2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二章 一元二次方程6 應(yīng)用一元二次方程第1課時(shí) 利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題教案 （新版）北師大版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章一元二次方程6應(yīng)用一元二次方程第1課時(shí)利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題教案（新版）北師大版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教材分析《2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章一元二次方程6應(yīng)用一元二次方程第1課時(shí)利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題教案（新版）北師大版》是在學(xué)生掌握了基礎(chǔ)的一元二次方程知識(shí)基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。本節(jié)課主要利用一元二次方程解決幾何問(wèn)題，通過(guò)具體例題讓學(xué)生體會(huì)一元二次方程在幾何中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)內(nèi)容主要包括：

1.利用一元二次方程求解幾何圖形的邊長(zhǎng)、面積等；

2.分析實(shí)際問(wèn)題，建立一元二次方程模型，求解問(wèn)題；

3.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法與步驟。

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解并掌握一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法；

2.能夠獨(dú)立分析實(shí)際問(wèn)題，建立一元二次方程模型并求解；

3.提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。教學(xué)目標(biāo)分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度分析，主要包括以下幾個(gè)方面：

1.知識(shí)與技能：學(xué)生能夠掌握一元二次方程在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，通過(guò)求解一元二次方程得到幾何圖形的邊長(zhǎng)、面積等屬性。

2.過(guò)程與方法：學(xué)生通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)分析問(wèn)題、建立模型、求解問(wèn)題的能力。通過(guò)小組討論、合作交流等方式，提高學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和溝通能力。

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的重要性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)困難勇于挑戰(zhàn)、堅(jiān)持不懈的精神。

4.數(shù)學(xué)抽象：通過(guò)解決幾何問(wèn)題，學(xué)生能夠抽象出一元二次方程的模型，理解數(shù)學(xué)模型的建立和求解過(guò)程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

5.數(shù)學(xué)建模：學(xué)生能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，通過(guò)一元二次方程求解幾何問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

6.數(shù)學(xué)運(yùn)算：學(xué)生熟練掌握一元二次方程的求解方法，能夠運(yùn)用運(yùn)算技巧解決幾何問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

7.直觀想象：通過(guò)解決幾何問(wèn)題，學(xué)生能夠借助直觀想象，更好地理解一元二次方程在幾何中的應(yīng)用，提高學(xué)生的空間想象能力。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法重點(diǎn)：

1.一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法與步驟；

2.實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的技巧。

難點(diǎn)：

1.如何正確建立一元二次方程模型，解決幾何問(wèn)題；

2.在求解過(guò)程中，如何靈活運(yùn)用一元二次方程的性質(zhì)。

解決辦法：

1.針對(duì)重點(diǎn)1，通過(guò)具體例題講解，讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)，體會(huì)一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法與步驟。

2.針對(duì)重點(diǎn)2，組織小組討論，讓學(xué)生分享各自解決問(wèn)題的思路和方法，互相學(xué)習(xí)，提高解決問(wèn)題的能力。

3.對(duì)于難點(diǎn)1，引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問(wèn)題，逐步引導(dǎo)學(xué)生建立一元二次方程模型，并通過(guò)求解驗(yàn)證模型的正確性。

4.對(duì)于難點(diǎn)2，通過(guò)講解一元二次方程的性質(zhì)，讓學(xué)生在求解過(guò)程中能夠靈活運(yùn)用，降低求解難度。

5.利用課后習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)方法與策略1.選擇適合教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)者特點(diǎn)的教學(xué)方法

針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，我選擇以下教學(xué)方法：

-講授法：用于講解一元二次方程解決幾何問(wèn)題的基本方法和步驟，以及一元二次方程的性質(zhì)。

-案例研究法：通過(guò)分析具體案例，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，建立一元二次方程。

-小組討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享各自解決問(wèn)題的思路和方法，互相學(xué)習(xí)，提高解決問(wèn)題的能力。

-實(shí)驗(yàn)法：讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，驗(yàn)證一元二次方程模型的正確性。

2.設(shè)計(jì)具體的教學(xué)活動(dòng)

-角色扮演：學(xué)生扮演幾何問(wèn)題中的角色，如三角形、矩形等，通過(guò)模擬實(shí)際問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生對(duì)一元二次方程解決幾何問(wèn)題的興趣。

-實(shí)驗(yàn)活動(dòng)：讓學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，求解具體的幾何問(wèn)題，如求三角形的高、面積等，從而加深對(duì)一元二次方程解決幾何問(wèn)題的理解。

-游戲設(shè)計(jì)：設(shè)計(jì)幾何問(wèn)題解決游戲，讓學(xué)生在游戲中練習(xí)建立一元二次方程模型，求解問(wèn)題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3.確定教學(xué)媒體和資源的使用

-PPT：制作精美的PPT，展示一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法、步驟和案例，方便學(xué)生理解和記憶。

-視頻：選擇與本節(jié)課相關(guān)的教學(xué)視頻，如一元二次方程的求解過(guò)程、幾何問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用等，豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)資源。

-在線工具：利用在線工具，如數(shù)學(xué)軟件、在線解題平臺(tái)等，讓學(xué)生實(shí)時(shí)檢驗(yàn)自己的解題結(jié)果，提高學(xué)習(xí)效果。

-課后習(xí)題：提供豐富的課后習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

-利用PPT展示一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：已知直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm，求斜邊長(zhǎng)。

-引導(dǎo)學(xué)生嘗試解決該問(wèn)題，從而引出一元二次方程解決幾何問(wèn)題的主題。

2.新課講授（15分鐘）

2.1介紹一元二次方程解決幾何問(wèn)題的基本方法和步驟。

2.2通過(guò)具體案例，講解一元二次方程在幾何中的應(yīng)用，如求解三角形的面積、矩形的周長(zhǎng)等。

2.3講解一元二次方程的性質(zhì)，如軸對(duì)稱(chēng)性、開(kāi)口方向等，并引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決幾何問(wèn)題。

3.實(shí)踐活動(dòng)（10分鐘）

3.1讓學(xué)生獨(dú)立解決一個(gè)幾何問(wèn)題，如求解一個(gè)已知兩邊長(zhǎng)度的三角形的面積。

3.2學(xué)生展示解題過(guò)程和結(jié)果，教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和指導(dǎo)。

3.3讓學(xué)生利用在線工具，驗(yàn)證自己的解題結(jié)果，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

4.1學(xué)生分組，每組選擇一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，嘗試建立一元二次方程模型并求解。

4.2各組分享解題過(guò)程和結(jié)果，討論在解決問(wèn)題過(guò)程中遇到的困難和解決方法。

4.3教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)討論成果，歸納一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法和技巧。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

5.1教師簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法和步驟。

5.2學(xué)生提問(wèn)，教師解答疑問(wèn)。

5.3布置課后習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

總用時(shí)：40分鐘。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料

-《幾何問(wèn)題中的一元二次方程》：介紹一元二次方程在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，拓展學(xué)生對(duì)一元二次方程解決幾何問(wèn)題的理解。

-《一元二次方程的性質(zhì)與解法》：深入講解一元二次方程的性質(zhì)，包括軸對(duì)稱(chēng)性、開(kāi)口方向等，并提供多種解法，幫助學(xué)生靈活運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題。

-《數(shù)學(xué)建模在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用》：介紹數(shù)學(xué)建模的基本概念和方法，引導(dǎo)學(xué)生將一元二次方程應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，提高解決問(wèn)題的能力。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究

-要求學(xué)生課后自主解決一個(gè)幾何問(wèn)題，并撰寫(xiě)解題報(bào)告，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題的能力。

-鼓勵(lì)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如數(shù)學(xué)論壇、學(xué)習(xí)網(wǎng)站等，與其他同學(xué)交流一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法和經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的溝通能力。

-引導(dǎo)學(xué)生深入研究一元二次方程在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理學(xué)、工程學(xué)等，拓寬學(xué)生的知識(shí)面，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

3.知識(shí)點(diǎn)全面拓展

-除了本節(jié)課所學(xué)的一元二次方程解決幾何問(wèn)題，學(xué)生還可以自主學(xué)習(xí)其他類(lèi)型的方程在幾何中的應(yīng)用，如一元一次方程、多元方程等。

-學(xué)生可以探究一元二次方程在其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用，如物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)方程、化學(xué)中的平衡常數(shù)等。

-學(xué)生還可以學(xué)習(xí)一元二次方程與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合，如與函數(shù)、不等式等的關(guān)系，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力。教學(xué)反思今天的課總的來(lái)說(shuō)，學(xué)生們反應(yīng)積極，參與度較高，但我也發(fā)現(xiàn)了一些需要改進(jìn)的地方。

在導(dǎo)入新課時(shí)，我通過(guò)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引起了學(xué)生的興趣，但可能在問(wèn)題選取上有些過(guò)于簡(jiǎn)單，沒(méi)能很好地激發(fā)學(xué)生的思考。下次我打算選取一些更具挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，讓學(xué)生從解決實(shí)際問(wèn)題中感受到一元二次方程的重要性。

在新課講授環(huán)節(jié)，我詳細(xì)講解了一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法和步驟，并通過(guò)案例讓學(xué)生加深理解。但課后我發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，仍然不知道如何將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。因此，我計(jì)劃在接下來(lái)的教學(xué)中，增加更多實(shí)例，讓學(xué)生在實(shí)踐中學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化。

實(shí)踐活動(dòng)環(huán)節(jié)，我讓學(xué)生獨(dú)立解決了一個(gè)幾何問(wèn)題，并在小組內(nèi)進(jìn)行了分享和討論。這一環(huán)節(jié)學(xué)生的參與度很高，但也發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)一元二次方程的性質(zhì)理解不夠深入，導(dǎo)致在求解過(guò)程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤。針對(duì)這一問(wèn)題，我計(jì)劃在課堂上花更多時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生深入理解一元二次方程的性質(zhì)，并鼓勵(lì)學(xué)生在課后進(jìn)行自主學(xué)習(xí)。

在小組討論環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了三個(gè)實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生嘗試建立一元二次方程模型并求解。學(xué)生們?cè)谟懻撝蟹e極發(fā)表自己的觀點(diǎn)，但也發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生對(duì)于如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型仍感到困惑。下次我計(jì)劃在講解實(shí)例時(shí)，更加詳細(xì)地展示解題思路，讓學(xué)生在課后能夠更好地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置

-請(qǐng)學(xué)生完成課后習(xí)題，包括選擇題和解答題，以鞏固本節(jié)課所學(xué)習(xí)的一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法和步驟。

-要求學(xué)生解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并利用一元二次方程求解。問(wèn)題可以涉及三角形、矩形、圓等幾何圖形的邊長(zhǎng)、面積等屬性的計(jì)算。

-鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行拓展學(xué)習(xí)，閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)文章或參與線上討論，了解一元二次方程在其他學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用。

2.作業(yè)反饋

-在批改學(xué)生作業(yè)時(shí)，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)一元二次方程解決幾何問(wèn)題的理解和應(yīng)用能力。檢查學(xué)生是否能夠正確建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用一元二次方程進(jìn)行求解。

-在反饋中，針對(duì)學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的問(wèn)題，給出具體的改進(jìn)建議。例如，如果學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)遇到困難，可以建議他們回顧課堂上的講解，或者再次閱讀教材相關(guān)部分。

-對(duì)于作業(yè)中表現(xiàn)良好的學(xué)生，給予積極的評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，以增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)力。同時(shí)，可以提供進(jìn)一步的拓展問(wèn)題或建議，引導(dǎo)他們深入探究。

-及時(shí)與學(xué)生進(jìn)行溝通，解答他們?cè)谧鳂I(yè)中遇到的疑問(wèn)，并提供必要的幫助?？梢酝ㄟ^(guò)線下輔導(dǎo)或者線上交流的方式進(jìn)行。

-鼓勵(lì)學(xué)生之間的交流和合作，讓他們互相學(xué)習(xí)和分享解題的經(jīng)驗(yàn)和方法。可以組織小組討論或者作業(yè)互評(píng)活動(dòng)。典型例題講解例題1：已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm，求斜邊長(zhǎng)。

解答：設(shè)斜邊長(zhǎng)為x，根據(jù)勾股定理，有x^2=3^2+4^2。解得x=5cm。

例題2：一個(gè)矩形的周長(zhǎng)是24cm，其中一條邊長(zhǎng)比另一條邊長(zhǎng)2cm，求矩形的面積。

解答：設(shè)矩形的長(zhǎng)為a，寬為b，根據(jù)題意有a=b+2。又矩形的周長(zhǎng)是24cm，所以2(a+b)=24，即a+b=12。將a=b+2代入得b=6，a=8。矩形的面積是a*b，所以面積為8*6=48cm^2。

例題3：一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是6cm和8cm，這兩邊之間的夾角是90度，求第三邊的長(zhǎng)度。

解答：根據(jù)勾股定理，第三邊的長(zhǎng)度是√(6^2+8^2)=√(36+64)=√100=10cm。

例題4：一個(gè)圓的直徑是10cm，求圓的周長(zhǎng)和面積。

解答：圓的周長(zhǎng)是π*直徑，所以周長(zhǎng)是π*10cm=2πcm。圓的面積是π*半徑^2，所以面積是π*(10/2)^2=π*25=25πcm^2。

例題5：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是8cm，求正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度。

解答：正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度是√2*邊長(zhǎng)，所以對(duì)角線長(zhǎng)度是√2*8cm=8√2cm。板書(shū)設(shè)計(jì)①一元二次方程解決幾何問(wèn)題的方法與步驟：

步驟一：分析實(shí)際問(wèn)題，確定需要求解的量。

步驟二：建立一元二次方程模型，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。

步驟三：求解一元二次方程，得到問(wèn)題的答案。

步驟四：檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際情況，并進(jìn)行調(diào)整。