2024年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第第頁2024年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每個小題給出的四個選項中只有一項是正確的，請把答題卡上相應(yīng)題目的正確選項涂黑．1.下列四個數(shù)中，無理數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是無理數(shù)的概念，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，它的表現(xiàn)形式為：開方開不盡的數(shù)，與π有關(guān)的數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．根據(jù)無理數(shù)的定義，即可得出符合題意的選項．【詳解】解：，，是有理數(shù)，是無理數(shù)，故選：D．2.下列交通標(biāo)志中，屬于軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形可得答案．【詳解】解：A.是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B.不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C.不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D.不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．3.下列運算中正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了合并同類項，同底數(shù)冪乘法，冪的乘方和積的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握以上運算法則．根據(jù)合并同類項，同底數(shù)冪乘法，冪的乘方和積的乘方運算法則進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：與不是同類項，無法合并，則A不符合題意；，則B符合題意；，則C不符合題意；，則D不符合題意；故選：B．4.為落實陽光體育活動，學(xué)校鼓勵學(xué)生積極參加體育鍛煉．已知某天五位同學(xué)體育鍛煉的時間分別為（單位：小時）：1，1.5，1.4，2，1.5，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.1.5，1.5 B.1.4，1.5 C.1.48，1.5 D.1，2【答案】A【解析】【分析】本題主要考查中位數(shù)和眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可【詳解】解：這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：1，1.4，1.5，1.5，2，則中位數(shù)是1.5，1.5出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)是1.5．故選：A．5.如圖，在中，點是的中點，過點，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的對邊平行，對角線互相平分，對角相等等性質(zhì)進(jìn)行判斷即可【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，故①③正確，，，點是的中點，，又，，，，，，故②不正確，，，，即，故④正確，綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)為3個，故選：C．6.不等式組的解集是（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．詳解】解：，解不等式①，得，解不等式②，得，故不等式組的解集為．故選：D．7.如圖，在中，，，分別以點，點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點，，過點，作直線交于點，連接，則的周長為（）A.7 B.8 C.10 D.12【答案】C【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可證明，根據(jù)的周長，即可求出答案．【詳解】解：由作圖知，垂直平分，，的周長，，，的周長，故選：C．8.眉山市東坡區(qū)永豐村是“天府糧倉”示范區(qū)，該村的“智慧春耕”讓生產(chǎn)更高效，提升了水稻畝產(chǎn)量，水稻畝產(chǎn)量從2021年的670千克增長到了2023年的780千克，該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，則可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意、列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)該村水稻畝產(chǎn)量年平均增長率為，根據(jù)題意列出方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：B．9.如圖，在矩形中，，，點在上，把沿折疊，點恰好落在邊上點處，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，求角的三角函數(shù)等知識點，正確利用折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)，可求得，，從而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得結(jié)果．【詳解】解：四邊形是矩形，，，把沿折疊，點恰好落在邊上的點處，，，，，在中，，由勾股定理，得，，，，，故選：A．10.定義運算：，例如，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．【詳解】解：由題意得，，即，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為．故選：B．11.如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（）A.24 B.36 C.40 D.44【答案】D【解析】【分析】本題考查勾股定理，設(shè)直角三角形的兩直角邊為，，斜邊為，根據(jù)圖1，結(jié)合已知條件得到，，進(jìn)而求出的值，再進(jìn)一步求解即可.【詳解】解：如圖，直角三角形的兩直角邊為，，斜邊為，圖1中大正方形的面積是24，，小正方形的面積是4，，，圖2中最大的正方形的面積；故選：D．12.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，下列四個結(jié)論：①；②；③；④若，則，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4【答案】C【解析】【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，利用開口方向和對稱軸的位置即可判斷①，利用對稱軸和特殊點的函數(shù)值即可判斷②，利用二次函數(shù)的最值即可判斷③，求出，進(jìn)一步得到，又根據(jù)得到，即可判斷④.【詳解】解：①函數(shù)圖象開口方向向上，；對稱軸在軸右側(cè)，、異號，，∵拋物線與軸交點在軸負(fù)半軸，，，故①錯誤；②二次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，對稱軸為直線，，，時，，，，，故②正確；③對稱軸為直線，，最小值，，∴，故③正確；④，∴根據(jù)拋物線與相應(yīng)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，，，，，，，故④正確；綜上所述，正確的有②③④，故選：C二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分。請將正確答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置上．13.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本題考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根據(jù)多項式的結(jié)構(gòu)特征，先提公因式再利用平方差公式因式分解即可得到答案，綜合應(yīng)用提公因式法因式分解及公式法因式分解是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．14.已知方程的兩根分別為，，則的值為______．【答案】##0.5【解析】【分析】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，若一元二次方程的兩根分別為，，則，，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后把化簡為然后整體代入即可．【詳解】解：方程的兩根分別為，，，，．故答案為：．15.如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹，當(dāng)太陽光與水平面的夾角為時，大樹在斜坡上的影子長為10米，則大樹的高為______米．【答案】##【解析】【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．如圖，過點作水平地面的平行線，交的延長線于點，設(shè)米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：如圖，過點作水平地面的平行線，交的延長線于點，則，在中，，設(shè)米，米，，，米，米，，（米），（米），答：大樹的高度為米．故答案為：．16.如圖，菱形的邊長為6，，過點作，交的延長線于點，連結(jié)分別交，于點，，則的長為______．【答案】##【解析】【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，，然后勾股定理求出，，然后證明出，得到，求出，然后證明出，得到，求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：菱形的邊長為6，，，，，，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，，，．故答案為：．17.已知（且），，則的值為______．【答案】【解析】【分析】此題考查了分式的混合運算，利用分式的運算法則計算得到每三個為一個循環(huán)，分別為，，，進(jìn)一步即可求出．【詳解】解：，，，，，，……，由上可得，每三個為一個循環(huán)，，．故答案為：．18.如圖，內(nèi)接于，點在上，平分交于，連接．若，，則的長為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，延長，交于，由圓周角定理可得，，進(jìn)而可證明，得到，即得，利用勾股定理得，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長，交于，是的直徑，，，平分，，又∵，∴，，，，，，，又∵，∴，，，，，，故答案為：．三、解答題：本大題共8個小題，共78分．請把解答過程寫在答題卡相應(yīng)的位置上．19.計算：．【答案】6【解析】【分析】本題主要考查了含特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、化簡絕對值、實數(shù)混合運算等知識，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．根據(jù)零指數(shù)冪運算法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運算法則、特殊角的三角函數(shù)以及絕對值的性質(zhì)進(jìn)行運算，即可獲得答案．【詳解】解：．20.解不等式：，把它的解集表示在數(shù)軸上．【答案】，見解析【解析】【分析】本題考查求不等式的解集，并在數(shù)軸上表示解集，去分母，去括號，移項，合并，系數(shù)化1，求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出解集即可.【詳解】解：，，，，，，其解集在數(shù)軸上表示如下：21.為響應(yīng)國家政策，保障耕地面積，提高糧食產(chǎn)量，確保糧食安全，我市開展高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田改造建設(shè)，調(diào)查統(tǒng)計了其中四臺不同型號的挖掘機（分別為型，型，型，型）一個月內(nèi)改造建設(shè)高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田的面積（畝），并繪制成如圖不完整的統(tǒng)計圖表：改造農(nóng)田面積統(tǒng)計表型號畝數(shù)162012利用圖中的信息，解決下列問題：（1）①______；②扇形統(tǒng)計圖中的度數(shù)為______．（2）若這四臺不同型號的挖掘機共改造建設(shè)了960畝高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田，估計其中型挖掘機改造建設(shè)了多少畝？（3）若從這四臺不同型號的挖掘機中隨機抽調(diào)兩臺挖掘機參加其它任務(wù)，請用畫樹狀圖或列表的方法求出恰好同時抽到，兩種型號挖掘機的概率．【答案】（1）①32，②（2）240畝（3）【解析】【分析】本題考查的是統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，求扇形統(tǒng)計圖圓心角度數(shù)，用樣本估計總體，畫樹狀圖求概率．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．（1）利用型建設(shè)高標(biāo)準(zhǔn)農(nóng)田面積除以其所占比得到總數(shù)，再利用總數(shù)減去型，型，型的面積，即可得到型的建設(shè)面積，利用乘以型建設(shè)面積所占比，即可解題；（2）利用總數(shù)乘以型所占比，即可解題；（3）根據(jù)題意畫出樹狀圖得到總的情況數(shù)，再得到抽到，兩種型號挖掘機的情況數(shù)，利用概率公式求解即可．【小問1詳解】解：①（畝），；②扇形統(tǒng)計圖中的度數(shù)為；故答案為：32，；【小問2詳解】解：根據(jù)題意得：（畝），答：估計其中型挖掘機改造建設(shè)了240畝；【小問3詳解】解：畫樹狀圖得：共有12種等可能的結(jié)果，同時抽到，兩種型號挖掘機的有2種情況，同時抽到，兩種型號挖掘機的概率為：．22.如圖，是的直徑，點在上，點在的延長線上，，平分交于點，連結(jié)．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)時，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判定是解題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理得到，求得，連接，根據(jù)角平分線的定義得到，求得，得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【小問1詳解】證明：連接，是的直徑，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；【小問2詳解】解：，，，，，，，連接，平分，，，，是的直徑，，．23.眉山是“三蘇”故里，文化底蘊深厚．近年來眉山市旅游產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，促進(jìn)了文創(chuàng)產(chǎn)品的銷售，某商店用元購進(jìn)的款文創(chuàng)產(chǎn)品和用元購進(jìn)的款文創(chuàng)產(chǎn)品數(shù)量相同．每件款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價比款文創(chuàng)產(chǎn)品進(jìn)價多元．（1）求，兩款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價各是多少元？（2）已知，文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為元，款文創(chuàng)產(chǎn)品每件售價為元，根據(jù)市場需求，商店計劃再用不超過元的總費用購進(jìn)這兩款文創(chuàng)產(chǎn)品共件進(jìn)行銷售，問：怎樣進(jìn)貨才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？【答案】（1）款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價元，文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是元；（2）購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是元．【解析】【分析】（）設(shè)款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是元，根據(jù)題意，列出分式方程即可求解；（）設(shè)購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，則購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，總利潤為，利用一次一次不等式求出取值范圍，再根據(jù)題意求出與的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，列出分式方程和一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：設(shè)款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是元，根據(jù)題意得，，解得，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，∴答：款文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價元，則文創(chuàng)產(chǎn)品每件的進(jìn)價是元；【小問2詳解】解：設(shè)購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，則購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，總利潤為，根據(jù)題意得，，解得，又由題意得，，，隨的增大而增大，當(dāng)時，利潤最大，∴購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，獲得的利潤最大，，答：購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，購進(jìn)款文創(chuàng)產(chǎn)品件，才能使銷售完后獲得的利潤最大，最大利潤是元．24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，，與軸，軸分別交于，兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點在軸上，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，請直接寫出點的坐標(biāo)；（3）將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，當(dāng)時，求的值．【答案】（1）一次函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為（2）點的坐標(biāo)為（3）或【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，軸對稱-最短路徑問題，勾股定理，正確地求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件列方程求得，得到反比例函數(shù)的表達(dá)式為，求得，解方程組即可得到結(jié)論；（2）如圖，作點A關(guān)于y軸的對稱點E，連接交y軸于P，則此時，的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到，得到直線的解析式為，當(dāng)時，，于是得到點P的坐標(biāo)為；（3）將直線向下平移a個單位長度后得直線的解析式為，得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【小問1詳解】解：一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點，，，，反比例函數(shù)表達(dá)式為，把代入得，，，，把，代入得，，解得，一次函數(shù)的表達(dá)式為；【小問2詳解】解：如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，此時，的周長最小，點，，設(shè)直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為；【小問3詳解】解：將直線向下平移個單位長度后與軸，軸分別交于，兩點，直線的解析式為，，，，，解得或．25.綜合與實踐問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心處，并繞點旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況．操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中：（1）若正方形邊長為4，當(dāng)一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為______；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為______．（2）若正方形的面積為，重疊部分的面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中與的關(guān)系為______．類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點與點重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于，兩點，小宇經(jīng)過多次實驗得到結(jié)論，請你幫他進(jìn)行證明．拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個直角三角板中角的頂點與點重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板的直角邊交于點，斜邊交于點，且時，請求出重疊部分的面積．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）4；4；（2）；類比探究：見解析；拓展延伸：【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的全等的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)的概念等知識點，正確作輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．操作發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)圖形即可判斷重疊部分即為（對角線分成的四個三角形中的一個）求出面積即可；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時，如圖，證明四邊形是正方形，求解面積即可；（2）如圖，過點作于點，于點．證明，從而證明，即可求得結(jié)論；類比探究：先證明，從而證明，即可證明結(jié)論；拓展延伸：過點作于點，于點．先證明，即可證明，，從而證明，根據(jù)，即可求得，由重疊部分的面積，即可求得結(jié)果．【詳解】解：操作發(fā)現(xiàn)：（1）四邊形是正方形，，當(dāng)一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為；當(dāng)一條直角邊與正方形的一邊垂直時，如圖，，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，，，四邊形是正方形，，四邊形的面積是4，故答案為：4，4；（2）如圖，過點作于點，于點．是正方形的中心，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，，．故答案為：；類比探究：證明：四邊形是正方形，，，，，，，，，，，拓展延伸：過點作于點，于點．同（2）可知四邊形是正方形，，，