2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)章末綜合測(cè)評(píng)2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用含解析新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

PAGEPAGE8導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列各式正確的是()A．(sina)′＝cosa(a為常數(shù))B．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－eq\f(1,5)x－6C[由導(dǎo)數(shù)公式知選項(xiàng)A中(sina)′＝0；選項(xiàng)B中(cosx)′＝－sinx；選項(xiàng)D中(x－5)′＝－5x－6．]2．函數(shù)f(x)＝lnx－ax在x＝2處的切線與直線ax－y－1＝0平行，則實(shí)數(shù)a＝()A．－1B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．1B[對(duì)函數(shù)求導(dǎo)f′(x)＝eq\f(1,x)－a，k＝f′(2)＝eq\f(1,2)－a＝a，所以a＝eq\f(1,4)．]3．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－f′(1)·x2－x，則f′(1)的值為()A．0B．2C．1D．－1A[f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，則f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0．]4．函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．2 B．1C．0 D．由a確定C[f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值．故選C．]5．如圖，函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(diǎn)P(2，y)處的切線是l，則f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．2C．－2D．1D[由圖像可得函數(shù)y＝f(x)的圖像在點(diǎn)P處的切線是l，與x軸交于點(diǎn)(4，0)，與y軸交于點(diǎn)(0，4)，則可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1，故選D．]6．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，\f(\r(6),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(\r(6),2)))C[∵f(x)＝eq\f(1,3)x2－lnx(x>0)，∴f′(x)＝eq\f(2,3)x－eq\f(1,x)＝eq\f(2x2－3,3x)，當(dāng)f′(x)<0時(shí)，解得0<x<eq\f(\r(6),2)，則函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2)))．故選C．]7．已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(0，＋∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0且x≠2時(shí)，(x－2)[2f(x)＋xf′(x)]<0，若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的斜率為－10，則f(2)的值為()A．4B．6C．8D．10D[①若x>2，則2f(x)＋xf′(x)<0，②若0<x<2，2f(x)＋xf′(x)>0，令g(x)＝x2f(x)，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，∵x>0，∴g(x)在x＝2時(shí)取得極值，g′(2)＝4f(2)＋4f′(2)＝0，∵f′(2)＝－10，∴f(2)＝10，故選D．]8．已知直線x－2y－4＝0與拋物線y2＝x相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P為拋物線的弧AOB上隨意點(diǎn)，則當(dāng)△ABP的面積最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(0，0)B．(1，1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))D．(2，eq\r(2))B[設(shè)P(x0，y0)，過點(diǎn)P與AB平行的直線為l，如圖．∵直線x－2y－4＝0與拋物線y2＝x相交于A、B兩點(diǎn)，∴|AB|為定值，要使△ABP的面積最大．只要P到AB的距離最大，而P點(diǎn)是拋物線的弧AOB上的一點(diǎn)，∴點(diǎn)P是拋物線上平行于直線AB的切線的切點(diǎn)，由圖知點(diǎn)P在x軸上方，y＝eq\r(x)，y′＝eq\f(1,2\r(x))，由題意知kAB＝eq\f(1,2)，∴k1＝eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(1,2)，即x0＝1，∴y0＝1，∴P(1，1)，故選B．]二、選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．甲工廠八年來某種產(chǎn)品年產(chǎn)量與時(shí)間(單位：年)的函數(shù)關(guān)系如圖所示．則下列說法正確的有()A．前四年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來越快B．前四年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來越慢C．第四年后該產(chǎn)品停止生產(chǎn)D．第四年后該產(chǎn)品年產(chǎn)量保持不變BD[設(shè)產(chǎn)量與時(shí)間的關(guān)系為y＝f(x)，由題圖可知f(x)在點(diǎn)(1，f(1))，(2，f(2))，(3，f(3))，(4，f(4))處的切線的斜率越來越小，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，前四年該產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來越慢，故A錯(cuò)誤，B正確；由題圖可知從第四年起先產(chǎn)品產(chǎn)量不發(fā)生改變，且f(4)≠0，故C錯(cuò)誤，D正確，故說法正確的有BD．故選BD．]10．已知f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－20)，下列結(jié)論正確的是()A．f′(0)＝20! B．f′(1)＝19!C．f′(19)＝－19! D．f′(20)＝－20!AC[∵f(x)＝x(x－1)(x－2)…(x－20)，∴f′(x)＝(x－1)(x－2)…(x－20)＋x(x－2)…(x－20)＋x(x－1)(x－3)…(x－20)＋…＋x(x－1)…(x－19)，∴f′(0)＝(－1)×(－2)×…×(－20)＝20！，即A正確；f′(1)＝1×(－1)×(－2)×…×(－19)＝－19！，即B錯(cuò)誤，C正確；f′(20)＝20×19×…×1＝20！，故D錯(cuò)誤，故選AC．]11．已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個(gè)“巧值點(diǎn)”．下列函數(shù)中，有“巧值點(diǎn)”的是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－xC．f(x)＝lnx D．f(x)＝eq\f(1,x)ACD[在A中，若f(x)＝x2，則f′(x)＝2x，則x2＝2x，這個(gè)方程明顯有解，故A符合要求；在B中，若f(x)＝e－x，則f′(x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)))eq\s\up12(′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))eq\s\up12(x)lneq\f(1,e)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程無解，故B不符合要求；在C中，若f(x)＝lnx，則f′(x)＝eq\f(1,x)，由lnx＝eq\f(1,x)，令y＝lnx，y＝eq\f(1,x)(x>0)，作出兩函數(shù)的圖像如圖所示，由兩函數(shù)圖像有一個(gè)交點(diǎn)可知該方程存在實(shí)數(shù)解，故C符合要求；在D中，若f(x)＝eq\f(1,x)，則f′(x)＝－eq\f(1,x2)，由eq\f(1,x)＝－eq\f(1,x2)，可得x＝－1，故D符合要求．故選ACD．]12．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,lnx)，則下列說法正確的是()A．f(x)在區(qū)間(1，2)上有最大值B．x∈(0，1)時(shí)，f(x)圖像位于x軸下方C．f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間D．f(x)有且僅有兩個(gè)極值點(diǎn)BC[∵f(x)＝eq\f(ex,lnx)(x>0，x≠1)，則f′(x)＝eq\f(ex\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx－\f(1,x))),(lnx)2)，令g(x)＝lnx－eq\f(1,x)，則g′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)(x>0)，所以g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，且g(1)＝－1<0，g(2)＝ln2－eq\f(1,2)>0，所以函數(shù)f(x)在(1，2)上先減后增，沒有最大值，所以A不正確；由f(x)＝eq\f(ex,lnx)，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，lnx<0，∴f(x)<0，所以f(x)在(0，1)上的圖像都在x軸的下方，所以B正確；因?yàn)閒′(x)>0在定義域上有解，所以函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以C是正確的；由g(x)＝lnx－eq\f(1,x)，則g′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,x2)(x>0)，所以g′(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，則函數(shù)f′(x)＝0只有一個(gè)根x0，使得f′(x0)＝0，當(dāng)x∈(0，1)∪(1，x0)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增．所以函數(shù)只有一個(gè)微小值，所以D不正確，故選BC．]三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．函數(shù)f(x)＝(x＋1)ex－1＋a在(1，f(1))處的切線經(jīng)過點(diǎn)(3，7)，則實(shí)數(shù)a＝________．－1[由f(x)＝(x＋1)ex－1＋a，得f′(x)＝ex－1(x＋2)，f′(1)＝3，f(1)＝a＋2，而切線過點(diǎn)(3，7)，從而有eq\f(7－(a＋2),3－1)＝3，解得a＝－1．]14．若函數(shù)f(x)＝m·ex－x2＋2x(m<0)在(0，1)上有極值點(diǎn)，則m的取值范圍為________．(－2，0)[因?yàn)閒(x)＝m·ex－x2＋2x(m<0)，所以f′(x)＝m·ex－2x＋2(m<0)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝m·ex－x2＋2x(m<0)在(0，1)上有極值點(diǎn)，所以f′(x)＝m·ex－2x＋2(m<0)在(0，1)上有零點(diǎn)，因?yàn)閥＝m·ex(m<0)，y＝－2x＋2在(0，1)上都遞減，所以f′(x)在(0，1)上為減函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′(0)＝m＋2>0,f′(1)＝me<0))，解得－2<m<0．]15．函數(shù)y＝x3－6x＋5的圖像在點(diǎn)(1，0)處切線的方程是________，該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．(本題第一空2分，其次空3分)y＋3x－3＝0(－eq\r(2)，eq\r(2))[函數(shù)y＝x3－6x＋5的導(dǎo)函數(shù)為y′＝3x2－6，所以當(dāng)x＝1時(shí)，切線斜率k＝－3，所以函數(shù)y＝x3－6x＋5的圖像在點(diǎn)(1，0)處切線的方程為y＝－3(x－1)，即y＋3x－3＝0，由y′＝3x2－6<0解得－eq\r(2)<x<eq\r(2)，所以函數(shù)y＝x3－6x＋5的單調(diào)遞減區(qū)間是(－eq\r(2)，eq\r(2))．]16．日常生活中的飲用水通常都是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知1t水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100)．那么凈化到純凈度為90%時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)改變率是________元/t．40[凈化費(fèi)用的瞬時(shí)改變率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閏(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100)．所以c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4000,100－x)))eq\s\up12(′)＝eq\f(4000,(100－x)2)，又因?yàn)閏′(90)＝eq\f(4000,(100－90)2)＝40，所以凈化到純凈度為90%時(shí)所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)改變率是40元/t．]四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知a為實(shí)數(shù)，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值．[解](1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，∴f′(x)＝3x2－2ax－4．(2)由f′(－1)＝0，得a＝eq\f(1,2)，此時(shí)有f(x)＝(x2－4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，f′(x)＝3x2－x－4．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(4,3)或x＝－1．又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝－eq\f(50,27)，f(－1)＝eq\f(9,2)，f(－2)＝0，f(2)＝0，∴f(x)在[－2，2]上的最大值為eq\f(9,2)，最小值為－eq\f(50,27)．18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4．(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．[解](1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，∴切線方程為y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，又切線過點(diǎn)(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，∴xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0．19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝aln(x＋1)＋eq\f(1,2)x2－ax＋1(a>0)．(1)求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)當(dāng)a>1時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值．[解](1)f(0)＝1，f′(x)＝eq\f(a,x＋1)＋x－a＝eq\f(x(x－a＋1),x＋1)，∴f′(0)＝0，所以函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程為y＝1．(2)函數(shù)的定義域?yàn)?－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即eq\f(x(x－a＋1),x＋1)＝0．解得x＝0或x＝a－1．當(dāng)a>1時(shí)，f(x)，f′(x)隨x改變的改變狀況為：x(－1，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘微小值↗可知f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0，a－1)，單調(diào)增區(qū)間是(－1，0)和(a－1，＋∞)，極大值為f(0)＝1，微小值為f(a－1)＝alna－eq\f(1,2)a2＋eq\f(3,2)．20．(本小題滿分12分)某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為rm，高為hm，體積為Vm3．假設(shè)建立成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建立成本為100元/m2，底面的建立成本為160元/m2，該蓄水池的總建立成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)探討函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．[解](1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2πrh＝200πrh(元)，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．又依據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，從而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．因?yàn)閞>0，又由h>0可得0＜r<5eq\r(3)，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0，5eq\r(3))．(2)因?yàn)閂(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，所以V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．當(dāng)r∈(0，5)時(shí)，V′(r)>0，故V(r)在(0，5)上為增函數(shù)；當(dāng)r∈(5，5eq\r(3))時(shí)，V′(r)<0，故V(r)在(5，5eq\r(3))上為減函數(shù)．由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時(shí)h＝8．即當(dāng)r＝5m，h＝8m時(shí)，該蓄水池的體積最大．21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx＋(1－a)x．(1)探討函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)>eq\f(a2,2)恒成立，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解](1)定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝x－eq\f(a,x)＋1－a＝eq\f(x2＋(1－a)x－a,x)＝eq\f((x＋1)(x－a),x)，當(dāng)a≤0時(shí)，在(0，＋∞)上f′(x)≥0，所以f(x)在定義域(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0有x>a，令f′(x)<0有0<x<a，所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)令g(x)＝f(x)－eq\f(a2,2)，由(1)及a為正數(shù)知，g(x)＝f(x)－eq\f(a2,2)在x＝a處取最小值，所以f(x)>eq\f(a2,2)恒成立等價(jià)于g(a)>0，即－alna＋(1－a)a>0，整理得lna＋a－1<0，令h(x)＝lnx＋x－1，易知h(x)為