°?0.26,72?1.41)

【答案】(l)600m(2)1049m

【分析】(1)根據(jù)NBAE的余玄直接求解即可得到答案；

(2)根據(jù)A3、8兩段長(zhǎng)度相等及CD與水平線(xiàn)夾角為45。求出C到。尸的距離即可得到

答案;

【詳解】(1)解：:AB兩處的水平距離4E為576m,索道AB與AF的夾角為15。,

AE

AB=”=600m

cos15°0.96

(2)解：：A3、。兩段長(zhǎng)度相等，8與水平線(xiàn)夾角為45。,

CD=600m,CG=C￡>cos45°=600x=600x—=423m,

22

AF=AE+BC+CG=576+50+423=1049m；

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形解決實(shí)際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握幾種三角函數(shù).

4.(2023?遼寧丹東?中考真題)一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時(shí)，測(cè)得燈塔2在它

北偏東31。方向上，繼續(xù)向東航行10nmile到達(dá)C港,此時(shí)測(cè)得燈塔8在它北偏西61。方向上,

求輪船在航行過(guò)程中與燈塔2的最短距離.(結(jié)果精確到O.lnmile)(參考數(shù)據(jù)：sin31°?0.52,

cos31°?0.86,tan31°?0.60,sin61°?0.87,cos61°?0.48,tan61°?1.80).

第27頁(yè)共39頁(yè)

【答案】輪船在航行過(guò)程中與燈塔5的最短距離為4.2nmile

【分析】過(guò)點(diǎn)3作于點(diǎn)。，則乙鋁。=31。,/。助二61。，進(jìn)而得出4)。0.6瓦>,

CD?1.8B￡>,根據(jù)AC=10nmile,得出AZ)+CD=0.63D+L8Br)=10,即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)8作BDLAC于點(diǎn)Q,

?.?AE1AC.CF±AC,

：.BD//AE//CF,

：.ZABD=31°,ZCBD=61°,

???AD=BDtanZABD=BDtan31°?0.6BD,CD=BD-tanZG5D=BDtan61°?1.8BD,

???AC=10nmile,

???AD^CD=Q.6BD-^1.8BD=10,

25

解得：BD=一nmile,

6

BD?4.2nmile,

答:輪船在航行過(guò)程中與燈塔8的最短距離為4.2nmile.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確畫(huà)出輔助線(xiàn)，構(gòu)造直

角三角形，熟練掌握解直角三角形的方法和步驟.

5.（2023?湖北?中考真題）為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷

面為梯形ABCD,斜面坡度，=3:4是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度正的比.已知斜坡

長(zhǎng)度為20米，ZC=18°f求斜坡A5的長(zhǎng).（結(jié)果精確到米）（參考數(shù)據(jù)：

sin18°?0.31,cos18°?0.95,tan18°?0.32）

第28頁(yè)共39頁(yè)

AD

【答案】斜坡A3的長(zhǎng)約為10米

【分析】過(guò)點(diǎn)。作■!BC于點(diǎn)E,在RtADEC中，利用正弦函數(shù)求得DE=6.2,在RtABF

中，利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作DE，3c于點(diǎn)E,則四邊形是矩形，

在RtZXDEC中，CD=20,ZC=18°,

r?E=CD-sinZC=20xsinl8°?20x0.31=6.2.：.AF=DE=6.2.

.?.在RtABR中，AB=\lAF2+BF2=-AF=-X6.2?10（米）.

BF433

答：斜坡AB的長(zhǎng)約為10米.

【點(diǎn)睛】此題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳

角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?山東青島?中考真題）太陽(yáng)能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能

減排.某校組織學(xué)生進(jìn)行綜合實(shí)踐活動(dòng)一測(cè)量太陽(yáng)能路燈電池板的寬度.如圖，太陽(yáng)能電

池板寬為4B,點(diǎn)。是4B的中點(diǎn)，OC是燈桿.地面上三點(diǎn)D,E與C在一條直線(xiàn)上，

DE=1.5m,EC=5m.該校學(xué)生在。處測(cè)得電池板邊緣點(diǎn)B的仰角為37。，在E處測(cè)得電

池板邊緣點(diǎn)8的仰角為45。.此時(shí)點(diǎn)A、3與E在一條直線(xiàn)上.求太陽(yáng)能電池板寬AB的長(zhǎng)

343

度.（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin37°?j,cos370?-,tan37°?-,72?1.41）

第29頁(yè)共39頁(yè)

【答