高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 11.2 用樣本估計(jì)總體 理 蘇教版

11.2用樣本估計(jì)總體一、選擇題1．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是____，____．解析平均數(shù)增加，方差不變．答案62.8,3.62.對(duì)某校名學(xué)生的體重（單位：）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則學(xué)生體重在以上的人數(shù)為人.解析60以頻率為，故人數(shù)為（人）．答案1003．樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為．解析由題可知樣本的平均值為1，所以eq\f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，所以樣本的方差為eq\f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案24．為了了解某地區(qū)10000名高三男生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17～18歲的高三男生體重(kg)，得到頻率分布直方圖如圖．根據(jù)圖示，請(qǐng)你估計(jì)該地區(qū)高三男生中體重在[56.5,64.5]的學(xué)生人數(shù)是人.解析依題意得，該地區(qū)高三男生中體重在[56.5,64.5]的學(xué)生人數(shù)是10000×(0.03＋2×0.05＋0.07)×2＝4000.答案40005．甲、乙兩名同學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的9科成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示，請(qǐng)你根據(jù)莖葉圖判斷誰(shuí)的平均分高_(dá)_______．(填“甲”或“乙”)解析由莖葉圖可以看出，eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,9)(92＋81＋89×2＋72＋73＋78×2＋68)＝80，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,9)(91＋83＋86＋88＋89＋72＋75＋78＋69)≈81.2,eq\x\to(x)乙＞eq\x\to(x)甲，故乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)．答案乙6．如圖是根據(jù)某校10位高一同學(xué)的身高(單位：cm)畫(huà)出的莖葉圖，其中左邊的數(shù)字從左到右分別表示學(xué)生身高的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示學(xué)生身高的個(gè)位數(shù)字，從圖中可以得到這10位同學(xué)身高的中位數(shù)是．解析由給定的莖葉圖可知，這10位同學(xué)身高的中位數(shù)為eq\f(161＋163,2)＝162(cm)．答案162cm7．從甲、乙兩種樹(shù)苗中各抽測(cè)了10株樹(shù)苗的高度，其莖葉圖如圖．根據(jù)莖葉圖，下列描述正確的是．①甲種樹(shù)苗的平均高度大于乙種樹(shù)苗的平均高度，且甲種樹(shù)苗比乙種樹(shù)苗長(zhǎng)得整齊②甲種樹(shù)苗的平均高度大于乙種樹(shù)苗的平均高度，但乙種樹(shù)苗比甲種樹(shù)苗長(zhǎng)得整齊③乙種樹(shù)苗的平均高度大于甲種樹(shù)苗的平均高度，且乙種樹(shù)苗比甲種樹(shù)苗長(zhǎng)得整齊④乙種樹(shù)苗的平均高度大于甲種樹(shù)苗的平均高度，但甲種樹(shù)苗比乙種樹(shù)苗長(zhǎng)得整齊解析根據(jù)莖葉圖計(jì)算得甲種樹(shù)苗的平均高度為27，而乙種樹(shù)苗的平均高度為30，但乙種樹(shù)苗的高度分布不如甲種樹(shù)苗的高度分布集中．答案④8．對(duì)某種電子元件的使用壽命進(jìn)行跟蹤調(diào)查，所得樣本的頻率分布直方圖如圖所示，由圖可知，這一批電子元件中使用壽命在100～300h的電子元件的數(shù)量與使用壽命在300～600h的電子元件的數(shù)量的比是．解析壽命在100～300h的電子元件的頻率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2000)＋\f(3,2000)))×100＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5)；壽命在300～600h的電子元件的頻率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,400)＋\f(1,250)＋\f(3,2000)))×100＝eq\f(4,5).∴它們的電子元件數(shù)量之比為eq\f(1,5)∶eq\f(4,5)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)9．世界衛(wèi)生組織(WHO)證實(shí)，英國(guó)葛蘭素史克(GSK)藥廠生產(chǎn)的甲型流感疫苗在加拿大種植后造成多人出現(xiàn)過(guò)敏癥狀的情況，下面是加拿大五個(gè)地區(qū)有過(guò)敏癥狀人數(shù)(單位：個(gè))的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______.8979013解析由莖葉圖，得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝90，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為s＝eq\r(\f(1,5)[89－902＋87－902＋90－902＋91－902＋93－902)＝2.答案210．某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)．根據(jù)頻率分布直方圖推測(cè)，這3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)小于60分的學(xué)生數(shù)是________．解析根據(jù)樣本的頻率分布直方圖，成績(jī)小于60分的學(xué)生的頻率為(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.20，所以可推測(cè)3000名學(xué)生中成績(jī)小于60分的人數(shù)為600名．答案60011.如圖是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，則該運(yùn)動(dòng)員在這五場(chǎng)比賽中得分的方差為_(kāi)________.(注：方差，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù))答案6.812．某校開(kāi)展“愛(ài)我青島，愛(ài)我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評(píng)委為參賽作品A給出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示．記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字(莖葉圖中的x)無(wú)法看清，若記分員計(jì)算無(wú)誤，則數(shù)字x應(yīng)該是________．解析當(dāng)x≥4時(shí)，eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋94,7)＝eq\f(640,7)≠91，∴x＜4，則eq\f(89＋89＋92＋93＋92＋91＋x＋90,7)＝91，∴x＝1.答案113.某企業(yè)有3個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，第一、二、三分廠的產(chǎn)量之比為1∶2∶1，用分層抽樣方法（每個(gè)分廠的產(chǎn)品為一層）從3個(gè)分廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中共取100件作使用壽命的測(cè)試，由所得的測(cè)試結(jié)果算得從第一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命的平均值分別為980h，1020h，1032h，則抽取的100件產(chǎn)品的使用壽命的平均值為_(kāi)______h.解析答案1013二、解答題14．某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六組[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：(1)求分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率；(2)若在同一組數(shù)據(jù)中，將該組區(qū)間的中點(diǎn)值(如：組區(qū)間[100,110)的中點(diǎn)值為eq\f(100＋110,2)＝105.)作為這組數(shù)據(jù)的平均分，據(jù)此，估計(jì)本次考試的平均分；(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2人，求至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)的概率．解析(1)分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3.(2)估計(jì)平均分為eq\x\to(x)＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.(3)由題意，[110,120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.15＝9(人)．[120,130)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.3＝18(人)．∵用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本，∴需在[110,120)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人，并分別記為m，n；在[120,130)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人，并分別記為a，b，c，d；設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)”為事件A，則基本事件共有(m，n)，(m，a)，…，(m，d)，(n，a)，…，(n，d)，(a，b)，…，(c，d)共15種．則事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9種．∴P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).15．某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球，隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)球的直徑(單位：mm)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，得到如下頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合計(jì)100(1)補(bǔ)充完成頻率分布表(結(jié)果保留兩位小數(shù))，并在上圖中畫(huà)出頻率分布直方圖；(2)若以上述頻率作為概率，已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為40.00mm，試求這批乒乓球的直徑誤差不超過(guò)0.03(3)統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值(例如區(qū)間[39.99,40.01)的中點(diǎn)值是40.00)作為代表．據(jù)此估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值(結(jié)果保留兩位小數(shù))．解析(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[39.95,39.97)100.10[39.97,39.99)200.20[39.99,40.01)500.50[40.01,40.03]200.20合計(jì)1001頻率頒布直方圖如圖：(2)誤差不超過(guò)0.03mm其概率為0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)整體數(shù)據(jù)的平均值為39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20＝40.00(mm)．16．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方(分別稱(chēng)為A配方和B配方)做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]頻數(shù)412423210(1)分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；(2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2，t＜94，,2，94≤t＜102，,4，t≥102.))估計(jì)用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn)．解析(1)由試驗(yàn)結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為eq\f(22＋8,100)＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3.由試驗(yàn)結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為eq\f(32＋10,100)＝0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42.(2)由條件知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于0當(dāng)且僅當(dāng)其質(zhì)量指標(biāo)值t≥94，由試驗(yàn)結(jié)果知，質(zhì)量指標(biāo)值t≥94的頻率為0.96.所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于0的概率估計(jì)值為0.96.用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn)為eq\f(1,100)×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)．17．某市年4月1日～4月30日對(duì)空氣污染指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如下(主要污染物為可吸入顆粒物)：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45.樣本頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[41,51)2eq\f(2,30)[51,61)1eq\f(1,30)[61,71)4eq\f(4,30)[71,81)6eq\f(6,30)[81,91)10eq\f(10,30)[91,101)[101,111]2eq\f(2,30)(1)完成頻率分布表；(2)作出頻率分布直方圖；(3)根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0～50之間時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；在51～100之間時(shí)，為良；在101～150之間時(shí)，為輕微污染；在151～200之間時(shí)，為輕度污染．請(qǐng)你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)該市的空氣質(zhì)量給出一個(gè)簡(jiǎn)短評(píng)價(jià)．解析(1)頻率分布表：分組頻數(shù)頻率[41,51)2eq\f(2,30)[51,61)1eq\f(1,30)[61,71)4eq\f(4,30)[71,81)6eq\f(6,30)[81,91)10eq\f(10,30)[91,101)5eq\f(5,30)[101,111]2eq\f(2,30)(2)頻率分布直方圖：(3)答對(duì)下述兩條中的一條即可：①該市一個(gè)月中空氣污染指數(shù)有2天處于優(yōu)的水平，占當(dāng)月天數(shù)的eq\f(1,15).有26天處于良的水平，占當(dāng)月天數(shù)的eq\f(13,15).處于優(yōu)或良的天數(shù)共有28天，占當(dāng)有月數(shù)的eq\f(14,15).說(shuō)明該市空氣質(zhì)量基本良好．②輕微污染有2天，占當(dāng)月天數(shù)的eq\f(1,15).污染指數(shù)在80以上接近輕微污染的天數(shù)有15天，加上處于輕微污染的天數(shù)，共有17天，占當(dāng)月天數(shù)的eq\f(17,30)，超過(guò)50%.說(shuō)明該市空氣質(zhì)量有待進(jìn)一步改善．18．某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454；品種B：363,371,374