新高考2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第4講函數(shù)最值的靈活運(yùn)用教師版

第4講函數(shù)最值的敏捷運(yùn)用一．選擇題（共13小題）1．（2024秋?北侖區(qū)校級(jí)期中）設(shè)函數(shù)，記表示不超過的最大整數(shù)，例如，，．那么函數(shù)的值域是A．，1， B．，0， C．， D．，【解答】解：，，，又，，當(dāng)時(shí)，，，，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，，．故函數(shù)的值域，．故選：．2．（2024?齊齊哈爾三模）當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．【解答】解：由題意可得：當(dāng)時(shí)，結(jié)合可得：，不滿意題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿意題意時(shí)有：，即：．求解不等式可得實(shí)數(shù)的取值范圍是：．故選：．3．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知，設(shè)函數(shù)和的零點(diǎn)分別為，和，，則的最小值是A． B． C．1 D．2【解答】解：函數(shù)的圖象如圖：設(shè)，，，可得，，又設(shè)，可得，，，由，由，可得，在遞減，可得，，即有，，，，可得，，即有所求最小值為1．故選：．4．（2024春?桃城區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)若對(duì)隨意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解答】解：作出函數(shù)的圖象，以及函數(shù)的圖象，由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)隨意的恒成立，即為的圖象在的圖象的下方，由圖象可得時(shí)，的圖象在的圖象的下方，故選：．5．（2024?臨沂一模）高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，也稱取整函數(shù)，例如：，．已知，則函數(shù)的值域?yàn)锳． B．， C．，， D．，0，【解答】解：，，，，，或0，的值域?yàn)?，．故選：．6．（2024秋?蚌山區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)值域?yàn)锳． B．， C． D．，【解答】解：設(shè)，，則，，原函數(shù)的值域?yàn)椋海蔬x：．7．（2024?湖北模擬）已知，則的值域是A．， B．， C．， D．，【解答】解：①當(dāng)時(shí)，，，，，；②當(dāng)時(shí)，，，的值域?yàn)?，．故選：．8．（2024秋?松山區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是A．，， B．，， C． D．，【解答】解：的值域?yàn)?，函?shù)的值域真包含，△，解得或，實(shí)數(shù)的取值范圍是：，，．故選：．9．（2024秋?金水區(qū)校級(jí)期中）定義運(yùn)算為：，如，則函數(shù)且的值域?yàn)锳．， B．， C．， D．，【解答】解：時(shí)，，此時(shí)；時(shí)，，此時(shí)，的值域?yàn)?，．故選：．10．（2024秋?沈陽(yáng)期末）已知函數(shù)的值域?yàn)椋敲磳?shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C． D．，【解答】解：當(dāng)時(shí)，，的值域?yàn)椋?，解得，．故選：．11．（2024秋?浙江月考）設(shè)為不超過的最大整數(shù)，定義集合，，的元素個(gè)數(shù)為有限集合，，，的“容量”，記為（A），則使函數(shù)，，的值域滿意（A）的正整數(shù)的值為A．1000 B．1024 C．2024 D．2024【解答】解：當(dāng)，時(shí)，，則，，所以，函數(shù)在區(qū)間，上的值域?yàn)?，，，，從而，，，，，，所以，（A），解得，故選：．12．（2024春?張家口月考）設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)锳． B．， C．， D．【解答】解：因?yàn)椋?，則，則函數(shù)的值域，．故選：．13．（2024春?翠屏區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)的值域?yàn)?，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．，【解答】解：函數(shù)的值域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，即．令，則，故在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值為，，故選：．二．多選題（共2小題）14．（2024秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．下列命題是真命題的是A．， B．，， C．函數(shù)的值域?yàn)椋?D．若，使得，，，，同時(shí)成立，則正整數(shù)的最大值是5【解答】解：對(duì)于是整數(shù)，若，是整數(shù)，所以，沖突，故錯(cuò)誤；對(duì)于，，，，，，，所以，，所以，故正確；對(duì)于：由定義，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?，，故正確；對(duì)于：若，使得，，，同時(shí)成立，則，，，，．，因?yàn)椋?，則不存在滿意，，所以只有時(shí)，存在，滿意題意．故選：．15．（2024秋?江蘇期末）若在區(qū)間，上有恒成立，則稱為在區(qū)間，上的下界，且下界的最大值稱為在區(qū)間，上的下確界，簡(jiǎn)記為．已知是上的奇函數(shù)，且，當(dāng)，時(shí)，有．若，，不等式恒成立，下列結(jié)論中正確的是A．直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸 B．若，則的最大值為4 C．當(dāng)，時(shí)， D．若，則，是不等式恒成立的充分不必要條件【解答】解：因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，當(dāng)，時(shí)，有，所以，時(shí)，有，因?yàn)?，所以，所以的周期?6，且，所以關(guān)于對(duì)稱，圖像如圖所示：對(duì)于：可知是函數(shù)的對(duì)稱中心，直線不是對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；對(duì)于：若時(shí)，，，，即，故正確；對(duì)于：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)經(jīng)過，，設(shè)解析式為，所以，解得，即，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)經(jīng)過，，設(shè)解析式為，所以，解得，即，所以當(dāng)，時(shí)，，因?yàn)榈闹芷跒?6，當(dāng)，時(shí)，，故正確；對(duì)于：若，即恒成立，當(dāng)時(shí)，，故存在沖突，當(dāng)時(shí)，也存在沖突，因此，，上考慮，此時(shí)，所以，即在，上的最小值大于等于，在，上，的范圍為，，所以，解得，，因?yàn)椋?，，所以，是，的充分不必要條件，故正確．故選：．三．填空題（共14小題）16．（2024秋?蘆淞區(qū)校級(jí)期中）若用和表示的最大值和最小值，已知函數(shù)，則1．【解答】解：因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)，由此可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又因?yàn)椋?），（3），所以，所以，故答案為：1．17．（2024秋?麗水期中）定義，設(shè)函數(shù)，，則（1）4；的最大值為．【解答】解：由得，或；解得，，據(jù)題意得，，（1），或時(shí)，，則；時(shí)，，的最大值為5．故答案為：4，5．18．（2024?普陀區(qū)二模）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為．【解答】解：，設(shè)，則，，，，，則，，，設(shè)，在，上恒成立，，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，又在，上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的最大值為，的最大值為，故答案為：．19．（2024秋?福建期中）若關(guān)于的函數(shù)的最大值為，最小值為，且，則實(shí)數(shù)的值為4．【解答】解：由題意，設(shè)，則是上的奇函數(shù)．的最大值和最小值互為相反數(shù)，和為0，那么的最大值，最小值，，則，解得，故答案為：4．20．（2024秋?和平區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)的最大值為．【解答】解：由，得．函數(shù)的定義域?yàn)?，，函?shù)在，上為增函數(shù)，函數(shù)在，上為增函數(shù)，函數(shù)在，上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為．故答案為：．21．（2024秋?楊浦區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任何實(shí)數(shù)，，都有，且函數(shù)的最大值為，最小值為，則值為6．【解答】解：的定義域?yàn)?，?duì)任何實(shí)數(shù)，，都有，令得，，令得，，，是上的奇函數(shù)，且函數(shù)是上的奇函數(shù)，是上的奇函數(shù)，依據(jù)奇函數(shù)最大值和最小值互為相反數(shù)得，，．故答案為：6．22．（2024秋?銅陵期末）函數(shù)在，上的最大值為2024．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)，和函數(shù)在，上均為減函數(shù)，所以函數(shù)數(shù)在，上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為．故答案為：2024．23．（2024秋?鎮(zhèn)江期中）高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是，．【解答】解：，，則，可得，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)的值域是，．故答案為：，．24．（2024秋?屯溪區(qū)校級(jí)月考）若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，，．【解答】解：函數(shù)的值域?yàn)?，，且，?dāng)時(shí)，，故只需即可，解不等式可得，綜上可得的取值范圍為：且．故答案為：，，．25．（2017秋?十堰期末）已知函數(shù)．其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，．（1）函數(shù)是非奇非偶函數(shù)（奇偶性）；（2）函數(shù)的值域是．【解答】解：（1），（1）函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（2）由題意得當(dāng)，時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，，得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，（1），得；當(dāng)時(shí)，．綜上得函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?）非奇非偶（2）26．若函數(shù)的值域是，，則函數(shù)的值域?yàn)椋窘獯稹拷猓阂驗(yàn)楹瘮?shù)的值域是，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，，則的值域?yàn)?，，所以函?shù)的值域?yàn)?，．故答案為：，?7．（2024春?南山區(qū)校級(jí)期中）規(guī)定：若函數(shù)在定義域，上的值域是，，則稱該函數(shù)為“微微笑”函數(shù)．已知函數(shù)且為“微微笑”函數(shù)，則的取值范圍是．【解答】解：由題意可得，函數(shù)在定義域，上的值域?yàn)椋?，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值（e），又當(dāng)時(shí)，，（1），所以，又因?yàn)橛袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，解得，則的取值范圍是．故答案為：．28．（2024秋?西城區(qū)校級(jí)月考）定義函數(shù)f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，[2]＝2．當(dāng)x∈[0，n）（n∈N*）時(shí)，f（x）的值域?yàn)锳n．（1）＝10．（2）集合A10中元素的個(gè)數(shù)為46．【解答】解：（1）則＝；（2）由題意可知，，則x，所以x[x]]在各個(gè)區(qū)間中的元素個(gè)數(shù)為1，1，2，3，4，???，n﹣1，設(shè)集合An中元素的個(gè)數(shù)為an，則，故集合A10中元素的個(gè)數(shù)為．故答案為：（1）10；（2）46．29．（2024秋?高安市校級(jí)期中）函數(shù)定義域?yàn)?，若滿意①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在，使在，上的值域?yàn)椋?，，那么就稱為“域倍函數(shù)”，若函數(shù)，是“域2倍函數(shù)”，則的取值范圍為，．【解答】解：依據(jù)函數(shù)，是增函數(shù)，由“域倍函數(shù)”定義有，，即方程有兩個(gè)不同實(shí)根，即方程有兩個(gè)不同實(shí)根．令，則有兩個(gè)不同正實(shí)根，，解得，故答案為：，．四．解答題（共2小題）30．（2016?浙江）已知，函數(shù)，，其中．（Ⅰ）求使得等式成立的的取值范圍；（Ⅱ）求的最小值（a）；求在，上的最大值（a）．【解答】解：（Ⅰ）由可知，，由，故時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則等式成立