人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第四章 4.1.2同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

4．1.2圓的一般方程[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.正確理解圓的方程的形式及特點(diǎn)，會(huì)由一般式求圓心和半徑.2.會(huì)在不同條件下求圓的一般式方程．[知識(shí)鏈接]1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)，可以利用代數(shù)法與幾何法進(jìn)行判斷．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．圓的一般方程的定義(1)當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq\f(\r(D2＋E2－4F),2).(2)當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).(3)當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何圖形．2．由圓的一般方程判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知點(diǎn)M(x0，y0)和圓的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．則其位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系代數(shù)關(guān)系點(diǎn)M在圓外xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0點(diǎn)M在圓上xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＝0點(diǎn)M在圓內(nèi)xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F<0要點(diǎn)一圓的一般方程的概念例1下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2與y2的系數(shù)不相同，∴它不能表示圓．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy這樣的項(xiàng)．∴它不能表示圓．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化為(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圓．(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2，∴它表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))為圓心，eq\f(5,4)為半徑長的圓．規(guī)律方法二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，應(yīng)滿足的條件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.跟蹤演練1如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圓的方程，則實(shí)數(shù)k的范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,4)))解析由題意可知(－2)2＋12－4k>0，即k<eq\f(5,4).要點(diǎn)二求圓的一般方程例2已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、圓心坐標(biāo)和外接圓半徑．解方法一設(shè)△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，))∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圓心坐標(biāo)為(1，－1)，外接圓半徑為5.方法二設(shè)△ABC的外接圓方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋4－b2＝r2，,－2－a2＋3－b2＝r2，,4－a2＋－5－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r＝5，))即外接圓的圓心為(1，－1)，半徑為5，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展開易得其一般方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0.方法三∵kAB＝eq\f(4－3,1＋2)＝eq\f(1,3)，kAC＝eq\f(4＋5,1－4)＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A為直角的直角三角形．∴圓心是線段BC的中點(diǎn)，坐標(biāo)為(1，－1)，r＝eq\f(1,2)|BC|＝5.∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25.展開得一般方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0.規(guī)律方法應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)：(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程的問題，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.跟蹤演練2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圓的方程．解設(shè)三角形ABC外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D＋2E＋F＋8＝0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12，))即三角形ABC的外接圓方程為x2＋y2－8x－2y＋12＝0.要點(diǎn)三求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例3等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2)，底邊一個(gè)端點(diǎn)是B(3,5)，求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．解設(shè)另一端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)．依題意，得|AC|＝|AB|.由兩點(diǎn)間距離公式，得eq\r(x－42＋y－22)＝eq\r(4－32＋2－52)，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.這是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，以eq\r(10)為半徑的圓，如圖所示，又因?yàn)锳、B、C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，所以A、B、C三點(diǎn)不共線．即點(diǎn)B、C不能重合且B、C不能為圓A的一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能重合，所以點(diǎn)C不能為(3,5)．又因?yàn)辄c(diǎn)B、C不能為一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以eq\f(x＋3,2)≠4，且eq\f(y＋5,2)≠2，即點(diǎn)C不能為(5，－1)．故端點(diǎn)C的軌跡方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去點(diǎn)(3,5)和(5，－1))，它的軌跡是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，eq\r(10)為半徑的圓，但除去(3,5)和(5，－1)兩點(diǎn)．規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問題常用的方法．(1)直接法：根據(jù)題目的條件，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并找出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式．(2)定義法：當(dāng)列出的關(guān)系式符合圓的定義時(shí)，可利用定義寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．(3)相關(guān)點(diǎn)法：若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)隨著圓上的另一動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且x1，y1可用x，y表示，則可將Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入已知圓的方程，即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．跟蹤演練3已知直角△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A(－1,0)和B(3,0)，求直角頂點(diǎn)C的軌跡方程．解方法一設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳C⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3).且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．方法二△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3且x≠－1.由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．1．圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)答案D解析－eq\f(D,2)＝2，－eq\f(E,2)＝－3，∴圓心坐標(biāo)是(2，－3)．2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．k≤eq\f(1,2)B．k＝eq\f(1,2)C．k≥eq\f(1,2)D．k<eq\f(1,2)答案D解析方程表示圓?1＋1－4k>0?k<eq\f(1,2).3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的圖形為()A．以(a，b)為圓心的圓B．以(－a，－b)為圓心的圓C．點(diǎn)(a，b)D．點(diǎn)(－a，－b)答案D解析原方程可化為：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示點(diǎn)(－a，－b)．4．圓x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直徑為3，則m的值為________．答案eq\f(11,4)解析因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝eq\r(5－m)＝eq\f(3,2)，∴m＝eq\f(11,4).5．圓C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圓心到直線3x＋4y＋4＝0的距離d＝________.答案3解析圓心(1,2)到直線3x＋4y＋4＝0的距離為eq\f(|3×1＋4×2＋4|,\r(32＋42))＝3.1.圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，來源于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在應(yīng)用時(shí)，注意它們之間的相互轉(zhuǎn)化及表示圓的條件．2．圓的方程可用待定系數(shù)法來確定，在設(shè)方程時(shí)，要根據(jù)實(shí)際情況，設(shè)出恰當(dāng)?shù)姆匠?，以便簡化解題過程．3．對(duì)于曲線的軌跡問題，要作簡單的了解，能夠求出簡單的曲線的軌跡方程，并掌握求軌跡方程的一般步驟．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知圓x2＋y2－4x＋2y－4＝0，則圓心坐標(biāo)，半徑的長分別是()A．(2，－1)，3B．(－2,1)，3C．(－2，－1)，3D．(2，－1)，9答案A解析圓x2＋y2－4x＋2y－4＝0可化為(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故其圓心坐標(biāo)為(2，－1)，半徑的長為3.2．若圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為eq\f(\r(2),2)，則a的值為()A．－2或2B.eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0D．－2或0答案C解析由圓的方程得圓心坐標(biāo)為(1,2)．再由點(diǎn)到直線的距離公式得eq\f(|1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，解得a＝2或a＝0.3．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2>4F)表示的曲線關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，那么必有()A．D＝EB．D＝FC．E＝FD．D＝E＝F答案A解析方程所表示的曲線為圓，由已知，圓關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以圓心在直線y＝x上，即點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))在直線y＝x上，所以D＝E.故選A.4．已知兩點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點(diǎn)，則△ABC的面積最小值是()A．3－eq\r(2)B．3＋eq\r(2)C．3－eq\f(\r(2),2)D.eq\f(3－\r(2),2)答案A解析直線AB的方程為x－y＋2＝0，圓心到直線AB的距離為d＝eq\f(|1－0＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以，圓上任意一點(diǎn)到直線AB的最小距離為eq\f(3\r(2),2)－1，S△ABC＝eq\f(1,2)×|AB|×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)－1))＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)－1))＝3－eq\r(2).5．當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點(diǎn)C，則以C為圓心，eq\r(5)為半徑的圓的方程為()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0答案C解析直線(a－1)x－y＋a＋1＝0可化為(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,x＋1＝0))得C(－1,2)．∴圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.6．點(diǎn)P(x0，y0)是圓x2＋y2＝16上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是OP(O為原點(diǎn))的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是________．答案x2＋y2＝4解析設(shè)M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y，))又P(x0，y0)在圓上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.7．設(shè)圓的方程為x2＋y2－4x－5＝0，(1)求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑；(2)若此圓的一條弦AB的中點(diǎn)為P(3,1)，求直線AB的方程．解(1)將x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.∴圓心坐標(biāo)為C(2,0)，半徑為r＝3.(2)設(shè)直線AB的斜率為k.由圓的幾何性質(zhì)可知：CP⊥AB，∴kCP·k＝－1.又kCP＝eq\f(1－0,3－2)＝1，∴k＝－1.∴直線AB的方程為y－1＝－(x－3)，即：x＋y－4＝0.二、能力提升8．圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對(duì)稱，則ab的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))答案A解析圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0(a，b∈R)對(duì)稱，則圓心在直線上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，ab的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))，故選A.9．已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是()A．x2＋y2＝4(x≠±2)B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝2答案A解析設(shè)P(x，y)，則PM⊥PN.又kPM＝eq\f(y－0,x－－2)＝eq\f(y,x＋2)(x≠－2)，kPN＝eq\f(y－0,x－2)＝eq\f(y,x－2)(x≠2)，∵kPM·kPN＝－1，∴eq\f(y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝－1，即x2－4＋y2＝0，即x2＋y2＝4(x≠±2)．當(dāng)x＝2時(shí)，不能構(gòu)成以MN為斜邊的直角三角形，因此不成立．同理當(dāng)x＝－2時(shí)也不成立．故點(diǎn)P的軌跡方程是x2＋y2＝4(x≠±2)．10．光線從點(diǎn)A(1,1)出發(fā)，經(jīng)y軸反射到圓C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于________．答案6eq\r(2)－2解析∵A(1,1)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)為A′(－1,1)，∴所求的最短路程為|A′C|－2，|A′C|＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).∴所求的最短路程為6eq\r(2)－2.11．已知定點(diǎn)A(2,0)，圓x2＋y2＝1上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，若線段AQ的中點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡．解設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，Q(x1，y1)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋x1,2)，,y＝\f(y1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－2，,y1＝2y，))∵xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝1，∴(2x－2)2＋(2y)2＝1，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝eq\f(1,4).∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以(1,0)為圓心，eq\f(1,2)為半徑的圓．三、探究與創(chuàng)新12．已知一圓過P(4，－2)、Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4eq\r(3)，求圓的方程．解方法一設(shè)圓的方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①將P、Q的坐標(biāo)分別代入①，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＝－20②,D－3E－F＝10③))令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0，④由已知|y1－y2|＝4eq\r(3)，其中y1，y2是方程④的兩根．∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤解②③⑤聯(lián)立成的方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2,E＝0,F＝－12))或eq\b\lc\{\r