人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)4.1 數(shù)列的概念【課件】

1.通過(guò)日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例,了解數(shù)列的有關(guān)概念.2.了解數(shù)列的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).3.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù).4.1數(shù)列的概念1.數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示

1|數(shù)列及其相關(guān)概念和簡(jiǎn)單表示2.數(shù)列與集合的區(qū)別

數(shù)列集合示例區(qū)別數(shù)列中的項(xiàng)是有序的,

兩組相同的數(shù)字,按照

不同的順序排列得到

的是不同的數(shù)列集合中的元素是無(wú)序

的如數(shù)列1,3,4與1,4,3是

不同的數(shù)列,而集合{1,

3,4}與{1,4,3}是相同的

集合數(shù)列中的項(xiàng)可以重復(fù)

出現(xiàn)集合中的元素滿足互

異性,即集合中的元素

不能重復(fù)出現(xiàn)如數(shù)列1,1,1,…,每項(xiàng)都

是1,而集合不可以3.數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系

數(shù)列函數(shù)區(qū)別數(shù)列的定義域是正整數(shù)集函數(shù)的定義域可能是其他數(shù)集數(shù)列的圖象是孤立的點(diǎn)函數(shù)的圖象可能是光滑的曲線聯(lián)系當(dāng)自變量從1開始,按照從小到大的順序依次取值時(shí),對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值f(1),f(2),…,f(n),…就是數(shù)列{an}.另一方面,對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果f(n)(n∈N*)有意義,那么f(1),f(2),…,f(n),…構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列{f(n)}1.按項(xiàng)數(shù)分類2.按項(xiàng)的變化趨勢(shì)分類類別含義有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)⑥有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)⑦無(wú)限的數(shù)列類別含義遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列2|數(shù)列的分類如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)⑧

n

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子

來(lái)表示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.3|數(shù)列的通項(xiàng)公式1.遞推關(guān)系(1)初始條件:已知數(shù)列的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng));(2)遞推公式:如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表

示,那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.2.由遞推關(guān)系確定數(shù)列(1)遞推公式也是表示數(shù)列的一種重要方法,它和通項(xiàng)公式一樣,都是關(guān)于序號(hào)n的

恒等式.(2)利用首項(xiàng)和遞推公式,可以通過(guò)賦值逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng),直至求出數(shù)列的任何

一項(xiàng)和所需的項(xiàng).4|數(shù)列的遞推關(guān)系1.數(shù)列的前n項(xiàng)和我們把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和,稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,記作Sn,

即Sn=a1+a2+…+an.2.數(shù)列中an與Sn的關(guān)系對(duì)于一般數(shù)列{an},設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,則有an=

5|數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1.每一個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式.

(

?)提示:不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則S1=a1.

(√)提示:由數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的定義知S1=a1.3.數(shù)列1,2,3,4,…,2n是無(wú)窮數(shù)列.

(

?)提示:數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n,不是無(wú)窮數(shù)列.4.如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列,那么它一定是遞減數(shù)列.(

?)提示:數(shù)列1,-1,1,-1既不是遞增數(shù)列,也不是遞減數(shù)列.判斷正誤，正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“?”。5.數(shù)列{an}中,若

=2an,n∈N*,則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)都能確定.

(

?)提示:數(shù)列{an}中的首項(xiàng)不確定,則其他項(xiàng)也不能確定.6.數(shù)列1,3,5,7,…,2n+1,…的通項(xiàng)公式是an=2n+1,n∈N*.

(

?)提示:數(shù)列1,3,5,7,…,2n+1,…的通項(xiàng)公式是an=2n-1,n∈N*.1|如何寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式要由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,只需觀察分析數(shù)列中各項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)

律,看哪些部分不隨序號(hào)的變化而變化,哪些部分隨序號(hào)的變化而變化,確定變化

部分隨序號(hào)變化的規(guī)律,進(jìn)而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系.1.由數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式的方法:首先從下面4個(gè)角度觀察數(shù)列的前幾項(xiàng):(1)各項(xiàng)的符號(hào)特征;(2)各項(xiàng)能否拆分;(3)分式的分子、分母的特征;(4)相鄰項(xiàng)的變化規(guī)律.其次尋找各項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的序號(hào)之間的規(guī)律,一般方法如下:(1)熟記一些特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式,熟悉它們的變化規(guī)律,并靈活運(yùn)用;(2)將數(shù)列的各項(xiàng)拆分成若干個(gè)常見數(shù)列的“和”“差”“積”“商”,如分式形式的數(shù)列,可分別求分子、分母的通項(xiàng)公式;(3)當(dāng)一個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào)出現(xiàn)“+”“-”相間時(shí),應(yīng)把符號(hào)分離出來(lái),可用(-1)n或

(-1)n+1來(lái)實(shí)現(xiàn);(4)當(dāng)數(shù)列的奇偶項(xiàng)分別呈現(xiàn)各自的規(guī)律時(shí),可以考慮用分段的形式給出,也可以

將給出的各項(xiàng)統(tǒng)一化成某種形式.2.記住下列簡(jiǎn)單數(shù)列的通項(xiàng)公式:(1)1,2,3,4,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n,n∈N*;(2)-1,1,-1,1,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n,n∈N*;(3)1,3,5,7,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=2n-1,n∈N*;(4)1,4,9,16,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=n2,n∈N*;(5)1,2,4,8,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

,n∈N*;(6)9,99,999,9999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1,n∈N*.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1)1,-

,

,-

;(2)

,2,

,8;(3)7,77,777,7777;(4)-

,

,-

,

.思路點(diǎn)撥分析前4項(xiàng)的組成結(jié)構(gòu),分別寫出各部分的通項(xiàng)公式,進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.解析(1)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值的分母就是序號(hào),并且奇數(shù)項(xiàng)為正,偶數(shù)項(xiàng)為

負(fù),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

,n∈N*.(2)數(shù)列中的項(xiàng),有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察:

,

,

,

,…,分母均為2,分子為序號(hào)的平方,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

,n∈N*.(3)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以化為

×9,

×99,

×999,

×9999,即

×(10-1),

×(102-1),

×(103-1),

×(104-1),所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

×(10n-1),n∈N*.(4)將這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母因數(shù)分解得,-

,

,-

,

,其分母都是序號(hào)數(shù)乘比序號(hào)數(shù)大1的數(shù),并且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=

,n∈N*.2|數(shù)列的單調(diào)性及其應(yīng)用1.數(shù)列單調(diào)性的判斷方法和應(yīng)用(1)數(shù)列的單調(diào)性通常是通過(guò)比較數(shù)列{an}中任意相鄰兩項(xiàng)an和an+1的大小來(lái)判斷

的,常用方法是定義法、圖象法和函數(shù)法.(2)利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍.解決此類問(wèn)題常利用以下的等價(jià)關(guān)

系:數(shù)列{an}遞增?an+1>an(n∈N*);數(shù)列{an}遞減?an+1<an(n∈N*).2.求數(shù)列{an}的最大(小)項(xiàng)的常用方法(1)當(dāng)

(n≥2,n∈N*)時(shí),an是數(shù)列中的最大項(xiàng);當(dāng)

(n≥2,n∈N*)時(shí),an是數(shù)列中的最小項(xiàng).(2)利用函數(shù)的單調(diào)性求最大(小)項(xiàng).數(shù)列{an}中,an=-2n2+29n+3,則此數(shù)列中的最大值是(B)A.107

B.108

C.

D.109思路點(diǎn)撥將an=-2n2+29n+3看作關(guān)于n的二次函數(shù)

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求an的最大值.解析由已知得,an=-2n2+29n+3=-2

+

,由于n∈N*,所以當(dāng)n取距離

最近的正整數(shù)7時(shí),an取得最大值,最大值為a7=108.易錯(cuò)警示

利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),要注意定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集這

一約束條件,題中二次函數(shù)的最大值在圖象的對(duì)稱軸處取得,而數(shù)列的最大值在n

取距離圖象的對(duì)稱軸最近的正整數(shù)時(shí)取得.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(n+2)×

(n∈N*),試問(wèn)數(shù)列{an}是否有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.思路點(diǎn)撥判斷數(shù)列的單調(diào)性,尋求數(shù)列的最大項(xiàng)或假設(shè)an是數(shù)列的最大項(xiàng),解不等式.解析

解法一:作差比較an+1與an的大小,判斷{an}的單調(diào)性.由題意得,an+1-an=(n+3)×

-(n+2)×

=

×

,n∈N*.當(dāng)1≤n<5時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=5時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>5時(shí),an+1-an<0,即an+1<an,故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>a8>…,所以數(shù)列{an}有最大項(xiàng)a5或a6,且a5=a6=

.解法二:作商比較an+1與an的大小,判斷{an}的單調(diào)性.由題意得,

=

=

,n∈N*.令

>1,解得n<5;令

=1,解得n=5;令

<1,解得n>5.故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>…,所以數(shù)列{an}有最大項(xiàng)a5或a6,且a5=a6=

.解法三:假設(shè){an}中有最大項(xiàng),且最大項(xiàng)為第n項(xiàng),則

即

解得

即5≤n≤6.故數(shù)列{an}有最大項(xiàng)a5或a6,且a5=a6=

.3|數(shù)列的遞推關(guān)系及其應(yīng)用1.遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系.遞推公式只有知道首項(xiàng)(或前

幾項(xiàng)),才能依次求出其他的項(xiàng).若項(xiàng)數(shù)很大,則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律.2.數(shù)列的通項(xiàng)公式與遞推公式的區(qū)別(1)通項(xiàng)公式反映了數(shù)列中項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系,而遞推公式反映了數(shù)列中項(xiàng)與

項(xiàng)之間的關(guān)系;(2)求數(shù)列的某一項(xiàng)時(shí),可以通過(guò)將序號(hào)代入通項(xiàng)公式直接求出該項(xiàng),而對(duì)于遞推

公式,則必須通過(guò)逐項(xiàng)計(jì)算求出該項(xiàng);(3)遞推公式可以揭示數(shù)列的一些性質(zhì),但不容易了解數(shù)列的全貌,計(jì)算也不方便,

而通項(xiàng)公式可以“把握”整個(gè)數(shù)列.3.由遞推公式求通項(xiàng)公式的方法(1)形如an+1-an=f(n)的遞推公式,可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2,n∈

N*)求出通項(xiàng)公式,這種方法叫累加法;(2)形如

=f(n)(an≠0)的遞推公式,可以利用a1·

·

·…·

=an(n≥2,n∈N*)求出通項(xiàng)公式,這種方法叫累乘法.數(shù)列{an}中,a1=1,a2=

,且

+

=

(n∈N*,n≥2),則a6=

(B)A.

B.

C.

D.7思路點(diǎn)撥由

+

=

,得

=

-

,將n=2代入求出a3,依次類推求出a6的值.解析由

+

=

得,

=

-

(n∈N*,n≥2),則

=

-

=

-1=2,∴a3=

,依次類推,可得a4=

,a5=

,a6=

.已知數(shù)列{an}滿足a1=-1,

=an+

-

,n∈N*,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.思路點(diǎn)撥由

-an=f(n)知,用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解析∵

-an=

-

,∴a2-a1=

-

,a3-a2=

-

,a4-a3=

-

,……an-an-1=

-

(n≥2,n∈N*),將以上(n-1)個(gè)式子相加,得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-

)=

+

+…+

,即an-a1=1-

(n≥2,n∈N*).∴an=a1+1-

=-1+1-

=-

(n≥2,n∈N*),經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)n=1時(shí),a1=-1也符合上式,∴an=-

,n∈N*.4|數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法及其應(yīng)用1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和就是將數(shù)列{an}的前n項(xiàng)a1,a2,…,an加起來(lái)得到的和,求數(shù)列

{an}的前n項(xiàng)和要根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn),按不同的方法求解.2.“裂項(xiàng)相消法”求和“裂項(xiàng)相消法”求和的關(guān)鍵就是將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(或多項(xiàng))差的形式,使

數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)有規(guī)律的抵消,從而達(dá)到求和的目的.利用“裂項(xiàng)相消法”求和

時(shí)要注意抵消后的剩余項(xiàng)有多少,剩余項(xiàng)之間是相加還是相減.常見的裂項(xiàng)方法有:(1)

=

;(2)

=

(

-

);(3)

=

;(4)

=

;(5)loga

=loga(n+1)-logan.3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn求通項(xiàng)公式an的步驟:(1)由a1=S1求出數(shù)列的首項(xiàng);(2)由an=Sn-

(n≥2)求出當(dāng)n≥2時(shí)an的通項(xiàng)公式;(3)若an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得的a1與利用a1=S1求得的a1相同,則說(shuō)明an=Sn-Sn-1(n

≥2)也適合n=1的情況,數(shù)列的通項(xiàng)公式可用an=Sn-Sn-1(n∈N*)表示;若an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得的a1與利用a1=S1求得的a1不相同,則說(shuō)明an=Sn-Sn-1(n

≥2)不適合n=1的情況,此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式采用分段形式表