四川省瀘州市瀘縣2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試文試題含解析

Page1四川省瀘州市瀘縣2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)考試（文）試題留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解方程組可得集合.【詳解】解方程組可得，因此，.故選：C.2.若復(fù)數(shù)（，），則把這種形式叫做復(fù)數(shù)z的三角形式，其中r為復(fù)數(shù)z的模，為復(fù)數(shù)z的輻角，則復(fù)數(shù)的三角形式正確的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的定義干脆推斷.【詳解】復(fù)數(shù)的模為1，輻角為，所以復(fù)數(shù)的三角形式為.故選：A3.已知向量，，若，則的值為（）A.2 B.-2 C.6 D.-6【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，結(jié)合向量垂直的條件和數(shù)量積的運(yùn)算公式，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，向量，，可得，因?yàn)?，則，解得.故選：C.4.“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】由或此時(shí)；但當(dāng)不確定得到，故“”是“”的充分而不必要條件選A5.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S5＝S4+S3，且a1＝1，則S10＝（）A.45 B.55 C.81 D.100【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式求出公差，再利用求和公式即可得出．【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}公差d，∵S5＝S4+S3，且a1＝1，∴5+d＝4+d+3+d，解得d＝2．則S10＝10+×2＝100，故選：D．6.執(zhí)行如圖所示程序框圖，則輸出的（）A.501 B.642 C.645 D.896【答案】B【解析】【分析】依據(jù)框圖，逐一寫出各個(gè)循環(huán)的運(yùn)算結(jié)果，直到s>500，跳出循環(huán)，得到輸出值.【詳解】s=0,m=1;s=0+1×21=2，m=1+1=2,s≤500；s=2+2×22=10，m=2+1=3,s≤500；s=10+3×23=34,m=3+1=4,s≤500；s=34+4×24=98,m=4+1=5,s≤500；s=98+5×25=258,m=5+1=6,s≤500；s=258+6×26=642，m=6+1=7,s>500；結(jié)束循環(huán)，輸出s=642.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖的輸入輸出值的確定，涉及循環(huán)結(jié)構(gòu)，依據(jù)程序逐行模擬運(yùn)算即得.7.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐個(gè)推斷可得答案.【詳解】對于A，或與相交但不垂直或，故A不正確；對于B，因?yàn)椋^作平面交平面于，所以，由，可得，所以，所以，故B正確；對于C，或、相交且垂直或、相交但不垂直或、異面且垂直或、異面但不垂直，故C不正確；對于D，或或與相交但不垂直或.故選：B8.若圓的半徑為，圓心在第一象限，且與直線和軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，其中，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑可求得正數(shù)的值，由此可得出圓的方程.【詳解】由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為，其中，因?yàn)閳A與直線相切，則，因?yàn)?，解得，因此，圓的方程為.故選：A.9.在三棱柱中，為該棱柱的九條棱中某條棱的中點(diǎn)，若平面，則為（）．A.棱的中點(diǎn) B.棱的中點(diǎn) C.棱的中點(diǎn) D.棱的中點(diǎn)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)三棱柱及平面，可推斷棱的中點(diǎn)為D時(shí)滿意題意.【詳解】如圖，當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，,平面平面，又平面則平面.故選：B10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于y軸對稱C.的圖象不關(guān)于對稱D.的圖象關(guān)于對稱【答案】D【解析】【分析】A用周期性來推斷，B用奇偶性來推斷，CD選項(xiàng)利用對稱性來推斷.【詳解】，A選項(xiàng)，和最小正周期都是，所以的最小正周期是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，和都是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，，所以的圖象關(guān)于對稱，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，，所以的圖象關(guān)于對稱，D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】推斷函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則需推斷.11.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且僅有一個(gè)解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用整體代換思想以及正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合集合的包含關(guān)系求出的范圍，然后再利用正弦函數(shù)取最大值的性質(zhì)可再得一個(gè)的范圍，兩個(gè)范圍取交集即可求解.【詳解】令，解得，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有一個(gè)解，所以，解得.綜上所述，的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題的核心是利用整體思想，首先依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及已知單調(diào)性得的一個(gè)取值范圍；然后依據(jù)取最值的個(gè)數(shù)，求得的另一個(gè)范圍.這里要留意，說明，而依據(jù)題意，只有一個(gè)解，所以只能取一個(gè)值，而依據(jù)函數(shù)本身的圖象可以發(fā)覺只能等于1.假如能夠取到，那么依據(jù)自變量的范圍，此時(shí)確定也可以取1，所以舍去.12.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把c用對數(shù)表示，依據(jù)式子結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化為比較的大小，分別與1和比較即可.【詳解】，，由得，.因?yàn)?，所以，，?下面比較a、b的大小關(guān)系：（其中），，所以所以所以.故選：C.【點(diǎn)睛】指、對數(shù)比較大?。海?）結(jié)構(gòu)相同的，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。唬?）結(jié)構(gòu)不同的，找尋“中間橋梁”，通常與0、1比較.二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.若實(shí)數(shù)x，y滿意約束條件，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】畫出約束條件表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為直線斜截式，截距最大時(shí)，.【詳解】解：約束條件表示的可行域?yàn)槿鐖D所示陰影部分：將目標(biāo)函數(shù)化為直線斜截式，由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)在軸上截距最大，所以.故答案為：4.14.宋元時(shí)期是我國古代數(shù)學(xué)特別輝煌的時(shí)期，涌現(xiàn)了一大批卓有成就的數(shù)學(xué)家，其中秦九韶?李冶?楊輝和朱世杰成就最為突出，被譽(yù)為“宋元數(shù)學(xué)四大家”.現(xiàn)從秦九韶的《數(shù)書九章》?李冶的《測圓海鏡》《益古演段》?楊輝的《詳解九章算法》?朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》這六部著作中任選2本研讀，則必選《數(shù)書九章》的概率是___________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)，寫出必選《數(shù)書九章》的選法、以及全部可能的選法，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.【詳解】由題意知：必選《數(shù)書九章》的選法有種，而全部可能的選法有種，∴必選《數(shù)書九章》的概率為.故答案為：.15.寫出一個(gè)符合“對，當(dāng)時(shí)，”的函數(shù)_______________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】依據(jù)題意可知，滿意條件的函數(shù)是定義域?yàn)榈臏p函數(shù)，即可寫出．【詳解】設(shè)，，則，由單調(diào)性的定義可知，函數(shù)是定義域?yàn)榈臏p函數(shù)，所以函數(shù)滿意題意．故答案為：．16.定義兩條曲線的“正交點(diǎn)”：曲線與曲線交于點(diǎn)，且在處的切線相互垂直．下列各組曲線存在“正交點(diǎn)”的是________（填序號(hào)）．①與；②與，；③與，【答案】③【解析】【分析】分別對各選項(xiàng)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的切線，即可得解；【詳解】解：①聯(lián)立得方程組解得或或，設(shè)，，則，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩切線不垂直，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩切線不垂直，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩切線不垂直，綜上與不存在“正交點(diǎn)”；②與，，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以解得，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，又因?yàn)椋渣c(diǎn)不在直線上，故不存在“正交點(diǎn)”③與，，假設(shè)兩曲線存在“正交點(diǎn)”，如圖設(shè)為正交點(diǎn)，直線為圓的切線，直線為拋物線的切線，由題意，得直線需過原點(diǎn)，對求導(dǎo)，得，所以，解得（負(fù)值舍去），所以，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，因?yàn)榉匠淘谏嫌薪猓詢汕€存在“正交點(diǎn)”；故答案為：③【點(diǎn)睛】本題以新定義“正交點(diǎn)”為載體，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必做題：共60分.17.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若向量，，且（1）求角（2）若，求角【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）由，得到,依據(jù),求出B的值；（2）在中，利用正弦定理求出，依據(jù),求出A的值.【詳解】（1）∵向量，，且，∴,∵，∴,∵,∴.（2）在中，，，由正弦定理得：，∴∵,∴,∴或.【點(diǎn)睛】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思索：(1)從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇；(2)從式子結(jié)構(gòu)來選擇．18.隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)、傳統(tǒng)行業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)的融合不斷加深，互聯(lián)網(wǎng)對社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的推動(dòng)效果日益顯著，某大型超市安排在不同的線上銷售平臺(tái)開設(shè)網(wǎng)店，為確定開設(shè)網(wǎng)店的數(shù)量，該超市在對網(wǎng)絡(luò)上相關(guān)店鋪?zhàn)隽顺浞值恼{(diào)查后，得到下列信息，如圖所示（其中表示開設(shè)網(wǎng)店數(shù)量，表示這個(gè)分店的年銷售額總和），現(xiàn)已知，求解下列問題；（1）經(jīng)推斷，可利用線性回來模型擬合與的關(guān)系，求解關(guān)于的回來方程；（2）依據(jù)閱歷，超市每年在網(wǎng)上銷售獲得的總利潤（單位：萬元）滿意，請依據(jù)（1）中的線性回來方程，估算該超市在網(wǎng)上開設(shè)多少分店時(shí)，才能使得總利潤最大．參考公式；線性回來方程，其中【答案】（1）；（2）開設(shè)8或9個(gè)分店時(shí)，才能使得總利潤最大．【解析】【分析】（1）先求得，再依據(jù)供應(yīng)的數(shù)據(jù)求得，，寫出回來直線方程；（2）由（1）結(jié)合，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）由題意得，所以．（2）由（1）知，，所以當(dāng)或時(shí)能獲得總利潤最大．19.如圖，在三棱錐中，，，．（1）證明：；（2）若直線AC與平面BCD所成的角為，，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）取BD中點(diǎn)O，連接OA，OC，利用等腰三角形性質(zhì)證明，利用三角形全等證明，證得平面，即證；（2）先證明平面平面，確定直線AC與平面所成的角為，再利用余弦定理求證得，即知平面，利用體積公式計(jì)算即可.【詳解】解：（1）證明：取BD中點(diǎn)O，連接OA，OC，則，又，，，所以，所以，所以．，平面，平面，所以平面．又平面，所以．（2）由（1）知平面，平面，所以平面平面，所以CA在平面上的射影是CO，所以為直線AC與平面所成的角，即．又因?yàn)?，，在中，由余弦定理可知，所以，所以，且平面平面，所以平面．所以．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：干脆作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的確定值，即是線面成角的正弦值.20.已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為．（1）求拋物線的方程；（2）如圖，若，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，且，求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程，解方程可得的值，即得拋物線的方程；（2）設(shè)，直線，.將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得.求出點(diǎn)到直線的距離，依據(jù)弦長公式求出，故的面積，可求面積的取值范圍．【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)到直線的距離為，.拋物線的方程為．（2）由題意可設(shè)，直線，將直線的方程代入拋物線的方程，消去，得．直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，．設(shè)，則.是線段的中點(diǎn)，，代入，解得．又，，，或．直線的方程為.點(diǎn)到直線的距離，又，，．令，則．或，，即．面積的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查考生的邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，屬于較難的題目．21.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求證：存在，使得對隨意的，恒有.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）對不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）由，得，∴，故所求切線方程，即；（2）證明：由，得，考慮到，可得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)及，得當(dāng)時(shí)，，①又，則存在即，使得.又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，.②由①②可知，存在，使恒成立，即存在，使得對隨意的，恒有.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.（二）選做題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.假如多做，則按所做的第一題記分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直