新疆烏魯木齊地區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)第三次質(zhì)量監(jiān)測試題文含解析

PAGEPAGE22新疆烏魯木齊地區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)第三次質(zhì)量監(jiān)測試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一.項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則運(yùn)算即可.【詳解】.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式得集合A，再依據(jù)交集定義求結(jié)果.【詳解】,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合交集以及一元二次不等式解法，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.3.設(shè)命題：，，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)全稱命題的否定是特征命題進(jìn)行解答即可.【詳解】因?yàn)槊}：，，所以為：，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.4.已知等差數(shù)列滿意，，則()A.20 B.24 C.26 D.28【答案】B【解析】【分析】干脆依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵等差數(shù)列滿意，，∴，即，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5.若角的終邊過點(diǎn)，則的值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)三角函數(shù)的定義求出，即可求出結(jié)論.【詳解】角的終邊過點(diǎn)，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義以及二倍角公式求三角函數(shù)值，考查計(jì)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.某校有甲、乙兩個(gè)數(shù)學(xué)建模愛好班.其中甲班有40人，乙班有50人.現(xiàn)分析兩個(gè)班的一次考試成果，算得甲班的平均成果是90分，乙班的平均成果是81分，則這兩個(gè)數(shù)學(xué)建模愛好班全部同學(xué)的平均成果是()A.85 B.85.5 C.86 D.86.5【答案】A【解析】【分析】本題是一個(gè)加權(quán)平均數(shù)的問題，求出甲和乙兩個(gè)班的總分?jǐn)?shù)，再除以兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)，就是這兩個(gè)班的平均成果．【詳解】解：由題意，這兩個(gè)數(shù)學(xué)建模愛好班全部同學(xué)的平均成果是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題．7.如圖，正方體中，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，則異面直線與所成角的大小為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取中點(diǎn)，連，可證，轉(zhuǎn)化為求所成的角，利用平面幾何關(guān)系，證明即可.【詳解】取中點(diǎn)，連，在正方體中，為中點(diǎn)，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角為直線所成的角，在正方形中，，，直線與所成角的大小為.故選：D..【點(diǎn)睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明異面直線垂直，考查直觀想象、邏輯推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.在中，，點(diǎn)滿意，則（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】由題意可知為直角，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量共線求出點(diǎn)，從而再依據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】在中，，所以為直角，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，由，可得，即，解得，，所以，由，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量的線性坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了基本運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則的值為()A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，聯(lián)立并消元得，，得韋達(dá)定理結(jié)論，由題意得，由此依據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可．【詳解】解：設(shè)，，聯(lián)立并消元得，，∴，，又，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10.在四面體中，，，則四面體的外接球的表面積為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接，，由題意可得為外接球的球心，利用球的表面積公式即可求解.【詳解】由，，所以，可得，所以，即為外接球的球心，球的半徑所以四面體的外接球的表面積為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的外接球的表面積，需熟記球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.11.是雙曲線：上位于其次象限的一點(diǎn)，，分別是左、右焦點(diǎn)，.軸上的一點(diǎn)使得，，兩點(diǎn)滿意，，且，，三點(diǎn)共線，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，先求出，再依據(jù)，求出，再求出，再求出，依據(jù)，，三點(diǎn)共線，利用向量平行，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】解：如圖，，把代入，得，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，，即，因?yàn)?，所以是線段的中點(diǎn)，所以，即，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所以，，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以，，，，因?yàn)椋?，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】結(jié)合向量考查用解析法求雙曲線的離心率，對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算求解實(shí)力是挑戰(zhàn)，計(jì)算量大，簡單出錯(cuò)；中檔題.12.定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)隨意實(shí)數(shù)，都有，若有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，分別作出函數(shù)和的圖像，利用數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，由，可得，分別作出函數(shù)和的圖像：若時(shí)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖像只有個(gè)交點(diǎn)，不滿意條件；若時(shí)，當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)圖像有個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)有個(gè)交點(diǎn)，則要使兩個(gè)函數(shù)有有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則對(duì)數(shù)函數(shù)圖像必需在點(diǎn)以下，在點(diǎn)以上，，，，，即滿意，解得，即.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于難題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為________.【答案】【解析】2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，全部的基本領(lǐng)件有（數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2，語文），（數(shù)學(xué)1，語文，數(shù)學(xué)2），（數(shù)學(xué)2，數(shù)學(xué)1，語文），（數(shù)學(xué)2，語文，數(shù)學(xué)1），（語文，數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2），（語文，數(shù)學(xué)2，數(shù)學(xué)1）共6個(gè)，其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的有（數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2，語文），（數(shù)學(xué)2，數(shù)學(xué)1，語文），（語文，數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2），（語文，數(shù)學(xué)2，數(shù)學(xué)1）共4個(gè)，故2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率．14.已知定義在上的奇函數(shù)滿意：當(dāng)時(shí)，，則______.【答案】-2【解析】【分析】依據(jù)定義在上的奇函數(shù)，則，然后再由時(shí)，求解.【詳解】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：-2【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及對(duì)數(shù)運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.15.f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在區(qū)間上的最大值是，則ω＝________.【答案】【解析】【詳解】函數(shù)f(x)的周期T＝，因此f(x)＝2sinωx在上是增函數(shù)，∵0<ω<1，∴是的子集，∴f(x)在上是增函數(shù)，∴＝，即2sin＝，∴ω＝，∴ω＝，故答案為.16.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)之積的最小值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)公比為，由題意.依據(jù)，、、成等差數(shù)列，求出，寫出.令，可得數(shù)列的前項(xiàng)之積，即求的最小值.【詳解】由題意等比數(shù)列中，.設(shè)公比為，則.，，成等差數(shù)列，，即，解得或（舍）.，，即，..令，則數(shù)列的前項(xiàng)之積，當(dāng)或5時(shí)，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.三、解答題：第17~21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，，，是，，所對(duì)的邊，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由題意求得，再依據(jù)余弦定理即可求出答案；（Ⅱ）依據(jù)正弦定理可得，從而求得，則，再依據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．詳解】解：（Ⅰ）由，得，∴，又∵，，又，即，解得，(負(fù)值舍去)；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴，∵，∴，且，∴的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18.在疫情這一特別時(shí)期，教化行政部門部署了“停課不停學(xué)”的行動(dòng)，全力幫助學(xué)生在線學(xué)習(xí).復(fù)課后進(jìn)行了摸底考試，某校數(shù)學(xué)老師為了調(diào)查高三學(xué)生這次摸底考試的數(shù)學(xué)成果與在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)長之間的相關(guān)關(guān)系，對(duì)在校高三學(xué)生隨機(jī)抽取45名進(jìn)行調(diào)查.知道其中有25人每天在線學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)長是不超過1小時(shí)的，得到了如下的等高條形圖：（Ⅰ）將頻率視為概率，求學(xué)習(xí)時(shí)長不超過1小時(shí)但考試成果超過120分的概率；（Ⅱ）是否有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底考試數(shù)學(xué)成果與其在線學(xué)習(xí)時(shí)長有關(guān)”.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）沒有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底成果與其在線學(xué)習(xí)時(shí)長有關(guān)”【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)等高條形圖求出學(xué)習(xí)時(shí)長不超過1小時(shí)但考試成果超過120分的人數(shù)為人，由古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.（Ⅱ）依據(jù)題意列出列聯(lián)表，計(jì)算出觀測值，依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可求解.【詳解】（Ⅰ）從等高條形圖中看出，學(xué)習(xí)時(shí)長不超過1小時(shí)，但考試成果超過120分人數(shù)為人，∴其概率為；（Ⅱ）依題意，得列聯(lián)表：數(shù)學(xué)成果在線學(xué)習(xí)時(shí)長分分合計(jì)小時(shí)151025小時(shí)51520合計(jì)202545∵，∴沒有的把握認(rèn)為“高三學(xué)生的這次摸底成果與其在線學(xué)習(xí)時(shí)長有關(guān)”.【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、古典概型的概率計(jì)算公式、列聯(lián)表，屬于基礎(chǔ)題.19.如圖，將直角邊長為的等腰直角三角形，沿斜邊上的高翻折，使二面角的大小為，翻折后的中點(diǎn)為.（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）證出，，然后利用線面垂直的判定定理即可證出.（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體法，由三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（Ⅰ）∵折疊前，是斜邊上的高，∴是的中點(diǎn)，∴，又因?yàn)檎郫B后是的中點(diǎn)，∴，折疊后，∴，，∴平面；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意得，∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、等體法求點(diǎn)到面的距離、三棱錐的體積公式，考查了邏輯推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知橢圓：右焦點(diǎn)為，為橢圓上異于左右頂點(diǎn)，的一點(diǎn)，且面積的最大值為.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，證明直線平分.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由題意得，解出即可；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求得點(diǎn)，求出點(diǎn)，從而得中點(diǎn)，利用斜率的計(jì)算公式與正切的定義即可證明結(jié)論．【詳解】解：（Ⅰ）由題意得，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，代入，得，解得，或，∴，∴，易知直線與的交點(diǎn)，∴線段的中點(diǎn)，設(shè)，則，∴，，∵，，，∴，即直線平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算實(shí)力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題．21.已知.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)是的微小值點(diǎn)，求的最大值.【答案】（Ⅰ）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，推斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，最終利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行推斷的正負(fù)性，最終確定的單調(diào)性；（Ⅱ）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，推斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)極值的定義，結(jié)合構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，明顯，設(shè)，，∵，∴在上增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）由，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴存在微小值點(diǎn)滿意，即，∴，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，即，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.選考題：共10分，請考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號(hào)涂黑.22.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）求曲線的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)與交點(diǎn)為，，求的面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）先依據(jù)曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)t化為直角坐標(biāo)方程，然后將代入求解.（Ⅱ）先把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，再求面積.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)t得：，即：，又因?yàn)?，代入上式得曲線：；（Ⅱ）因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為