流體力學(xué)與計(jì)算流體力學(xué)基礎(chǔ)

第1章流體力學(xué)與計(jì)算流體力學(xué)基礎(chǔ)流體力學(xué)是力學(xué)的一個(gè)重要分支，它主要研究流體本身的靜止?fàn)顟B(tài)和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，以及流體和固體界壁間有相對運(yùn)動(dòng)時(shí)的相互作用和流動(dòng)的規(guī)律，在生活、環(huán)保、科學(xué)技術(shù)及工程中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。計(jì)算流體力學(xué)或計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（ComputationalFluidDynamics，CFD），是用電子計(jì)算機(jī)和離散化的數(shù)值方法對流體力學(xué)問題進(jìn)行數(shù)值模擬和分析的一個(gè)分支。本章先介紹流體力學(xué)中支配流體流動(dòng)的基本物理定律，然后在此基礎(chǔ)上介紹用數(shù)值方法求解流體力學(xué)問題的基本思想，進(jìn)而闡述計(jì)算流體力學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識，最后簡要介紹常用的計(jì)算流體力學(xué)商業(yè)軟件。學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)流體力學(xué)的基礎(chǔ)知識，包括基本概念和重要理論；·學(xué)習(xí)計(jì)算流體力學(xué)的相關(guān)理論和方法；·了解CFD軟件的構(gòu)成；·了解常用的商業(yè)CFD軟件。1.1流體力學(xué)基礎(chǔ)流體力學(xué)是\o"連續(xù)介質(zhì)力學(xué)"連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)分支，是研究\o"流體"流體（包含\o"氣體"氣體及\o"液體"液體）現(xiàn)象以及相關(guān)力學(xué)行為的科學(xué)。1.1.1流體力學(xué)概述1738年，伯努利在他的專著中首次采用了水動(dòng)力學(xué)這個(gè)名詞并作為書名；1880年前后出現(xiàn)了空氣動(dòng)力學(xué)這個(gè)名詞；1935年以后，人們概括了這兩方面的知識，建立了統(tǒng)一的體系，統(tǒng)稱為流體力學(xué)。在人們的生活和生產(chǎn)活動(dòng)中隨時(shí)隨地都可遇到流體，因此流體力學(xué)是與人類日常生活和生產(chǎn)事業(yè)密切相關(guān)的。大氣和水是最常見的兩種流體，大氣包圍著整個(gè)地球，地球表面的70%是水面。大氣運(yùn)動(dòng)、海水運(yùn)動(dòng)（包括波浪、潮汐、中尺度渦旋、環(huán)流等）乃至地球深處熔漿的流動(dòng)都是流體力學(xué)的研究內(nèi)容。20世紀(jì)初，世界上第一架飛機(jī)出現(xiàn)以后，飛機(jī)和其他各種飛行器得到迅速發(fā)展。20世紀(jì)50年代開始的航天飛行，使人類的活動(dòng)范圍擴(kuò)展到其他星球和銀河系。航空航天事業(yè)的蓬勃發(fā)展是同流體力學(xué)的分支學(xué)科——空氣動(dòng)力學(xué)和氣體動(dòng)力學(xué)的發(fā)展緊密相連的。這些學(xué)科是流體力學(xué)中最活躍、最富有成果的領(lǐng)域。石油和天然氣的開采、地下水的開發(fā)利用，要求人們了解流體在多孔或縫隙介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)，這是流體力學(xué)分支之一——滲流力學(xué)研究的主要對象。滲流力學(xué)還涉及土壤鹽堿化的防治，化工中的濃縮、分離和多孔過濾，燃燒室的冷卻等技術(shù)問題。燃燒離不開氣體，這是有化學(xué)反應(yīng)和熱能變化的流體力學(xué)問題，是物理—化學(xué)流體動(dòng)力學(xué)的內(nèi)容之一。爆炸是猛烈的瞬間能量變化和傳遞過程，涉及氣體動(dòng)力學(xué)，從而形成了爆炸力學(xué)。沙漠遷移、河流泥沙運(yùn)動(dòng)、管道中的煤粉輸送、化工中氣體催化劑的運(yùn)動(dòng)等，都涉及流體中帶有固體顆?；蛞后w中帶有氣泡等問題，這類問題是多相流體力學(xué)研究的范圍。等離子體是自由電子、帶等量正電荷的離子以及中性粒子的集合體。等離子體在磁場作用下有特殊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。研究等離子體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科稱為等離子體動(dòng)力學(xué)和電磁流體力學(xué)，它們在受控?zé)岷朔磻?yīng)、磁流體發(fā)電、宇宙氣體運(yùn)動(dòng)等方面有廣泛的應(yīng)用。風(fēng)對建筑物、橋梁、電纜等的作用使它們承受載荷和激發(fā)振動(dòng)；廢氣和廢水的排放造成環(huán)境污染；河床沖刷遷移和海岸遭受侵蝕，研究這些流體本身的運(yùn)動(dòng)及其同人類、動(dòng)植物間的相互作用的學(xué)科稱為環(huán)境流體力學(xué)（其中包括環(huán)境空氣動(dòng)力學(xué)、建筑空氣動(dòng)力學(xué)）。這是一門涉及經(jīng)典流體力學(xué)、氣象學(xué)、海洋學(xué)和水力學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等學(xué)科的新興邊緣學(xué)科。生物流變學(xué)研究人體或其他動(dòng)植物中有關(guān)的流體力學(xué)問題。例如血液在血管中的流動(dòng)，心、肺、腎中的生理流體運(yùn)動(dòng)和植物中營養(yǎng)液的輸送。此外，還研究鳥類在空中的飛翔，動(dòng)物在水中的游動(dòng)等。因此，流體力學(xué)既包含自然科學(xué)的基礎(chǔ)理論，又涉及工程技術(shù)科學(xué)方面的應(yīng)用。目前，研究流體力學(xué)問題的方法有理論分析研究、實(shí)驗(yàn)?zāi)M研究和數(shù)值模擬方法研究3種。流體力學(xué)理論分析的一般過程是：建立力學(xué)模型，用物理學(xué)基本定律推導(dǎo)流體力學(xué)數(shù)學(xué)方程，用數(shù)學(xué)方法求解方程，然后檢驗(yàn)和解釋求解結(jié)果。理論分析結(jié)果能揭示流動(dòng)的內(nèi)在規(guī)律，物理概念清晰，物理規(guī)律能公式化，具有普遍適用性，但分析范圍有限，只能分析簡單的流動(dòng)。而且，線性問題能得到結(jié)果，非線性問題分析非常困難。實(shí)驗(yàn)研究的一般過程是：在相似理論的指導(dǎo)下建立模擬實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，用流體測量技術(shù)測量流動(dòng)參數(shù)，處理和分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。典型的流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)有風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)、水洞實(shí)驗(yàn)、水池實(shí)驗(yàn)等。測量技術(shù)有熱線、激光測速，粒子圖像、跡線測速，高速攝影，全息照相，壓力密度測量等。現(xiàn)代測量技術(shù)在計(jì)算機(jī)、光學(xué)和圖像技術(shù)配合下，在提高空間分辨率和實(shí)時(shí)測量方面已取得長足進(jìn)步。實(shí)驗(yàn)結(jié)果能反映工程中的實(shí)際流動(dòng)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，檢驗(yàn)理論結(jié)果等，現(xiàn)象直觀，測試結(jié)果可靠。但流體的實(shí)驗(yàn)研究對測試設(shè)備要求較高，設(shè)計(jì)制造周期長，且調(diào)試復(fù)雜。實(shí)驗(yàn)研究的方法只能得到有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，真實(shí)模擬物理問題比較困難。數(shù)值研究的一般過程是：對流體力學(xué)數(shù)學(xué)方程進(jìn)行簡化和數(shù)值離散化，編制程序進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較。常用的數(shù)值模擬方法有：有限差分法、有限元法、有限體積法、邊界元法、譜分析法等。計(jì)算的內(nèi)容包括：飛機(jī)、汽車、河道、橋梁、渦輪機(jī)等流場的計(jì)算，湍流、流動(dòng)穩(wěn)定性、非線性流動(dòng)等的數(shù)值模擬。大型工程計(jì)算軟件已成為研究工程流動(dòng)問題的有力武器。數(shù)值模擬方法的優(yōu)點(diǎn)是能計(jì)算理論分析方法無法求解的數(shù)學(xué)方程（適用于線性和非線性問題），能處理各種復(fù)雜流動(dòng)問題，比實(shí)驗(yàn)方法省時(shí)省錢。但畢竟是一種近似解方法，適用范圍受數(shù)學(xué)模型的正確性和計(jì)算機(jī)的性能所限制。流體力學(xué)的3種研究方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在實(shí)際研究流體力學(xué)問題時(shí)，應(yīng)結(jié)合實(shí)際問題，取長補(bǔ)短，互為補(bǔ)充和印證。1.1.2連續(xù)介質(zhì)模型如固體一樣，流體也是由大量的分子組成的，而分子間都存在比分子本身尺度大得多的間隙，同時(shí)，由于每個(gè)分子都在不停地運(yùn)動(dòng)，因此，從微觀的角度看，流體的物理量在空間分布上是不連續(xù)的，且隨時(shí)間不斷變化。在流體力學(xué)中僅限于研究流體的宏觀運(yùn)動(dòng)，其特征尺寸（如日常見到的是米、厘米、毫米那樣的量級）比分子自由程大得多。描述宏觀運(yùn)動(dòng)的物理參數(shù)，是大量分子的統(tǒng)計(jì)平均值，而不是個(gè)別分子的值。在這種情形下，流體可近似用連續(xù)介質(zhì)模型處理。連續(xù)介質(zhì)模型認(rèn)為，物質(zhì)連續(xù)地分布于其所占有的整個(gè)空間，物質(zhì)宏觀運(yùn)動(dòng)的物理參數(shù)是空間及時(shí)間的可微連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)介質(zhì)模型假設(shè)，可以把流體介質(zhì)的一切物理屬性，如密度、速度、壓強(qiáng)等都看做是空間的連續(xù)函數(shù)。因而，對于連續(xù)介質(zhì)模型，微積分等現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具可以加以應(yīng)用。連續(xù)介質(zhì)模型假設(shè)成立的條件是建立在流體平均自由程遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于物體特征尺寸的基礎(chǔ)上的，即 1-1在式1-1中，L為求解問題中物體或空間的特征尺寸；為流體分子的平均自由程。在某些情況下，例如，在120

km的高空，如果空氣分子的平均自由程和飛行器的特征尺寸在同一數(shù)量級，連續(xù)介質(zhì)模型假設(shè)就不再成立。這時(shí)，必須把空氣看成是不連續(xù)的介質(zhì)，這個(gè)范圍屬于稀薄空氣動(dòng)力學(xué)范疇。1.1.3流體的基本概念及性質(zhì)1．密度流體的密度定義為單位體積所含物質(zhì)的多少，以ρ表示。密度是流體的一種固有物理屬性，國際單位為。對于均質(zhì)流體，設(shè)其體積為V，質(zhì)量為m，則其密度為 1-2對于非均質(zhì)流體，不同位置的密度不同。若取包含某點(diǎn)的流體微團(tuán)，其體積為，質(zhì)量為，則該點(diǎn)的密度定義為 1-3液體和氣體的密度可以查詢相關(guān)手冊，這里為了方便讀者，表1-1給出部分常見液體和氣體的密度。表1-1 常見氣體和液體的密度（25℃常壓情況下）物質(zhì)密度kg/m3物質(zhì)密度kg/m3環(huán)己胺773.89空氣1.169癸烷726.53氨氣0.694十二烷745.73氬氣1.613乙醇、酒精785.47丁烷2.416重水110

4.5丁烯2.327庚烷679.60二氧化碳1.784己烷654.78一氧化碳1.130異己烷648.60二甲醚1.895異戊烷614.98乙烷1.222甲醇786.33乙烯1.138壬烷714.09氫氣0.081辛烷698.27氫化硫1.385戊烷620.83異丁烷2.407R113156

3.2異丁烯2.327R123146

3.9氪氣3.387R141b123

3.8甲烷0.648R365

mfc125

7.1氖氣0.814甲苯862.24新戊烷3.021水997.05氮?dú)?.130碳酸二甲酯106

1.5一氧化二氮1.785碳酸二乙酯970.12氧氣1.292甲基叔丁醚734.91仲氫0.0812．質(zhì)量力和表面力作用在流通微團(tuán)上的力可分為質(zhì)量力與表面力。與流體微團(tuán)質(zhì)量大小有關(guān)并且集中作用在微團(tuán)質(zhì)量中心上的力稱為質(zhì)量力，如在重力場中的重力mg、直線運(yùn)動(dòng)的慣性力ma等。質(zhì)量力是一個(gè)矢量，一般用單位質(zhì)量所具有的質(zhì)量力來表示，其形式如下 1-4式1-4中，fx、fy、fz為單位質(zhì)量力在x、y、z軸上的投影，或簡稱為單位質(zhì)量分力。大小與表面面積有關(guān)而且分布作用在流體表面上的力稱為表面力。表面力按其作用方向可分為兩種：一種是沿表面內(nèi)法線方向的壓力，稱為正壓力；另一種是沿表面切向的摩擦力，稱為切向力。作用在精致流體上的表面力只有表面內(nèi)法線方向的正壓力，單位面積上所受到的表面力稱為這一點(diǎn)處的靜壓強(qiáng)。靜壓強(qiáng)有兩個(gè)特征?！れo壓強(qiáng)的方向垂直指向作用面?！ち鲌鰞?nèi)一點(diǎn)處靜壓強(qiáng)的大小與方向無關(guān)。對于理想流體流動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)只受到正壓力，沒有切向力。對于粘性流體流動(dòng)，流體質(zhì)點(diǎn)所受到的給力既有正壓力，也有切向力。單位面積上所受到的切向力稱為切應(yīng)力。對于一元流動(dòng)，切應(yīng)力由牛頓內(nèi)摩擦定律給出；對于多元流動(dòng)，切應(yīng)力可由廣義牛頓內(nèi)摩擦定律求得。3．絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)和真空度單位面積上受到的壓力叫做壓強(qiáng)。在流體靜力學(xué)中壓強(qiáng)的定義是：作用在浸沒于流體中物體表面上單位面積上的法向正應(yīng)力。壓強(qiáng)在國際單位制中的單位是或者Pa（Pascal或帕斯卡）。另外壓強(qiáng)也常用液柱高（汞柱、水柱等）、標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（atm）和bar等單位進(jìn)行度量，常用轉(zhuǎn)換關(guān)系如下： 1-5一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓的壓強(qiáng)是760

mmHg，相當(dāng)于101

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Pa，通常用表示。若壓強(qiáng)大于標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，則以標(biāo)準(zhǔn)大氣壓為計(jì)算基準(zhǔn)得到的壓強(qiáng)稱為相對壓強(qiáng)，也稱為表壓強(qiáng)（GaugePressure），通常用表示。在FLUENT軟件中求解器運(yùn)算過程中實(shí)際使用的壓強(qiáng)值都是表壓強(qiáng)。FLUENT中默認(rèn)的參考壓力為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，用戶可以指定參考壓力。若壓強(qiáng)小于標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，則壓強(qiáng)低于大氣壓的值就稱為真空度，通常用表示。絕對壓強(qiáng)、相對壓強(qiáng)和真空度之間的關(guān)系為 1-6所以在FLUENT中，如果用戶將參考壓力設(shè)置為0，表壓強(qiáng)就等于絕對壓強(qiáng)，有時(shí)候這么做可以方便邊界條件的設(shè)置。在流體力學(xué)中有如下約定：對于液體來說，壓強(qiáng)用相對壓強(qiáng)；對于氣體，特別是馬赫數(shù)大于0.3的流動(dòng)，壓強(qiáng)用絕對壓強(qiáng)。4．靜壓、動(dòng)壓和總壓物體在流體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，在正對流體運(yùn)動(dòng)的方向的表面，流體完全受阻，此處的流體速度為0，其動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)閴毫δ埽瑝毫υ龃?，其壓力稱為全受阻壓力（簡稱全壓或總壓），它與未受擾動(dòng)處的壓力（即靜壓）之差稱為動(dòng)壓，即 1-7在式1-7中，為總壓，p為靜壓，為動(dòng)壓，ρ為流體密度，為流體速度。也可以表達(dá)為：對于不考慮重力的流動(dòng)，總壓就是靜壓和動(dòng)壓之和。根據(jù)伯努利方程的物理意義可知，對于一條理想流體，在一條流線上流體質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能是守恒的，不可壓縮流動(dòng)的表達(dá)式如下 1-8在式1-8中，稱為壓強(qiáng)水頭，也是壓能項(xiàng)，p為靜壓；為速度水頭，也是動(dòng)能項(xiàng)；第三項(xiàng)為位置水頭，也是重力勢能項(xiàng)。這三項(xiàng)之和就是流體質(zhì)點(diǎn)的總機(jī)械能，等式右邊的稱為總水頭。將式1-8的左右兩邊同時(shí)乘以ρg，則有 1-95．粘性粘性是施加于流體的應(yīng)力和由此產(chǎn)生的變形速率以一定的關(guān)系聯(lián)系起來的流體的一種宏觀屬性，表現(xiàn)為流體的內(nèi)摩擦。由于粘性的耗能作用，在無外界能量補(bǔ)充的情況下，運(yùn)動(dòng)的流體將逐漸停止下來。粘性對物體表面附近的流體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生重要作用，使流速逐層減小并在物面上為零，在一定條件下也可使流體脫離物體表面。粘性又稱粘性系數(shù)、動(dòng)力粘度，記為μ。牛頓粘性定律指出，在純剪切流動(dòng)中，相鄰兩流體層之間的剪應(yīng)力（或粘性摩擦應(yīng)力）為 1-10式中，為剪切應(yīng)力，為垂直流動(dòng)方向的法向速度梯度。粘性數(shù)值上等于單位速度梯度下流體所受的剪應(yīng)力。速度梯度也表示流體運(yùn)動(dòng)中的角變形率，故粘性也表示剪應(yīng)力與角變形率之間比值關(guān)系。按國際單位制，粘性的單位為kg/（m·s）。粘性系數(shù)與密度之比稱為運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，常記作v，則有 1-11液體的粘性系數(shù)隨溫度的增加而減小，氣體的粘性系數(shù)隨溫度的增加而變大。對于氣體而言，粘性系數(shù)與溫度的關(guān)系可以用薩瑟蘭公式表示 1-12式1-12中，和為參考粘性系數(shù)和參考溫度。這里為了方便讀者，表1-2列出了部分常見液體和氣體的動(dòng)力粘度和運(yùn)動(dòng)粘度。表1-2 常見氣體和液體的動(dòng)力粘度和運(yùn)動(dòng)粘度（25℃常壓情況下）物質(zhì)動(dòng)力粘度μPa·s運(yùn)動(dòng)粘度mm2/s物質(zhì)動(dòng)力粘度μPa·s運(yùn)動(dòng)粘度mm2/s環(huán)己胺884.691.143空氣18.44815.787癸烷848.101.167氨氣10.09314.539十二烷1

358.81.822氬氣22.62414.030乙醇、酒精1

084.91.381丁烷7.4063.065重水1

095.10.991丁烯8.1633.507庚烷388.480.572二氧化碳14.9328.369己烷296.280.452一氧化碳17.64915.614異己烷272.800.421二甲醚9.1004.801異戊烷216.430.352乙烷9.3547.654甲醇543.710.691乙烯10.3189.066壬烷654.010.916氫氣8.915109.69辛烷509.720.730氫化硫12.3878.942戊烷217.900.351異丁烷7.4983.115R113653.610.418異丁烯8.0853.474R123417.600.285氪氣25.1327.419R141b408.350.331甲烷11.06717.071R365mfc407.560.324氖氣31.11338.239甲苯556.250.645新戊烷7.2592.403水890.080.893氮?dú)?7.80515.753碳酸二甲酯582.020.548一氧化二氮14.8418.314碳酸二乙酯751.90.775氧氣20.55015.910甲基叔丁醚330.020.449仲氫8.915109.696．傳熱性當(dāng)氣體中沿某一方向存在溫度梯度時(shí)，熱量就會(huì)由溫度高的地方傳向溫度低的地方，這種性質(zhì)稱為氣體的傳熱性。實(shí)驗(yàn)證明，單位時(shí)間內(nèi)所傳遞的熱量與傳熱面積成正比，與沿?zé)崃鞣较虻臏囟忍荻瘸烧?，? 1-13式中q為單位時(shí)間通過單位面積的熱量，負(fù)號表示熱流量傳遞的方向永遠(yuǎn)和溫度梯度的方向相反。流體的導(dǎo)熱系數(shù)隨流體介質(zhì)而不同，同一種流體介質(zhì)的導(dǎo)熱系數(shù)隨溫度變化而略有差異。7．?dāng)U散性當(dāng)流體混合物中存在組元的濃度差時(shí)，濃度高的地方將向濃度低的地方輸送該組元的物質(zhì)，這種現(xiàn)象稱為擴(kuò)散。流體的宏觀性質(zhì)，如擴(kuò)散，粘性和熱傳導(dǎo)等，是分子輸運(yùn)性質(zhì)的統(tǒng)計(jì)平均。由于分子的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，在各層流體間交換著質(zhì)量、動(dòng)量和能量，使不同流體層內(nèi)的平均物理量均勻化。這種性質(zhì)稱為分子運(yùn)動(dòng)的輸運(yùn)性質(zhì)。質(zhì)量輸運(yùn)在宏觀上表現(xiàn)為擴(kuò)散現(xiàn)象，動(dòng)量輸運(yùn)表現(xiàn)為粘性現(xiàn)象，能量輸運(yùn)則表現(xiàn)為熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。理想流體忽略了粘性，即忽略了分子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量輸運(yùn)性質(zhì)，因此，在理想流體中也不應(yīng)考慮質(zhì)量和能量輸運(yùn)性質(zhì)——擴(kuò)散和熱傳導(dǎo)，它們具有相同的微觀機(jī)制。8．流線和跡線所謂流線，就是這樣一種曲線，在某時(shí)刻，曲線上任意一點(diǎn)的切線方向正好與那一時(shí)刻該處的流速方向重合。可見，流線是由同一時(shí)刻的不同流點(diǎn)組成的曲線，它給出了該時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的速度方向，是速度場的幾何表示。所謂跡線，就是流體質(zhì)點(diǎn)在各時(shí)刻所行路經(jīng)的軌跡線（或流體質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)所描繪出來的曲線），如噴氣式飛機(jī)飛過后留下的尾跡、臺風(fēng)的路經(jīng)、紙船在小河中行走的路經(jīng)等。流線具有以下性質(zhì)：同一時(shí)刻的不同流線，不能相交；流線不能是折線，而是一條光滑的曲線；流線族的疏密反映了速度的大??；實(shí)際流場中，除駐點(diǎn)或奇點(diǎn)外，流線不能突然轉(zhuǎn)折。流線的微分方程為 1-14式1-14中，、和分別表示點(diǎn)在時(shí)刻的速度在、和方向上的分量。跡線的微分方程為 1-15式1-15中，為關(guān)于時(shí)間的自變量，、、為時(shí)刻此流體質(zhì)點(diǎn)的空間位置。、和分別為流體質(zhì)點(diǎn)速度在、和方向上的分量?？梢?，對于定常流動(dòng)，流線的形狀不隨時(shí)間變化，而且流體質(zhì)點(diǎn)的跡線與流線重合。9．流量和凈通量（1）流量。單位時(shí)間內(nèi)流過某一控制面的流體體積稱為該控制面的流量Q，其單位為m3/s。若單位時(shí)間內(nèi)流過的流體是以質(zhì)量計(jì)算的，則稱為質(zhì)量流體Qm，不加說明時(shí)，“流量”一詞概指體積流量。在曲面控制面上有 1-16（2）凈流量。在流場中取整個(gè)封閉曲面作為控制面A，封閉曲面內(nèi)的空間稱為控制體。流體經(jīng)一部分控制面流入控制體，同時(shí)也有流體經(jīng)另一部分控制面從控制體中流出。此時(shí)流出的流體減去流入的流體，所得出的流量稱為流過全部封閉控制面A的凈流量（或凈通量），計(jì)算式為 1-17對于不可壓流體來說，流過任意封閉控制面的凈通量等于0。10．流速和音速當(dāng)把流體視為可壓縮流體時(shí)，擾動(dòng)波在流體中的傳播速度是一個(gè)特征值，稱為音速。音速方程式的微分形式如下 1-18音速在氣體中的傳播過程是一個(gè)等熵過程。將等熵方程式代入上式，并由理想氣體狀態(tài)方程，得到音速方程為 1-19對于空氣來說，k=1.4，R=287

J/(kg.K)，得到空氣中的音速為 1-20流速是流體流動(dòng)的速度，而音速是擾動(dòng)波的傳播速度，兩者之間的關(guān)系為 1-21式1-21中，Ma稱為馬赫數(shù)。11．馬赫數(shù)和馬赫錐（1）馬赫數(shù)：流體流動(dòng)速度V與當(dāng)?shù)匾羲貱之比稱為馬赫數(shù)，用Ma表示如下 1-22Ma<1（2）馬赫錐：對于超音速流動(dòng)，擾動(dòng)波傳播范圍只能允許充滿在一個(gè)錐形的空間內(nèi)，這就是馬赫錐，其半錐角θ稱為馬赫角，計(jì)算式如下： 1-2312．滯止參數(shù)和等熵關(guān)系（1）滯止參數(shù)。流場中速度為0的點(diǎn)上的各物理量稱為滯止參數(shù)，用下標(biāo)“0”表示，如滯止溫度、滯止壓強(qiáng)、滯止密度等。（2）等熵流動(dòng)基本關(guān)系式。流動(dòng)參數(shù)與滯止參數(shù)及馬赫數(shù)之間的基本關(guān)系如下 1-24 1-25 1-26公式1-24的使用條件是絕熱流動(dòng)，公式1-25和公式1-26的使用條件是等熵流動(dòng)。13．正激波和斜激波氣流發(fā)生參數(shù)發(fā)生顯著、突躍變化的地方，稱為激波。激波常在超音速氣流的特定條件下產(chǎn)生；激波的厚度非常小，約為10?4

mm，因此一般不對激波內(nèi)部的情況進(jìn)行研究，所關(guān)心的是氣流經(jīng)過激波前后參數(shù)的變化。氣流經(jīng)過激波時(shí)受到激烈的壓縮，其壓縮過程是很迅速的，可以看做是絕熱的壓縮過程。（1）正激波。激波面與氣流方向垂直，氣流經(jīng)過激波后方向不變，這稱為正激波。假連續(xù)性方程 1-27動(dòng)量方程 1-28能量方程（絕熱過程） 1-29狀態(tài)方程 1-30由，可將式1-30改寫成 1-31在以上幾個(gè)基本關(guān)系式的基礎(chǔ)上，可導(dǎo)出以下的重要關(guān)系式。 1-32 1-33 1-34 1-35 1-36（2）斜激波。氣流經(jīng)過激波后方向發(fā)生改變，這種激波稱為斜激波。、和、各表示斜激波前后速度和的切向分速度和法向分速度，為氣流折轉(zhuǎn)角，為激波角。由于沿激波面沒有切面壓強(qiáng)的變化，所以氣流經(jīng)過斜激波后，沿激波面的分速度沒有變化，即有 1-37因?yàn)榘l(fā)生變化的只有法向分速度，所以斜激波相當(dāng)于法向分速度的正激波。由于斜激波是相當(dāng)于法向分速度的正激波，所以只要把正激波關(guān)系式中各下標(biāo)“1”、“2”換成“1n”、“2n”，則正激波有關(guān)方程式可以應(yīng)用于斜激波。對于斜激波前后氣流參數(shù)之間的關(guān)系有如下的關(guān)系式： 1-38 1-39 1-40激波角與氣流折轉(zhuǎn)角之間滿足如下的關(guān)系式： 1-411.1.4流體流動(dòng)分類1．理想流體與粘性流體如果忽略流動(dòng)中流體粘性的影響，則可以近似地把流體看成是無粘的，稱為無粘流體（inviscidliquid），也叫做理想流體。這時(shí)的流動(dòng)稱為理想流動(dòng)，理想流體中沒有摩擦，也就沒有耗散損失。事實(shí)上，真正的理想流體是不存在的。但是在一定的情形下，至少在特定的流動(dòng)區(qū)域中，某些流體的流動(dòng)非常接近于理想的流動(dòng)條件，在分析處理中可以當(dāng)做理想流體。例如，在空氣繞物體的流動(dòng)（空氣動(dòng)力學(xué)）中，除去鄰近與物體表面的薄層（稱為邊界層）之外，在其余的流動(dòng)區(qū)域中，空氣動(dòng)力學(xué)中都處理成理想流動(dòng)，此時(shí)所求解的控制方程組是不考慮粘性的歐拉方程組。2．牛頓流體與非牛頓流體根據(jù)內(nèi)摩擦剪應(yīng)力與剪應(yīng)力變率的關(guān)系不同，粘性流體又可分為牛頓流體與非牛頓流體。如果流體的剪應(yīng)力與剪應(yīng)力變率遵守牛頓內(nèi)摩擦定律，即公式，則這種流體就稱為牛頓流體。盡管這個(gè)線性的牛頓關(guān)系式只是一種近似，但是卻很好地適用于一類范圍很廣的流體。水、空氣和氣體等絕大多數(shù)工業(yè)中常用的流體都是牛頓流體。但是，對于某些物質(zhì)而言，剪應(yīng)力不只是速度梯度的函數(shù)（速度梯度和剪應(yīng)變率是相同的），通常還可以是應(yīng)變的函數(shù)，這種物質(zhì)稱為粘—彈性流體。剪應(yīng)力只依賴于速度梯度的簡單粘性流體，也可以不是牛頓流體。事實(shí)上存在這樣的流體，其剪應(yīng)力與應(yīng)變率之間有著相當(dāng)復(fù)雜的非線性關(guān)系。如果流體的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系還取決于事前的工況，即應(yīng)變工況，則稱為觸變流體（如印刷油墨）。非牛頓流體具有塑性行為，其特征是有一個(gè)表現(xiàn)的屈服應(yīng)力，在達(dá)到表現(xiàn)的屈服應(yīng)力之前，流體的性態(tài)像固體一樣，一旦超過這個(gè)表現(xiàn)的屈服應(yīng)力，則和粘性流體一樣。一些油脂和淤泥的性能就是這樣。塑性流體的另一個(gè)極端情形是：在低應(yīng)變率時(shí)，粘性系數(shù)很小，很容易流動(dòng)，但隨著應(yīng)變率的增加，變得越來越像固體（如流沙）。這種流體稱為膨脹流體。在圖1-1中用曲線說明了牛頓流體和非牛頓流體的特征。ττ圖SEQ圖\*ARABIC1-1牛頓流體與非牛頓流體3．可壓流體與不可壓流體流體的壓縮性是指在外界條件變化時(shí)，其密度和體積發(fā)生了變化。這里的條件有兩種，一種是外部壓強(qiáng)發(fā)生了變化；另一種就是流體的溫度發(fā)生了變化。描述流體的壓縮性常用以下兩個(gè)量。（1）流體的等溫壓縮率（）。當(dāng)質(zhì)量為m，體積為v的流體外部壓強(qiáng)發(fā)生的變化時(shí)，相應(yīng)其體積也發(fā)生了的變化，則定義流體的等溫壓縮率為 1-42這里的負(fù)號是考慮到與總是符號相反的緣故；的單位為1/Pa。流體等溫壓縮率的物理意義是，當(dāng)溫度不變時(shí)，每增加單位壓強(qiáng)所產(chǎn)生的流體體積的相對變化率?？紤]到壓縮前后流體的質(zhì)量不變，式1-42還有另外一種表示形式，即 1-43將理想氣體狀態(tài)方程代入式1-43，得到理想氣體的等溫壓縮率為 1-44（2）流體的體積膨脹系數(shù)。當(dāng)質(zhì)量為m，體積為v的物體溫度發(fā)生的變化時(shí)，相應(yīng)其體積也發(fā)生了的變化，則定義流體的體積膨脹系數(shù)為 1-45考慮到膨脹前后流體的質(zhì)量不變，式1-45還有另外一種表示形式，即 1-46這里的負(fù)號是考慮到隨著溫度的升高，體積必然增大，則密度必然減少；的單位為1/K。體積膨脹系數(shù)的物理意義是，當(dāng)壓強(qiáng)不變時(shí)，每增加單位溫度所產(chǎn)生的流體體積的相對變化率。對于物理氣體，將氣體狀態(tài)方程代入式1-46，得到 1-47在研究流體流動(dòng)過程時(shí)，若考慮到流體的壓縮性，則稱為可壓縮流動(dòng)，相應(yīng)地稱流體為可壓縮流體，如馬赫數(shù)較高的氣體流動(dòng)。若不考慮流體的壓縮性，則稱為不可壓縮流動(dòng)，相應(yīng)地稱流體為不可壓縮流體，如水、油等液體的流動(dòng)。4．定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)根據(jù)流體流動(dòng)過程以及流動(dòng)過程中的物理參數(shù)是否與時(shí)間相關(guān)，可將流動(dòng)分為定常流動(dòng)與非定常流動(dòng)兩種。流體流動(dòng)過程中，各物理量均與時(shí)間無關(guān)的流動(dòng)稱為定常流動(dòng)。流體流動(dòng)過程中，某個(gè)或某些物理量與時(shí)間有關(guān)的流動(dòng)稱為非定常流動(dòng)。5．層流流動(dòng)與湍流流動(dòng)流體的流動(dòng)分為層流流動(dòng)和湍流流動(dòng)，從試驗(yàn)的角度來看，層流流動(dòng)就是流體層與層之間相互沒有任何干擾，層與層之間既沒有質(zhì)量的傳遞也沒有動(dòng)量的傳遞；而湍流流動(dòng)中層與層之間相互有干擾，而且干擾的力度還會(huì)隨著流動(dòng)的加速而加大，層與層之間既有質(zhì)量的傳遞，又有動(dòng)量的傳遞。判斷流動(dòng)是層流還是湍流，是看其雷諾數(shù)是否超過臨界雷諾數(shù)。雷諾數(shù)的定義如下 1-48式中，為截面的平均速度，為特征長度，為流體的運(yùn)動(dòng)黏度。對于圓形管內(nèi)流動(dòng)，特征長度L取圓管的直徑d。一般認(rèn)為臨界雷諾數(shù)為2

000，即 1-49當(dāng)Re<2

000時(shí)，管內(nèi)流動(dòng)是層流，否則為湍流。對于異性管道內(nèi)的流動(dòng)，特征長度L取水力直徑dH，則雷諾數(shù)的計(jì)算式為 1-50異型管道水力直徑的定義如下 1-51式中，A為過流斷面的面積；S為過流斷面上流體與固體接觸的周長，稱為濕周。1.1.5流體流動(dòng)描述的方法描述流體物理量有兩種方法，一種是拉格朗日描述，一種是歐拉描述。拉格朗日（Lagrange）描述也稱隨體描述，它著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，并將流體質(zhì)點(diǎn)的物理量認(rèn)為是隨流體質(zhì)點(diǎn)及時(shí)間變化的，即把流體質(zhì)點(diǎn)的物理量表示為拉格朗日坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)。設(shè)拉格朗日坐標(biāo)為（a，b，c），以此坐標(biāo)表示的流體質(zhì)點(diǎn)的物理量，如矢徑、速度、壓強(qiáng)等在任一時(shí)刻t的值，便可以寫為a、b、c及t的函數(shù)。若以f表示流體質(zhì)點(diǎn)的某一物理量，其拉格朗日描述的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 1-52例 1-53同樣，質(zhì)點(diǎn)速度的拉格朗日描述為 1-54歐拉描述也稱空間描述，它著眼于空間點(diǎn)，認(rèn)為流體的物理量隨空間點(diǎn)及時(shí)間而變化，即把流體物理量表示為歐拉坐標(biāo)及時(shí)間的函數(shù)。設(shè)歐拉坐標(biāo)為（q1，q2，q3），用歐拉坐標(biāo)表示的各空間點(diǎn)上的流體物理量，如速度、壓強(qiáng)等，在任一時(shí)刻t的值，可寫為q1、q2、q3及t的函數(shù)。從數(shù)學(xué)分析知道，當(dāng)某時(shí)刻一個(gè)物理量在空間的分布一旦確定，該物理量在此空間形成一個(gè)場。因此，歐拉描述實(shí)際上描述了一個(gè)個(gè)物理量的場。若 1-55如流體速度的歐拉描述為 1-56拉格朗日描述著眼于流體質(zhì)點(diǎn)，將物理量視為流體坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)；歐拉描述著眼于空間點(diǎn)，將物理量視為空間坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)。它們可以描述同一物理量，必定互相相關(guān)。設(shè)表達(dá)式表示流體質(zhì)點(diǎn)（a，b，c）在t時(shí)刻的物理量；表達(dá)式表示空間點(diǎn)（x，y，z）在時(shí)刻t的同一物理量。如果流體質(zhì)點(diǎn)（a，b，c）在t時(shí)刻恰好運(yùn)動(dòng)到空間點(diǎn)（x，y，z）上，則應(yīng)有 1-57 1-58事實(shí)上，將式1-57代入式1-58左端，即有 1-59或者反解式1-57，得到 1-60將式1-60代入式1-58的右端，也應(yīng)有 1-61由此，可以通過拉格朗日描述推出歐拉描述，同樣也可以由歐拉描述推出拉格朗日描述。1.1.6流體力學(xué)基本方程組流體力學(xué)基本方程組包括質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒方程、組分質(zhì)量守恒方程、能量方程、本構(gòu)方程、狀態(tài)方程及通用形式守恒方程。下面對各種形式方程進(jìn)行總結(jié)和對比，并分析它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，以幫助讀者理解流體力學(xué)基本方程組的數(shù)學(xué)物理意義，為離散計(jì)算這些方程組打下基礎(chǔ)。1．質(zhì)量守恒方程質(zhì)量守恒方程可由4種方法得到，分別在拉格朗日法（L法）下對有限體積和體積元應(yīng)用質(zhì)量守恒定律、在歐拉法（E法）下對有限體積應(yīng)用質(zhì)量守恒定律及在直角坐標(biāo)系中直接應(yīng)用質(zhì)量守恒定律。（1）L法有限體積分析。取體積為，質(zhì)量為的一定流體質(zhì)點(diǎn)團(tuán)，則有 1-62因?yàn)樗俣壬⒍鹊奈锢硪饬x是相對體積膨脹率及密度的隨體導(dǎo)數(shù)，即 1-63 1-64代入式1-62得 1-65運(yùn)用奧高定理 1-66得 1-67式1-67即是連續(xù)性方程的積分形式。假定被積函數(shù)連續(xù)，而且體積是任意選取的，由此可知被積函數(shù)必須等于0，即 1-68或 1-69在直角坐標(biāo)系中，連續(xù)性方程為 1-70或 1-71式1-71表明，密度變化（隨時(shí)間和位置）等于密度和體積變形的乘積。（2）L法體積元分析。考慮質(zhì)量為的體積元，對其用拉格朗日觀點(diǎn)，根據(jù)質(zhì)量守恒定律有 1-72 1-73兩邊同除以，得 1-74或?qū)懗? 1-75式1-75表明要維持質(zhì)量守恒定律，相對體積變化率必須等于負(fù)的相對密度變化率。（3）E法有限體積分析。著眼坐標(biāo)空間，取空間中以面為界的有限體積，則稱面為控制面，為控制體。取外法線方向?yàn)榉ň€的正方向，為外法線方向的單位矢量。考慮該體積內(nèi)流體質(zhì)量的變化，該變化主要由以下兩方面原因引起。①通過表面有流體流出或流入，單位時(shí)間內(nèi)流出流入變化的總和為 1-76②由于密度場的不定常性（注意，歐拉觀點(diǎn)下空間點(diǎn)是固定的，密度的變化只由場的不定常性刻畫），單位時(shí)間內(nèi)體積的質(zhì)量將變化，變化量為 1-77上述兩者應(yīng)相等，即 1-78由于體積是任意的，且被積函數(shù)連續(xù)，則為 1-79（4）E法直角坐標(biāo)系分析?？刂企w體積如圖1-2所示，單位時(shí)間內(nèi)通過表面EFGH的通量為。圖1-2控制體體積通過表面ABCD的通量為 1-80其他3對表面類似，另外，該控制體內(nèi)質(zhì)量的變化率為 1-81則 1-82特殊情況下的連續(xù)性方程為定常態(tài)： 不可壓縮流體： 2．動(dòng)量守恒方程任取一個(gè)體積為τ的流體，它的邊界為S。根據(jù)動(dòng)量定理，體積τ中流體動(dòng)量的變化率等于作用在該體積上的質(zhì)量力和面力（應(yīng)力）之和。單位面積上的面力，其中是二階對稱應(yīng)力張量，所以不是通常指的p在（單位體積面元的法線方向）方向的分量。單位質(zhì)量上的質(zhì)量力為，則作用在該體積上的質(zhì)量力和面力分別為 1-83及 1-84動(dòng)量變化率為 1-85上述動(dòng)量變化率的表達(dá)式可有如下兩種處理方法。（1）求解式1-85右邊第二項(xiàng)內(nèi)對體積元的隨體導(dǎo)數(shù)，則 1-86（2）對動(dòng)量變化率表達(dá)式1-85右邊第二項(xiàng)應(yīng)用質(zhì)量守恒定律 1-87由上可得兩種積分形式的動(dòng)量方程，即 1-88或 1-89動(dòng)量方程的微分形式為 1-90或 1-91微在直角坐標(biāo)系下以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程可采取下列形式。 1-92或 1-93這兩種表達(dá)方式的等號左邊實(shí)際只差了一個(gè)連續(xù)性方程，由基本微分公式 1-94得 1-95由連續(xù)性方程知 1-96所以有 1-97上述運(yùn)動(dòng)方程是以應(yīng)力表示的粘性流體的運(yùn)動(dòng)方程，它們對任何粘性流體和任何運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都是適用的。但它沒有反映出不同屬性的流體受力后的不同表現(xiàn)。另外，方程數(shù)和未知量之?dāng)?shù)不等，運(yùn)動(dòng)方程有3個(gè)，加上連續(xù)性方程共4個(gè)，但未知量卻有9個(gè)（6個(gè)應(yīng)力張量分量（9個(gè)張量分量因?qū)ΨQ關(guān)系減少為6個(gè)）和3個(gè)速度分量），所以該方程組不封閉。為使該方程組可解，必須考慮應(yīng)力張量和變形速度張量之間的關(guān)系（將應(yīng)力張量用速度分量表示出來），補(bǔ)足所需的方程。3．本構(gòu)方程本構(gòu)方程是表征流體宏觀性質(zhì)的一種微分方程，它用于表達(dá)流體粘性定律的應(yīng)力張量和變形速度張量之間的關(guān)系。最簡單的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是對牛頓流體作一維運(yùn)動(dòng)，即牛頓剪切定律可寫為 1-98要得到普遍意義上的廣義牛頓定律需做一定的假設(shè)，但首先應(yīng)理解流體速度分解定理和變形速度張量。（1）流體速度分解定理。剛體運(yùn)動(dòng)包括平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分，一般可表為 1-99其中是剛體中選定一點(diǎn)上的平動(dòng)速度，是剛體繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)角速度矢量，是要確定速度那一點(diǎn)到點(diǎn)的矢徑。轉(zhuǎn)動(dòng)角速度可用表示。因?yàn)? 1-100故 1-101流體運(yùn)動(dòng)除平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)外，還有變形運(yùn)動(dòng)。設(shè)微團(tuán)內(nèi)點(diǎn)的速度為，鄰域內(nèi)任一點(diǎn)的速度為。將在點(diǎn)泰勒展開并略去二階無窮小項(xiàng)，得 1-102顯然，是一個(gè)二階張量（局部速度梯度張量），由張量分解定理可將該張量分解成對稱張量和反對稱張量之和，于是 1-103所以 1-104式1-104右邊第二、第三項(xiàng)可具體表示為 1-105及 1-106其中 1-107另外 ； 1-108所以 1-109式1-109表明流體運(yùn)動(dòng)可分為平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形3種形式，稱為變形速度張量，該定理稱為亥姆霍茲（Helmholtz）速度分解定理。另外，流變學(xué)中常用應(yīng)變速率張量來表示流體的變形和拉伸（或壓縮），而用轉(zhuǎn)動(dòng)張量表示轉(zhuǎn)動(dòng)，它們與流體力學(xué)中的變形速度張量和轉(zhuǎn)動(dòng)張量的關(guān)系如下 1-110 1-111 1-112（2）變形速度張量的物理意義。變形速度的表達(dá)式如下。 1-113經(jīng)分析可得 ； 1-114其中、及是角變形速率，亦稱剪切應(yīng)變速率（稱拉伸應(yīng)變速率）。由上可知，變形速度張量的對角線分量、、的物理意義分別是x、y、z軸線上線段元dx、dy、dz的相對拉伸速度或相對壓縮速度。而非對角線分量的物理意義分別是y軸與z軸、z軸與x軸、x軸與y軸之間夾角的剪切速率的負(fù)值。（3）廣義牛頓定律及基本假設(shè)。①運(yùn)動(dòng)流體的應(yīng)力張量在運(yùn)動(dòng)停止后應(yīng)趨于靜止流體的應(yīng)力張量。據(jù)此將應(yīng)力張量寫成各向同性部分和各向異性部分是方便的，因此 1-115是除去后得到的張量，稱為偏應(yīng)力張量。當(dāng)運(yùn)動(dòng)消失時(shí)它趨于0?？梢?，偏應(yīng)力張量和應(yīng)力張量一樣也是對稱張量。②偏應(yīng)力張量的各分量是局部速度梯度張量各分量的線性齊次函數(shù)。當(dāng)速度在空間均勻分布時(shí)，偏應(yīng)力張量為0；當(dāng)速度偏離均勻分布時(shí)，在粘性流體中產(chǎn)生了偏應(yīng)力，它力圖使速度恢復(fù)到均勻分布情形。③流體是各向同性的，即流體性質(zhì)不依賴于方向或坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。根據(jù)假設(shè)2），有 1-116顯然是一個(gè)四階張量，它是表征流體粘性的常數(shù)，共個(gè)。根據(jù)假設(shè)3），是各向同性張量且對，對稱，故 1-117觀察式1-117可知，對也是對稱的，物性常數(shù)減少至只有2個(gè)，即第二粘度和粘度。將式1-117代入偏應(yīng)力表達(dá)式1-116（反對稱項(xiàng)為零）得 1-118則應(yīng)力張量為 1-119引進(jìn) 1-120則 1-121根據(jù)式1-121 1-122 1-123 1-124將式1-122、式1-123和式1-124相加，得 1-125對于可壓縮流體，流體的體積在運(yùn)動(dòng)過程中發(fā)生膨脹或收縮，將引起平均法應(yīng)力（由奧高公式可證某固定點(diǎn)處所有方向上法應(yīng)力的平均值等于x、y、z三個(gè)方向上法應(yīng)力的平均值，這是一個(gè)不隨坐標(biāo)系改變的不變量）的值發(fā)生的改變，稱為第二粘性系數(shù)，亦稱膨脹粘性系數(shù)。應(yīng)用斯托克斯假定，即，則本構(gòu)方程為 1-126 1-127 1-128一般處理的是不可壓縮流體，則 1-129 1-130 1-131 1-132在直角坐標(biāo)系下有 1-133這里，有的文獻(xiàn)中將應(yīng)力張量用表示。將上述應(yīng)力張量與變形速度張量的關(guān)系式代入運(yùn)動(dòng)方程，得 1-134即 1-135寫成直角坐標(biāo)系下的形式為 1-136有些文獻(xiàn)中常把式1-136等號右邊表示分子粘性作用的3項(xiàng)做如下變化，以第一式為例。 1-137其中 1-138據(jù)此，有 1-139及 1-140其中廣義源項(xiàng)定義為 1-141當(dāng)流體粘度不變且不可壓縮時(shí)（牛頓流體），有 1-142所以運(yùn)動(dòng)方程簡化為 1-143其中是運(yùn)動(dòng)粘度，亦是動(dòng)量擴(kuò)散系數(shù)，單位為m2/s。本構(gòu)方程和運(yùn)動(dòng)方程是緊密聯(lián)系在一起的，通過本構(gòu)方程可將應(yīng)力張量用變形速度張量表示出來，即應(yīng)力可用應(yīng)變速率表示，而應(yīng)變速率實(shí)際由速度分量決定，故使運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)性方程原則上封閉可解。注意：這里討論的本構(gòu)方程僅局限于牛頓流體，符合廣義牛頓定律的流體稱為牛頓流體，否則稱為非牛頓流體。非牛頓流體的本構(gòu)方程不能用廣義牛頓定律描述，如對聚合物溶液等流體應(yīng)該參考相關(guān)文獻(xiàn)。4．能量守恒方程由能量守恒定律知，體積內(nèi)流體的動(dòng)能和內(nèi)能的變換率等于單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)量力和表面力所做的功加上單位時(shí)間內(nèi)給予體積的熱量。體積內(nèi)流體的動(dòng)能和內(nèi)能的總和為 1-144其中是單位體積內(nèi)的流體內(nèi)能。質(zhì)量力對體積τ內(nèi)流體所做的功（單位時(shí)間內(nèi)移動(dòng)距離v，點(diǎn)積求做功）為 1-145表面力對體積τ內(nèi)流體所做的功為（單位時(shí)間內(nèi)移動(dòng)距離v，點(diǎn)積求做功） 1-146單位時(shí)間內(nèi)以熱傳導(dǎo)方式通過表面?zhèn)鹘o體積τ的熱量為 1-147式1-147中的被積函數(shù)實(shí)際就是傅里葉熱傳導(dǎo)定律，即熱流密度矢量正比于傳熱面法向溫度梯度。單位時(shí)間內(nèi)由于輻射或其他原因（反應(yīng)、蒸發(fā)等）傳入τ內(nèi)的總熱量（為單位時(shí)間內(nèi)傳入單位質(zhì)量的熱量分布函數(shù)）為 1-148將式1-144～式1-148進(jìn)行守恒計(jì)算，得 1-149這是積分形式的能量守恒方程。求解體積分的隨體導(dǎo)數(shù)并運(yùn)用奧高公式把面積分轉(zhuǎn)化為體積分可得到微分形式的能量守恒方程，即 1-150因?yàn)橘|(zhì)量守恒定律 1-151所以 1-152另外 1-153 1-154則能量方程的微分形式為 1-155或 1-156或 1-157式1-157各項(xiàng)的物理意義為：左邊第一、第二項(xiàng)代表內(nèi)能和動(dòng)能的隨體導(dǎo)數(shù)，右邊第一項(xiàng)是單位體積內(nèi)的質(zhì)量力做的功，第二項(xiàng)是單位體積內(nèi)面力所做的功，第三項(xiàng)是單位體積內(nèi)熱傳導(dǎo)輸入的熱量，最后一項(xiàng)表示由于輻射或其他物理或化學(xué)原因的熱量貢獻(xiàn)。能量守恒方程的另一種形式為 1-158式1-158的物理意義為：單位體積內(nèi)由于流體變形面力所做的功加上熱傳導(dǎo)及輻射等其他原因傳入的熱量恰好等于單位體積內(nèi)的內(nèi)能在單位時(shí)間內(nèi)的增加。將該式進(jìn)一步簡化，有 1-159設(shè) 1-160為由于粘性作用機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能的部分，稱為耗散函數(shù)。另外，在考慮液體流體時(shí)，比焓與內(nèi)能值可看做相等，即，壓力不作功，則 1-161所以有 1-162其中是單位體積內(nèi)熱源或由于輻射或其他物理或化學(xué)原因的熱量貢獻(xiàn)。一般較小可以忽略。對液體及固體可以取，進(jìn)一步取為常數(shù)，并把耗散函數(shù)納入源項(xiàng)，于是 1-163對于不壓縮流體 1-164對于可以忽略粘性耗散作用的穩(wěn)態(tài)低速流，能量方程可以簡化為 1-165及 1-166取速度為0，則可得到穩(wěn)態(tài)的熱傳導(dǎo)方程（對流項(xiàng)消失）為 1-1675．狀態(tài)方程由連續(xù)性方程、運(yùn)動(dòng)方程、能量方程確定的未知量有共6個(gè)，但方程數(shù)只有5個(gè)，為使方程組封閉，需補(bǔ)充一個(gè)聯(lián)系的狀態(tài)方程為 1-1686．組分質(zhì)量守恒方程在一個(gè)特定的系統(tǒng)中可能存在質(zhì)的交換，或者存在多種化學(xué)組分，每一種組分都需要遵守組分質(zhì)量守恒定律，即系統(tǒng)內(nèi)某種化學(xué)組分對時(shí)間的變化率等于通過系統(tǒng)界面的凈擴(kuò)散流量與由反應(yīng)產(chǎn)生的生成率之和，可表示為 1-169其中代表單位體積內(nèi)組分的質(zhì)量變化率，是組分的對流流量密度。代表擴(kuò)散流量密度，它由Fick定律給出。是單位體積內(nèi)組分的生成率。費(fèi)克定律如下 1-170其中為擴(kuò)散系數(shù)。將擴(kuò)散定律代入守恒方程，得 1-171為便于以后引用，表1-3列出了本節(jié)的守恒型控制方程。表1-3 常用流動(dòng)與傳熱問題的守恒型控制方程方程名稱方程形式連續(xù)性方程動(dòng)量方程動(dòng)量方程動(dòng)量方程能量方程狀態(tài)方程1.1.7湍流模型描述流體運(yùn)動(dòng)（層流）的流體力學(xué)基本方程組是封閉的，而描述湍流運(yùn)動(dòng)的方程組由于采用了某種平均（時(shí)間平均或網(wǎng)格平均等）而不封閉，必須對方程組中出現(xiàn)的新未知量采用模型而使其封閉，這就是CFD中的湍流模型。湍流模型的主要作用是將新未知量和平均速度梯度聯(lián)系起來。目前，工程應(yīng)用中湍流的數(shù)值模擬主要分三大類：直接數(shù)值模擬（DNS）、大渦模擬（LES）和基于雷諾平均N-S方程組（RANS）的模型。1．直接數(shù)值模擬DNS直接數(shù)值模擬（DNS）方法直接求解湍流運(yùn)動(dòng)的N-S方程，得到湍流的瞬時(shí)流場，即各種尺度的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，可以獲得湍流的全部信息。隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的發(fā)展和先進(jìn)數(shù)值方法的研究，DNS方法已經(jīng)成為解決湍流的一種實(shí)際的方法。但由于計(jì)算機(jī)條件的約束，目前只能限于一些低Re數(shù)的簡單流動(dòng)，不能用于工程應(yīng)用。目前國際上正在做的湍流直接數(shù)值模擬還只限于較低的需諾數(shù)（Re～200）和非常簡單的流動(dòng)外形，如平板邊界層、完全發(fā)展的槽道流，以及后臺階流動(dòng)等。用直接數(shù)值模擬方法處理工程中的復(fù)雜流動(dòng)問題，即使是當(dāng)前最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)也還差3個(gè)量級。2．大渦模擬（LES）大渦模擬（LES）方法即對湍流脈動(dòng)部分的直接模擬，將N-S方程在一個(gè)小空間域內(nèi)進(jìn)行平均（或稱之為濾波），以使從流場中去掉小尺度渦，導(dǎo)出大渦所滿足的方程。小渦對大渦的影響會(huì)出現(xiàn)在大渦方程中，再通過建立模型（亞格子尺度模型）來模擬小渦的影響。由于湍流的大渦結(jié)構(gòu)強(qiáng)烈地依賴于流場的邊界形狀和邊界條件，難以找出普遍的湍流模型來描述具有不同的邊界特征的大渦結(jié)構(gòu)，所以宜做直接模擬。相反地，由于小尺度渦對邊界條件不存在直接依賴關(guān)系，而且一般具有各向同性性質(zhì)。所以亞格子尺度模型具有更大的普適性，比較容易構(gòu)造，這是它比雷諾平均方法要優(yōu)越的地方。LES方法已經(jīng)成為計(jì)算湍流的最強(qiáng)有力的工具之一，應(yīng)用的方向也在逐步擴(kuò)展，但是仍然受計(jì)算機(jī)條件等的限制，使之成為解決大量工程問題的成熟方法仍有很長的路要走。3．基于雷諾平均N-S方程組（RANS）的模型目前能夠用于工程計(jì)算的方法就是模式理論。所謂湍流模式理論，就是依據(jù)湍流的理論知識、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或直接數(shù)值模擬結(jié)果，對Reynolds應(yīng)力做出各種假設(shè)，即假設(shè)各種經(jīng)驗(yàn)的和半經(jīng)驗(yàn)的本構(gòu)關(guān)系，從而使湍流的平均Reynolds方程封閉。從對模式處理的出發(fā)點(diǎn)不同，可以將湍流模式理論分類成兩大類：一類稱為二階矩封閉模式，另一類稱為渦粘性封閉模式。（1）雷諾應(yīng)力模式雷諾應(yīng)力模式即二階矩封閉模式，是從Reynolds應(yīng)力滿足的方程出發(fā)，將方程右端未知的項(xiàng)（生成項(xiàng)、擴(kuò)散項(xiàng)、耗散項(xiàng)等）用平均流動(dòng)的物理量和湍流的特征尺度表示出來。典型的平均流動(dòng)的變量是平均速度和平均溫度的空間導(dǎo)數(shù)。這種模式理論由于保留了Reynolds應(yīng)力所滿足的方程，如果模擬得好，可以較好地反映Reynolds應(yīng)力隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律，因而可以較好地反映湍流運(yùn)動(dòng)規(guī)律。因此，二階矩封閉模式是一種較高級的模式，但是，由于保留了Reynolds應(yīng)力的方程，加上平均運(yùn)動(dòng)的方程，整個(gè)方程組總計(jì)15個(gè)方程，是一個(gè)龐大的方程組，應(yīng)用這樣一個(gè)龐大的方程組來解決實(shí)際工程問題，計(jì)算量很大，這就極大地限制了二階矩封閉模式在工程問題中的應(yīng)用。（2）渦粘性封閉模式。在工程湍流問題中得到廣泛應(yīng)用的模式是渦粘性封閉模式。這是由Boussinesq仿照分子粘性的思路提出的，即設(shè)Reynolds應(yīng)力為 1-172這里是湍動(dòng)能，稱為渦粘性系數(shù)，這是最早提出的基準(zhǔn)渦粘性封閉模式，即假設(shè)雷諾應(yīng)力與平均速度應(yīng)變率成線性關(guān)系，當(dāng)平均速度應(yīng)變率確定后，6個(gè)雷諾應(yīng)力只需要通過確定一個(gè)渦粘性系數(shù)就可完全確定，且渦粘性系數(shù)各向同性，可以通過附加的湍流量來?；?，如湍動(dòng)能k、耗散率、比耗散率以及其他湍流量、、，根據(jù)引入的湍流量的不同，可以得到不同的渦粘性模式，如常見的、k-w模式，以及后來不斷得到發(fā)展的、q-w、k-l等模式，渦粘性系數(shù)可以分別表示為，，，，為了使控制方程封閉，引入多少個(gè)附加的湍流量，就要同時(shí)求解多少個(gè)附加的微分方程，根據(jù)求解的附加微分方程的數(shù)目，一般可將渦粘性模式劃分為四類：零方程模式、半方程模型、一方程模式和兩方程模式。①零方程模式。所謂零方程模式，就是試圖直接用平均流動(dòng)物理量?；?，而不引入任何湍流量（如等）。例如，Prandttl的混合長理論就是一種零方程模式。 vT∝l2 1-173式中稱為混合長。在零方程模式的框架下，得到最為廣泛應(yīng)用的是Baldwin-Lomax模式。該模式是對湍流邊界層的內(nèi)層和外層采用不同的混合長假設(shè)。這是因?yàn)榭拷诿嫣?，湍流脈動(dòng)受到很大的抑制，含能渦的尺度減小很多，因此長度尺度減小很多；另一方面，在邊界層外緣，湍流呈間歇狀，質(zhì)量、動(dòng)量和能量的輸運(yùn)能力大大下降，即湍流的擴(kuò)散能力減小。這樣，應(yīng)用混合長理論來確定渦粘性系數(shù)在這兩個(gè)不同的區(qū)域應(yīng)該有不同的形式。Baldwin-Lomax模式的具體數(shù)學(xué)描述如下。 1-174這里yc是的離壁面最小距離值。對于內(nèi)層，即y≤yc，有 (vT)inn=l

2Ω 1-175Ω是渦量，，l是長度尺度 1-176其中k=0.4是Karman常數(shù)，A+是?；?shù)，y+是無量綱法向距離。 1-177而是摩擦速度，其含義為 1-178此處下標(biāo)表示壁面。對于外層，即，有 1-179其中 1-180是下列函數(shù)的最大值。 1-181而ymax是F(y)達(dá)到最大值的位置。Fkleb是Klebanoff間歇函數(shù)。 1-182Udif是平均速度分布中最大值和最小值之差。幾個(gè)?；?shù)的值如下。 由上述?；P(guān)系可以看出，Reynolds應(yīng)力完全由當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)氐钠骄鲄?shù)用代數(shù)關(guān)系式?jīng)Q定。平均流場的任何變化立刻為當(dāng)?shù)氐耐牧魉兄@表明零方程模式是一個(gè)平衡態(tài)模式，假定湍流運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)處于與平均運(yùn)動(dòng)的平衡之中。實(shí)際上對于大多數(shù)湍流運(yùn)動(dòng)而言并非如此，特別是對于平均流空間和時(shí)間有劇烈變化的情形，再有因?yàn)樽鴺?biāo)y顯式地出現(xiàn)在湍流模式中，零方程模式不具有張量不變性，所以將它應(yīng)用到復(fù)雜幾何外形的流動(dòng)的數(shù)值模擬會(huì)帶來困難。當(dāng)流動(dòng)發(fā)生分離時(shí)，Baldwin-Lomax模式會(huì)遇到困難，這是因?yàn)樵诜蛛x點(diǎn)和再附點(diǎn)附近，摩擦速度為0，此時(shí)要引入一些人為的干涉來消除這些困難。計(jì)算實(shí)踐表明，只要流動(dòng)是附體的，零方程模式一般都可以較好地確定壓強(qiáng)分布，但是摩阻和傳熱率的估算不夠準(zhǔn)確，特別是當(dāng)流動(dòng)有分離和再附時(shí)。這是因?yàn)楦襟w流壓強(qiáng)分布對湍流應(yīng)力不敏感?？傊?，對于附體流動(dòng)，如果只關(guān)心壓強(qiáng)分布，應(yīng)用零方程模式通?？梢越o出滿意的結(jié)果，而且模式應(yīng)用起來十分簡便。但是對于計(jì)算摩阻的需求，零方程模式是不能滿足要求的。對于有分離、再附等復(fù)雜流動(dòng)，零方程模式是不適用的。②半方程模式。為于1985年提出了一個(gè)非平衡代數(shù)模型（JK模型），該模型仍采用渦粘性假設(shè)，把渦粘性的分布與最大剪切應(yīng)力聯(lián)系在一起，內(nèi)層渦粘性與外層渦粘性分布用一個(gè)指數(shù)函數(shù)作為光滑擬合，外層渦粘性系數(shù)作為一個(gè)自由參數(shù)，由描述最大剪切應(yīng)力沿流向變化的常微分方程來確定，此常微分方程是由湍流動(dòng)能方程導(dǎo)出的，故此模型又稱為半方程模型。JK模型雖然仍采用渦粘性假設(shè)，卻包含雷諾應(yīng)力模型的特點(diǎn)。由于求解常微分方程比一方程、兩方程模型中求解偏微分方程要簡單、省時(shí)得多，故用JK模型的工作量只略高于通常平衡狀態(tài)的零方程代數(shù)模型的工作量。③一方程模式。Baldwin-Barth（BB）模型是在兩方程模型中，將某一導(dǎo)出的應(yīng)變量作為基本物理量而得到的，應(yīng)用此一方程模型可避免求解兩方程時(shí)會(huì)遇到的某些數(shù)值困難。BB一方程模型所選擇的導(dǎo)出應(yīng)變量為“湍流雷諾數(shù)”Rt。BB模型對計(jì)算網(wǎng)格的要求低，壁面的網(wǎng)格可以與采用BL代數(shù)模型的相當(dāng)，而不像兩方程k

?

ε模型那樣要求壁面網(wǎng)格很細(xì)，這樣就避免了在k

?

ε模型中流場求解的剛性問題。Spalart-Allmaras（SA）模型與BB模型不同，它不是直接利用k

?

ε兩方程模型加以簡化而得，而是從經(jīng)驗(yàn)和量綱分析出發(fā)，由針對簡單流動(dòng)再逐漸補(bǔ)充發(fā)展，進(jìn)而適用于帶有層流流動(dòng)的固壁湍流流動(dòng)的一方程模型，模型中選用的應(yīng)變量是與渦粘性相關(guān)的量，除在粘性次層外，與是相等的。上述兩種一方程模型具有相似的特點(diǎn)，它們不像代數(shù)模型那樣需要分為內(nèi)層模型、外層模型或壁面模型、尾流模型，同時(shí)也不需要沿法向網(wǎng)格尋找最大值，因此易于應(yīng)用到非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中；但由于在每個(gè)時(shí)間步長內(nèi)，需要對整個(gè)流場求解一組偏微分方程，故比BL和JK模型更費(fèi)機(jī)時(shí)。④兩方程模式。常用的兩方程模式有：標(biāo)準(zhǔn)k

?

ε兩方程模式、可實(shí)現(xiàn)型k

?

ε兩方程模型、低Reynolds數(shù)k

?

ε模型及k-兩方程模式等。標(biāo)準(zhǔn)k

?

ε兩方程模式。k

?

ε模式是最為人所知和應(yīng)用最廣泛的兩方程渦粘性模式，為積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式。雷諾應(yīng)力的渦粘性模型為 1-183其中μt為渦粘性（eddyviscosity），Sij為平均速度應(yīng)變率張量（mean-velocitystrain-ratetensor），PA為流體密度，k為湍動(dòng)能，δij為克羅內(nèi)克算子（Kroneckerdelta）。渦粘性定義為湍動(dòng)能k和湍流耗散率的函數(shù)。 1-184基于量綱分析，渦粘性由流體密度、湍流速度尺度（turbulentvelocityscale）k2和長度尺度（length-scale）k3/2/ε來標(biāo)度，衰減函數(shù)f由湍流雷諾數(shù)來?；?。湍流輸運(yùn)方程可表示成湍流能量輸運(yùn)方程1-185和能量耗散輸運(yùn)方程1-186。 1-185 1-186其中右端項(xiàng)分別表示生成項(xiàng)（productionterm）、耗散項(xiàng)（dissipationterm）和壁面項(xiàng)（wallterm）。模式中各常數(shù)的定義如下。 近壁衰減函數(shù) 1-187 1-188壁面項(xiàng) 1-189 1-190其中μs為平行于壁面的流動(dòng)速度。積分到壁面的無滑移邊界條件為 k

=

0ε

=

0可實(shí)現(xiàn)型k

?

ε兩方程模型。上述標(biāo)準(zhǔn)k

?

ε模式，對于高平均切變率流動(dòng)會(huì)出現(xiàn)非物理的結(jié)果（如當(dāng)時(shí)，其中）。為了保證模式的可實(shí)現(xiàn)性，模式函數(shù)Cμ不應(yīng)該是常數(shù)，而應(yīng)當(dāng)是平均慶變率的函數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，對邊界層流動(dòng)和均勻切變流，Cμ的值是不同的。為此人們根據(jù)可實(shí)現(xiàn)性對模式的約束條件，建議采用以下形式的Cμ。 1-191式1-191中 1-192是在以角速度旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中得到的平均旋轉(zhuǎn)速率。 1-193關(guān)系式1-193中唯一未確定的系數(shù)是A。為簡單起見，可以設(shè)其為常數(shù)。對邊界層流動(dòng)。可以取A0=4.0。對于其他流動(dòng)，A0的數(shù)值可以調(diào)節(jié)。低Reynolds數(shù)k

?

ε模型。上述幾種k

?

ε模式適用于高Reynolds數(shù)情形。但是對于近壁區(qū)，湍流需諾數(shù)很低，對湍流動(dòng)力學(xué)而言，粘性效應(yīng)非常重要，此時(shí)湍流Reynolds數(shù)的效應(yīng)必須加以考慮。研究摩阻的計(jì)算關(guān)注的恰恰是近壁區(qū)，因此低Reynolds數(shù)k

?

ε模式的研究是十分重要的?，F(xiàn)將有關(guān)結(jié)果整理如下。低Reynolds數(shù)下的渦粘性和k

?

ε模式方程為 1-194 1-195 1-196式1-196中 1-197所有?；?shù)如下。 1-198其中 1-199此處和f1、f2稱為阻尼函數(shù)，是用來反映近壁區(qū)低雷諾數(shù)效應(yīng)的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，系數(shù)列表見表1-4。表1-4 系數(shù)列表I123453.3×10?3?6.0×10?56.6×10?7?3.6×10?98.4×10?122.53×10?3?5.7×10?56.55×10?7?3.6×10?98.3×10?12k-兩方程模式。k-模式是最為人所知和應(yīng)用最廣泛的兩方程渦粘性模式，為積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式，最主要的文獻(xiàn)來自Wilcox。求解湍動(dòng)能k和它的（specificdissipationrate）的對流輸運(yùn)方程。雷諾應(yīng)力的渦粘性模型為 1-200這里μt為渦粘性（eddyviscosity），Sij為平均速度應(yīng)變率張量（mean-velocitystrain-ratetensor），ρ為流體密度，k為湍動(dòng)能，δij為克羅內(nèi)克算子（Kroneckerdelta）。渦粘性定義為湍動(dòng)能k和比耗散率的函數(shù)。 1-201k和的輸運(yùn)方程為 1-202 1-203模式中各常數(shù)的定義如下。 對于邊界層流動(dòng)，壁面無滑移邊界條件為 k

=

0 1-204這里y1為離開壁面第一個(gè)點(diǎn)的距離，且。除以上介紹的FLUENT中常用的湍流模型外，還有眾多諸如SST兩方程模式、k?τ模型、q?ω模型、雙尺度兩方程模式等湍流模型，在此不再一一詳細(xì)介紹，感興趣的讀者可以查閱相關(guān)文獻(xiàn)。在實(shí)際求解中，選用什么模型要根據(jù)具體問題的特點(diǎn)來決定。選擇的一般原則是精度高，應(yīng)用簡單，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，同時(shí)也具有通用性。不勢。圖1-3CFD軟件中常用湍流模型及其計(jì)算量變化趨勢1.2計(jì)算流體力學(xué)（CFD）基礎(chǔ)計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（ComputationalFluidDynamics，CFD）是近代流體力學(xué)、數(shù)值數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)結(jié)合的產(chǎn)物，是一門具有強(qiáng)大生命力的邊緣科學(xué)。1.2.1CFD概述CFD以電子計(jì)算機(jī)為工具，應(yīng)用各種離散化的數(shù)學(xué)方法，對流體力學(xué)的各類問題進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)、計(jì)算機(jī)模擬和分析研究，以解決各種實(shí)際問題。計(jì)算流體力學(xué)和相關(guān)的計(jì)算傳熱學(xué)、計(jì)算燃燒學(xué)的原理是用數(shù)值方法求解非線性聯(lián)立的質(zhì)量、能量、組分、動(dòng)量和自定義的標(biāo)量的微分方程組，求解結(jié)果能預(yù)報(bào)流動(dòng)、傳熱、傳質(zhì)、燃燒等過程的細(xì)節(jié)，并成為過程裝置優(yōu)化和放大定量設(shè)計(jì)的有力工具。計(jì)算流體力學(xué)的基本特征是數(shù)值模擬和計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)，它從基本物理定理出發(fā)，在很大程度上替代了耗資巨大的流體動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，在科學(xué)研究和工程技術(shù)中產(chǎn)生巨大的影響。計(jì)算流體力學(xué)是目前國際上一個(gè)強(qiáng)有力的研究領(lǐng)域，是進(jìn)行傳熱、傳質(zhì)、動(dòng)量傳遞及燃燒、多相流和化學(xué)反應(yīng)研究的核心和重要技術(shù)，廣泛應(yīng)用于航天設(shè)計(jì)、汽車設(shè)計(jì)、生物醫(yī)學(xué)工業(yè)、化工處理工業(yè)、渦輪機(jī)設(shè)計(jì)、半導(dǎo)體設(shè)計(jì)、HAVC&R等諸多工程領(lǐng)域，板翅式換熱器設(shè)計(jì)是CFD技術(shù)應(yīng)用的重要領(lǐng)域之一。CFD在最近20年中得到飛速的發(fā)展，除了計(jì)算機(jī)硬件工業(yè)的發(fā)展給它提供了堅(jiān)實(shí)的物質(zhì)基礎(chǔ)外，還主要因?yàn)闊o論分析的方法或?qū)嶒?yàn)的方法都有較大的限制。例如，由于問題的復(fù)雜性，既無法作分析解，也因費(fèi)用昂貴而無力進(jìn)行實(shí)驗(yàn)確定，而CFD的方法正具有成本低和能模擬較復(fù)雜或較理想的過程等優(yōu)點(diǎn)。經(jīng)過一定考核的CFD軟件可以拓寬實(shí)驗(yàn)研究的范圍，減少成本昂貴的實(shí)驗(yàn)工作量。在給定的參數(shù)下用計(jì)算機(jī)對現(xiàn)象進(jìn)行一次數(shù)值模擬相當(dāng)于進(jìn)行一次數(shù)值實(shí)驗(yàn)，歷史上也曾有過首先由CFD數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象而后由實(shí)驗(yàn)予以證實(shí)的例子。CFD軟件一般都能推出多種優(yōu)化的物理模型，如定常和非定常流動(dòng)、層流、紊流、不可壓縮和可壓縮流動(dòng)、傳熱、化學(xué)反應(yīng)等。對每一種物理問題的流動(dòng)特點(diǎn)，都有適合它的數(shù)值解法，用戶可選擇顯式或隱式差分格式，以期在計(jì)算速度、穩(wěn)定性和精度等方面達(dá)到最佳。CFD軟件之間可以方便地進(jìn)行數(shù)值交換，并采用統(tǒng)一的前、后處理工具，這就省去了科研工作者在計(jì)算機(jī)方法、編程、前后處理等方面投入的重復(fù)、低效的勞動(dòng)，而可以將主要精力和智慧用于物理問題本身的探索上。1.2.2CFD求解力學(xué)問題的過程所有CFD問題的求解過程都可用圖1-4表示。如果所求解的問題是瞬態(tài)問題，則可將圖1-4的過程理解為一個(gè)時(shí)間步的計(jì)算過程，循環(huán)這一過程求解下個(gè)時(shí)間步的解。下面對各求解步驟進(jìn)行簡單介紹。圖1-4CFD求解流程框圖1．建立控制方程建立控制方程是求解任何問題前都必須首先進(jìn)行的。一般來講，這一步是比較簡單的。因?yàn)閷τ谝话愕牧黧w流動(dòng)而言，可直接寫出其控制方程。假定沒有熱交換發(fā)生，則可直接將連續(xù)方程與動(dòng)量方程作為控制方程使用。一般情況下，需要增加湍流方程。2．確定邊界條件和初始條件初始條件與邊界條件是控制方程有確定解的前提，控制方程與相應(yīng)的初始條件、邊界條件的組合構(gòu)成對一個(gè)物理過程完整的數(shù)學(xué)描述。初始條件是所研究對象在過程開始時(shí)刻各個(gè)求解變量的空間分布情況。對于瞬態(tài)問題，必須給定初始條件。對于穩(wěn)態(tài)問題，不需要初始條件。邊界條件是在求解區(qū)域的邊界上所求解的變量或其導(dǎo)數(shù)隨地點(diǎn)和時(shí)間的變化規(guī)律。對于任何問題，都需要給定邊界條件。3．劃分計(jì)算網(wǎng)格采用數(shù)值方法求解控制方程時(shí)，都是想辦法將控制方程在空間區(qū)域上進(jìn)行離散，然后求解得到離散方程組。要想在空間域上離散控制方程，必須使用網(wǎng)格?，F(xiàn)已發(fā)展出多種對各種區(qū)域進(jìn)行離散以生成網(wǎng)格的方法，這些方法統(tǒng)稱為網(wǎng)格生成技術(shù)。不同的問題采用不同數(shù)值解法時(shí)，所需要的網(wǎng)格形式是有一定區(qū)別的，但生成網(wǎng)格的方法基本是一致的。目前網(wǎng)格分結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格兩大類。簡單地講，結(jié)構(gòu)網(wǎng)格在空間上比較規(guī)范，如對一個(gè)四邊形區(qū)域，網(wǎng)格往往是成行成列分布的，行線和列線比較明顯。而非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格在空間分布上沒有明顯的行線和列線。對于二維問題，常用的網(wǎng)格單元有三角形和四邊形等形式；對于三維問題，常用的網(wǎng)格單元有四面體、六面體、三菱體等形式。在整個(gè)計(jì)算域上，網(wǎng)格通過節(jié)點(diǎn)聯(lián)系在一起。目前各種CFD軟件都配有專用的網(wǎng)格生成工具，如FLUENT使用Gambit作為前處理軟件。多數(shù)CFD軟件可接收采用其他CAD或CFD/FEM軟件產(chǎn)生的網(wǎng)格模型。例如，F(xiàn)LUENT可以接收ANSYS所生成的網(wǎng)格。4．建立離散方程對于在求解域內(nèi)所建立的偏微分方程，理論上是有真解（或稱精確解或解析解）的。但由于所處理問題自身的復(fù)雜性，一般很難獲得方程的真解。因此就需要通過數(shù)值方法把計(jì)算域內(nèi)有限數(shù)量位置（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)或網(wǎng)格中心點(diǎn)）上的因變量值當(dāng)做基本未知量來處理，從而建立一組關(guān)于這些未知量的代數(shù)方程組，然后通過求解代數(shù)方程組來得到這些節(jié)點(diǎn)值，而計(jì)算域內(nèi)其他位置上的值則根據(jù)節(jié)點(diǎn)位置上的值來確定。由于所引入的應(yīng)變量在節(jié)點(diǎn)之間的分?jǐn)?shù)假設(shè)及推導(dǎo)離散化方程的方法不同，所以形成了有限差分法、有限元法、有限元體積法等不同類型的離散化方法。對于瞬態(tài)問題，除了在空間域上的離散外，還要涉及在時(shí)間域上的離散。離散后，將要涉及使用何種時(shí)間積分方案的問題。5．離散初始條件和邊界條件前面所給定的初始條件和邊界條件是連續(xù)性的，如在靜止壁面上速度為0，現(xiàn)在需要針對所生成的網(wǎng)格，將連續(xù)型的初始條件和邊界條件轉(zhuǎn)化為特定節(jié)點(diǎn)上的值，如靜止壁面上共有90個(gè)節(jié)點(diǎn)，則這些節(jié)點(diǎn)上的速度值應(yīng)均設(shè)為0。商用CFD軟件往往在前處理階段完成網(wǎng)格劃分后，直接在邊界上指定初始條件和邊界條件，然后由前處理軟件自動(dòng)將這些初始條件和邊界條件按離散的方式分配到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。6．給定求解控制參數(shù)在離散空間上建立了離散化的代數(shù)方程組，并施加離散化的初始條件和邊界條件后，還需要給定流體的物理參數(shù)和湍流模型的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)等。此外，還要給定迭代計(jì)算的控制精度、瞬態(tài)問題的時(shí)間步長和輸出頻率等。7．求解離散方程進(jìn)行上述設(shè)置后，生成了具有定解條件的代數(shù)方程組。對于這些方程組，數(shù)學(xué)上已有相應(yīng)的解法，如線性方程組可采用Gauss消去法或Gauss-Seidel迭代法求解，而對于非線性方程組，可采用Newton-Raphson方法。商用CFD軟件往往提供多種不同的解法，以適應(yīng)不同類型的問題。這部分內(nèi)容屬于求解器設(shè)置的范疇。8．顯示計(jì)算結(jié)果通過上述求解過程得出了各計(jì)算節(jié)點(diǎn)上的解后，需要通過適當(dāng)?shù)氖侄螌⒄麄€(gè)計(jì)算域上的結(jié)果表示出來，這時(shí)，可采用線值圖、矢量圖、等值線圖、流線圖、云圖等方式來表示計(jì)算結(jié)果?！ぞ€值圖是指在二維或三維空間上，將橫坐標(biāo)取為空間長度或時(shí)間歷程，將縱坐標(biāo)取為某一物理量，然后用光滑曲線或曲面在坐標(biāo)系內(nèi)繪制出某一物理量沿空間或時(shí)間的變化情況。·矢量圖是直接給出二維或三維空間里矢量（如速度）的方向及大小，一般用不同顏色和長度的箭頭表示速度矢量。矢量圖可以比較容易地讓用戶發(fā)現(xiàn)其中存在的漩渦區(qū)。·等值線圖是用不同顏色的線條表示相等物理量（如溫度）的一條線?！ち骶€圖是用不同顏色的線條表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡?！ぴ茍D是使用渲染的方式，將流場某個(gè)截面上的物理量（如壓力或溫度）用連續(xù)變化的顏色塊表示其分布。1.2.3CFD數(shù)值模擬方法和分類CFD的數(shù)值解法有很多分支，這些方法之間的區(qū)別主要在于對控制方程的離散方式。根據(jù)離散原理的不同，CFD大體上可以分為有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）和有限體積法（FVM）。1．有限差分法有限差分法（FDM）是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開的方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替，從而創(chuàng)建以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶?shù)問題，從而可以用近似數(shù)值解法求解，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較早且比較成熟的數(shù)值方法。從有限差分格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式；從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風(fēng)格式；考慮時(shí)間因子的影響，差分格式還可分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式主要是上訴幾種格式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實(shí)際情況和柯郎穩(wěn)定條件決定。2．有限元法有限元法（FEM）的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便于構(gòu)成不同的有限元方法。有限元法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展逐漸用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線性組合來逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看做由每個(gè)單元基函數(shù)組成，而整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看做由所有單元上的近似解構(gòu)成。有限元方法的基本思路和解題步驟可歸納如下。（1）建立積分方程。根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。（2）區(qū)域單元剖分。根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，并列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號和相應(yīng)的邊界值。（3）確定單元基函數(shù)。根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀。所以在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。（4）單元分析。將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)（即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值）的代數(shù)方程組（稱為單元有限元方程）。（5）總體合成。在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。（6）邊界條件的處理。一般邊界條件有3種形式，分別為本質(zhì)邊界條件（狄里克雷邊界條件）、自然邊界條件（黎曼邊界條件）、混合邊界條件（柯西邊界條件）。對于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。

（7）解有限元方程。根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。3．有限體積法有限體積法（FiniteVolumeMethod，F(xiàn)VM）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，并使每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)周圍有一個(gè)控制體積；將待解的微分方程對每一個(gè)控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點(diǎn)上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律，即假設(shè)值分段分布的剖面。從積分區(qū)域的選取方法看來，有限