第42講 平面向量的概念及線性運(yùn)算（六大題型）（講義）（原卷版）-2025數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含2024年高考真題+回歸教材）

6/20第01講平面向量的概念及線性運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：向量的有關(guān)概念 4知識(shí)點(diǎn)2：向量的線性運(yùn)算 4知識(shí)點(diǎn)3：平面向量基本定理和性質(zhì) 5知識(shí)點(diǎn)4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算 7解題方法總結(jié) 7題型一：平面向量的基本概念 8題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問(wèn)題 9題型三：共線定理及其應(yīng)用 10題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用 12題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 15題型六：向量共線的坐標(biāo)表示 1604真題練習(xí)·命題洞見(jiàn) 1605課本典例·高考素材 1706易錯(cuò)分析·答題模板 19易錯(cuò)點(diǎn)：忽視平面向量基本定理的使用條件 19答題模板：用基底表示向量 19

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）向量的有關(guān)概念（2）向量的線性運(yùn)算和向量共線定理（3）平面向量基本定理和性質(zhì)（4）平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算2024年I卷第3題，5分2024年甲卷（理）第9題，5分2023年北京卷第3題，5分2022年I卷第3題，5分2021年乙卷（文）第13題，5分2022年乙卷（文）第3題，5分通過(guò)對(duì)近5年高考試題分析可知，高考在本節(jié)以考查基礎(chǔ)題為主，考查形式也較穩(wěn)定，考查內(nèi)容一般為平面向量基本定理與坐標(biāo)運(yùn)算，預(yù)計(jì)后面幾年的高考也不會(huì)有大的變化．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義．（2）掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義．（3）了解平面向量基本定理及其意義（4）會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)1：向量的有關(guān)概念（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（或模）．（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度，記作．（3）特殊向量：①零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．②單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向量平行．④相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．【診斷自測(cè)】下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則知識(shí)點(diǎn)2：向量的線性運(yùn)算（1）向量的線性運(yùn)算運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運(yùn)算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算（1）（2）當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相同；當(dāng)時(shí)，【注意】（1）向量表達(dá)式中的零向量寫(xiě)成，而不能寫(xiě)成0．（2）兩個(gè)向量共線要區(qū)別與兩條直線共線，兩個(gè)向量共線滿足的條件是：兩個(gè)向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系．（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)兩個(gè)向量的起點(diǎn)必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量；運(yùn)用三角形法則時(shí)兩個(gè)向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件．（4）向量加法和減法幾何運(yùn)算應(yīng)該更廣泛、靈活如：，，．【診斷自測(cè)】（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)3：平面向量基本定理和性質(zhì)1、共線向量基本定理如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．2、平面向量基本定理如果和是同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)的任一向量，都存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為，叫做向量關(guān)于基底的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內(nèi)的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個(gè)線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．推論1：若，則．推論2：若，則．3、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問(wèn)題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB4、三點(diǎn)共線定理平面內(nèi)三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點(diǎn)．此定理在向量問(wèn)題中經(jīng)常用到，應(yīng)熟練掌握．A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在，使得．5、中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．DDACB【診斷自測(cè)】在中，已知D是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．1知識(shí)點(diǎn)4：平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算（1）平面向量的坐標(biāo)表示．在平面直角坐標(biāo)中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作．（2）向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的，即有向量向量點(diǎn)．（3）設(shè)，，則，，即兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．若，為實(shí)數(shù)，則，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用該實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)．（4）設(shè)，，則=，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)．（5）平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算①已知點(diǎn)，，則，②已知，，則，，，．，【診斷自測(cè)】已知點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．解題方法總結(jié)（1）向量的三角形法則適用于任意兩個(gè)向量的加法，并且可以推廣到兩個(gè)以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．即．（2），當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．（3）特別地：或當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)為時(shí)或者兩向量共線時(shí)，向量不等式的等號(hào)成立．（4）減法公式：，常用于向量式的化簡(jiǎn)．（5）、、三點(diǎn)共線，這是直線的向量式方程．題型一：平面向量的基本概念【典例1-1】（2024·高三·福建廈門(mén)·開(kāi)學(xué)考試）下列命題不正確的是（

）A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量B．零向量的長(zhǎng)度等于0C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D．若，，則【典例1-2】給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；③若(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若，則與共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【方法技巧】準(zhǔn)確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關(guān)鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個(gè)向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，兩個(gè)向量方向相同且長(zhǎng)度相等，就是相等向量．共線向量或相等向量均與向量起點(diǎn)無(wú)關(guān)．【變式1-1】下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則與不是共線向量【變式1-2】設(shè)是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．與的方向相反 B．與的方向相同C． D．題型二：平面向量的線性運(yùn)算及求參數(shù)問(wèn)題【典例2-1】若，則的取值范圍是（

）A．[3，7] B． C． D．【典例2-2】在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【方法技巧】（1）兩向量共線問(wèn)題用向量的加法和減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為需要選擇的目標(biāo)向量即可，而此類問(wèn)題又以“爪子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．（2）進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求解．（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解．【變式2-1】如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)E滿足，則（

）．A． B． C． D．【變式2-2】（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（

）．A．1 B．-1 C． D．【變式2-3】已知矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若（，為實(shí)數(shù)），則（

）A． B． C． D．【變式2-4】（2024·高三·安徽·開(kāi)學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù).已知與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．題型三：共線定理及其應(yīng)用【典例3-1】已知平面向量，不共線，，，，則（

）A．，，三點(diǎn)共線 B．，，三點(diǎn)共線C．，，三點(diǎn)共線 D．，，三點(diǎn)共線【典例3-2】如圖，在中，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【方法技巧】要證明A，B，C三點(diǎn)共線，只需證明與共線，即證=（）．若已知A，B，C三點(diǎn)共線，則必有與共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得=．【變式3-1】如圖，中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，AM與CN交于點(diǎn)D，，則（

）A． B． C． D．【變式3-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【變式3-3】已知是兩個(gè)不共線的單位向量，，若與共線，則.【變式3-4】已知的重心為G，經(jīng)過(guò)點(diǎn)G的直線交AB于D，交AC于E，若，，則.【變式3-5】如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G的直線分別交直線AB，AC點(diǎn)D，E兩點(diǎn)，，，則＝；若，則的最小值為.【變式3-6】如圖，在中，與BE交于點(diǎn)，，則的值為；過(guò)點(diǎn)的直線分別交于點(diǎn)設(shè)，則的最小值為.

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應(yīng)用【典例4-1】（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構(gòu)成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【典例4-2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，D，E分別為BC和BA的三等分點(diǎn)，點(diǎn)D靠近點(diǎn)B，AD交CE于點(diǎn)P，設(shè)，，則＝（

）A． B． C． D．【方法技巧】應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種：（1）運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止．（2）將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．（3）三點(diǎn)共線定理：A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是：存在實(shí)數(shù)，使，其中，O為AB外一點(diǎn)．【變式4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)D在邊AB上且滿足，E為BC的中點(diǎn)，直線DE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則（

）A． B． C． D．【變式4-2】（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【變式4-3】在中，，I為的內(nèi)心，若，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-4】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）在中，為線段的中點(diǎn)，過(guò)的直線分別與線段交于，且，則（

）A． B． C． D．【變式4-5】如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，，，其中，，且，，若，則.【變式4-6】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）在中，是邊上一點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．【變式4-7】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）在中，是的中點(diǎn)，直線分別與交于點(diǎn)，且，，則（

）A． B． C． D．【變式4-8】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【變式4-9】在中，，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，則．【變式4-10】（2024·高三·河南·期中）已知為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（

）A． B．C． D．題型五：平面向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算【典例5-1】已知為的外心，若且，則（

）A． B． C． D．【典例5-2】為坐標(biāo)原點(diǎn)，，若點(diǎn)在直線上，且，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【方法技巧】（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．（2）解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程（組）來(lái)進(jìn)行求解．【變式5-1】已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式5-2】已知梯形ABCD中，，三個(gè)頂點(diǎn).則頂點(diǎn)的坐標(biāo).【變式5-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形中，點(diǎn)，，．若與的交點(diǎn)為，則的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,【變式5-4】如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，則直線AC與BD交點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【變式5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，，把向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)定角得到，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)記為，，則的坐標(biāo)為題型六：向量共線的坐標(biāo)表示【典例6-1】已知，，且，則．【典例6-2】已知向量，若三點(diǎn)共線，則.【方法技巧】（1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若，，則的充要條件是；②若，則．（2）向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來(lái)求解．【變式6-1】已知向量，若與共線，則實(shí)數(shù).【變式6-2】已知向量，若，則．【變式6-3】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，．則的中點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，．1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．12．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．3．（2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)試題（海南卷））在中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．4．（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）已知，且，則的值為．5．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知向量，若，則．1．（1）如圖（1），在中，計(jì)算；（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，計(jì)算；（3）如圖（3），在n邊形中，證明你的結(jié)論.2．飛機(jī)從甲地沿北偏西15°的方向飛行1400km到達(dá)乙地，再?gòu)囊业匮啬掀珫|75°的方向飛行1400km到達(dá)丙地，畫(huà)出飛機(jī)飛行的位移示意圖，并說(shuō)明丙地在