高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.3函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性(精練)(原卷版+解析)

2.3函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性【題型解讀】【題型一判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法】1.（多選）(2023·海南高三二模）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B．C． D．2.(2023·北京東城區(qū)·高三期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．3.(2023·甘肅高三一模）已知函數(shù)，則（）A．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減 D．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增4(2023·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是B．是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是C．是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是D．是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是【題型二函數(shù)奇偶性的四種應(yīng)用】1.(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C． D．2.(2023·山東菏澤·高三期末）設(shè)函數(shù)，的定義域分別為F，G，且.若對(duì)任意的，都有，則稱(chēng)為在G上的一個(gè)“延拓函數(shù)”.已知函數(shù)，若為在上的一個(gè)延拓函數(shù)，且是偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（

）A． B． C． D．3.(2023·上海高三月考）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)__________．4.(2023·湖南·一模）已知是奇函數(shù)，且，若，則___．5.(2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．6.(2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.7.（多選）(2023·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．8.(2023·河南高三月考）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，，，則（）A． B． C． D．9.(2023·云南麗江·高三期末）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．10.(2023·福建省福州第一中學(xué)高三期末）若對(duì)，有，函數(shù)在區(qū)間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（）A．4 B．8 C．12 D．16【題型三函數(shù)周期性的應(yīng)用】1.(2023·廣東汕頭·高三期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足，若當(dāng)時(shí)，，則________.2.（多選）(2023·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高三期中）已知是上的奇函數(shù)，是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．最小正周期為4 B．C． D．3.(2023·全國(guó)高三月考）定義在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．4.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且周期為2，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，________.5.（多選）(2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)（）是周期為2的奇函數(shù)．則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．2是函數(shù)的一個(gè)周期C．D．【題型四函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用】1.(2023·北京101中學(xué)高三）下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的是A． B． C． D．2.(2023·山西太原·二模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng) D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)3.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)滿(mǎn)足：①；②在上是減函數(shù)；③.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足以上條件的___________.4.（2023·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2 B． C．4 D．5.(2023·黑龍江大慶市·鐵人中學(xué)高三三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【題型五函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】1.(2023·四川涼山·二模）定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，則的解集為（

）A． B．C． D．2.（多選）(2023·江蘇連云港市·高三月考）函數(shù)的定義域?yàn)?，且與都為奇函數(shù)，則（）A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)3.（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（

）A． B． C． D．4.（多選）(2023·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知為奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng) B．的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)C． D．2.3函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性【題型解讀】【題型一判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法】1.（多選）(2023·海南高三二模）下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B．C． D．答案：AD【解析】A，因?yàn)?，是偶函?shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意；B，因?yàn)?，是奇函?shù)，且在區(qū)間上為減函數(shù)，不符合題意；C，因?yàn)?，是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，不符合題意；D，因?yàn)?，是偶函?shù)，且在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意.故選：AD2.(2023·北京東城區(qū)·高三期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．答案：D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，定義域?yàn)?，該函?shù)為非奇非偶函數(shù)，故A不正確；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，且該函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，該函數(shù)為奇函數(shù)，但函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，故C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，該函數(shù)為奇函數(shù)，又在區(qū)間上為增函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.3.(2023·甘肅高三一模）已知函數(shù)，則（）A．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減 D．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增答案：D【解析】因?yàn)椋?定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，故選：D4(2023·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是B．是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是C．是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是D．是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是答案：C【解析】將函數(shù)去掉絕對(duì)值得，畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故選：C【題型二函數(shù)奇偶性的四種應(yīng)用】1.(2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C． D．答案：D【解析】由為奇函數(shù)，所以，所以，可得，解得，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，符合題意，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)榉项}意，故選：D2.(2023·山東菏澤·高三期末）設(shè)函數(shù)，的定義域分別為F，G，且.若對(duì)任意的，都有，則稱(chēng)為在G上的一個(gè)“延拓函數(shù)”.已知函數(shù)，若為在上的一個(gè)延拓函數(shù)，且是偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】是偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)對(duì)于選項(xiàng)A：是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不滿(mǎn)足條件，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，則定義域不滿(mǎn)足條件，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足條件，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，則定義域不滿(mǎn)足條件，D錯(cuò)誤；故選：C3.(2023·上海高三月考）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)__________．答案：【解析】設(shè)，則，由時(shí)，，所以，又函數(shù)為偶函數(shù)，即，所以.故答案為：4.(2023·湖南·一模）已知是奇函數(shù)，且，若，則___．答案：1【解析】是奇函數(shù)，∴h(1)＋h(－1)＝0即f(1)＋1＋f(－1)＋1＝0，∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－1，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1.故答案為：1.5.(2023·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)為偶函數(shù)，則______．答案：1【解析】由題設(shè)，，所以.故答案為：16.(2023·北京·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.(1)求和的值；(2)求在上的解析式.【解】(1)滿(mǎn)足，，.(2)由題意知，.當(dāng)時(shí)，.由是奇函數(shù)，，綜上，在上，7.（多選）(2023·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．答案：AC【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則，即，則，解可得或（舍），即，則，解可得，故，即的取值范圍為，故選：AC.8.(2023·河南高三月考）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若，，，則（）A． B． C． D．答案：D【解析】當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)?，，，所?故選：D.9.(2023·云南麗江·高三期末）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，在上遞增，由得，∴，，解得.故選：B10.(2023·福建省福州第一中學(xué)高三期末）若對(duì)，有，函數(shù)在區(qū)間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（）A．4 B．8 C．12 D．16答案：B【解析】由題設(shè)，且，∴，則，∴為奇函數(shù)，令，∴，即是奇函數(shù)，∴在上的最小、最大值的和為0，即，∴.故選：B【題型三函數(shù)周期性的應(yīng)用】1.(2023·廣東汕頭·高三期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且滿(mǎn)足，若當(dāng)時(shí)，，則________.答案：【解析】因?yàn)椋云婧瘮?shù)的周期為.所以故答案為:2.（多選）(2023·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高三期中）已知是上的奇函數(shù)，是上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．最小正周期為4 B．C． D．答案：BCD【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，所以，所以，所以的周期為，故A錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，所以，選項(xiàng)B正確；，選項(xiàng)C正確；，選項(xiàng)D正確.故選：BCD.3.(2023·全國(guó)高三月考）定義在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．答案：A【解析】由滿(mǎn)足，得，所以函數(shù)的最小正周期，且當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，所以.故選：A.4.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且周期為2，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，________.答案：【解析】當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以；當(dāng)時(shí)，，則，又的周期為2，所以；故答案為：.5.（多選）(2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)（）是周期為2的奇函數(shù)．則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．2是函數(shù)的一個(gè)周期C．D．答案：AC【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；函數(shù)是周期為2，所以的周期為4，故B錯(cuò)誤；函數(shù)是周期為2的奇函數(shù)，，故C正確；，無(wú)法判斷的值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【題型四函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用】1.(2023·北京101中學(xué)高三）下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的是A． B． C． D．答案：B【解析】函數(shù)過(guò)定點(diǎn)（1，0），（1，0）關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)還是（1，0），只有過(guò)此點(diǎn)．故選項(xiàng)B正確2.(2023·山西太原·二模）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng) D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)答案：C【解析】因?yàn)?，，所以，所以A不正確；因?yàn)?，，所以，故B不正確；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，故C正確；在的圖象上取一點(diǎn)，則其關(guān)于點(diǎn)的點(diǎn)為，因?yàn)椋渣c(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，故的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D不正確.故選：C3.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)滿(mǎn)足：①；②在上是減函數(shù)；③.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足以上條件的___________.答案：【解析】由可得關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，且過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)滿(mǎn)足題目中的三個(gè)條件，故答案為：4.（2023·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．2 B． C．4 D．答案：B【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以有，故，故選:B.5.(2023·黑龍江大慶市·鐵人中學(xué)高三三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．答案：A【解析】當(dāng)時(shí)，，則，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由于函數(shù)是偶函數(shù)，可得，，，因此，.故選：A.【題型五函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】1.(2023·四川涼山·二模）定義在上的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，則的解集為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由題意，函數(shù)滿(mǎn)足，可得，所以函數(shù)是周期為4的函數(shù)，又由為上的奇函數(shù)，可得，所以，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，可函數(shù)的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，令，解得或，所以不等式的解集為.故選：C.2.（多選）(2023·江蘇連云港市·高三月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋遗c都為奇函數(shù)，則（）A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)答案：ABC【解析】由題意知：且，∴，即，可得，∴是周期為2的函數(shù)，且、為奇函數(shù)，故A、B正確，D錯(cuò)誤；由上知：，即為奇函數(shù)，C正確.故選：ABC.3.（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（