2024年四川省資陽市中考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

資陽市2024年初中學(xué)業(yè)水平考試暨高中階段學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)全卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁。全卷滿分150分?？荚嚂r(shí)間共120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，請(qǐng)考生務(wù)必在答題卡上正確填寫自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)和座位號(hào)。考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回。2．第Ⅰ卷每小題選出的答案須用2B鉛筆在答題卡上把對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦擦凈后，再選涂其它答案。3．第Ⅱ卷各題須用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題號(hào)答題位置作答。在試卷上作答，答案無效。第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．3的相反數(shù)為A．B．C．D．32．下列計(jì)算正確的是A．B．C．D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是A．長方體B．棱錐C．圓錐D．球體4．6名學(xué)生一周做家務(wù)的天數(shù)依次為4，4，5，7，7，7，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為A．5，4B．6，5C．6，7D．7，75．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（，1）沿y軸向上平移1個(gè)單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為A．（，0）B．（，2）C．（，1）D．（，1）6．如圖，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E．若，則的度數(shù)為A．B．C．D．7．已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于，則該多邊形的邊數(shù)是A．4B．5C．6D．78．若，則整數(shù)m的值為A．2B．3C．4D．59．第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（JCME-14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（，，，）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若，則A．B．C．D．10．已知二次函數(shù)與的圖象均過點(diǎn)A（4，0）和坐標(biāo)原點(diǎn)O，這兩個(gè)函數(shù)在時(shí)形成的封閉圖象如圖所示，P為線段OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)P且與x軸不重合的直線與封閉圖象交于B，C兩點(diǎn)．給出下列結(jié)論：①；②；③以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形可以為正方形；④若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)Q在y軸上（Q，B，C三點(diǎn)不共線），則周長的最小值為．其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．若，則________．12．2024年政府工作報(bào)告提出，我國今年發(fā)展主要預(yù)期目標(biāo)是：國內(nèi)生產(chǎn)總值增長5%左右，城鎮(zhèn)新增就業(yè)1200萬人以上……將數(shù)“1200萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為________．13．一個(gè)不透明的袋中裝有6個(gè)白球和m個(gè)紅球，這些球除顏色外無其他差別．充分?jǐn)噭蚝?，從袋中隨機(jī)取出一個(gè)球是白球的概率為，則________．14．小王前往距家2000米的公司參會(huì)，先以（米/分）的速度步行一段時(shí)間后，再改騎共享單車直達(dá)會(huì)議地點(diǎn)，到達(dá)時(shí)距會(huì)議開始還有14分鐘，小王距家的路程S（單位：米）與距家的時(shí)間t（單位：分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．若小王全程以（米/分）的速度步行，則他到達(dá)時(shí)距會(huì)議開始還有________分鐘．15．如圖，在矩形ABCD中，，．以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧交AB于點(diǎn)E，再以AB為直徑作半圓，與交于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為________．16．在中，，．若是銳角三角形，則邊AB長的取值范圍是________．三、解答題（本大題共8個(gè)小題、共86分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（9分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．18．（10分）我國古詩詞源遠(yuǎn)流長．某校以“賞詩詞之美、尋文化之根、鑄民族之魂”為主題，組織學(xué)生開展了古詩詞知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．為了解學(xué)生對(duì)古詩詞的掌握情況，該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的競(jìng)賽成績，將成績分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）本次共抽取了________名學(xué)生的競(jìng)賽成績，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）若該校共有2000人參加本次競(jìng)賽活動(dòng)，估計(jì)競(jìng)賽成績?yōu)锽等級(jí)的學(xué)生人數(shù)；（3）學(xué)校在競(jìng)賽成績?yōu)锳等級(jí)中的甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生里，隨機(jī)選取2人參加經(jīng)典誦讀活動(dòng)，用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙兩人中恰好有1人被選中的概率．19．（10分）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)將于7月26日至8月11日舉行，某經(jīng)銷店調(diào)查發(fā)現(xiàn)：與吉祥物相關(guān)的A，B兩款紀(jì)念品深受青少年喜愛．已知購進(jìn)3個(gè)A款比購進(jìn)2個(gè)B款多用120元；購進(jìn)1個(gè)A款和2個(gè)B款共用200元．（1）分別求出A，B兩款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)；（2）該商店決定購進(jìn)這兩款紀(jì)念品共70個(gè)，其總費(fèi)用不超過5000元，則至少應(yīng)購買B款紀(jì)念品多少個(gè)？20．（10分）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)（）的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A（m，4），B（4，n）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)C（t，t）在一次函數(shù)的圖象上，直線CO與反比例函數(shù)的圖象在第三象限內(nèi)交于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并寫出直線CD在圖中的一個(gè)特征．21．（11分）如圖，已知AB是的直徑，AC是的弦，點(diǎn)D在外，延長DC，AB相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，．（1）求證：DE是的切線；（2）若的半徑為6，點(diǎn)F為線段OA的中點(diǎn)，，求DF的長．22．（11分）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚，測(cè)得C處在燈塔A的北偏東方向、燈塔B的正北方向．（1）求B，C兩處的距離；（2）該漁船從C處沿北偏東方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號(hào)．此時(shí)，在燈塔B處的漁政船測(cè)得D處在北偏東方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿BD方向航行至D處救援，求漁政船的航行時(shí)間．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：，）23．（12分）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在中，點(diǎn)D在邊BC上．若，則，請(qǐng)證明；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，在中，，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，，點(diǎn)E在AB上，連接AD，DE．若，求BE的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，，延長AD，BF相交于點(diǎn)G．若，，求FG的長．24．（13分）已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于C點(diǎn)，且B（4，0），．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接PB，PC，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)K．記，的面積分別為，，求的最大值；（3）如圖2，連接AC，點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作交x軸于點(diǎn)F．拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．答案解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（4分）3的相反數(shù)為（）A．﹣3

B．

C．

D．3【解答】解：3的相反數(shù)是﹣3．故選：A．2．（4分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)3+a2＝a5

B．a(chǎn)3﹣a2＝a

C．（a2）3＝a5

D．a(chǎn)5÷a2＝a3【解答】解：A．a(chǎn)3與a2不是同類項(xiàng)，所以不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；B．a(chǎn)3與a2不是同類項(xiàng)，所以不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；C．（a2）3＝a6，故本選項(xiàng)不符合題意；D．a(chǎn)5÷a2＝a3，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．3．（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是（）A．長方體

B．棱錐

C．圓錐

D．球體【解答】解：根據(jù)三視圖的形狀，結(jié)合三視圖的定義以及幾何體的形狀特征可得該幾何體為長方體．故選：A．

4．（4分）6名學(xué)生一周做家務(wù)的天數(shù)依次為4，4，5，7，7，7，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）A．5，4

B．6，5

C．6，7

D．7，7【解答】解：這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為＝6，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為7，故選：C．5．（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（﹣2，1）沿y軸向上平移1個(gè)單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，0）

B．（﹣2，2）

C．（﹣3，1）

D．（﹣1，1）【解答】解：將點(diǎn)（﹣2，1）沿y軸向上平移1個(gè)單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，2），故答案為：B．6．（4分）如圖，AB∥CD，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．若∠D＝50°，則∠A的度數(shù)為（）A．130°

B．140°

C．150°

D．160°【解答】解：∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，在△CDE中，∠D＝50°，∠DEC＝90°，∴∠C＝40°，又∵AB∥CD，∴∠A+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠C＝140°．故選：B．7．（4分）已知一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于60°，則該多邊形的邊數(shù)是（）

A．4

B．5

C．6

D．7【解答】解：∵任意多邊形的外角和都是360°，又∵這個(gè)多邊形的每個(gè)外角都相等，且等于60°，∴該多邊形的邊數(shù)是360°÷60°＝6，故選：C．8．（4分）若＜m＜，則整數(shù)m的值為（）A．2

B．3

C．4

D．5【解答】解：∵2＜＜3，3＜＜4，而＜m＜∴整數(shù)m的值為3，故選：B．9．（4分）第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME﹣14）會(huì)標(biāo)如圖1所示，會(huì)標(biāo)中心的圖案來源于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”．如圖2所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一個(gè)小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，則sin∠ABE＝（）A．

B．

C．

D．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)EF＝x，則AH＝3x，∵△ABE≌△DAH，四邊形EFGH為正方形，∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，∴AE＝4x，∵∠AEB＝90°，

∴∴故選：C．10．（4分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx與y＝x2﹣bx的圖象均過點(diǎn)A（4，0）和坐標(biāo)原點(diǎn)O，這兩個(gè)函數(shù)在0≤x≤4時(shí)形成的封閉圖象如圖所示，P為線段OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)P且與x軸不重合的直線與封閉圖象交于B，C兩點(diǎn)．給出下列結(jié)論：①b＝2；②PB＝PC；③以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形可以為正方形；④若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)Q在y軸上（Q，B，C三點(diǎn)不共線），則△BCQ周長的最小值為5+．其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A．1

B．2

C．3

D．4【解答】解：①∵二次函數(shù)與的圖象均過點(diǎn)A（4，0）和坐標(biāo)原點(diǎn)O，P為線段OA的中點(diǎn)，∴P（2，0），兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱軸均為直線x＝2，∴，解得：b＝2，故①正確；②如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥x交x軸于點(diǎn)E，

∴∠CEP＝∠BDP＝90°，由函數(shù)的對(duì)稱性可知PE＝DP，在△CEP和△BDP中，∴△CEP≌△BDP（ASA），∴PB＝PC，故②正確；③當(dāng)點(diǎn)B、C分別在兩個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)上時(shí)，BC⊥OA，點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)均為2，由①可知兩個(gè)函數(shù)的解析式分別為∴B（2，2），C（2，﹣2），∴BC＝2﹣（﹣2）＝4，∵點(diǎn)A（4，0），∴OA＝4，∴BC＝OA，由∵BC⊥OA，

∴此時(shí)以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，故③正確；④作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′C交y軸于點(diǎn)Q，此時(shí)△BCQ周長的最小，最小值為BQ+CQ+BC＝B′Q+CQ+BC＝B′C+BC，∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，∴，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3，∴∴∴△BCQ周長的最小值為，故④正確；故選：D．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，則ab＝2．【解答】解：∵（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，∴a＝1，b＝2，∴ab＝2，故答案為：2．12．（4分）2024年政府工作報(bào)告提出，我國今年發(fā)展主要預(yù)期目標(biāo)是：國內(nèi)生產(chǎn)總值增長5%左右，城鎮(zhèn)新增就業(yè)1200萬人以上……將數(shù)“1200萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為

1.2×107．【解答】解：1200萬＝12000000＝1.2×107，

故答案為：1.2×107．13．（4分）一個(gè)不透明的袋中裝有6個(gè)白球和m個(gè)紅球，這些球除顏色外無其他差別．充分?jǐn)噭蚝?，從袋中隨機(jī)取出一個(gè)球是白球的概率為，則m＝9．【解答】解：根據(jù)題意得：解得m＝9，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝9是原方程的解．故答案為：9．14．（4分）小王前往距家2000米的公司參會(huì)，先以v0（米/分）的速度步行一段時(shí)間后，再改騎共享單車直達(dá)會(huì)議地點(diǎn)，到達(dá)時(shí)距會(huì)議開始還有14分鐘，小王距家的路程S（單位：米）與距家的時(shí)間t（單位：分鐘）之間的函數(shù)圖象如圖所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，則他到達(dá)時(shí)距會(huì)議開始還有

5分鐘．【解答】解：v0＝800÷10＝80（米/分鐘），2000÷80＝25（分鐘），14+16﹣25＝5（分鐘）．故答案為：5．15．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑作弧交AB于點(diǎn)E，再以AB為直徑作半圓，與交于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為

．

【解答】解：如圖，連接AF、EF．由題意易知△AEF是等邊三角形，S陰＝S半圓﹣S扇形AEF﹣S弓形AF＝2π﹣﹣（﹣）＝．故答案為：．16．（4分）在△ABC中，∠A＝60°，AC＝4．若△ABC是銳角三角形，則邊AB長的取值范圍是

2＜AB＜8．【解答】解：如圖，當(dāng)CB1⊥AB1時(shí)，此時(shí)AB最短，AB1＝AC＝2，當(dāng)B2C⊥AC時(shí)，此時(shí)AB最長，AB2＝2AC＝8，所以邊AB長的取值范圍是2＜AB＜8，故答案為：2＜AB＜8．

三、解答題（本大題共8個(gè)小題、共86分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（9分）先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【解答】解：（﹣1）÷＝÷＝?＝當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝＝1．18．（10分）我國古詩詞源遠(yuǎn)流長．某校以“賞詩詞之美、尋文化之根、鑄民族之魂”為主題，組織學(xué)生開展了古詩詞知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．為了解學(xué)生對(duì)古詩詞的掌握情況，該校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的競(jìng)賽成績，將成績分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖：（1）本次共抽取了

400名學(xué)生的競(jìng)賽成績，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（2）若該校共有2000人參加本次競(jìng)賽活動(dòng)，估計(jì)競(jìng)賽成績?yōu)锽等級(jí)的學(xué)生人數(shù)；（3）學(xué)校在競(jìng)賽成績?yōu)锳等級(jí)中的甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生里，隨機(jī)選取2人參加經(jīng)典誦讀活動(dòng)，用畫樹狀圖或列表法求出甲、乙兩人中恰好有1人被選中的概率．【解答】解：（1）80÷20%＝400（名），∴D等級(jí)的人數(shù)為：400﹣120﹣160﹣80＝40（名），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

（2）2000×＝800（人），答：估計(jì)競(jìng)賽成績?yōu)锽等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為800人；（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人中恰好有1人被選中的結(jié)果有8種，∴甲、乙兩人中恰好有1人被選中的概率為＝．19．（10分）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)將于7月26日至8月11日舉行，某經(jīng)銷店調(diào)查發(fā)現(xiàn)：與吉祥物相關(guān)的A，B兩款紀(jì)念品深受青少年喜愛．已知購進(jìn)3個(gè)A款比購進(jìn)2個(gè)B款多用120元；購進(jìn)1個(gè)A款和2個(gè)B款共用200元．（1）分別求出A，B兩款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)；（2）該商店決定購進(jìn)這兩款紀(jì)念品共70個(gè)，其總費(fèi)用不超過5000元，則至少應(yīng)購買B款紀(jì)念品多少個(gè)？【解答】解：（1）設(shè)出A，B兩款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)分別為x，y．則解得答：A，B兩款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)分別為80元和60元．（2）設(shè)購買m件B種紀(jì)念品，（70﹣m）件A種紀(jì)念品，

根據(jù)題意，得60m+80（70﹣m）≤5000，解得m≥30，答：至少應(yīng)購買B款紀(jì)念品30個(gè)．20．（10分）如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A（m，4），B（4，n）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)C（t，t）在一次函數(shù)的圖象上，直線CO與反比例函數(shù)的圖象在第三象限內(nèi)交于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并寫出直線CD在圖中的一個(gè)特征．【解答】解：（1）∵A（m，4），B（4，n）兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴m＝1，n＝1，∴A（1，4），B（4，1），∵A（1，4），B（4，1）在一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）的圖象上，，解得∴一次函數(shù)解析式為y＝﹣x+5；（2）由題意可知，直線CD的解析式為y＝x，聯(lián)立方程組得，解得∴點(diǎn)D（﹣2，﹣2），直線CD與直線AB互相垂直．21．（11分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，點(diǎn)D在⊙O外，延長DC，AB相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G，DG＝DC．

（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，點(diǎn)F為線段OA的中點(diǎn)，CE＝8，求DF的長．

【解答】（1）證明：連接OC，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∵∠DGC＝∠AGF，∴∠DCG＝∠AGF，∵DF⊥AB，∴∠AFG＝90°，∴∠A+∠AGF＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠DCG+∠ACO＝90°，∴∠DCO＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；（2）解：由（1）知，∠OCE＝90°，

∵OC＝6，CE＝8，∴OE＝＝10，∵OA＝6，點(diǎn)F為線段OA的中點(diǎn)，∴OF＝OA＝3，∴EF＝13，∵∠DFE＝∠OCE＝90°，∠E＝∠E，∴△OCE∽△DFE，∴∴＝∴DF＝．22．（11分）如圖，某海域有兩燈塔A，B，其中燈塔B在燈塔A的南偏東30°方向，且A，B相距海里．一漁船在C處捕魚，測(cè)得C處在燈塔A的北偏東30°方向、燈塔B的正北方向．（1）求B，C兩處的距離；（2）該漁船從C處沿北偏東65°方向航行一段時(shí)間后，突發(fā)故障滯留于D處，并發(fā)出求救信號(hào)．此時(shí)，在燈塔B處的漁政船測(cè)得D處在北偏東27°方向，便立即以18海里/小時(shí)的速度沿BD方向航行至D處救援，求漁政船的航行時(shí)間．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一水平面內(nèi)；參考數(shù)據(jù)：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）

【解答】解：（1）由題意得，∠ACB＝∠ABC＝30°，∴AB＝AC＝海里，過A作AH⊥BC于H，∴∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝BH，∴CH＝BH＝AB＝×＝8（海里），∴BC＝16海里，答：B，C兩處的距離為16海里；（2）過D作DG⊥BC于G，在Rt△BDG中，BG＝≈＝2DG，在Rt△CDG中，CG＝≈∵BC＝BG﹣CG，∴2DG﹣＝16，∴DG＝10.5（海里），∴CG＝5海里，∴BG＝BC+CG＝21（海里），∴BD＝＝（海里），∴漁政船的航行時(shí)間為÷18＝（小時(shí)）．

23．（12分）（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上．若∠BAD＝∠C，則AB2＝BD?BC，請(qǐng)證明；（2）【靈活運(yùn)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC＝60°，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，CA＝CD＝2，點(diǎn)E在AB上，連接AD，DE．若∠AED＝∠CAD，求BE的長；（3）【拓展延伸】如圖3，在菱形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，∠ABC＝2∠EBF，延長AD，BF相交于點(diǎn)G．若BE＝4，DG＝6，求FG的長．【解答】（1）證明：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴∴AB2＝BD?BC；（2）解：過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，則∠AFC＝∠AGD＝90°，∴DF∥DG，∠BAC＝60°，

∴∵D為BC的中點(diǎn)，∴∵DF∥DG，∴△BDG∽△BCF，∴∴∴∴∴∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠AED＝∠CAD，∴∠AED＝∠CDA，∴∠AED+∠BED＝∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠BED＝∠ADB，∵∠DBE＝∠ABD，∴△BED∽△BAD，∴，即解得：；（3）解：連接BD，

∵四邊形ABCD為菱形，∴＝AB＝BC＝5，AD∥BC，∵∠ABC＝2∠EBF，∴∠ABD＝∠CBD＝∠EBF，∴∠EBF﹣∠DBF＝∠CBD﹣∠DBF，即∠DBE＝∠CBF，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠G，∴∠DBE＝∠G，∵∠DEB＝∠BEG，∴△BED∽△GEB，∴∵DG＝6，∴EG＝DE+6，∴解得：DE＝2，負(fù)值舍去，∴EG＝2+6＝8，∴AE＝AD﹣DE＝3，∵AE2+BE2＝32+42＝52＝AB2，∴△ABE為直角三角形，∠AEB＝90°，∴∠BEG＝180