高中物理必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(人教版)

第五章平拋運(yùn)動(dòng)

§5-1曲線運(yùn)動(dòng)&運(yùn)動(dòng)的合成與分解

、曲線運(yùn)動(dòng)

1.定義：物體運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線的運(yùn)動(dòng)。2.條件:

運(yùn)動(dòng)物體所受合力的方向跟它的速度方向不在同

一直線上。

3.特點(diǎn)：①方向：某點(diǎn)瞬時(shí)速度方向就是通過(guò)這

一點(diǎn)的曲線的切線方向。②運(yùn)動(dòng)類型：變速運(yùn)動(dòng)（速

度方向不斷變化）。③FW0,一定有加速度a。

合④F方向一定指向曲線凹側(cè)。合

⑤F可以分解成水平和豎直的兩個(gè)力。合

4.運(yùn)動(dòng)描述一一蠟塊運(yùn)動(dòng)

涉及的公式：

Wy22

VVVyx

VvyxPtan

V蠟塊的位置x

0

二、運(yùn)動(dòng)的合成與分解

1.合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：等時(shí)性、獨(dú)立性、等

效性、矢量性。

2.互成角度的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的判斷:①兩個(gè)

勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)仍然是勻速直線運(yùn)動(dòng)。②速

度方向不在同一直線上的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是勻速

直線運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，其合運(yùn)動(dòng)是勻

變速曲線運(yùn)動(dòng)，a為分運(yùn)動(dòng)的加速度。合

③兩初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)仍

然是勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

④兩個(gè)初速度不為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)

可能是直線運(yùn)動(dòng)也可能是曲線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)

的初速度的和速度方向與這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的和加速

度在同一直線上時(shí)，合運(yùn)動(dòng)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)，否

則即為曲線運(yùn)動(dòng)。

三、有關(guān)“曲線運(yùn)動(dòng)”的兩大題型（一）

小船過(guò)河問(wèn)題最短：t模型一：過(guò)河時(shí)間模型二:

直接位移X最短：模型三：間接位移X最短：

V

vvv船船dvdd船

090A水ov

水vv水，vdv當(dāng)＞v時(shí)，水L船水xddmmtminv,

minxcossinv船船,dvvt,船d船vtancossint船v

sinvv水船水vcos水v（vcos）-vsL船船水minsinv船

［觸類旁通］1.（2011年上海卷）如圖5—4

所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通過(guò)不可

伸長(zhǎng)的繩拖船，船沿繩的方向行進(jìn).此過(guò)程中繩

始終與水面平行，當(dāng)繩與河岸的夾角為a時(shí)，船的

速率為（C）o

VVB.D.C.VCOSA.Vsin

sincos

解析：依題意，船沿著繩子的方向前進(jìn)，即船的

速度總是沿著繩子的，根據(jù)繩子兩端連接的物體在

繩子方向上的投影速度相同，可知人的速度v在

繩子方向上的分量等于船速，故V=VCOSa,

C正確.船

2.（2011年江蘇卷）如圖5—5所示，甲、乙

兩同學(xué)從河中O點(diǎn)出發(fā)，分別沿直線游到A點(diǎn)

和B

點(diǎn)后，立即沿原路線返回到O點(diǎn)，OA、OB分別

與水流方向平行和垂直，且OA=OB.若水流速度

不變，兩人在靜水中游速相等，則他們

（C）乙的大小關(guān)系為甲、t所用時(shí)間t

t=t.t<tB.A乙甲甲乙.無(wú)法確定Dt>t

C.乙甲II=t=,水速為v,OAOB=I,則

解析：設(shè)游速為v；+o甲

v+vv—V00

方向，所示，合速度必須沿OBOB運(yùn)動(dòng)，乙的

速度矢量圖如圖4乙沿l2t,聯(lián)立解得則?=

c>tt正確.乙，甲乙VV—220

）連帶運(yùn)動(dòng)問(wèn)題（二）繩桿問(wèn)題（、實(shí)質(zhì)：合運(yùn)

動(dòng)的識(shí)別與合運(yùn)動(dòng)的分解。1

、關(guān)鍵：①物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是合速度，分速度的方

向要按實(shí)際運(yùn)動(dòng)效果確定；2②沿繩（或桿）方向

的分速度大小相等。

模型四：如圖甲，繩子一頭連著物體B,一頭拉小

船A,這時(shí)船的運(yùn)動(dòng)方向不沿繩子。

OBOviVA0AvA

V2

乙甲

處理方法：如圖乙，把小船的速度V沿繩方向和

垂直于繩的方向分解為V就是拉繩的速度，VV,和

VAA112就是小船的實(shí)際速度。

［觸類旁通］如圖，在水平地面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)

的汽車，通過(guò)定滑輪用繩子吊起一個(gè)物體，若汽車

和被吊物體在同一時(shí)刻的速度分別為v1和v2,

則下列說(shuō)法正確的是（C）A.物體做勻速運(yùn)動(dòng)，

且v=vB.物體做加速運(yùn)動(dòng)，且v>v1122C.物

體做加速運(yùn)動(dòng)，且vvvD.物體做減速運(yùn)動(dòng)，且

V<V1122解析：汽車向左運(yùn)動(dòng)，這是汽車的實(shí)際運(yùn)

動(dòng)，故為汽車的合運(yùn)動(dòng).汽車的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致兩個(gè)

效果：一是滑輪到汽車之間的繩變長(zhǎng)了；二是滑

輪到汽車之間的繩與豎直方向的夾角變大了.顯然汽

車的運(yùn)動(dòng)是由沿繩方向的直線運(yùn)動(dòng)和垂直于繩改變繩

與豎直方向的夾角的運(yùn)動(dòng)合

由0.=vvsin成的，故應(yīng)分解車的速度，如圖，

沿繩方向上有速度J逐漸增大，故被吊物體做加速

V逐漸增大，所以于V是恒量，而。21正確.，V

＜運(yùn)動(dòng)，且VC12

§5-2平拋運(yùn)動(dòng)&類平拋運(yùn)動(dòng)

、拋體運(yùn)動(dòng)

9

小

1.定義：以一定的速度將物體拋出，在空氣阻力可

以忽略的情況下，物體只受重力的作用，它的運(yùn)動(dòng)

即為拋體運(yùn)動(dòng)。2.條件：①物體具有初速度；

②運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受Go

二、平拋運(yùn)動(dòng)

1.定義：如果物體運(yùn)動(dòng)的初速度是沿水平方向的,

這個(gè)運(yùn)動(dòng)就叫做平拋運(yùn)動(dòng)。2.條件：①物體具

有水平方向的加速度；②運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受。G

3.處理方法：平拋運(yùn)動(dòng)可以看作兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合

運(yùn)動(dòng)：一個(gè)是水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，一個(gè)是豎

直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。

4.規(guī)律:1gt12222x.(,tan1)位移：(gt)t)vt,ygt,s

(voo2v22o

22vvv(gt)vtanvgtgt,(2)速度：，，ayxoo

vo

(3)推論：①?gòu)膾伋鳇c(diǎn)開始，任意時(shí)刻速度偏向角。的正切值

等于位移偏向角@的1gt2gtgt2tan正切值的兩倍。

證明如下：.tan6o=tan=2tantan。,9

vt2vvooo②從拋出點(diǎn)開始，任意時(shí)刻速度的反向延長(zhǎng)線對(duì)

應(yīng)的水平位移的交點(diǎn)為此水平位移2y.tan如果物體落在

斜面上，則位移偏向角與斜面傾斜角相等。的中點(diǎn)，即

X

［牛刀小試］如圖為一物體做平拋運(yùn)動(dòng)的x-y

圖象，物體從O點(diǎn)拋出，X、

y分別表示其水平位移和豎直位移.在物體運(yùn)動(dòng)過(guò)

程中的某一點(diǎn)P(a,b),

x軸的A點(diǎn)(A點(diǎn)未畫出)，則OA的長(zhǎng)度為

(B)其速度的反向延長(zhǎng)線交于

無(wú)法確定A.aB.0.5aC.0.3aD.

解析：作出圖本（如圖5—9所?。?，設(shè)v與豎

直方向的夾角為a,根據(jù)幾何

Vo關(guān)系得tana=①，由平拋運(yùn)動(dòng)得水平方向有a

=vt②，豎直方向有vyoSAEPAa=,b==b

中，，在a1③，由①②③式得=aytanRttanv

tbAE

222a

所以O(shè)A=.2

5.應(yīng)用結(jié)論一一影響做平拋運(yùn)動(dòng)的物體的飛行時(shí)

間、射程及落地速度的因素

2h、飛行時(shí)間：at無(wú)關(guān)。v有關(guān)，與初速度h3

與物體下落高度。g2h,h共同決

定。b、水平射程：vtxv和voooig

式可求用：匕.12缶nr軟使埔氏不觸網(wǎng)也不博界.慰場(chǎng)卻速度匕盅憫足，XE/MVV.YJW樂(lè)s

31瓷擊球點(diǎn)高度為A時(shí).球蛤好必網(wǎng)又國(guó)■,加圖所示:

-'*u

省設(shè)山t排球飛出的初速度為、?,時(shí)觸網(wǎng)點(diǎn)&-3??力一，-1>11?％—2代木。>卜

中埴度公式可M,v-a^iva|、、、

MAR界嘉O-12皿R-gnACl）中球度公式可將，▼=12再<?9G-M

<!>、S冏式熊立可得△-*IM即有擊彈i?度小于&13aN?無(wú)論球破水平擊出的連及苗大.球不是做得.

■是出界.

222共同決定。vv和，v由c、落地速度：vv2gh

VVOyOyo

三、平拋運(yùn)動(dòng)及類平拋運(yùn)動(dòng)常見問(wèn)題

模型一：斜面問(wèn)題：處理方法：1.沿水平方向的勻速運(yùn)

動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)；2.沿斜

面方向的勻加速運(yùn)動(dòng)和垂直斜面方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)。

l2gtxvt,y根據(jù)A運(yùn)動(dòng)到B的時(shí)間：2vtanto考點(diǎn)

一：物體從o

g2

考點(diǎn)二：B點(diǎn)的速度V及其與V：a的夾角OB2221

4tanvv(gt)v,arctan(2tan)oo

22Vtanxos之間的距離s：考點(diǎn)三：A、Bg

COSCOS

［觸類旁通］(2010年全國(guó)卷I)一水平拋出的

小球落到一傾角為9的斜面上時(shí)，其速度方向與斜

面垂直，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖5—10中虛線所示.小

球在豎直方向下落的距離與在水平方向通過(guò)的距

離之比為(D)

11A.tanB.2tanc.D.

tan2tan

5所示，平拋的末速度與豎直方向的夾角等于斜面

傾角0解析：如圖，有

12vgty1gt20,D正確.0===，則下落高度與水平射

程之比為tan0=vgttxvoo.

模型二：臨界問(wèn)題:

思路分析：排球的運(yùn)動(dòng)可看作平拋運(yùn)動(dòng)，把它分解為水平的勻

速直線運(yùn)動(dòng)和豎直的自由落體運(yùn)動(dòng)來(lái)分析。但應(yīng)注意本題是“環(huán)

境”限制下的平拋運(yùn)動(dòng)，

應(yīng)弄清限制條件再求解。關(guān)鍵是要畫出臨界條件下的圖來(lái)。

例：如圖1所示，排球場(chǎng)總長(zhǎng)為18m,設(shè)球網(wǎng)高度為2m,

運(yùn)動(dòng)員站在離網(wǎng)3m

(不計(jì)空氣阻力)的線上(圖中虛線所示)正對(duì)網(wǎng)前跳起將球水

平擊出。

(1)設(shè)擊球點(diǎn)在3m線正上方高度為2.5m處，試問(wèn)擊球的

速度在什么范圍內(nèi)才能使球即不觸網(wǎng)也不越界？

(2)若擊球點(diǎn)在3m線正上方的高度小余某個(gè)值，那么無(wú)論

擊球的速度多大，球不是觸網(wǎng)就是越界，試求這個(gè)高度？

模型三：類平拋運(yùn)動(dòng)：I2,mgsinatsvtb2bma

根據(jù)考點(diǎn)一：沿初速度方向的水平位移：svgsin.2,

0

02gsin,v,avta'ta'1gsin,bmg

sin考點(diǎn)二：入射的初速度：oo

2b2m

22b.,'taatmgsinlgsin,b的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：考點(diǎn)三：P

到Q

gsinm2

［綜合應(yīng)用］（2011年海南卷）如圖所示，水平地

面上有一個(gè)坑，其

豎直截面為半圓，ab為沿水平方向的直徑.若在

點(diǎn)以初速度va0

沿ab方向拋出一小球，小球會(huì)擊中坑壁上的c

點(diǎn).已知c點(diǎn)與水平地面的距離為坑半徑的一半,

求坑的半徑。解：設(shè)坑的半徑為r,由于小球

做平拋運(yùn)動(dòng)，則

x=vt@012y=0.5r=gt2②

過(guò)c點(diǎn)作cd±ab于d點(diǎn)，則有RtAacd^Rt

△cbd

2=adcd〃db可得

2X)—=x(2r即為()③r

2

2=r47—43xr,聯(lián)立①②③式解得又因?yàn)関0.>g

§5-3圓周運(yùn)動(dòng)&向心力&生活

中常見圓周運(yùn)動(dòng)

一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)

1.定義：物體的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓的運(yùn)動(dòng)叫做圓周運(yùn)

動(dòng)，物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變的圓周運(yùn)動(dòng)即為勻

速圓周運(yùn)動(dòng)。

2.特點(diǎn)：①軌跡是圓；②線速度、加速度均大小

不變，方向不斷改變，故屬于加速度改變的變

速曲線運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度恒定；③勻速

圓周運(yùn)動(dòng)發(fā)生條件是質(zhì)點(diǎn)受到大小不變、方

向始終與速度方向垂直的合外力；④勻速圓周運(yùn)動(dòng)

的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)周而復(fù)始地出現(xiàn)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)

具有周期性。

3.描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量：

（1）線速度v是描述質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理

量，是矢量；其方向沿軌跡切線，國(guó)際單位制

m/s,勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，v的大小不變，方向卻一直

在變；中單位符號(hào)是

（2）角速度3是描述質(zhì)點(diǎn)繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量,

是矢量；國(guó)際單位符號(hào)是rad/s；

T是質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)一周所用時(shí)間，在國(guó)際單位制中

單位符號(hào)是s；）周期3（

fHz；)頻率(4在國(guó)際單位制中單位符號(hào)是是質(zhì)

點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)完成一個(gè)完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù),

8

-=8*8k----)0Z

(5)轉(zhuǎn)速n是質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)，單

位符號(hào)為r/s，以及r/min.

4.各運(yùn)動(dòng)參量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：2R2

nRv22n,TvR2R.變形

vTTR

5.三種常見的轉(zhuǎn)動(dòng)裝珞及其特點(diǎn)：

模型二：皮帶傳動(dòng)共軸傳動(dòng)模型一：模型三：齒

輪傳動(dòng)

AArAirOB

Or

B

0RrRB2

vRrTBJ?Trvv,

FIRTBA1AA1BB,v

TnvvRTrrrBB2A2BAAAABBA

［觸類旁通］1、一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐形筒的軸線

垂直于水平面，圓錐筒固定，

有質(zhì)量相同的小球A和B沿著筒的內(nèi)壁在水平

面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所

示,A的運(yùn)動(dòng)半徑較大，則（AC）

A.A球的角速度必小于B球的角速度

B.A球的線速度必小于B球的線速度

球的運(yùn)動(dòng)周期BA球的運(yùn)動(dòng)周期必大于.

C

球?qū)ν脖诘膲毫η驅(qū)ν脖诘膲毫Ρ卮笥贐.DA

的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即運(yùn)動(dòng)條件均相同，屬于三種模型中的

皮帶傳、B小球A解析：

送。則可以知道，兩個(gè)小球的線速度v相同，B錯(cuò)；因?yàn)镽>R,

則3<3,T<T,A.C正確；又因

BABABAD錯(cuò)。所以A、C正確。為兩小球各

方面條件均相同，所以，兩小球?qū)ν脖诘膲毫ο嗤?

兩點(diǎn)的半徑之比、兩個(gè)大輪半徑相等的皮帶輪的結(jié)

構(gòu)如圖所示，AB2四點(diǎn)的角速度之比2:

1,則ABCD為2:1,CD兩點(diǎn)的半徑之比

也為

，這四點(diǎn)的線速度之比為為o：22：1：41：1：

2：2

二、向心加速度

1.定義:任何做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度都指

向圓心，這個(gè)加速度叫向心加速度。

注：并不是任何情況下，向心加速度的方向都是指

向圓心。當(dāng)物體做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心加速度的

一個(gè)分加速度指向圓心。2.方向：在勻速圓周

運(yùn)動(dòng)中，始終指向圓心，始終與線速度的方向垂直。

向心加速度只改變線速度的方向而非大小。3.意

義：描述圓周運(yùn)動(dòng)速度方向方向改變快慢的物理量。

22V222(2r.n)rvra公式：4.nrT

兩個(gè)函數(shù)圖像：5.

aann

□

解析：(1)尸*?-峭/

J.假據(jù)牛^第三定錚可知，小球運(yùn)動(dòng)5JB點(diǎn)對(duì)瓢道的壓力為3磔.

X-s24R(H_Rj

8

［觸類旁通］1、如圖所示的吊臂上有一個(gè)可以沿

水平方向運(yùn)動(dòng)的小車，AA以相同的水平速度沿B

的吊鉤。在小車A與物體小車下裝有吊著物體B

之間的距離以BB向上吊起。A、吊臂方向勻速運(yùn)

動(dòng)的同時(shí)，吊鉤將物體

2規(guī)律為吊臂離地面的高度)d=H—2t(SI)(SI表

示國(guó)際單位制，式中H(AC)變化。對(duì)于地面的

人來(lái)說(shuō)，則物體做BA.速度大小不變的曲線運(yùn)

動(dòng)B.速度大小增加的曲線運(yùn)動(dòng)C.加速度大

小方向均不變的曲線運(yùn)動(dòng)D.加速度大小方向均

變化的曲線運(yùn)動(dòng)沿豎直方向，上端A距、如圖所

示，位于豎直平面上的圓弧軌道光滑，半徑為20B,

R速度為，最后落在地面點(diǎn)時(shí)的Bm的小球從

A點(diǎn)由靜止釋放，到達(dá)地面高度為H,質(zhì)量為

點(diǎn)處，不計(jì)空氣阻力，求：上C

B點(diǎn)時(shí)的加速度為多大，對(duì)軌道的壓力多大；

(1)小球剛運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)水平距離為多少。(2)小球

落地點(diǎn)C與B

三、向心力

1.定義:做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受到的沿著半徑指向

圓心的合力，叫做向心力。2.方向：總是指向圓

心。

222V),2(2公式：3.Frmrmvmn2n

rT

4.幾個(gè)注意點(diǎn)：①向心力的方向總是指向圓心，

它的方向時(shí)刻在變化，雖然它的大小不變，但是向

心力也是變力。②在受力分析時(shí)，只分析性質(zhì)力,

而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向

心力。③描述做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，不能說(shuō)該

物體受向心力，而是說(shuō)該物體受到什么力，這幾個(gè)

力的合力充當(dāng)或提供向心力。

四、變速圓周運(yùn)動(dòng)的處理方法

1.特點(diǎn)：線速度、向心力、向心加速度的大小和方

向均變化。mv2合外力沿法線方向的分力提供向

心力：2.動(dòng)力學(xué)方程:。合外力沿切線方向的分Frm

2nrFa=moo力產(chǎn)生切線加速度：門

離心運(yùn)動(dòng)：3.2r時(shí)，物體做圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)=m)

當(dāng)物體實(shí)際受到的沿半徑方向的合力滿足(1F

=F3FvF需供需供

2ra時(shí)，物體做離心運(yùn)動(dòng)。=m

*/—

(2)離心運(yùn)動(dòng)并不是受“離心力”的作用產(chǎn)生的

運(yùn)動(dòng)，而是慣性的表現(xiàn)，是FvF的結(jié)果；離心需

供運(yùn)動(dòng)也不是沿半徑方向向外遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng)。

五、圓周運(yùn)動(dòng)的典型類型

類型受力特點(diǎn)圖示最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況

用細(xì)繩拴2mv

一小球在繩對(duì)球只有①若F=0,則mg=,v=

gRR

拉力豎直平面v>,則FW0②若gR內(nèi)轉(zhuǎn)

動(dòng)

2mv

①若F=0,貝ijmg=,v=gRR小球固定

2桿對(duì)球可以在輕桿的v

v>m,向下，貝Img+F=②若FR是拉力也可一端

在豎gR

2以是支持力直平面內(nèi)mv

③若F向上,購(gòu)mg—F=或mg—F=0,R

轉(zhuǎn)動(dòng)

則OWvvgR

管對(duì)球的彈2可以向力F小球在豎mvNO

OON,直細(xì)管內(nèi)v<v；若F=0判斷，若v=v,依據(jù)mg=R

上也可以向轉(zhuǎn)動(dòng)NNO向下，向上；若v>vFF下

A,則v=①如果剛好能通過(guò)球殼的最高點(diǎn)A0,

F=mg在最高點(diǎn)時(shí)N球殼外的的方F彈力②

如果到達(dá)某點(diǎn)后離開球殼面，該點(diǎn)處小球N小球

受到殼面的彈力F=0,之后改做斜拋運(yùn)動(dòng)，向

向上N若在最高點(diǎn)離開則為平拋運(yùn)動(dòng)

六、有關(guān)生活中常見圓周運(yùn)動(dòng)的涉及的幾大

題型分析

（一）解題步驟：①明確研究對(duì)象；②定圓心找

半徑；③對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析；④對(duì)外力進(jìn)

行正交分解；⑤列方程：將與和物體在同一圓周

運(yùn)動(dòng)平面上的力或其分力代數(shù)運(yùn)算后，另得數(shù)等于

向心力；⑥解方程并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的討論。

（二）典型模型：

I、圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題

談一談：圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題屬于一般的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，無(wú)

非是由物體的受力情況確定物體的運(yùn)動(dòng)情況，或者

由物體的運(yùn)動(dòng)情況求解物體的受力情況。解題思路

就是，以加速度為紐帶，運(yùn)用那個(gè)牛頓第二定律和

運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列方程，求解并討論。火車轉(zhuǎn)彎問(wèn)題：

模型一：h①a、涉及公式：mgsinmgmgtanFF

合NL

2RghovmF②，由①②得：v。合o.

RL

v22模型二：汽車過(guò)拱橋問(wèn)題：ammg

F、涉及公式：vlTI,,所以當(dāng)mgmgFNNRR

v越大越明顯，因此汽車過(guò)拱橋時(shí)不此時(shí)汽車處于

失重狀態(tài)，而且

宜告訴行駛。

V2gRmgmF、分析：當(dāng)b：VN

R

vgR,汽車對(duì)橋面的壓力為（1）0,汽車出于完

全失重狀態(tài)；

gR0vFOmg，汽車對(duì)橋面的壓力為（2）。

N

gRv,汽車將脫離橋面，出現(xiàn)飛車現(xiàn)象。（3）

2Vmgm同樣，當(dāng)汽車過(guò)凹形橋底端時(shí)滿足c、

注意：,汽車對(duì)FNR

橋面的壓力將大于汽車重力，汽車處于超重狀態(tài),

若車速過(guò)大，容易出現(xiàn)爆胎現(xiàn)象，即也不宜高速行

駛。

［觸類旁通］1、鐵路在彎道處的內(nèi)外軌道高度是

不同的，已知內(nèi)外軌道平面與水平面的傾角為0,

如圖所示，彎道處的圓弧半徑為R,若質(zhì)量為m

的火車轉(zhuǎn)彎時(shí)速度小于，則(A)

A.內(nèi)軌對(duì)內(nèi)側(cè)車輪輪緣有擠壓

B.外軌對(duì)外側(cè)車輪輪緣有擠壓

C.這時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力等于

D.這時(shí)鐵軌對(duì)火車的支持力大于解析：當(dāng)內(nèi)外

軌對(duì)輪緣沒有擠壓時(shí)，物體受重力和支持力的合力

提供向心力，此時(shí)速度為

gRtan。。

2、如圖所示，質(zhì)量為m的物體從半徑為R的半

球形碗邊向碗底滑動(dòng)，滑倒最低點(diǎn)時(shí)的速度為Vo

若物體滑倒最低點(diǎn)時(shí)受到的摩擦力是f，則物體與

碗的動(dòng)摩擦因數(shù)以為B)o(fR、C、A

B、、DffRfR

222mvmgRmvmgmvmgR

V22vmgmam

mgm,解得，則F,由設(shè)在最低點(diǎn)時(shí)，碗對(duì)物

體的支持力為解析：FFRR

fRf,化簡(jiǎn)得解得Ff=口B正確。，所以2V

mgRmv21Tlgm

R

II、圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

A.常見豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)的臨界問(wèn)題

談一談：豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速圓

周運(yùn)動(dòng)。對(duì)于物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)的

問(wèn)題，中學(xué)物理只研究問(wèn)題通過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的

情況，并且經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)最高點(diǎn)的臨界問(wèn)題。模

型三：輕繩約束、單軌約束條件下，小球過(guò)圓周

最I(lǐng)WJ點(diǎn)：

(注意：繩對(duì)小球只能產(chǎn)生沿繩收縮方向的拉力.)

(1)臨界條件：小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力

或單軌的彈力剛好等于0,小球的重力提供向心力。

即：

V臉2V界VgRmgm。臨界vR繩

gR時(shí)，gR.當(dāng)vv繩)小球能過(guò)最高點(diǎn)的條件：2

(o

Rv對(duì)球產(chǎn)生向下的拉力或軌道對(duì)球產(chǎn)生向下的壓

力。

gRv(實(shí)際上球還(3)小球不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：

°沒到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了軌道)

模型四：輕桿約束、雙軌約束條件下，小球過(guò)圓

周最高點(diǎn)：

(1)臨界條件：由于輕桿和雙軌的支撐作用，小

球恰能到達(dá)最

IWJ點(diǎn)的臨街速度O.vv臨界V

桿(2)如圖甲所示的小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)

小球的彈力情況：

①當(dāng)v=0時(shí)，輕桿對(duì)小球有豎直向上的支持力F,

其大小等于小N球的重力，即F=mg；N

②當(dāng)時(shí)，輕桿對(duì)小球的支持力的方向0

vgR

豎直向上，大小

甲乙

隨小球速度的增大而減小，其取值范圍是;FOmgN

V③當(dāng)gR；F=0時(shí)，N

vgR④當(dāng)時(shí)，輕桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大

小隨速度的增大而增大。

（3）如圖乙所示的小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，光滑雙軌對(duì)

小球的彈力情況：

①當(dāng)v=0時(shí)，軌道的內(nèi)壁下側(cè)對(duì)小球有豎直向上

的支持力F,其大小等于小球的重力，即F=mg；NN

②當(dāng)時(shí)，軌道的內(nèi)壁下側(cè)對(duì)小球仍有豎直向上的支

持力F,大小隨小球速度的增gROvN

大而減小，其取值范圍是；mg0FN

③當(dāng)時(shí)，F(xiàn)=0；vgRN

④當(dāng)時(shí)，軌道的內(nèi)壁上側(cè)對(duì)小球有豎直向下指向圓心

的彈力，其大小隨速度的增大而vgR

增大。

+

+

<

模型五：小物體在豎直半圓面的外軌道做圓周運(yùn)

動(dòng)：兩種情況：

(1)若使物體能從最高點(diǎn)沿軌道外側(cè)下滑，物體

在最高點(diǎn)的速度V

的限制條件是vgR.

(2)若，物體將從最高電起，脫離圓軌道做平

拋運(yùn)動(dòng)。gRv［觸類旁通］1、如圖所示，質(zhì)

量為0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用繩子系

住小杯在豎直平面內(nèi)做“水流星”表演，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑

為1m,小杯通過(guò)最高點(diǎn)的速度為4m/s,g

取10m/s2,求：⑴在最高點(diǎn)時(shí)，繩的拉力？

在最高點(diǎn)時(shí)水對(duì)小杯底的壓力？(2)?在最高

點(diǎn)時(shí)最小速率是多少為使小杯經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)水不

流出，(3)b

、(3)m/s=3.16m/s2答案：(1)9N,方向豎

直向下；(2)6N,方向豎直向上；點(diǎn)的水平軸

自由轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)如圖所示，細(xì)桿的一端與一小球相連,

可繞過(guò)O。分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和ba、

給小球一初速度，使其做圓周運(yùn)動(dòng)，圖中(AB

最高點(diǎn)，則桿對(duì)球的作用力可能是)處為推力

b.a處為拉力，A.a處為拉力，b處為拉力

Ba處為推力bbC.a處為推力，處為拉

力D.a處為推力，Q

徑是一半5m,MPQ水平，長(zhǎng)為3、如圖所示，

LMPQ是光滑軌道，LM的m=1kgR=1.6m的半

圓，QOM在同一豎直面上，在恒力F作用下，質(zhì)

量。時(shí)立即停止用力，欲使L點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng),

當(dāng)達(dá)到M從物體AAP

2）F大小為多少？（取g=10m/s好能通過(guò)Q

點(diǎn)，則力剛A

解析：物體A經(jīng)過(guò)Q時(shí)，其受力情況如圖所示：

FL2Mvm由牛頓第二定律得：mgF

NQRFN

mgP,4m/s=0物體A剛好過(guò)A時(shí)有F；解得

vgRNo全過(guò)程，由動(dòng)能定理得：Q對(duì)物體從L

到

2oF=8Nmv,解得FLM2mgR1M

2

物體在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題B.

談一談：在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)角速

度⑴變化時(shí)，物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)（半徑

變化）的趨勢(shì)。這時(shí)要根據(jù)物體的受力情況判斷物

體所受的某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向

如何（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力

等)0模型六：轉(zhuǎn)盤問(wèn)題處理方法：先對(duì)A進(jìn)行受力

分析，如圖所示，注意在分析時(shí)不能忽略摩擦力，當(dāng)N然，如果

說(shuō)明盤面為光滑平面，摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后，可以發(fā)

現(xiàn)支持力N與mg相互抵銷，則只有f充當(dāng)該

物體的向心力，則有A2V02f222Rm(Fm

)mg,接著可以求的所需的圓周RfmRm(2n)

TRmg

運(yùn)動(dòng)參數(shù)等。

等效處理：0可以看作一只手或一個(gè)固定轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)，B繞著0

經(jīng)長(zhǎng)為R的輕繩或輕等效為

B進(jìn)行受力分析，發(fā)現(xiàn)，上圖的f在此圖中可桿的牽引做著圓

周運(yùn)動(dòng)。還是先對(duì)

FF即可，根據(jù)題意求出帶入公式f改為等效為繩或桿對(duì)小

球的拉力，則將拉，拉。22222V

FmRm()RFm(2n),即可求的所需參量。

RmR拉

TRB

【綜合應(yīng)用】

1、如圖所示，按順時(shí)針?lè)较蛟谪Q直平面內(nèi)做勻速

轉(zhuǎn)動(dòng)的輪子其邊緣上有

一點(diǎn)A,當(dāng)A通過(guò)與圓心等高的a處時(shí)，有一

質(zhì)點(diǎn)B從圓心0處開始做自由落體運(yùn)動(dòng).已知

輪子的半徑為R,求：(1)輪子的角速度3滿足

什么條件時(shí)，點(diǎn)A才能與質(zhì)點(diǎn)B相遇？

(2)輪子的角速度3,滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)A與質(zhì)

點(diǎn)B的速度才有可能在某時(shí)刻相同？解析：(1)

點(diǎn)A只能與質(zhì)點(diǎn)B在d處相遇，即輪子的最

低處，則點(diǎn)A從a處轉(zhuǎn)到d處所轉(zhuǎn)

3

過(guò)的角度應(yīng)為9=2nn+冗，其中n為自然

數(shù).2

R12,則輪子的角速度應(yīng)滿足條件=處所用的時(shí)

間為t從0點(diǎn)落到d知，質(zhì)點(diǎn)Bgt由h=

g2

3g。

兀)=(2n+為自然數(shù).n,其中3=Rt

22

必然運(yùn)A的速度相同時(shí)，點(diǎn)A的速度方向必

然向下，因此速度相同時(shí)，點(diǎn)(2)點(diǎn)A與質(zhì)點(diǎn)B

n,其中兀+冗運(yùn)動(dòng)到c處時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的角度應(yīng)

為。'=2rle動(dòng)到了處，則點(diǎn)A為自然數(shù).

H

1)'(2n轉(zhuǎn)過(guò)的時(shí)間為f

RA的速度為v=3,此時(shí)質(zhì)點(diǎn)B的速度

為v=gt',又因?yàn)檩喿幼鰟蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，所以點(diǎn)

AB（2n1）g,其中n為自然數(shù).v由v=得，

輪子的角速度應(yīng)滿足條件’BAR

2、（2009年高考浙江理綜）某校物理興趣小組決

定舉行遙控賽車比賽.比賽路徑如下圖所示，賽

車從起點(diǎn)A出發(fā)，沿水平直線軌道運(yùn)動(dòng)L后，由

B點(diǎn)進(jìn)入半徑為R

的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光

滑平直軌道上運(yùn)動(dòng)

到C點(diǎn)，并能越過(guò)壕溝.已知賽車質(zhì)量m=0.1kg,

通電后以額定

功率P=1.5W工作，進(jìn)入豎直軌道前受到的阻力

恒為0.3N,隨后在運(yùn)動(dòng)中受到的阻力均可不

記.圖中L=10.00m,R=0.32m,h

=1.25m,x=1.50m.問(wèn)：要使賽車完成比賽，

電動(dòng)機(jī)至少工2作多長(zhǎng)時(shí)間？（取g=10m/s）

解析：設(shè)賽車越過(guò)壕溝需要的最小速度為v,

由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律?

1R23m/s=gt,解得：v=xx=vt,h=”22h

v,最低點(diǎn)的速度為v,由牛頓第二設(shè)賽車恰好越

過(guò)圓軌道，對(duì)應(yīng)圓軌道最高點(diǎn)的速度為32定律及機(jī)

械能守恒定律得

21Vl222Rmg+mg=mmvmv=23,)(22R2

Vgh解得3=54m/s=

通過(guò)分析比較，賽車要完成比賽，在進(jìn)入圓軌道前

的速度最小應(yīng)該是

v=4m/smint,根據(jù)功能關(guān)系設(shè)電動(dòng)機(jī)工作時(shí)

間至少為

12Pt-Ft=2.53s.,由此可得mvL=fmin2

位貉時(shí)線被拉斷.設(shè)擺B、如下圖所示，讓擺

球從圖中A位貉由靜止開始下擺，正好到最低點(diǎn)3

，，懸點(diǎn)與地面的豎直高度為10N0.5kg,擺球的

質(zhì)量為=線長(zhǎng)為L(zhǎng)1.6m,擺線的最大拉力為

H=4m

R

20求：10m/sg取不計(jì)空氣阻力，

（1）擺球著地時(shí)的速度大小.（2）D到C的

距離。

解析：（1）小球剛擺到B點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律

可知：

v2mgmF①，由①并帶入數(shù)據(jù)可解的：，

4m/SVBmBl

小球離開B后，做平拋運(yùn)動(dòng).1

gt2I豎直方向：H③②，落地時(shí)

豎直方向的速度：gtvy

2

22落地時(shí)的速度大小：④,由①②③④得：VVV

8m/s.vyB的距離（2）落地點(diǎn)D到C83.tvsm

B5

第六章萬(wàn)有引力與航天

§6-1開普勒定律

一、兩種對(duì)立學(xué)說(shuō)（了解）

1.地心說(shuō)：（1）代表人物：托勒密；（2）主要

觀點(diǎn)：地球是靜止不動(dòng)的，地球是宇宙的中心。

2.日心說(shuō)：（1）代表人物：哥白尼；（2）主要

觀點(diǎn)：太陽(yáng)靜止不動(dòng)，地球和其他行星都繞太陽(yáng)運(yùn)

動(dòng)。

二、開普勒定律

1.開普勒第一定律（軌道定律）：所有行星圍繞

太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在所有橢圓的一

個(gè)焦點(diǎn)上。

2.開普勒第二定律（面積定律）：對(duì)任意一個(gè)行

星來(lái)說(shuō)，它與太陽(yáng)的連線在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的

面積。此定律也適用于其他行星或衛(wèi)星繞某一天體

的運(yùn)動(dòng)。3.開普勒第三定律（周期定律）：所

有行星軌道的半長(zhǎng)軸R的三次方與公轉(zhuǎn)周期T的

二次方的比a3k,k值都相同，即值是由中心天

體決定的。通常將行星或衛(wèi)星繞中心天體運(yùn)動(dòng)的軌道

近似T2

為圓，則半長(zhǎng)軸a即為圓的半徑。我們也常用開

普勒三定律來(lái)分析行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速

率的大小。（AB）、關(guān)于“地心說(shuō)”和“日心說(shuō)”的下列說(shuō)

法中正確的是］1［牛刀小試。

.地心說(shuō)的參考系是地球A.日心說(shuō)的參考系是太陽(yáng)B

C.地心說(shuō)與日心說(shuō)只是參考系不同，兩者具有等同的價(jià)值D.日

心說(shuō)是由開普勒提出來(lái)的

2、開普勒分別于1609年和1619年發(fā)表了他發(fā)現(xiàn)的行星運(yùn)動(dòng)

規(guī)律，后人稱之為開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律。關(guān)于開

（B）普勒行星運(yùn)動(dòng)定律，下列說(shuō)法正確的是

A.所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是圓，太陽(yáng)處在圓心上

B.對(duì)任何一顆行星來(lái)說(shuō)，離太陽(yáng)越近，運(yùn)行速率就越大

C.在牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律后，開普勒才發(fā)現(xiàn)了行星的運(yùn)行規(guī)

律

D.開普勒獨(dú)立完成了觀測(cè)行星的運(yùn)行數(shù)據(jù)、整理觀測(cè)數(shù)據(jù)、發(fā)

現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律等全部工作

§6-2萬(wàn)有引力定律

、萬(wàn)有引力定律

■+

1.月一地檢驗(yàn)：①檢驗(yàn)人：牛頓；②結(jié)果：地面

物體所受地球的引力，與月球所受地球的引力都

是同一種力。

2.內(nèi)容：自然界的任何物體都相互吸引，引力方向

在它們的連線上，引力的大小跟它們的質(zhì)量

m和m乘積成正比，跟它們之間的距離的平方成

反比。21

22gkNmmm表達(dá)式：3.引力常量G)./F6.6710,

2111Gr2適用于相距很遠(yuǎn)，可以看做質(zhì)點(diǎn)

的兩物體間的相互作用，質(zhì)量分布均勻的球體使

用條件：4.也可用此公式計(jì)算，其中r指球心間

的距離。5.四大性質(zhì)：①普遍性：任何客觀存

在的有質(zhì)量的物體之間都存在萬(wàn)有引力。②相互

性：兩個(gè)物體間的萬(wàn)有引力是一對(duì)作用力與反作用

力，滿足牛頓第三定律。③宏觀性：一般萬(wàn)有引

力很小，只有在質(zhì)量巨大的星球間或天體與天體附

近的物體間，其存在才有意義。④特殊性：兩物

體間的萬(wàn)有引力只取決于它們本身的質(zhì)量及兩者

間的距離，而與它們所處環(huán)境以及周圍是否有其

他物體無(wú)關(guān)。

22/kgNm是引力常量，由卡文迪許通過(guò)扭秤裝貉

測(cè)出，單位是G6.對(duì)G的理解：①。

②G在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量為1kg的質(zhì)點(diǎn)相距

1m時(shí)的相互吸引力大小。

③G的測(cè)定證實(shí)了萬(wàn)有引力的存在，從而使萬(wàn)有

引力能夠進(jìn)行定量計(jì)算，同時(shí)標(biāo)志著力學(xué)實(shí)驗(yàn)精

密程度的提高，開創(chuàng)了測(cè)量弱相互作用力的新時(shí)代。

［牛刀小試］1、關(guān)于萬(wàn)有引力和萬(wàn)有引力定律理解正確的有

(B)

.不可能看作質(zhì)點(diǎn)的兩物體之間不存在相互作用的引力A

mmF=G.可看作質(zhì)點(diǎn)的兩物體間的引力可用B計(jì)算21

2r

mm21F=G.由c2r減小時(shí)，它們之間的引力增大，緊靠在一起

時(shí)，萬(wàn)有引力非常大知，兩物體間距離r

22/kgm10-.引力常量的大小首先是由卡文迪許測(cè)出來(lái)的，

且等于11N〃X6.67D

(ACD)2、下列說(shuō)法中正確的是

.總結(jié)出關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)三條定律的科學(xué)家是開普勒A

.總結(jié)出萬(wàn)有引力定律的物理學(xué)家是伽俐略B

.總結(jié)出萬(wàn)有引力定律的物理學(xué)家是牛頓C

.第一次精確測(cè)量出萬(wàn)有引力常量的物理學(xué)家是卡文迪許D

7.萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系：“黃金代換”公式推

導(dǎo)：⑴GMmogR當(dāng)時(shí)，就會(huì)有GFGMmg

2R2

（2）注意：①重力是由于地球的吸引而使物體受到

的力，但重力不是萬(wàn)有引力。

②只有在兩極時(shí)物體所受的萬(wàn)有引力才等于重力。

③重力的方向豎直向下，但并不一定指向地心，物

體在赤道上重力最小，在兩極時(shí)重力最大。④隨著

緯度的增加，物體的重力減小，物體在赤道上重力

最小，在兩極時(shí)重力最大。⑤物體隨地球自轉(zhuǎn)所需

的向心力一般很小，物體的重力隨緯度的變化很小,

因此在一般粗略的計(jì)算中，可以認(rèn)為物體所受的重

力等于物體所受地球的吸引力，即可得到“黃金

代換”公式。.

［牛刀小試］設(shè)地球表面的重力加速度為g,物體在距地心4

R（R為地球半徑）處，由于地球的作用而產(chǎn)生的重力加

°速度為g,貝！Jg：g為（D）。

A.16：1B.4：1C.1：4D.1:16

8.萬(wàn)有引力定律與天體運(yùn)動(dòng)：

（1）運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：通常把天體的運(yùn)動(dòng)近似看成是勻速

圓周運(yùn)動(dòng)。（2）從力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系角度分析天體

運(yùn)動(dòng)：天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，其速度方向時(shí)

刻改變，其所需的向

心力由萬(wàn)有引力提供，即F=Fo如圖所示，由

牛頓第二定律得：萬(wàn)需

Fma,F,從運(yùn)動(dòng)的角度分析向心加速度：GMm

萬(wàn)需2L

2

22L.L(2f)av2L2

n

TL

222V).(2GMm2)重要關(guān)系式：(3LLLf

22mmmmLTL

［牛刀小試］1、兩顆球形行星A和B各有一顆衛(wèi)星a和b,

衛(wèi)星的圓形軌道接近各自行星的表面，如果兩顆行

qo=q,則兩顆衛(wèi)星的周期之比等于星的質(zhì)量之比，半徑之比

q

P

2、地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的角速度為3,軌道半徑為R,月球繞地球

公轉(zhuǎn)的角速度為3,軌道半徑為R,那么太2班陽(yáng)的質(zhì)量是地

球質(zhì)量的多少倍？

解析：地球與太陽(yáng)的萬(wàn)有引力提供地球運(yùn)動(dòng)的向心力，月球與

地球的萬(wàn)有引力提供月球運(yùn)動(dòng)的向心力，最后

32R110算得結(jié)果為

R22MlMM之比與地球質(zhì)量pRR之比；火星的

半徑=3、假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量與地球的半徑21

21M2gRr之比=,那么火星表面的引力加速度等

于與地球表面處的重力加速度(A)g2

1

gR22Pp.A.C2PqpqD.B.

2qq

9.計(jì)算大考點(diǎn)：“填補(bǔ)法”計(jì)算均勻球體間的萬(wàn)有

引力：

談一談：萬(wàn)有引力定律適用于兩質(zhì)點(diǎn)間的引力作

用，對(duì)于形狀不規(guī)則的物體應(yīng)給予填補(bǔ)，變成一個(gè)

形狀規(guī)則、便于確定質(zhì)點(diǎn)位置的物體，再用萬(wàn)有引

力定律進(jìn)行求解。

模型：如右圖所示，在一個(gè)半徑為R,質(zhì)量為M

的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖出一個(gè)半徑為R/2

的球形空穴后，對(duì)位于球心和空穴中心連線上、

與球心相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大？

思路分析：把整個(gè)球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力看成是挖去的小球體和剩

余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力之和，即可求解。

F可視作F=F+F：根據(jù)“思路分析”所述，引力

21133

,MM'R/2的小球質(zhì)量為，因半徑為已知

FM44RRGMm

2d823234R33

228dR2R7d

MmM'mMmGMm,GGFF,FGMmGF

所以21222222d2d8dRdR8dRR8d

2222

228dR2R7d

則挖去小球后的剩余部分對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)。GMmm

的引力為228dRd

2

［能力提升］某小報(bào)登載：X年X月X日，X國(guó)發(fā)

射了一顆質(zhì)量為

100kg,周期為的1h的人造環(huán)月球衛(wèi)星。一位同

學(xué)記不住引力常量G

1

,月4數(shù)值且手邊沒有可查找的材料，但他記

得月球半徑約為地球的1，經(jīng)過(guò)推理,

他認(rèn)定該報(bào)道是則假新球表

面重力加速度約為地球的6

3聞，試寫出他的論證方案。(地球半徑約為6.4X

10km)

23兀RMm,證明：因?yàn)镚==以TmR,所2RTGM

1

R月34地GMMmRR兀=n=T=，故mgG

=得g22

min又1冗=202GMR2R月

g6地XRX6他6.431033兀2=°F.72hs

=6,2X10s又2=g”2X9.82

1.72h,故該報(bào)道是則假新聞。環(huán)月衛(wèi)星最小周期

約為

§6-3由“萬(wàn)有引力定律”引出的四大考

點(diǎn)

一、解題思路一一“金三角”關(guān)系：

(1)萬(wàn)有引力與向心力的聯(lián)系：萬(wàn)有引力提供天

體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即

22V2GMm22rma是本章解題的主線索。

rm(2n)mrmm2r

rT

GMm物體所受的重力近似等于它受到的萬(wàn)有引

力，)萬(wàn)有引力與重力的聯(lián)系：(mg,g即

為r22

對(duì)應(yīng)軌道處的重力加速度，這是本章解題的副線索。

-*0?f——?).g

---------■—■"J'X

V2222mgmrm

m(3)重力與向心力的聯(lián)系：r,g為對(duì)應(yīng)軌

道處的重力加速度，適

rT

的特殊情況。用于已知g

二、天體質(zhì)量的估算

模型一：環(huán)繞型：談一談：對(duì)于有衛(wèi)星的天體,

可認(rèn)為衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，中心天體

對(duì)衛(wèi)星的萬(wàn)有

引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，利用引力

常量G和環(huán)形衛(wèi)星的V、,、T、r中任意兩個(gè)

量進(jìn)行估算(只能估計(jì)中心天體的質(zhì)量，不能估算

環(huán)繞衛(wèi)星的質(zhì)量)。Mm232T:G

①已知r和r4.M2rm

22GTr

T

Mm22Vm「rv.M②已知v：G和Grr22

2Mm322Tm

VV.mr

和v:G

TrM③已知

r2GT

模型二：表面型：

談一談：對(duì)于沒有衛(wèi)星的天體（或有衛(wèi)星，但不

知道衛(wèi)星運(yùn)行的相關(guān)物理量），可忽略天體自轉(zhuǎn)

的影響，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力進(jìn)行粗略估算。

2MmGgR.Mmg

2RG

變形：如果物體不在天體表面，但知道物體所在

處的g,也可以利用上面的方法求出天體的質(zhì)量:

處理：不考慮天體自轉(zhuǎn)的影響，天體附近物體的重

力等于物體受的萬(wàn)有引力，

2h）

GBP：.mg'Mg'（RMm

2h）G（R

［觸類旁通］1、（2013〃福建理綜，13）設(shè)太陽(yáng)

質(zhì)量為M,某行星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期為T,軌道可

視

G,則描述該行星運(yùn)動(dòng)的上述物理量滿足作半徑為

r的圓。已知萬(wàn)有引力常量為（A）

23223rrnr冗冗422=GM.GM=

2=GM.=.GMA.BCDTTTI

2GMm4n本題考查了萬(wàn)有引力在天體

中的應(yīng)用。是知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用。由解析：22mr

=可得Tr

32JT42T,=A正確。GM

2、(2013〃全國(guó)大綱卷，18)“嫦娥一號(hào)”是

我國(guó)首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為

『2200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127

分鐘。已知引力常量G=6.67X10N〃m/kg,月

球

3o利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為半徑約為

1.74X10km)(D

22101319kg8.1A.XXkg105.4.10X7.4kgB

10.kgCX.D7.410

-a■―GJB1..IatN

解析：本題考查萬(wàn)有引力定律在天體中的應(yīng)用O

解題的關(guān)鍵是明確探月衛(wèi)星繞月球運(yùn)行的向心

223Mm冗44n

2=mr得M=,又r=R+h,代入數(shù)值得

月GTrrG力是由月球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供。

由22月22正確。，選項(xiàng)107.4X球質(zhì)量M=

kgD

5km10,公轉(zhuǎn)周期個(gè)衛(wèi)星中最內(nèi)側(cè)的一個(gè)衛(wèi)星，

其軌道為圓形，軌道半徑為1.59X3、土星的9

26kg10o,則土星的質(zhì)量為5.21X為18h46

min

4、宇航員站在一顆星球表面上的某高處，沿水平

方向拋出一個(gè)小球。經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星

Lo若拋出時(shí)的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落

地球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為

點(diǎn)之間的距離為。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上,

該星球的半徑為R,萬(wàn)有引力常數(shù)為Go3L

求該星球的質(zhì)量Mo

解析：在該星球表面平拋物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與地球

表面相同，根據(jù)已知條件可以求出該星球表面

的加速度；需要注意的是拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距

離為小球所做平拋運(yùn)動(dòng)的位移的大小，而非

223LRO水平方向的位移的大小。然后根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力，求出

該星球的質(zhì)量23Gt

5、“科學(xué)真是迷人?！比绻覀兡軠y(cè)出月球表面的

加速度g、月球的半徑R和月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的

周期T,就能根據(jù)萬(wàn)有引力定律“稱量”月球的

質(zhì)量了。已知引力常數(shù)G,用M表示月球的質(zhì)

量。

關(guān)于月球質(zhì)量，下列說(shuō)法正確的是(A)

223223GRgRRTRn4M=.M=DB.M=C.A.M=224

五GGTGg解析：月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T與月

球的質(zhì)量無(wú)關(guān)。

三、天體密度的計(jì)算

g求天體密度：模型一：利用天體表面的

4Mm3g.RGmg,M32R4GR3變形

物體不在天體表面：

32h)R.3g'(RGMmmg',M4

324GR(Rh)3

模型二：利用天體的衛(wèi)星求天體的密度：

r4323223r4rGTM4Mm3.Gm,

M43R4GTrTR322233RR

33

四、求星球表面的重力加速度：

在忽略星球自轉(zhuǎn)的情況下，物體在星球表面的重力

大小等于物體與星球間的萬(wàn)有引力大小，即：

MmGM星星g.Gmg星星22RR星星［牛刀

小試］（2012新課標(biāo)全國(guó)卷，21）假設(shè)地球是

一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井

深度為do已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的

引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大

小之比為（A）

22ddRRd

A.1—B.1+C.D.RRRdR

解析：設(shè)地球的質(zhì)量為M,地球的密度為P,

根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知，

GM43地球表面的重力加速度g=,地球的質(zhì)量

可表本為pJi=2

RM3R

因質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，所

以礦井下以(R—d)為半徑的地球的質(zhì)量為

R-dGM，433)g'=,所以礦井(M'

=兀(R-d)P,解得M，=dR3R

一,則礦井底部處的重力加速度M2

g'd

=1一,選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、DR底部處

的重力加速度和地球表面處的重力加速度之比g

錯(cuò)誤。

五、雙星問(wèn)題：

特點(diǎn)：“四個(gè)相等”：兩星球向心力相等、角速度相

等、周期相等、距離等于軌道半徑之和。

17111.L,r,vr符號(hào)表示：L,rmFrmvmi2122

mmmmmm2211

處理方法：雙星間的萬(wàn)有引力提供了它們做圓周

運(yùn)動(dòng)的向心力,即：

mm2i22,由止匕得出：23=m3=212iGLmrr

，即某恒星的運(yùn)動(dòng)半徑與其質(zhì)量成反比。mrmr=

（1）2121234nL2n

（2）由于3=,r+r=L,所以兩恒星的質(zhì)量之

和Tm+m=oGT21212

［牛刀小試］1、（2010年全國(guó)卷I）如圖所示,

質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引

力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和

B兩者中心之間的距離為L(zhǎng).已知A、B的中心

和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩

側(cè).引力常量為G.

（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；（2）在地月系

統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地

球看成上述星球A和B,月球繞其T.但在

近似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周

運(yùn)動(dòng)的，這12422

T兩者的平方之比.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）1

解析：（1）A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們

之間的萬(wàn)有引力提供向心力，則A和B的向心

力相等，且A和B與O始終共線，說(shuō)明A

和B有相同的角速度和周期.因此有mM

r=M?R,r+R=L聯(lián)立解得R=L,r=22LM+mMm

+

對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得：

32L2GMmM,化簡(jiǎn)得T2.L

2Mm

LG(Mm)mT

3L(2)將地月看成雙星，由(1)得T2

m)G(M

22m

將月球看做繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律

和萬(wàn)有引力定律得LGMm

2LT3L

T化簡(jiǎn)得2

GM

所以兩種周期的平方比值為

2422Tl07.3510X+M+5.98Xm22==

1.01,105.98MXT=241

2、(2013〃山東理綜，20)雙星系統(tǒng)由兩顆恒

星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其

連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。研究

發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過(guò)程中，兩星的總質(zhì)量、

距離和周期均可能發(fā)生變化。若某雙星系統(tǒng)中兩

星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，

k倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的n倍，則此時(shí)圓

周運(yùn)動(dòng)的周期為（B）兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的

332nnnnTA.B.D.C.TTT2

kkkk

（周期）相等，要注意雙星的距離不解析：本題考查

雙星問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要掌握雙星的角速度

GMmGMm22

=mrw=Mr3；；是軌道半徑，該題考查了理解

能力和綜合分析問(wèn)題的能力。由212rr2

322m+GkMGM+mnn4n42

nr得：+r=正確。=,21=2同理有3=r，解得2T2T12

k

rr=BnrrrTT1

§6-4宇宙速度&衛(wèi)星

一、涉及航空航天的“三大速度”：

（一）宇宙速度：

1.第一宇宙速度：人造地球衛(wèi)星在地面附近環(huán)

繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)必須具有的速度叫第一

宇

宙速度，也叫地面附近的環(huán)繞速度，v=7.9km/so

它是近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，也是人造衛(wèi)星最小發(fā)?

射速度。（待在地球旁邊的速度）

2.第二宇宙速度：使物體掙脫地球引力的束縛，

成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星或飛到其他行星上去

的最小速度，v=11.2km/so（離棄地球，投入太

陽(yáng)懷抱的速度）23.第三宇宙速度：使物體掙脫

太陽(yáng)引力的束縛，飛到太陽(yáng)以外的宇宙空間去的

最小速度，

v=16.7km/so（離棄太陽(yáng)，投入更大宇宙空間懷

抱的速度）2（二）發(fā)射速度：

1.定義：衛(wèi)星在地面附近離開發(fā)射裝貉的初速度。

2.取值范圍及運(yùn)行狀態(tài)：

①vv7.9km/s,人造衛(wèi)星只能“貼著”地面近地運(yùn)

行。1發(fā).

vv②7.9km/s,可以使衛(wèi)星在距地面較高的軌道上

運(yùn)行。1發(fā)vv11.2m/s,7.9km/vv即，③一般

情況下人造地球衛(wèi)星發(fā)射速度。21

s發(fā)發(fā)

（三）運(yùn)行速度：

1.定義:衛(wèi)星在進(jìn)入運(yùn)行軌道后繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)

的線速度。mvGMmGlVL該速度指的

是