浙江專用2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷專題03一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用重點新人教A版

專題03一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（重點）一、單選題1．已知函數(shù)可導(dǎo)，且滿意，則函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解.【解析】因為,所以,故選:A.2．曲線在點處的切線方程為，則a，b的值分別為（

）A．-1，1 B．-1，-1 C．1，1 D．1，-1【答案】C【分析】依據(jù)切點和斜率求得切線方程.【解析】依題意，切點為，斜率為，，所以，解得.故選：C3．下列求導(dǎo)運(yùn)算錯誤的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則推斷【解析】解：A選項中，，故正確；B選項中，，故正確；C選項中，，故正確D選項中，，故錯誤，故選：D.4．函數(shù)的圖像如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．函數(shù)有3個極值點B．函數(shù)在區(qū)間上是增加的C．函數(shù)在區(qū)間上是增加的D．當(dāng)時，函數(shù)取得極大值【答案】C【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，，函數(shù)單調(diào)遞增，，函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合圖像即可推斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值.【解析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時，函數(shù)取得微小值.所以D錯誤；故函數(shù)有2個極值點，所以A錯誤；函數(shù)的單調(diào)性為：單增區(qū)間；單減區(qū)間.故B錯誤，C正確.故選：C.5．當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】由得，再由在處取得最大值，分析得，得.【解析】當(dāng)時，函數(shù)取得最大值-2，所以，即，，定義域為，又因為在處取得最大值，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，所以.故選：A.6．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)，對分類探討，分與兩種狀況，結(jié)合零點存在性定理可得的取值范圍.【解析】，，當(dāng)時，在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減，不合要求，舍去；當(dāng)時，則要求的零點在內(nèi)，的對稱軸為，由零點存在性定理可得：，故，解得：，故的取值范圍.故選：C7．已知，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】原式整理化簡為，可構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解.【解析】∵∴原式令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又∵，，，∴當(dāng)時，，∴當(dāng)，的取值范圍是.故選：D.8．定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為，若為奇函數(shù)且，當(dāng)時，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，依據(jù)題意求得函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，然后分，和三種狀況進(jìn)行求解即可【解析】設(shè)，則，因為當(dāng)時，成立，所以，為遞減函數(shù)，又因為函數(shù)為奇函數(shù)，可得，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以，，，當(dāng)時，由為奇函數(shù)可得不滿意題意；當(dāng)時，由可得，所以；當(dāng)時，由可得，所以，此時，綜上所述，不等式的解集是故選：D9．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先探討的奇偶性，在分別探討和時的符號即可.【解析】，是奇函數(shù)，解除A；當(dāng)時，，當(dāng)時，，故選：C.10．函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于對稱．若曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依據(jù)題意得函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，關(guān)于對稱，進(jìn)而得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，再結(jié)合題意，依據(jù)周期性與對稱性求解即可.【解析】解：因為為奇函數(shù)，即，所以，函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，即，因為的圖像關(guān)于對稱，所以的圖像關(guān)于對稱，即，所以，，所以，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以曲線在處的切線斜率等于曲線在處的切線斜率，因為曲線在處的切線斜率為，圖像關(guān)于對稱，所以，曲線在處的切線斜率為，因為，，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：A11．對隨意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得，令，，利用導(dǎo)函數(shù)求最小值、最大值即可.【解析】當(dāng)時，，不等式明顯成立；當(dāng)時，，令，令，則是上的增函數(shù)且，當(dāng)時，此時遞減，時，此時遞增.故的最小值為，令，則，故是增函數(shù)，的最大值為，故，綜上所述，，故選：D12．關(guān)于函數(shù)，下列推斷正確的是（

）①是的極大值點，②函數(shù)有且只有1個零點，③存在正實數(shù)，使得成立，④對隨意兩個正實數(shù)，且，若，則.A．①④ B．②③ C．②③④ D．②④【答案】D【分析】對于①，依據(jù)極大值點的定義，求導(dǎo)，探討導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，可得答案；對于②，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)探討其單調(diào)性，依據(jù)零點存在定理，可得答案；對于③，采納變量分別，構(gòu)造函數(shù)，探討單調(diào)性與最值，可得答案；對于④，以直線為對稱軸，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)探討其單調(diào)性和最值，可得答案.【解析】對于①，由，求導(dǎo)得，令，解得，可得下表：微小值則為函數(shù)的微小值點，故錯誤；對于②，由，求導(dǎo)得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由，故函數(shù)有且只有1個零點，故正確；對于③，由題意，等價于存在正實數(shù)，使得，令，求導(dǎo)得，令，則，在上，，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞減，無最小值，不存在正實數(shù)，使得恒成立，故錯誤；對于④，令，則，，令，則，在上單調(diào)遞減，則，即，令，由，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，當(dāng)時，明顯成立，故正確.故選：D.二、多選題13．已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．叫作函數(shù)值的增量B．叫作函數(shù)在上的平均變更率C．在處的導(dǎo)數(shù)記為D．在處的導(dǎo)數(shù)記為【答案】ABD【分析】由函數(shù)值的增量的意義推斷A；由平均變更率和瞬時變更率的意義推斷BCD.【解析】A中，叫作函數(shù)值的變更量，即函數(shù)值的增量，A正確；B中，稱為函數(shù)在到之間的平均變更率，B正確；由導(dǎo)數(shù)的定義知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)記為，故C錯誤，D正確.故選：ABD14．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為B．函數(shù)的微小值是C．當(dāng)時，對于隨意的，都有D．函數(shù)的圖像有條切線方程為【答案】AB【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對A令即可解決問題；B選項把增減區(qū)間求出來后即可得極值；C選項做差法證明即可；D由切線斜率為3動身反向分析即可得答案.【解析】因為所以，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，故A正確．令，則或所以在，單調(diào)遞增在單調(diào)遞減所以函數(shù)的微小值為，故選項B正確；由，若即沖突，故選項C錯誤．，解的或，當(dāng)時切點不在上當(dāng)時切點不在上，故選項D錯誤，故選：AB．15．已知函數(shù)定義域為，部分對應(yīng)值如表，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的微小值點有3個B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．若時，的最大值是2，則t的最大值為4D．當(dāng)時，函數(shù)有4個零點【答案】BD【分析】依據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知原函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合表格作出函數(shù)草圖，然后數(shù)形結(jié)合可得.【解析】由圖知，當(dāng)時，的單調(diào)遞增；時，的單調(diào)遞減；時，的單調(diào)遞增；時，的單調(diào)遞減；作出函數(shù)的草圖如圖所示：易知函數(shù)只有一個微小值點，A錯誤；由上知B正確；由圖知當(dāng)時，的最大值為2，故t的最大值為5，C錯誤；當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有4個交點，故函數(shù)有4個零點，D正確.故選：BD16．已知函數(shù)有兩個零點，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．D．若，則【答案】ACD【分析】依據(jù)參變分別構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定的單調(diào)性，即可推斷A,求導(dǎo)得，即可結(jié)合推斷B,構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可推斷C,依據(jù)的單調(diào)性即可推斷D.【解析】由等價于，令，令，得,令，得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；，當(dāng)當(dāng)時，,因為,故A對．，令，得；令，得；由選項可知，在先增后減，B錯．對于C選項，由選項可知，當(dāng)時，明顯成立；當(dāng)時，等價于．由上可知在上單調(diào)遞增，要讓，只需證又只需證，令，在上單調(diào)遞增，故C對；對于D選項在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，,故D對；故選：ACD．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，構(gòu)造新的函數(shù)，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理實力與計算實力，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性，進(jìn)而可推斷原函數(shù)的單調(diào)性.對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，推斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.三、填空題17．曲線在處的切線方程為___________.【答案】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令得切線斜率，再求得時的函數(shù)值，得切線的斜截式方程．【解析】,，時，，又，∴所求切線方程為．故答案為：．18．一個箱子的容積與底面邊長x的關(guān)系為，則當(dāng)箱子的容積最大時，______．【答案】60【分析】依據(jù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【解析】解：因為，所以，，令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，取得最大值，故答案為：6019．已知對隨意不相等的正數(shù)都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【分析】首先由，不妨設(shè)可得，故構(gòu)造函數(shù)，利用在恒成馬上可得解.【解析】由，不妨設(shè)，由可得，即，依據(jù)單調(diào)性的定義可得在為增函數(shù)，所以在恒成立，所以在恒成立，所以，.故答案為：.20．設(shè)函數(shù)的定義域為，是的極大值點，以下四個結(jié)論中正確的命題序號是______.①，；

②是的極大值點；③是的微小值點；

④是的微小值點【答案】②④【分析】依據(jù)極值點的定義、極值的性質(zhì)和圖象變換逐個推斷即可.【解析】對于①：是的極大值點，并不肯定是最大值點，即①錯誤；對于②：因為與的圖象關(guān)于軸對稱，且是的極大值點，所以應(yīng)是的極大值點，即②正確；對于③：因為與的圖象關(guān)于軸對稱，且是的極大值點，所以應(yīng)是的微小值點，且無法判定是的微小值點，即③錯誤；對于④：因為與的圖象關(guān)于對稱，且是的極大值點，所以應(yīng)是的微小值點，即④正確；故答案為：②④.21．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合區(qū)間的包含關(guān)系，列式求實數(shù)a的取值范圍【解析】，，令，得，而因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故.故答案為：22．已知函數(shù)與的圖象相交于不同的兩點，，若存在唯一的整數(shù)，則實數(shù)m的最小值是______．【答案】【分析】由，可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，進(jìn)而作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【解析】由，可得，設(shè)，可得，令，即，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得極大值也為最大值為，又由時，；當(dāng)趨向于正無窮時，，故且趨向于0；作出函數(shù)大致圖像，如圖所示：由，因為存在唯一的整數(shù)，使得與的圖象有兩個交點，由圖可知：，即，故實數(shù)m的最小值是，故答案為：【點睛】方法點睛:已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:（1）干脆法:干脆求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍;（2）分別參數(shù)法:先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;（3）數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題23．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】（1）、（2、（3）、（4）、（5）結(jié)合復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1），.（2），，.（3），.（4），.（5），．24．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在點處的切線方程；(2)在點處的切線與只有一個公共點，求的值．【答案】(1)；(2)的值為，或.【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)是否為零進(jìn)行分類探討，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.(1)由，因此有，所以函數(shù)在點處的切線方程為：；(2)當(dāng)時，，所以有，直線與直線只有一個交點，符合題意；當(dāng)時，由，要想在點處的切線與只有一個公共點，只需，綜上所述：的值為，或.25．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間【答案】(1)(2)和【分析】（1）依據(jù)先求解切點坐標(biāo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可；（2）先求解導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間即可.（1）解：，所以，，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）解：.又，故當(dāng)和時，，即，當(dāng)時，，即，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和.26．設(shè)函數(shù).(1)若曲線在點處與直線相切，求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點.【答案】(1)(2)見解析.【分析】（1）已知函數(shù)的解析式，把點代入，再依據(jù)在點處與直線相切，求出，的值；（2）由題意先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，解出極值點，然后再依據(jù)極值點的值探討函數(shù)的增減性及其增減區(qū)間.（1），曲線在點處與直線相切，，∴（2），當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)沒有極值點．當(dāng)時，由，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為；此時是的極大值點，是的微小值點．27．已知函數(shù).(1)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)對全分別,將在上恒成立,轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值即可.(2)由在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,求導(dǎo)后全分別轉(zhuǎn)化為,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性求最值即可.【解析】（1）解:由題知在上恒成立,即,,只需即可,即,記,,,,,在單調(diào)遞減,;（2）由題知,在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,即恒成立,,只需恒成立,即,記,,,,在單調(diào)遞增,,只需即可,綜上:.28．已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若在上有且僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)微小值，無極大值；(2)【分析】（1）當(dāng)時，，明確函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值；（2）原問題等價于的圖象與直線有唯一的交點.（1）當(dāng)時，，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以時，函數(shù)取到微小值，無極大值；（2）令，可得，記，原問題等價于的圖象與直線有唯一的交點，，在上單調(diào)遞增，且，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，當(dāng)，做出函數(shù)圖象：由圖可知，當(dāng)或時，的圖象與直線有唯一的交點，故實數(shù)a的取值范圍為.29．已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的方程；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，通過分類探討的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點個數(shù)確定的范圍即可．（1），，則，因此，曲線在點處的切線方程為．（2），則，設(shè)h，則，明顯在內(nèi)遞增且，所以，在時，單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增，所以有微小值，又，①當(dāng)時，在恒成立，即，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，最多一個零點，不符合題意；②當(dāng)時，，所以存在使得，則在內(nèi)，，單調(diào)遞減，在內(nèi)，，單調(diào)遞增，在內(nèi)，，單調(diào)遞減，又，則在上有且只有一個零點0，又，則在上有且只有一個零點，又，則在上有且只有一個零點，所以函數(shù)恰有三個零點；③當(dāng)時，在內(nèi)，又，結(jié)合的單調(diào)性可知，存在，使得，在內(nèi)，，，單調(diào)遞增，在內(nèi)，，，單調(diào)遞減，函數(shù)最多兩個零點，不合題意．綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．30．已知函數(shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(3)若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)答案見詳解(3)1【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分類探討推斷導(dǎo)函數(shù)符號，進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性及最大值；（3）依據(jù)恒成立理解可得，分類探討，結(jié)合（2）運(yùn)算求解.（1）當(dāng)時，，則，令．因為，則所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）．令，由，解得，（舍去）．當(dāng)，即時，在區(qū)間上，函數(shù)在上是減函數(shù)．所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，即時，在上變更時，的變更狀況如下表x++-↗↘所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．（3）當(dāng)時，則在上恒成立∴函數(shù)在上是減函數(shù)，則∴成立當(dāng)時，由（2）可知：①當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，則成立；②當(dāng)時，由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即在區(qū)間上存在使得，不成立綜上所述：的取值范圍為