【新人教版】數(shù)學(xué)必修二第八章-8.5.2直線與平面平行

8.5.2直線與平面平行學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面平行的判定定理，并能初步利用定理解決問題.2.掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確由線面平行可推出線線平行.知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號(hào)語(yǔ)言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α圖形語(yǔ)言思考(1)若一直線與平面內(nèi)的一條直線平行，一定有直線與平面平行嗎？答案不一定，也有可能直線在平面內(nèi)，所以一定要強(qiáng)調(diào)直線在平面外.(2)如果一條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都平行，那么該直線和平面之間具有什么關(guān)系？答案平行或直線在平面內(nèi).知識(shí)點(diǎn)二直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號(hào)語(yǔ)言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語(yǔ)言思考如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么這條直線()A.只和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行B.只和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線相交C.和這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都平行D.和這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都不相交答案D1.若直線a與平面α不平行，則a與α相交.(×)2.若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不平行，則直線與平面α不平行.(×)3.若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，則a∥b.(×)4.若直線l不平行于平面α，則直線l就不平行于平面α內(nèi)的任意一條直線.(×)一、直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用例1(1)如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是()A.相交 B.b∥αC.b?α D.b∥α或b?α答案D解析由a∥b且a∥α，知b∥α或b?α.(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.證明連接BC1(圖略)，在△BCC1中，∵E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，∴EF∥BC1，又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，∴四邊形ABC1D1是平行四邊形，∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.反思感悟利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，常利用平行四邊形、三角形中位線、基本事實(shí)4等.跟蹤訓(xùn)練1如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).求證：MN∥平面PAD.證明如圖，取PD的中點(diǎn)G，連接GA，GN.∵G，N分別是△PDC的邊PD，PC的中點(diǎn)，∴GN∥DC，GN＝eq\f(1,2)DC.∵M(jìn)為平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，∴AM＝eq\f(1,2)DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四邊形AMNG為平行四邊形，∴MN∥AG.又MN?平面PAD，AG?平面PAD，∴MN∥平面PAD.二、直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用例2如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點(diǎn)O，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.證明連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn).又∵M(jìn)是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.反思感悟線面平行的性質(zhì)和判定經(jīng)常交替使用，也就是通過(guò)線線平行得到線面平行，再通過(guò)線面平行得線線平行.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在五面體EFABCD中，已知四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，求證：AD∥EF.證明∵AD∥BC，AD?平面BCEF，BC?平面BCEF，∴AD∥平面BCEF，∵AD?平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，∴AD∥EF.1.(多選)已知b是平面α外的一條直線，下列條件中，不能得出b∥α的是()A.b與α內(nèi)的一條直線不相交B.b與α內(nèi)的兩條直線不相交C.b與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交D.b與α內(nèi)的所有直線不相交答案ABC2.下列命題：①如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個(gè)平面平行；②過(guò)直線外一點(diǎn)，可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行；③如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任何直線平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3答案B解析②正確；①③錯(cuò)誤.3.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，EH∥FG，則EH與BD的位置關(guān)系是()A.平行B.相交C.異面D.不確定答案A4.如圖，在三棱錐S－ABC中，E，F(xiàn)分別是SB，SC上的點(diǎn)，且EF∥平面ABC，則()A.EF與BC相交 B.EF∥BCC.EF與BC異面 D.以上均有可能答案B5.若直線l∥平面α，則過(guò)l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a，b，c，…，那么這些交線的位置關(guān)系為()A.都平行B.都相交且一定交于同一點(diǎn)C.都相交但不一定交于同一點(diǎn)D.都平行或交于同一點(diǎn)答案A解析因?yàn)橹本€l∥平面α，所以根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥….1.知識(shí)清單：(1)直線與平面平行的判定定理.(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理.2.方法歸納：化歸與轉(zhuǎn)化.3.常見誤區(qū)：注意定理中條件的嚴(yán)密性.1.直線a，b為異面直線，過(guò)直線a與直線b平行的平面()A.有且只有一個(gè)B.有無(wú)數(shù)多個(gè)C.有且只有一個(gè)或不存在D.不存在答案A解析在a上任取一點(diǎn)A，則過(guò)A與b平行的直線有且只有一條，設(shè)為b′，又∵a∩b′＝A，∴a與b′確定一個(gè)平面α，即為過(guò)a與b平行的平面，可知它是唯一的.2.下列條件中能得出直線m與平面α平行的是()A.直線m與平面α內(nèi)所有直線平行B.直線m與平面α內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行C.直線m與平面α沒有公共點(diǎn)D.直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行答案C解析A，本身說(shuō)法錯(cuò)誤；B，當(dāng)直線m在平面α內(nèi)時(shí)，m與α不平行；C，能推出m與α平行；D，當(dāng)直線m在平面α內(nèi)時(shí)，m與α不平行.3.過(guò)直線l外兩點(diǎn)，作與l平行的平面，則這樣的平面()A.不可能作出 B.只能作出一個(gè)C.能作出無(wú)數(shù)個(gè) D.上述三種情況都存在答案D解析設(shè)直線外兩點(diǎn)為A，B，若直線AB∥l，則過(guò)A，B可作無(wú)數(shù)個(gè)平面與l平行；若直線AB與l異面，則只能作一個(gè)平面與l平行；若直線AB與l相交，則過(guò)A，B沒有平面與l平行.4.如果a，b是兩條異面直線，且a∥α，那么b與α的位置關(guān)系是()A.b∥α B.b與α相交C.b?α D.不確定答案D5.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是()A.平行 B.平行或異面C.平行或相交 D.異面或相交答案B解析由AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，得CD∥α，所以直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系是平行或異面.6.直線a∥平面α，α內(nèi)有n條直線交于一點(diǎn)，則這n條直線中與直線a平行的直線有___條.答案0或1解析過(guò)直線a與交點(diǎn)作平面β，設(shè)平面β與α交于直線b，則a∥b，若所給n條直線中有1條是與b重合的，則此直線與直線a平行，若沒有與b重合的，則與直線a平行的直線有0條.7.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則A1C1與平面ACE的位置關(guān)系為________.答案平行解析∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACE，AC?平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.8.三棱錐SABC中，G為△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，則EG與平面SBC的關(guān)系為________.答案平行解析如圖，延長(zhǎng)AG交BC于F，連接SF，則由G為△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF?平面SBC，EG?平面SBC，∴EG∥平面SBC.9.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn).求證：EF∥平面BDD1B1.證明取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF，OB(圖略).∵F為C1D1的中點(diǎn)，∴OF∥B1C1且OF＝eq\f(1,2)B1C1，又BE∥B1C1，BE＝eq\f(1,2)B1C1，∴OF∥BE且OF＝BE，∴四邊形OFEB是平行四邊形，∴EF∥BO.∵EF?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.10.如圖，四邊形ABCD是矩形，P?平面ABCD，過(guò)BC作平面BCFE交AP于點(diǎn)E，交DP于點(diǎn)F，求證：四邊形BCFE是梯形.證明∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD.∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC?平面BCFE，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四邊形BCFE是梯形.11.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A.BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B.EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形答案B12.如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個(gè)截面，若eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(BG,GD)，則與平面EFGH平行的直線有()A.0條B.1條C.2條D.3條答案C解析∵eq\f(AE,CE)＝eq\f(BF,FC)，∴EF∥AB.又EF?平面EFGH，AB?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.同理，由eq\f(BF,FC)＝eq\f(BG,GD)，可證CD∥平面EFGH.∴與平面EFGH平行的直線有2條.13.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若過(guò)A，C，B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與A1C1的位置關(guān)系是________.答案A1C1∥l解析因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，所以AC∥平面A1B1C1D1.又平面ACB1經(jīng)過(guò)直線AC與平面A1B1C1D1相交于直線l，所以AC∥l.又因?yàn)锳1C1∥AC，所以A1C1∥l.14.如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝eq\f(a,3)，過(guò)P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析∵M(jìn)N∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f(2a,3)，故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r(2)DP＝eq\f(2\r(2)a,3).15.如圖，在四面體ABCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________.答案平面ABC，平面ABD解析連接BN，AM，并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E.由題意易得MN∥AB，MN?平面ABC，AB?平面ABC，MN?平面ABD，AB?平面ABD，∴MN∥平面ABC，MN∥平面ABD.16.如圖，四邊形A