第二章 波動力學(xué)基礎(chǔ)

其次章波動力學(xué)基礎(chǔ)

§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

依據(jù)德布羅意的觀念，和每個(gè)粒子相聯(lián)系的，都有一個(gè)波。怎么理解粒子性和

波動性之NJ的聯(lián)系，這是量子力學(xué)首先遇到的一個(gè)根本問題。

能否認(rèn)為波由粒子所組成?答案是否定的。由于粒子束的單縫或雙縫等試驗(yàn)表

明，若減小入射粒子流的強(qiáng)度，讓粒子近似地一個(gè)一個(gè)地從粒子源射出，試驗(yàn)發(fā)

覺，雖則開頭時(shí)底片上的感光點(diǎn)是無規(guī)章的，但只要時(shí)間足夠長，感光點(diǎn)足夠多，

底片上仍會消失衍射花樣。這說明，粒子的衍射現(xiàn)象與是否有其他粒子無關(guān)。假

如波由粒子組成，波的干涉、衍射等現(xiàn)象必定依靠于粒子間的相互作用。這和上

述試驗(yàn)結(jié)果沖突。實(shí)際上，單個(gè)粒子也有波動性。

那么，能否認(rèn)為粒子由波所組成.比方，是否可以認(rèn)為粒子就是波包?答案也是

否定的。以自由粒子為例。對于自由粒子，由于不受外力場的作用，粒子的能量

E和動量P均為常矢量。按德布羅意關(guān)系()和(1.4.2)式，和自由粒子相聯(lián)系的波的

頻率。，波矢k均為常數(shù)及常矢量。因此和自由粒子相聯(lián)系的波是平面波。即

°==4/3'一切(2.1.1)

其振幅A與坐標(biāo)無關(guān)。因此它布滿全空間。若認(rèn)為自由粒子由波組成，則一個(gè)自

由粒子將占據(jù)整個(gè)空間，這當(dāng)然是不合理的。而且，自由粒子的德布羅意波的相

速度是k的函數(shù)，按§1.4,必定存在色散。假如把自由粒子看成是個(gè)物質(zhì)波包，

即使在真空中，也會由于存在色散而使粒子自動解體。這當(dāng)然與實(shí)際狀況不符。

在歷史上，對波粒二象性和波函數(shù)的解釋，始終是有爭議的。即使到現(xiàn)代，

也仍舊有不同觀點(diǎn)。而且持不同觀點(diǎn)的人有些還是量子力學(xué)的奠基人之一。但被

物理學(xué)家們普遍接受的波函數(shù)的解釋是玻恩(M.Bam)提出的統(tǒng)計(jì)解釋。他認(rèn)為，

粒子在衍射或干涉試驗(yàn)中所揭示的波動性質(zhì)，既可以看成是大量粒子在同一個(gè)試

驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，也可以認(rèn)為是單個(gè)粒子在很多次相同試驗(yàn)中顯示的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。

感光底片在r處的強(qiáng)度，與打在該點(diǎn)的粒子數(shù)成正比，也和波函數(shù)在該點(diǎn)的振幅

的確定值的平方成正比。波函數(shù)所刻劃的實(shí)際上是粒子在某時(shí)刻在空間的幾率分

布。事實(shí)上，通常波動性總是指某種物理量在空間的分布呈周期性變化，并且由

于波的相干疊加，而消失干涉和衍射等現(xiàn)象。而在玻恩的統(tǒng)計(jì)解釋中，他保留了

波的最重要的特性一一相干疊加，不過，他把“某種物理量”改為“粒子消失的

幾率”。玻恩提出的波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋是:波函數(shù)在某一時(shí)刻在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度,

即其振幅確定值的平方和在這一點(diǎn)中找到粒子的幾率成正比，和粒子相聯(lián)系的波

是概率波。

依據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，有：

(1)由于帆(廠/『給出在t時(shí)亥粒子消失在r處的概率密度，因此原則上我們可

由統(tǒng)計(jì)平均值公式

3用=的竺()

I(py/dr

求出描述體系狀態(tài)的力學(xué)量f(r)的平均值〈/(廠》。在這種意義下，一般認(rèn)為，＜p(r,t)

描述了微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)，即量子態(tài)。然而應(yīng)當(dāng)指出，在量子力學(xué)中對量子態(tài)

的描述和經(jīng)典力學(xué)中對狀態(tài)的描述有根本不同。在經(jīng)典力學(xué)中描述狀態(tài)靠給定一

些力學(xué)量，如廣義動量，廣義坐標(biāo)等等，在熱力學(xué)中描述體系的宏觀狀態(tài)靠給出

一些宏觀量，如壓強(qiáng)、溫度、體積以及狀態(tài)方程。但在量子力學(xué)中，描述粒子的

量子態(tài)靠給定波函數(shù)滬，但砂本身不是力學(xué)變量，也不具有任何經(jīng)典物理學(xué)中物

理量的意義。由幼所給定的只是在它所描述的量子態(tài)中，測量某力學(xué)量的平均值

或者這個(gè)力學(xué)量的各種可能值和消失這些可能值的相應(yīng)的幾率。至于這種描述是

否完備以及在這種描述的背后是否還隱蔽著某些更深刻的東西，或者某些“隱變

數(shù)”，這是爭辯極多的問題。有愛好的讀者可參閱本書的第十二章。

(2)由于粒子在某一時(shí)刻在空間中某點(diǎn)消失的幾率應(yīng)當(dāng)單值，因此，除個(gè)別孤立

奇點(diǎn)外，波函數(shù)P(r,t)應(yīng)當(dāng)是;的單值、有界和連續(xù)函數(shù)。

{3}在非相對論量子力學(xué)中，若僅限于波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，則因統(tǒng)計(jì)解釋中只涉

及波函數(shù)的振幅，因此存在下述不確定性：

(i)常數(shù)因子的不確定性。若C為常數(shù)，則扒r,t)和C},(r,t)描述同一個(gè)物理狀態(tài)。

由于它們的相對幾率相同：

(P和C(p表示同一個(gè)概率波。通常，C由總的概率為1的歸一條件打算。

(ii)相角的不確定性。由于與(p(r,t)eia(a為實(shí)常數(shù))的模相同，因此a不定。

這說明，只限于統(tǒng)計(jì)解釋還不能完全窮盡對波函數(shù)的熟悉。越來越多的試驗(yàn)事實(shí)

證明，波函數(shù)的位相是特別重要的物理概念。

(4)對于很多物理態(tài)，由于粒子總要在全空間中消失，是必定大事。粒子在全空

間中消失的幾率為la因此一般應(yīng)要求，波函數(shù)(p(r,t)應(yīng)當(dāng)是平方可積函數(shù)，是可歸

一化的，即

了〃(廠/『/=1()

00

但應(yīng)當(dāng)指出，并非全部波函數(shù)均可用()式的方式歸一化。例如平面波()式，就不是

平方可積函數(shù)。對于這一類在無窮遠(yuǎn)處(P不趨于零的波函數(shù)，其歸一化問題我們

將另行爭辯。

(5)簡單將波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋推廣到多粒子體系。設(shè)體系由N個(gè)粒子組成。

(p(ri,r2,…,rN,t)是描述這個(gè)體系狀態(tài)的波函數(shù)，則|〃(不4,。-四….4V

表示在t時(shí)刻第一個(gè)粒子消失在4f7］+力1，其次個(gè)粒子消失在

%r2+dr2,....,第N個(gè)粒子消失在*—的幾率。相應(yīng)的歸一化條

件是：

［四,弓,...小/)一力］的2。=1()

00

(6)明顯，描述粒子微觀運(yùn)動的波函數(shù)不僅可用坐標(biāo)r、時(shí)間t為自變量，也可以

用其他變量，比如用動量p為自變量。以p、t為獨(dú)立變量的波函數(shù)C(p,t),它的

物理意義是|C(p,"一劭表示在，t時(shí)刻，粒子的動量在夕fp+勿的幾率，相

應(yīng)的歸一化條件是

^\c{p,t^dp=\()

00

C(p,t)為動量幾率分布函數(shù)。對于描述粒子的微觀狀態(tài),C(p,t)起著和＜p(r,t)相同

的作用。于是自然會問,C(p,t)和(p(r}t)之間的關(guān)系是什么?我們將在下一節(jié)中回答

這個(gè)問題。

§2.2態(tài)疊加原理

量子力學(xué)對粒子運(yùn)動狀態(tài)的描述與經(jīng)典力學(xué)完全不同。在經(jīng)典力學(xué)中，粒子

的坐標(biāo)和動量有完全確定的數(shù)值，并且一旦給定某一時(shí)刻粒子的坐標(biāo)和動量，則

不但在該時(shí)刻粒子的狀態(tài)完全確定，而且原則上還可以通過求解牛頓方程確定以

后任何時(shí)刻的坐標(biāo)和動量，從而確定以后任何時(shí)刻粒子的狀態(tài)。但在量子力學(xué)里,

粒子的運(yùn)動狀態(tài)用波函數(shù)描述。在某一量子態(tài)中測量坐標(biāo)和動量，一般地，坐標(biāo)

和動量不同時(shí)具有確定值。以平面波為例，平面波的動量P有完全確肯定的數(shù)值,

但它的振幅與空間坐標(biāo)無關(guān)，粒子在空間各點(diǎn)消失的幾率密度相等。換句話說，

粒子的位置坐標(biāo)是完全不確定的。一般說來，在量子力學(xué)中，除非必w(r,t)是平面

波,否則在以w(r,t)描述的粒子的量子態(tài)中測量動量p,將無確定值。因此，在任

一量子態(tài)w(r,t)中測量動量，由于每一個(gè)確定的動量都對應(yīng)一個(gè)確定的單色平面

波，故而實(shí)際上等于是將嗔r,t)按對應(yīng)于各種動量的平面波綻開，將w(r,t)視為由

各種單色平面波疊加而成的波。從數(shù)學(xué)上看，相當(dāng)于對cp(r,t)作傅里葉綻開

.(「/)=1.增dp0

(2成%

在傅里葉展式中，每個(gè)分波都是單色平面波，都有確定動量。在物理上，傅里葉

綻開相當(dāng)于作頻譜分析。()式中的綻開系C(p,t),表示用各種相應(yīng)的平面波疊加出

W(r,t)時(shí)，各種平面彼的幾率幅，或者說，在w(r,t)中，消失動量為p,能量為E的單

色平面波的幾率是|C(P，42。

在量子力學(xué)中，既可以用曬W)描述粒子的量子態(tài)，也可以用C(p,t)描述粒子的量

子態(tài)。由于按量子力學(xué)，|C(p,42給出在t時(shí)刻，在r處粒子消失的幾率密度。

由這個(gè)幾率密度，原則上可以算出在以w(r,t)描述的態(tài)中的各種可觀#11量的平均

值。同樣，給出在t時(shí)刻，動量為p的幾率密度。采用C(p,t),原則上也

可算出在同一量子態(tài)中的各種可觀測量的平均值。所不同的只是叭r,t)是量子態(tài)在

以r為自變量，在坐標(biāo)空間中的表示，而C(p,t)是量子態(tài)在以p為自變量，在動量

空間中的表示。它們是同一個(gè)量子態(tài)在兩個(gè)不同表象中的不同表示。這兩種表示

是完全等價(jià)的。關(guān)于表象理論，以及關(guān)于上述的坐標(biāo)空間及動量空間的嚴(yán)格意義,

我們將在第四章中作深化的研討。

采用復(fù)變函數(shù)論中的巴塞瓦等式，不難證明

jIc(p,dp=|^(r,dr=\0

亦即假如(P(r,t)是已經(jīng)歸一化的波函數(shù)，則C(p,t)也是歸一化波函數(shù)。

傅里葉綻開是將波綻開為無限多個(gè)單色平面波后帶權(quán)重C(p,t)的線性疊加。

在量子力學(xué)中，在波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋的意義下，我們將權(quán)重c(p,t)解釋為在O(r,t)中

消失動量為P的平面波e亭心“)/(2成)%的幾率幅。這里應(yīng)當(dāng)特殊強(qiáng)調(diào)，這種疊

加是線性的。而且這種疊加的“統(tǒng)計(jì)解釋”直接與測量聯(lián)系起來:在波f數(shù)州;，，)

中測量動量，測得動量的數(shù)值為P的幾率是{c(p,t)}2

自然，幾率波的蠶加不肯定非要由無窮多個(gè)波疊加而成。盈加的波的數(shù)目可

以是有限的，也可以不滿意傅里葉積分綻開或傅里葉級數(shù)綻開所必需滿意的各種

數(shù)學(xué)條件。在量子力學(xué)中，作為基本假定，引入一個(gè)特別根本的關(guān)于描述量子態(tài)

的幾率波疊加的態(tài)疊加原理：

假如必，，滬:，…，汽是體系可能的狀態(tài)，則它們的線性疊加所得出的波函

數(shù)

n

W=C"i+°2〃2+…。，必=EGW"(2-2.3)

i=l

也是體系的一個(gè)可能狀態(tài);當(dāng)體系處在護(hù)態(tài)時(shí)，消失必，的幾率是

{C,}丫汐Ci}Ef消失Y2的幾率是4c夕丫菩l(wèi)cx(2,”余類推?

在C2甲2.3)式中，n可以是有限的，也可以是無限的.這個(gè)原理稱為

態(tài)疊加原理。

現(xiàn)在對態(tài)疊加原理進(jìn)行一些爭辯：

(1)態(tài)疊加原理是一個(gè)和測量聯(lián)系特別親密的原理。在原理的敘述中，所

謂“當(dāng)體系處在必態(tài)時(shí)，消失滬，的概率是，！“…”這句話的準(zhǔn)確的意思是:設(shè)

體系處在必，態(tài)時(shí)，測量某力學(xué)量A得出的精確值為a,當(dāng)系統(tǒng)處A

得出的精確值為a:,一，則當(dāng)體系處在由必.，功:，…等態(tài)線性疊加而

成的狀態(tài)滬時(shí)，測量力學(xué)量A,所得到值既可能是a,,也可能是a:,一，消失a,

值的幾率是，C,,丫藝一C;,消失值的幾率是IC2}丫乙一c;}E余類推。也就

是說，測量力學(xué)量A得出的是一些可能值a,a:,…。但這些可能值的相對概率，

或者說，各個(gè)可能的狀態(tài)功)，必:，一的相對權(quán)重，是完全確定的。(2-2-3)式中的

疊加系數(shù)，給出了它們之間的相對權(quán)重。

(2)在0式中消失的疊加，是波函數(shù)，或者說，是概率幅的疊加，而不是概

率的疊加。因而它必定消失干涉、衍射等現(xiàn)象。仍以雙縫衍射為例。設(shè)通過第一

個(gè)縫的波函數(shù)為必、，其次個(gè)縫的波函數(shù)為滬:，同時(shí)開啟兩個(gè)縫后的波函數(shù)滬是

滬，和滬:的線性疊加

.=|。必+。2〃2『=|G%『=()

在(224)式中消失干涉項(xiàng)C廠幾叮必:十口Cg滬，叮。

(3)這里還要指出，在量子力學(xué)中，對于幾率波而言，波的干涉是描述粒子

運(yùn)動狀態(tài)的幾率波自身的干涉，而不是不同粒子之間的干涉。為說明這個(gè)問題，

爭辯一個(gè)一束偏振光通過檢偏片的例子。設(shè)光的偏振方向與晶袖的夾角為a。依

據(jù)光學(xué)中的馬呂斯定律，若入射光的強(qiáng)度為I。，則通過檢偏片后的光強(qiáng)I是

1=1。cos2a()

這表明，若光的偏振方向與晶軸平行，a=0時(shí)，光全部通過檢偏片;若相互垂直a=

叮2時(shí)，光被全部汲取。當(dāng)兩者之間的夾角為a時(shí)，原入射光強(qiáng)的cosZa通過檢

偏片，它的sin'a被汲取。

現(xiàn)在減弱入射光束的強(qiáng)度，假如我們能使裝置中的光強(qiáng)減到只讓一個(gè)光子入

射，則當(dāng)a二時(shí)，光子通過，并且光子的能量和偏振方向在通過檢偏片前后不變。

當(dāng)2~二時(shí)，光子被汲取。當(dāng)夾角為a時(shí)，在通過檢偏片后，既有可能觀測到光子,

也有可能觀測不到光子。觀測到光子的幾率是cosZa,觀測不到光子的幾率是sin

場。當(dāng)然，觀測到的光子總是一整個(gè)光子，而不是半個(gè)或者cosZa個(gè)光子。

將描述a=0時(shí)間子的波函數(shù)記為〃~二Iz時(shí)間子的波函數(shù)為必土.則當(dāng)夾角為

“時(shí)，描述光子狀態(tài)的波函數(shù)是

▼a=costz〃//+sintz憶()

再部分處在必1態(tài)，部分處在滬〃態(tài)的概率是COS'4k，處在丸態(tài)的概率是sin'a,()

式正是態(tài)疊加原理。單個(gè)光子的波函數(shù)滿意態(tài)疊加原理)式，說明單個(gè)光子的波

函數(shù)本身就有相干的現(xiàn)象.相干現(xiàn)象并非多個(gè)光子的集合才具有的性質(zhì)。這正是幾

率波和通常的水波，聲波等物質(zhì)波之間的重要區(qū)分。

(4)由于一般說來，滬依靠于時(shí)間，是，的函數(shù)，因此態(tài)益加原理不僅對某一

個(gè)時(shí)刻成立，而且隨著時(shí)間的變化，態(tài)疊加原理仍舊成立。這就暗含著必隨時(shí)間

演化的方程必定是線性方程，由于只有這樣，態(tài)蠶加原理才能在任何時(shí)刻都成立。

2.3薛定愕方程

在經(jīng)典力學(xué)中，體系運(yùn)動狀態(tài)隨時(shí)間的變化遵循牛頓方程。牛頓方程是關(guān)于

變量。的二階全微分方程，方程的系數(shù)只含有粒子的內(nèi)察物理量一質(zhì)量,。一旦初

始條件給定，方程將唯一地打算以后任何時(shí)刻的運(yùn)動狀態(tài)。

在量子力學(xué)中，體系的運(yùn)動狀態(tài)由波函數(shù)到r,t)描述。和經(jīng)典力學(xué)類似，也可

以建立一個(gè)打算必(r,t)隨，變化規(guī)律的方程式。從物理上看，這個(gè)方程必需滿意下

述條件：

(1)由于波函數(shù)滿意態(tài)疊加原理，而態(tài)疊加原理對任何時(shí)間都成立，因此描寫

波函數(shù)隨時(shí)間變化的方程必定是線性方程。

(2)方程的系數(shù)必需僅含有諸如質(zhì)量m,電荷e等內(nèi)察物理量，不應(yīng)含有和個(gè)

別粒子運(yùn)動狀態(tài)的特定性質(zhì)有關(guān)的量，比如動量

P等。此外，方程的系數(shù)應(yīng)含有普朗克常數(shù)，以表征這一方程確是

描述普朗克常數(shù)起打算作用的微觀世界中粒子的運(yùn)動方程。

(3)由于波函數(shù)滬的變數(shù)是r,t,因此它必定是個(gè)關(guān)于r和t的偏微分方程。我們

要求這個(gè)微分方程不高于二階，以便一旦初始條件和邊界條件給定后，方程能唯

一地確定以后任何時(shí)刻的波函數(shù)。由于依據(jù)數(shù)學(xué)物理方法中的史斗姆一劉維定理,

二階正規(guī)的偏微分方程的解，存在唯尸一性定理成立。

(4)由于經(jīng)典力學(xué)是量子力學(xué)的極限狀況，因此這個(gè)方程必需滿意對應(yīng)原理:

當(dāng)A~。時(shí)，它能過渡到牛頓方程。

(5)對于自由粒子這一特殊狀況，方程的解應(yīng)是平面波。

當(dāng)然，只有這些條件，不足以惟一地打算所需要的描述隨時(shí)間變化的方程。

上面的這些條件，只為建立方程供應(yīng)了一些必要的條件，可建立方程以啟迪。

依據(jù)條件(5),將平面波()式分別對t和x,y.z求為微商后得

式中，算符，在非相對論條件下，對于自由粒子，能量只有動能，滿意.及動

能表示式得()式表明，至少對于自由粒子來說，平面波的解是方程(223)的

一個(gè)特解。由(2.3.3)及(2.3.2)式有可看出，能量和動量作用在波函數(shù)上的結(jié)

果與用算符作用在波函數(shù)上的結(jié)果相同。即存在著對應(yīng)關(guān)系

1926年，薛定誘推廣上述則至一般狀況，建立了描述波函數(shù)演化規(guī)律的薛定

謂方程。設(shè)單粒子體系的哈密頓量為

采用對應(yīng)規(guī)章()式將能量，動量均用算符表示，并作用在波函數(shù)上得

()式稱為薛定謗方程。對多粒子體系，其哈密頓量是

薛定譚方程是

明顯，薛定謂方程是滿意必要條件(1)(2)(3)(5)。關(guān)于必要條件(4),

以后將證明，當(dāng)時(shí)，精確到的零次幕，薛定謂方程將多度到經(jīng)典分析

力學(xué)的哈密頓-雅可比方程。至于力學(xué)量和算符懂的對應(yīng)關(guān)系()式，在第三章中

將進(jìn)一步闡述。

由于我們所選用的哈密頓量H是非相對論，因此薛定港方程只適用于非相對

論狀況。

關(guān)于薛定謂方程，留意：

(1)薛定港方程是量子力學(xué)的基本假定之一，是整個(gè)波動力學(xué)的基礎(chǔ)，

其地位與牛頓方程在經(jīng)典力學(xué)中的地位相仿。必需指出，在本節(jié)中

我們并未建立薛定謬方程，即使對自由粒子的狀況也同樣。由于嚴(yán)

格說來，只知道微分方程的解不足以建立微分方程。

(2)應(yīng)當(dāng)指出，采用算符對應(yīng)關(guān)系()式以構(gòu)造薛定謬方程簡單引起一

些混淆。這表現(xiàn)在：

1對應(yīng)關(guān)系()式是個(gè)帶微分商算符。通常，一般的微商算符不具有坐標(biāo)變

換下的不變性，即微商算符不是協(xié)變的。為了說明這個(gè)問題，不妨以二維自

由粒子在極坐標(biāo)下的薛定青方程

下的解。由于在卜2b處，勢場為無限大，因此粒子消失的幾率為零。薛定

力2d-(p

謗方程和邊界t件為=Ecp(J1<a)

2mdx1

0

在區(qū)域內(nèi)的通解是:

1/2

2mE

a-0

采用邊界條件9/『=0及9/1=0,得

-Asino(a+Bcosaa=00

解是:

(i)A=0,coscxa=0,a=---,(n是奇數(shù))

2a

n兀

(ii)B=O,sino(a=0,a=——，(n是偶數(shù))

2a

代入0后得出體系的能級是

歸一化后的波函數(shù)是：

0卜>a)

0

對于基態(tài)，n=l,從()式得基態(tài)能量是EI=〃2%2%/陽2,對于激發(fā)態(tài)，能級

En與d成正比。能級的分布是不勻稱的。由于波函數(shù)處只局限在W<a的勢阱

內(nèi)，無窮遠(yuǎn)處的波函數(shù)為零，粒子不行能消失在無窮遠(yuǎn)處。我們把粒子只能束縛

在空間的有限區(qū)域，在無窮遠(yuǎn)處波函數(shù)為零的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。一維無限深勢阱

給出的波函數(shù)全部是束縛態(tài)波函數(shù)。

由()式可見，n=l時(shí)，基態(tài)波函數(shù)在整個(gè)兇<a區(qū)間中無零點(diǎn)。這種零點(diǎn)亦稱

為節(jié)點(diǎn)?；鶓B(tài)波函數(shù)無節(jié)點(diǎn)。當(dāng)n=2時(shí)，％(x=0)=0，第一激發(fā)態(tài)在的

區(qū)間中有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，余類推?？梢宰C明，外有(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)。

此外，從()式還可證明，當(dāng)n分別是奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，滿意：

9〃(一》)￥〃(七)(n為奇數(shù))

Y

(一x)(x)(n為偶數(shù))。

即，n是奇數(shù)時(shí)，波函數(shù)是x的偶函數(shù)，我們稱這時(shí)的波函數(shù)具有偶宇稱；

當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，波函數(shù)是x的奇函數(shù)，我們稱這時(shí)的波函數(shù)具有奇宇稱?？梢宰C

明，在一維狀況下，只有在勢場滿意U(x)=U(-x),是x的偶函數(shù)時(shí)，波函數(shù)才

具有確定的宇稱。

從()式還可看出，在卜<4的區(qū)間內(nèi)，波函數(shù)實(shí)際上可看成是一個(gè)由左向右

i(n7th-迺

T-—x-Entif-E.t

傳播的行波和另一個(gè)由右向左傳播的行波e認(rèn)2。疊加而成的駐

波。這個(gè)結(jié)果是很自然的。由于邊界條件是0在x=±。處為零。它的解就像一根

兩端固定的弦，滿意波動方程的解是一系列駐波。

問題1若將勢能為零的區(qū)間放大或縮小一倍，間體系的能級和波函數(shù)如何變

化？

問題2若將整個(gè)勢能曲線向右移動距離a,即令Ur(x)=0

(0<x<2a)

(x

<0,x>2a

)

時(shí)，體系的能級和波函數(shù)如何變化?這時(shí)的波函數(shù)還有沒有確定的宇稱？

2.一維方勢阱

求解勢場U(x)為U(x)=「0(|x|<a/2)

Y

-U0(|x|>a/2)

()

的薛定譚方程。爭辯E〈Uo的狀況。在W>〃/2區(qū)，相應(yīng)的薛定謬方程是

12

一Y-k2(p=0(|R>Q/2)()

k'=-j2m(U0()

在X-A±8時(shí)，0有界的解是

Be'"(x(-a/2)()

在W<〃/2區(qū)，薛定謂方程是

d2(p

+k2(p=Q

dx2

(P=Asinkx+B'coskx(2.4.14)

依據(jù)2.3關(guān)于邊界條件的爭辯，可知雖則勢能在x=±a/2處有間斷點(diǎn)，但波

函數(shù)0和波函數(shù)0對x的一級微商夕'在x=±a/2處仍舊連續(xù)。采用夕和°’的連

續(xù)條件可給出解的系數(shù)所滿意的關(guān)系式。為便利起見，分兩種狀況爭辯：

⑴在兇＜。/2區(qū)，取9(x)=cos左x,解具有偶宇稱的狀況

由于。"在x=+a/2處連續(xù)，因此e=(in時(shí)即對數(shù)微商在x=±a/2處也

(P

連續(xù)。采納對數(shù)微商的連續(xù)條件有時(shí)比直接用0和°,的連續(xù)條件更優(yōu)越。由于對

于e'/Q,0函數(shù)的歸一系數(shù)已被消去。也就是說，它已經(jīng)將由0和°,的連續(xù)條

件分別給出的兩個(gè)方程式通過相除而變成一個(gè)方程式，從而將兩式中一些相同的

系數(shù)消去。采用x=a/2處波函數(shù)對數(shù)微商的連續(xù)條件可得

A;tan—=k'()

2

k0

同理，由d/勿在x=-a/2處的連續(xù)條件又可得左tanj^=〃，與()式相同。引

入

?ka?k'a八

J=——;自=——()

22

可將()式改寫為

JtanJ=〃()

此外，由()和(2.4.13)式又可得

()

聯(lián)立()及(2.4.18)式，解出自川，再由(2.4.16)式可給出能譜。

(ii)在兇<。/2區(qū)，取9(x)=sin左x,解具有奇宇稱的狀況

同樣，采用波函數(shù)對數(shù)微商在x=±a/2處的連續(xù)條件可得

即

若cotj=〃()

同樣，聯(lián)立()一(2.4.19)式可求出相應(yīng)的能譜。

()-(2.4.19)都是超越方程，可以用圖解法求出能譜。在〃平面中分別

就(2.4.17)—(2.4.18)作出相應(yīng)的曲線，曲線的交點(diǎn)表示波函數(shù)有偶宇稱時(shí)相應(yīng)

的能譜。同樣，作出(2.4.19)式相應(yīng)的曲線，它與(2.4.18)式作出的曲線的交點(diǎn)表示

波函數(shù)有奇宇稱時(shí)相應(yīng)的能譜。所得結(jié)果如圖2.4.1所示。

由圖可見，對于偶宇稱態(tài)(圖2.4.1a),由于〃=JtanJ曲線經(jīng)過原點(diǎn)，因此

rvjTJZ7

無論Uoa2多么小，曲線長+7f=2涓與〃=、tan1g總有交點(diǎn),這意味著至

少有一個(gè)束縛態(tài)，且這個(gè)束縛態(tài)相應(yīng)的宇稱為偶。對于奇宇稱態(tài)，由圖2.4.1b可

見，當(dāng)且僅當(dāng)“+〃2=—卜27r2/4時(shí)，即當(dāng)Uoa2N一7丁時(shí)，曲線才有交

2h

點(diǎn)，才消失奇宇稱態(tài)解。

明顯，一維無限深勢阱的結(jié)果可作為一維方勢阱的特例得出。的確，當(dāng)

Uo—>co時(shí)，k，―>℃>,TJ―>oo方程()化為

JtanJf8,J=("+1/2)乃(n=0,l,2,....)

方程()化為-JcotJf00,="乃(n=l,2,...)

合并上兩式，可得

n兀

V(n=l,2,...)

能級是

這正是勢阱寬度為a的一維無限深勢阱的能譜公式。

力之

問題1假定Uoa32=/4^,畫出一維方勢阱的基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)，其次激發(fā)

態(tài)波函數(shù)，并爭辯這些態(tài)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

問題2求一維半壁無限高勢壘

條件下薛定謗方程的解。在這種狀況下，是否Uo取任何值總有至少一個(gè)束縛態(tài)

存在？

2.5一維諧振子

一般說來，間斷型的勢場并非嚴(yán)格意義下的物理勢場。U(r)在物理上應(yīng)當(dāng)是r

的連續(xù)函數(shù)。本節(jié)將爭辯一維諧振子勢場下薛定謬方程的解。在物理上，任何連

續(xù)振動的體系，都可等價(jià)地看成是無窮多個(gè)諧振子的集合。輻射場可以看成是無

窮多個(gè)諧振子振動發(fā)出的簡諧波的疊加。固體中的晶格振動，原子核的表面振動，

分子與分子之間的相互作用勢，核子與核子之間的核力勢，這些勢場在平衡點(diǎn)四

周的綻開等等，都涉及諧振子。一維諧振子的爭辯在

量子力學(xué)中是特別重要的，它有很多實(shí)際應(yīng)用。

一維諧振子的哈密頓量是

H弋+5m爐》

。是振動頻率。按對應(yīng)規(guī)章()式量子化后，其相應(yīng)的薛定謂方程是

2

力2d1

+—mco0(x)=E(p(x)()

2mdx12

引入無量綱變數(shù)

J=ax,a=

可將方程()改寫成

其中

2=IE/Tia>()

通常，在求解常微分方程時(shí)，常采納“抓兩頭，帶中間”的“策略”。所謂“抓

兩頭”，是指先看方程在“兩頭”的漸近行為。在三維狀況下是看在零點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)

點(diǎn)的漸近行為；在一維狀況下是看在正、負(fù)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的漸近行為。然后再“帶中

間”，作一個(gè)變換，使函數(shù)在兩頭有漸近行為規(guī)定的形式。先“抓兩頭”。方程()

在Jf±oo時(shí)的漸近行為是

為使自一土00時(shí)，0不發(fā)散，只能取0一形式的解。再“帶中間，，作變換

痣)=8停片2/2()

以保證0在無窮遠(yuǎn)處的行為必定有漸近行為規(guī)定的形式。將()式代入(2.54)式后可

得H6)滿意的方程式為

^-^-2^—+(2-l)H=0()

除無窮遠(yuǎn)點(diǎn)外，方程()在全平面解析。對Ht)作泰勒綻開

00

H⑹二0

u=0

(2.5.8)式代入(257)式，由片項(xiàng)的系數(shù)為零，得遞推關(guān)系式。即由

得

2u—A+1

“"+2=3+1)3+2)。°

當(dāng)oo時(shí)，級數(shù)()式的行為是

4+2-2

----7-0

a。U

由于級數(shù)

0

相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之比當(dāng)00時(shí)也有2的形式。因此當(dāng)J很大時(shí)，H（J）與e鏟的

V

行為相同。于是在（）式中，若H仔）為無窮級數(shù)時(shí)趨于無限大。為求出oo時(shí),

仍為有限的波函數(shù)夕仁），H（J）必需中斷為多項(xiàng)式。由于假如Ht）是多項(xiàng)式，當(dāng)

Jfoo時(shí)，它趨于無窮的行為永久比"身〃趨于零慢，從而保證了9仁）當(dāng)

Jfoo時(shí)有限。

由遞推關(guān)系（259）式可見，當(dāng)取

2=2ra+l（n=0,l,2,...）（）

時(shí)，an+2,an+4均為零。這樣給出的。。。稱為厄米多項(xiàng)式。它有兩組獨(dú)立的線性無

關(guān)的解，分別由。。。及。。。給出，。。。的形式為

2

Hn仁）=（2打-n（n-1）（2^）^+“（〃-血-2）（〃-3）儂廣4+…十（_^［f］普儂廣工］

式中n/2（n為偶數(shù)）

（n-l）/2（n為奇數(shù)）（）

這里已按通常用慣選取最高次幕的系數(shù)a=2n來定級數(shù)的系數(shù)。將（2.5.12）代入

（2.5.5）,得

En+力①（n=0,1,2,...）O

En表示一維諧振子的能級。一維諧振子兩個(gè)能級之差為

E〃+1—E〃=力。（）

這正是普朗克為解釋黑體輻射試驗(yàn)規(guī)律時(shí)所引入的假定。于是，我們就從薛定港

方程比較自然地導(dǎo)出了普朗克假設(shè)。不僅如此，量子力學(xué)還給出，一維諧振子具

有零點(diǎn)能

Eo=5■方。()

這是經(jīng)典諧振子所沒有的，也是普朗克假設(shè)所沒有的結(jié)果。諧振子的零點(diǎn)能是量

子效應(yīng)。以后將證明，它也是不確定性原理所要求的最小能量。

一維諧振子的波函數(shù)是

2

(p(x)=NneHn(ca)。

Nn是歸一化系數(shù)，滿意

a1/2

N.()

^■1/22,!n!

厄米多項(xiàng)式H“仔)具有如下性質(zhì):

(1)"〃仁)可寫成

/團(tuán)=(T)32評)0

(2)H,,怎)的生成函數(shù)是

-?+2gv_yn

C—7o0

n=04

(3)正交性

oo

J凡斯0

(4)遞推關(guān)系

H〃+G)-2資解)+2/汨-府)=00

H；G)=24G)0

(5)最低級的幾個(gè)厄米多項(xiàng)式是

H0t)=1,”府)=2J,H2t)=4"-2,%?=苗—1紜()

相應(yīng)的最低幾個(gè)諧振子波函數(shù)是

/\\T^~-a2x2

%(x)=F7e2

71

i\_43a(222

^3\x)=~^'cc\\ax-l\e-0

(6)由于

因此諧振子的波函數(shù)9(x)滿意

%(-％)=(T)"0”(x)0

n的奇偶性打算了(x)的奇偶性。一維諧振子波函數(shù)的字稱是(-1)%

__2x2

(7)由于因子e2a無節(jié)點(diǎn)，因此巴,(x)的節(jié)點(diǎn)數(shù)和”“(皈)的節(jié)點(diǎn)數(shù)相同

%,(x)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)。最終對經(jīng)典諧振子和量子諧振子作一對比。對于處在基

態(tài)的量子諧振子，其波函數(shù)的振幅Mo(x/在x=0處有極大值，表示諧振子

在x=0處消失的幾率最大。但對于經(jīng)典諧振子，在x=0處，勢能

U(x)=-^ma)2x2=0,是微小值。因此動能Ek在x=0處極大。相應(yīng)地粒子

通過x=0的率也極大，粒子在x=0處逗留的時(shí)間極短，消失的幾率最小。經(jīng)

典狀況和量子狀況正相反。再看基態(tài)能量品=4方。假如用經(jīng)典的方式考

2

察，若基態(tài)能量等于勢能，即若

=U[x}=^ma)2x1()

得

時(shí)，動能為零。粒子只能局限在|aW1的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動。單擺就是個(gè)很好的例子，

它的擺幅只能局限在肯定范圍內(nèi)。但對量子力學(xué)，狀況就完全不同了。粒子消失

在空間某一范圍的概率由波函數(shù)振幅的平方對該范圍積分的值給出。對于基態(tài)波

函數(shù)，粒子消失在ax>l區(qū)域中的幾率是

斯/「”2"=0.16()

這些結(jié)果說明，對于基態(tài)，經(jīng)典結(jié)果和量子結(jié)果有很大的區(qū)分。

圖畫出了諧振子n=0,1,2,3,4的最低幾個(gè)波函數(shù)%（x）及匾㈤［圖中，

勢用長虛線畫出，它是一條拋物線。束縛態(tài)的能譜用右邊的水平線指出。這些水

平線在左邊畫成短虛線，用這些短虛線分別作為圖（a）中°.（x）的零線和圖（b）

中展（"2的零線。

但是，當(dāng)n很大時(shí)，可以證明，量子狀況和經(jīng)典狀況的區(qū)分不大。在經(jīng)典力

學(xué)中，在。xfx+西中找到質(zhì)點(diǎn)的概率與在dx區(qū)間中粒子逗留的時(shí)間dt成正

比，即有

對于諧振子，x=asin+5）,在x點(diǎn)的速率u為

/2\-1/2

即0（x）與1-三成正比。圖畫出了n=10時(shí)的及其經(jīng)典的對比。虛

Va7

線表示經(jīng)典的幾率密度。由圖可見，量子狀況和經(jīng)典狀況的區(qū)分僅在于繞

平均值快速振蕩。在n越大時(shí)，經(jīng)典的幾率密度與量子的幾率密度越相像。

2.6一維薛定愕方程的普遍性質(zhì)

一維定態(tài)薛定謗方程具有很多特別重要的普遍性質(zhì)。采用這些性質(zhì)，有助于

求薛定謬方程的解；或找出解后，驗(yàn)證解的正確性。或者直接畫出波函數(shù)，把握

波函數(shù)給出的物理圖象。

這些普遍性質(zhì)，總結(jié)如下：

（1）一維非奇性勢的薛定謂方程的束縛態(tài)無簡并。

在量子力學(xué)中，常把一個(gè)能級對應(yīng)多個(gè)相互獨(dú)立的能量本征函數(shù)，或者說，

多個(gè)相互獨(dú)立的能量本征函數(shù)具有相同能量本征值的現(xiàn)象稱為簡并。而把對應(yīng)的

本征函數(shù)的個(gè)數(shù)稱為簡并度。但對一維非奇性勢的薛定調(diào)方程，可以證明一個(gè)能

量本征值對應(yīng)一個(gè)束

縛態(tài)，無簡并。由薛定謗方程

空+符E-U（x）bO（）

可見，若。。。和。。。對應(yīng)同一個(gè)能量E,且U（x）無奇性，則

，/"-耨E-U（X）］=0；/02（）

即

必我_她=（必%—=。（）

M02-必a-const（）

若必和62君為束縛態(tài)，必滿意玖|=0,。|=0的邊界條件。采用這個(gè)

條件，可定出（）式中的積分常數(shù)為零：

即（In，）=0,必=%（）

02

?I和5只能差一個(gè)常數(shù)因子C,因此它們表示同一個(gè)束縛態(tài)。

（2）一維束縛態(tài)波函數(shù)可取為實(shí)函數(shù)

由于勢場U（x）是實(shí)函數(shù)，故〃和-*滿意同樣的一維定態(tài)薛定謗方程，且具

有相同的能量E。按性質(zhì)（1）,-*與〃只能差一個(gè)常數(shù)因子

，二C〃（）

或

“=c*“*=c*c〃=|c（）

故常數(shù)C=e/e,3為實(shí)數(shù)。在非相對論量子力學(xué)中，由于波函數(shù)的相角不

確定性，無妨選擇6=0,而使〃"=〃，波函數(shù)取為實(shí)數(shù)。

（3）一維束縛態(tài)本征函數(shù)的一般圖象如下：

由。式可知：當(dāng)U（x）＜E時(shí)，力"與〃反號。當(dāng)〃＞0時(shí)，步＜0,波函數(shù)是個(gè)

凸函數(shù)；當(dāng)〃〈0時(shí)，力＞0,波函數(shù)是個(gè)凹函數(shù)。這時(shí)將消失振蕩解（圖2.6.1）。

當(dāng)U（x）＞E時(shí)，/和〃同號。當(dāng)〃＞0時(shí)，“〉0,波函數(shù)是個(gè)凹函數(shù)；當(dāng)〃〈0

時(shí)，步＜0波函數(shù)是個(gè)凸函數(shù)。這時(shí)將消失指數(shù)型的衰減解（圖）。

采用波函數(shù)這些圖象，可以畫出在各個(gè)不同勢能區(qū)內(nèi)的波函數(shù)，然后通過邊

界上的連接條件得出波函數(shù)的草圖。反之，若已知波函數(shù)的圖象，也可定性地給

出勢場U（x）的大致形式。

問題1采用一維束縛態(tài)本征函數(shù)在各個(gè)不同勢能區(qū)的圖像，畫出一維方勢阱

的基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的草圖。

問題2一個(gè)粒子在一維勢場U(x)中運(yùn)動。它的兩個(gè)實(shí)數(shù)的定態(tài)本征函數(shù)

"B,如圖所示。畫出勢場U(x)的草圖，并標(biāo)出相應(yīng)于這兩個(gè)定態(tài)的能量。若

還存在一個(gè)定態(tài)，它所相應(yīng)的能量比上兩個(gè)能量低，畫出它的本征函數(shù)。

(4)一維薛定謬方程的朗斯基式(Wronskian)。

上面對一維薛定愕方程解的性質(zhì)作了一些定性的、物理的爭辯。為進(jìn)一步爭

辯一維薛定謗方程的普遍性質(zhì)，現(xiàn)在爭辯一維薛定謗方程的數(shù)學(xué)特色，主要爭辯

它的朗斯基式。

￡=弊W2〃吧),()式可改寫為〃”+v(x)]〃=0

hh

(2.6.8)

設(shè)實(shí)函數(shù)勢場U(X)有下界，且在整個(gè)區(qū)間(-8,+8)中分段連續(xù)。定義函數(shù)

的朗斯基式為

/\W〃2,,

三,二三一〃2-1()

叭-2

卬(夕],仍)具有下述性質(zhì)：

⑴卬(夕1，02)對交換91和。2，具有反對稱性。

(ii)若在x=xo時(shí)，卬(9],夕2)=。，則在x=xo。點(diǎn)內(nèi)和處的對數(shù)微商相等。的

確，由

得

(iii)若W(91，02)在X的整個(gè)區(qū)間(-8,內(nèi))中恒為零,則%=C%,C是常

數(shù)。

問題3采用朗斯基行列式的上述性質(zhì)，證明一維束縛態(tài)的性質(zhì)(1)和(2)。

(iv)朗斯基定理：若%和處分別是方程

9；+及(》)9]=0()

(P\+F](x)%=。()

的解，而且在區(qū)間(a,b)中函數(shù)Fi(x)和F?(x)分段連續(xù)，則它們的朗斯基式滿意

證明：以巴乘()，以91乘(2.6.11),相減后得

[%/-%%']+(片-與加血=0

()式左端第一項(xiàng)等于-"WSi'%)移項(xiàng)積分后即得(2612)式。證畢。

dx

將朗斯基定理應(yīng)用于0,令名和力分別是方程(268)式對應(yīng)于￡=?及

￡=%的兩個(gè)解，則明顯有

W(91，%)=(劣-4)『9192dx

由()式可見，若￡1=%，則卬(。1,02)與X無關(guān)。

(V)關(guān)于波函數(shù)的對數(shù)微商隨能量本征值變化的定理

記0(x,￡),是方程()的解。它的對數(shù)微商記為@0=f(x,￡),f(x,￡)

dx

在x=a點(diǎn)有固定值f(x,￡)0則有

1-就近8加0

因此，對于固定的x,f是￡的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)x<a時(shí)，?>01是￡

ds

的單調(diào)提升函數(shù)；當(dāng)x>a時(shí)，2<0,,￡是￡的單調(diào)下降函數(shù)。

ds

證明：給定x=a點(diǎn)波函數(shù)0的值及夕的值，令

(p(aQ=(Pa,0(。,￡)=9°

則由于邊界條件給定，方程(()的解完全打算?，F(xiàn)在轉(zhuǎn)變￡但保持邊界條件不變

°(%￡)是￡的連續(xù)函數(shù)，記兩個(gè)無限接近的值￡,￡+原所對應(yīng)的兩個(gè)無限接近

的波函數(shù)為0,(p+8(p,在區(qū)間(a,b),由(2.6.14)式得

W(0,(p+5(p)=-&^(p2dx()

又因W(0,(p+8(p)=cp{(p+8(pS-{cp+8(p)(p

=cp&p-(pSep=W(%麗)

而竽=2—=c

dX』夕m

故在x=a點(diǎn)有

W((P,

(p+Sep)|_=W((p,6(p)|_=f(a.e\(p6(p-(p8(p)=0

另一方面，對任何x的值，均有

W(o，(p+B(p)=W?&p、=(p&p-cp&p

=(p'3—=(p2Sf()

將()式代入(2.6.16)式，留意到(2.6.17)式，得

換言之，即

這就是()式，證畢。

留意，在上述證明中，只要求U(x)分段連續(xù)，且有下界，與勢場的詳細(xì)外形

無關(guān)，因此，它是個(gè)特別普遍的定理。

(5)能量本征函數(shù)的漸近行為。

一維薛定謗方程()式的通解在區(qū)間(-oo,^o)的漸近行為依靠于x->±8時(shí)E

-U(x)的符號。以Xf+oo為例?？梢宰C明：

當(dāng)E>U(x)時(shí)，9(x)f加111(丘+9)其中A0是任意常數(shù).°(x)在無窮遠(yuǎn)處

的漸近解是振蕩解，

當(dāng)E<U(x)時(shí)，9⑴有一個(gè)x-?8時(shí)趨于零的特解，形式為

9(x)fe印(-Me),其中M是某一大于零的常數(shù)。

上面的結(jié)果可以用朗斯基定理及朗斯基行列式的性質(zhì)予以證明。有愛好的讀

者可以自己試證。

問題4試寫出％f-8時(shí)，當(dāng)E>U(x)和E<U(x)時(shí)，波函數(shù)夕(%)的漸近形

式。

(6)本征值譜的性質(zhì)。

記。。。，且為確定起見，設(shè)。。。則

⑴當(dāng)E>U一時(shí)，在區(qū)間的兩端E一U(x)恒正，因此本征函數(shù)是振蕩

解。本征值是連續(xù)譜，而且二度簡并。由于在X-±8時(shí)，波函數(shù)不趨于零，因

此這是非束縛態(tài)解，表示散射態(tài)。

(ii)當(dāng)U〉E>U+時(shí)，在處,E—U(x)為負(fù)，因此在這個(gè)漸近區(qū)中只有

一個(gè)指數(shù)衰減的解保持有界。在另一個(gè)漸近區(qū)中，在xf+8處，E—U(x)為

正，它的解是個(gè)無限振蕩的解。在這種狀況下的本征值譜是連續(xù)的，且無簡并。

相應(yīng)的解也是非束縛態(tài)解。

(iii)當(dāng)E<U+時(shí)，本征值譜分立，是束縛態(tài)解。這時(shí)的解無簡并。采用朗斯基

式可以對上述結(jié)果作一說明。由于E-U<x)在兩漸近區(qū)均為負(fù)，若存在束縛態(tài),

它必定是個(gè)指數(shù)衰減的解且在正、負(fù)無窮遠(yuǎn)處為零。但它只對分立的E值存在。

事實(shí)上，若令心為在x->-8時(shí)為零的解，0為Xf+8時(shí)為零的解f一和f+分

別是它們在x軸某一有限點(diǎn)處的對數(shù)微商，則當(dāng)且僅當(dāng)在x軸某一點(diǎn)處°=9+且

(=以時(shí)，相應(yīng)的E才是本征值.采用波函數(shù)的對數(shù)微商隨能量本征值變化的定

理，對于固定的x,若取a=+8是個(gè)單調(diào)提升函數(shù)；同理，若取a=-o),f是個(gè)單

調(diào)下降的函數(shù)，因此這兩個(gè)函數(shù)相等時(shí)給出的E值必定是分立的，且必?zé)o簡并。

(7)束縛態(tài)的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

基態(tài)無節(jié)點(diǎn)?？梢宰C明，若按能量遞增的方式排列束縛態(tài)，每提高一個(gè)，多

一個(gè)節(jié)點(diǎn)。即第一個(gè)激發(fā)態(tài)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，第n個(gè)激發(fā)態(tài)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，余類推。

現(xiàn)在說明上述結(jié)論。取相鄰的兩個(gè)本征函數(shù)%和%為實(shí)數(shù)，相應(yīng)的能量

4〉￡i，并取巧兩個(gè)順著次序的零點(diǎn)a和b為積分限，則由(2.6.14)式得

02%=&-ejfW2dx()

在區(qū)間(a,b)中，回同號，不失普遍性，取為%>0,由于a,b分別是力的零點(diǎn),

故必有%'0)<0,因而％在區(qū)間(a,b)中確定變號。如若不然，則

方程(2.6.19)式右端必定與02同號，但左端必與%反號，從而沖突。故。2在(4b)

至少必有一個(gè)零點(diǎn)。

設(shè)的有m個(gè)節(jié)點(diǎn)，則這些節(jié)點(diǎn)必定將(-8,+，。)區(qū)間分為m十1個(gè)分區(qū)間。

在每一個(gè)分區(qū)間，至少有一個(gè)零點(diǎn).因此為至少有ni+1個(gè)零點(diǎn)。

采用波函數(shù)對數(shù)微商隨能量變化的定理，可以進(jìn)一步依次證明，基態(tài)無節(jié)點(diǎn)，

其次個(gè)本征函數(shù)即第一激發(fā)態(tài)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，……第n個(gè)本征函數(shù)有(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)。

作為練習(xí)，請讀者自己證明。

(8)若勢場U(x)具有偶對稱性

U(x)=U(-x)()

則束縛態(tài)本征函數(shù)9(x)可具有確定的宇稱。

證明，當(dāng)xf-x時(shí)，由于U(x)=U(-x),故H不變，若夕⑴是H相應(yīng)

于能量本征值E的本征函數(shù)

H夕⑴=E(p[x)

則H(p(-x)=E(p(-x)

仍舊保持正確，因此偶函數(shù)9(x)+0(-X)。和奇函數(shù)夕(%)-夕(-x)是相應(yīng)于同一

個(gè)本征值E的本征函數(shù)，而且9(x)+°(-x)。及°(x)-0(-x)兩個(gè)函數(shù)不行能

同時(shí)為零。

對于束縛態(tài)，本征值E不簡并。9(x)只能是9(x)+0(