2024屆東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬（二）數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024年?yáng)|北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬（二）數(shù)學(xué)試卷（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)分別填寫在試卷和答題卡規(guī)定的位置上.2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案.非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無(wú)效.一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題解出一元二次不等式，再取解集范圍內(nèi)的自然數(shù)，從而求得B集合的解集，再求其與集合A的交集即可得出結(jié)果.【詳解】，又，.故選：B2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念求出復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可.【詳解】設(shè)，則．因?yàn)?，所以，所以．所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限．故選：D3.已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知，利用誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓的交點(diǎn)，可知，所以.故選：B.4.根據(jù)分類變量x與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（）參考值：0.10.050.012.7063.8416635A.x與y不獨(dú)立B.x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05C.x與y獨(dú)立D.x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05【答案】C【解析】【分析】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想即可得解.【詳解】零假設(shè)為：x與y獨(dú)立，由，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可得成立，故可以認(rèn)為x與y獨(dú)立.故選：C.5.函數(shù)在處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，則，所以，所以切點(diǎn)為，切線的斜率為，所以切線方程，即.故選：D6.等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到，由求出，即可得到通項(xiàng)公式，再由通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，因?yàn)?，即，解得，所以，所?故選：B7.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線，但又不與該直線相交，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得且，求出a，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，所以，得，又該函數(shù)圖象無(wú)限接近直線，且不與該直線相交，所以，則，所以.故選：C8.已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，且二面角的正切值為，則它的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)正方形中心為，取中點(diǎn)，連接、、，由正四棱錐的性質(zhì)可知，，平面，則為二面角的平面角，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，利用銳角三角函數(shù)求出，即可求出，，再設(shè)球心為，則球心在直線上，設(shè)球的半徑為，利用勾股定理求出，最后再由球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)正方形中心為，取中點(diǎn)，連接、、，則，，平面，所以為二面角的平面角，即，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，又，，所以，即，解得（負(fù)值已舍去），則，，設(shè)球心為，則球心在直線上，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以外接球的表面積.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是確定二面角的平面角，利用銳角三角函數(shù)求出底面邊長(zhǎng)與高，再由正四棱錐的性質(zhì)確定球心在上.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.四名同學(xué)各投擲骰子次，分別記錄骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的是（）A.平均數(shù)為，中位數(shù)為 B.眾數(shù)為，中位數(shù)為C.平均數(shù)為，方差為 D.平均數(shù)為，方差為【答案】BD【解析】【分析】推出A、C數(shù)據(jù)矛盾，利用特例說(shuō)明B、D.【詳解】對(duì)于A，若平均數(shù)為，則點(diǎn)數(shù)和為，又中位數(shù)為，則從小到大排列的前3個(gè)數(shù)不能大于2，即和不超過(guò)6，后2個(gè)數(shù)的和最大為12，顯然不滿足條件，故不可能出現(xiàn)平均數(shù)為且中位數(shù)為的數(shù)據(jù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以B正確；對(duì)于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則方差，所以當(dāng)平均數(shù)為2，方差為時(shí)，一定不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為，方差為，所以可以出現(xiàn)點(diǎn)，所以D正確，故選：BD10.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與拋物線分別交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，則（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程是B.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為C.若弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為D.四邊形面積的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】首先表示出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，依題意求出，即可得到拋物線方程，從而判斷A，根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)判斷B，利用點(diǎn)差法求出，即可判斷C，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，列出韋達(dá)定理，由焦點(diǎn)弦公式表示出，，再由及基本不等式計(jì)算面積最小值，即可判斷D.【詳解】拋物線焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，依題意可得，則拋物線方程為，所以準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與軸垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為，故B正確；設(shè)，，則，，所以，即，又弦的中點(diǎn)為，所以，所以，即，又弦過(guò)焦點(diǎn)，所以弦的方程為，即，故C正確；依題意直線的斜率存在且不為，設(shè)直線為，由，消去整理得，顯然，所以，所以，同理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD11.阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，截角四面體是阿基米德多面體其中的一種．如圖所示，將棱長(zhǎng)為3a的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為a的截角四面體，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.點(diǎn)E到平面ABC的距離為B.直線DE與平面ABC所成角的正切值為2C.該截角四面體的表面積為D.該截角四面體存在內(nèi)切球【答案】AC【解析】【分析】如圖，將該截角四面體補(bǔ)成正四面體.對(duì)于A：由平面∥平面可知點(diǎn)E到平面ABC的距離即為點(diǎn)S到平面ABC的距離，運(yùn)算求解即可；對(duì)于B：由∥，可知直線DE與平面ABC所成角即為與平面所成角，運(yùn)算求解即可；對(duì)于C：根據(jù)正三角的面積結(jié)合比例關(guān)系運(yùn)算求解；對(duì)于D：假設(shè)存在內(nèi)切球根據(jù)對(duì)稱性可知該球心為正四面體的中心O，求點(diǎn)O到平面的距離即可判斷.【詳解】如圖，將該截角四面體補(bǔ)成正四面體，取底面的中心，連接，可知平面，則，可得，對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可知：平面∥平面，則點(diǎn)E到平面ABC的距離即為點(diǎn)S到平面ABC的距離，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由題意可知：∥，則直線DE與平面ABC所成角即為與平面所成角，可得，所以直線DE與平面ABC所成角的正切值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知：，則，所以該截角四面體的表面積為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若該截角四面體存在內(nèi)切球，根據(jù)對(duì)稱性可知該球心為正四面體的中心O，可知，因?yàn)?，即，解得，由選項(xiàng)A可知：點(diǎn)S到平面ABC的距離，則點(diǎn)O到平面ABC的距離為，所以該截角四面體不存在內(nèi)切球，故D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將該截角四面體補(bǔ)成正四面體，結(jié)合正四面體的性質(zhì)分析求解.三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12已知向量，，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出和，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】，即，，，，，.故答案為：.13.以雙曲線上一點(diǎn)為圓心的圓與軸恰好相切于雙曲線的右焦點(diǎn)，且與軸交于，兩點(diǎn)．若為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率是______．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)可得，根據(jù)圓與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系及為等腰直角三角形得到關(guān)于和的齊次方程，即可求離心率.【詳解】為雙曲線上一點(diǎn)，不妨設(shè)在第一象限，，與軸相切于雙曲線的焦點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為，將代入得，，又，解得，，的半徑為，點(diǎn)到軸的距離為,為等腰直角三角形，所以，所以，即，所以，解得，，，即雙曲線的離心率為.故答案為：.14.已知函數(shù)滿足：，則______．【答案】【解析】【分析】借助三角恒等變換公式可得，即可得解.【詳解】，則，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，M是BC的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)P到直線MN的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量法證明即可；（2）利用空間向量法即可求解點(diǎn)線距.【小問1詳解】由題意知，平面，，而平面，所以，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作y軸，使得y軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，所以，又不在平面內(nèi)即平面；【小問2詳解】如圖，連接，由（1）得，則，，所以點(diǎn)到直線的距離為.16.近日，市流感頻發(fā)，主要以型流感為主，據(jù)疾控中心調(diào)查，全市患病率為5%．某單位為加強(qiáng)防治，通過(guò)驗(yàn)血篩查患型流感的員工．已知該單位共有5000名員工，專家建議隨機(jī)地按（且為5000的正因數(shù)）人一組分組，然后將各組個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)．如果混管血樣呈陰性，說(shuō)明這個(gè)人全部陰性，其中每個(gè)人記作化驗(yàn)次；如果混管血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就要對(duì)該組每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次．設(shè)每個(gè)人平均化驗(yàn)次．（1）若，求和均值；（2）若按全市患病率估計(jì)，試比較與時(shí)哪一種情況下化驗(yàn)總次數(shù)更少.（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）分布列見解析，（2）時(shí)化驗(yàn)總次數(shù)更少【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式求出的分布列即可；（2）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式求出的分布列和均值，比較當(dāng)與時(shí)的大小即可.小問1詳解】，如果混管血樣呈陰性，則；如果混管血樣呈陽(yáng)性，則，的所有可能取值為，，，，的分布列為；【小問2詳解】如果混管血樣呈陰性，則；如果混管血樣呈陽(yáng)性，則，的所有可能取值為，，，，的分布列為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)化驗(yàn)總次數(shù)更少.17.某校為激發(fā)學(xué)生對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的興趣，豐富學(xué)生體育課活動(dòng)項(xiàng)目，設(shè)計(jì)在操場(chǎng)的一塊扇形區(qū)域內(nèi)澆筑矩形冰場(chǎng).如圖，矩形內(nèi)接于扇形，且矩形一邊落在扇形半徑上，該扇形半徑米，圓心角．矩形的一個(gè)頂點(diǎn)在扇形弧上運(yùn)動(dòng)，記.（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）求當(dāng)角取何值時(shí)，矩形冰場(chǎng)面積最大？并求出這個(gè)最大面積．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，矩形的面積最大為【解析】【分析】（1）先在中求出，再在中求出，根據(jù)差角的正弦公式求出，利用面積公式求解即可.（2）在中用表示和，在中求出，則，將矩形的面積寫成關(guān)于的三角函數(shù)的形式，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值即可求解.【小問1詳解】在中，，，，，在中，，即，解得，，，；【小問2詳解】在中，，，在中，，所以，所以，設(shè)矩形的面積為，則，由，得，所以當(dāng)，即時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，矩形的面積，最大面積為.18.如圖，圓I的半徑為4，圓心，G是圓I上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線段GK的垂直平分線和半徑IG相交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)G在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)軌跡為．（1）求點(diǎn)H的軌跡的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線相交于點(diǎn)Q，試探究：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在，且【解析】【分析】（1）借助垂直平分線的性質(zhì)、圓的半徑與橢圓定義即可得；（2）聯(lián)立曲線，消去y，借助可得與的關(guān)系，借助與可表示點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圓上的點(diǎn)的性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得.【小問1詳解】連接，由題意可得，又，故，即點(diǎn)到定點(diǎn)、的距離之和為，即點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，即有，，則，即；【小問2詳解】由，消去y并整理，得，因?yàn)橹本€l：與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，所以，即，所以，此時(shí)，，所以，由，得，假設(shè)存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，則，又，，所以，整理，得，所以，解得，故存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線或曲線過(guò)定點(diǎn)問題的方法指導(dǎo)：（1）把直線或曲線方程中的變量，當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)．（2）由直線方程確定其過(guò)定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式，則直線必過(guò)定點(diǎn)；若得到了直線方程的斜截式，則直線必過(guò)定點(diǎn)．19.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問題”．在他的專著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式．如圖，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……第層球數(shù)是第n層球數(shù)與的和，設(shè)各