新教材高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)導(dǎo)學(xué)案新人教A版選擇性必修第二冊

第2課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)(老師獨(dú)具內(nèi)容)課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解等差數(shù)列的性質(zhì).2.駕馭等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用.學(xué)問點(diǎn)一等差數(shù)列的項(xiàng)與序號的關(guān)系兩項(xiàng)關(guān)系多項(xiàng)關(guān)系通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋eq\x(\s\up1(01))(n－m)d(m，n∈N*)項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則eq\x(\s\up1(02))am＋an＝ap＋aq學(xué)問點(diǎn)二等差數(shù)列的項(xiàng)的對稱性有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)的和(若有中間項(xiàng)則等于中間項(xiàng)的2倍)，即a1＋an＝a2＋eq\x(\s\up1(01))an－1＝ak＋eq\x(\s\up1(02))an－k＋1＝(其中n為奇數(shù)且n≥3)．學(xué)問點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)1．若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則下列數(shù)列：(1){c＋an}(c為任一常數(shù))是公差為eq\x(\s\up1(01))d的等差數(shù)列；(2){c·an}(c為任一常數(shù))是公差為eq\x(\s\up1(02))cd的等差數(shù)列；(3){an＋an＋k}(k為常數(shù)，k∈N*)是公差為eq\x(\s\up1(03))2d的等差數(shù)列．2．若{an}，{bn}分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列{pan＋qbn}(p，q是常數(shù))是公差為eq\x(\s\up1(04))pd1＋qd2的等差數(shù)列．3．等差數(shù)列{an}中每隔相同的項(xiàng)抽出來的項(xiàng)依據(jù)原來的依次排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍舊是eq\x(\s\up1(05))等差數(shù)列.1．公式d＝eq\f(an－am,n－m)(n，m∈N*，n≠m)是由公式an＝am＋(n－m)d演化而來的．已知數(shù)列中的隨意兩項(xiàng)，只要弄清所在項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，就可以應(yīng)用該公式來求得d.2．項(xiàng)的運(yùn)算性質(zhì)可推廣到三項(xiàng)的情形，即“m＋n＋t＝p＋q＋s，且m，n，t，p，q，s∈N*?am＋an＋at＝ap＋aq＋as”，還可以推至四項(xiàng)乃至更多項(xiàng)的情形，只要兩邊項(xiàng)數(shù)一樣，且下標(biāo)的和相等即可．3．等差數(shù)列的巧設(shè)元問題當(dāng)三個(gè)數(shù)(或者四個(gè)數(shù))成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，常采納對稱設(shè)元，即a－d，a，a＋d(或a－3d，a－d，a＋d，a＋3d)，以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的；假如五個(gè)數(shù)(或者六個(gè)數(shù))成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可對稱設(shè)元為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(或a－5d，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，a＋5d)．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝r，m，n，r∈N*，則am＋an＝ar.()(2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則a1，a3，a5，a7，a9是等差數(shù)列．()(3)兩個(gè)等差數(shù)列的和仍是等差數(shù)列．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝6，則a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝()A．30 B．15C．5eq\r(6) D．10eq\r(6)(2)在等差數(shù)列{an}中，a3＝2，公差d＝－1，則a10＝________.(3)若等差數(shù)列{an}中，a5＝a，a10＝b，則a15＝________.答案(1)B(2)－5(3)2b－a題型一等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用例1等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10的值是()A．20 B．22C．24 D．－8[解析]解法一：由a1＋3a8＋a15＝120，可得5a1＋35d＝120，即a1＋7d＝24，又2a9－a10＝a1＋7d，所以2a9－a10＝24.解法二：因?yàn)閍1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，而2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.[答案]C[變式探究]若本例中條件不變，求a3＋a13的值又如何？解由例題解知，a8＝24，由等差數(shù)列的性質(zhì)知a3＋a13＝2a8＝48.等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)適用情景已知等差數(shù)列的兩項(xiàng)和，求其余幾項(xiàng)和或者求其中某項(xiàng)．(2)常用性質(zhì)利用已知m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq或若m＋n＝2r，則am＋an＝2ar將題目條件轉(zhuǎn)化．[跟蹤訓(xùn)練1](1)已知{an}為等差數(shù)列，a4＋a7＋a10＝30，則a3－2a5的值為()A．10 B．－10C．15 D．－15(2)等差數(shù)列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，則a5＋a8＝________.答案(1)B(2)18解析(1)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝30，∴a7＝10，而a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10.(2)解法一：依據(jù)題意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，則2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋a8＝18.解法二：依據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.例2已知等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公差為d，且a15＝8，a60＝20，求a75.[解]解法一：由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a15＝a1＋14d＝8，,a60＝a1＋59d＝20，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))∴a75＝a1＋74d＝eq\f(64,15)＋74×eq\f(4,15)＝24.解法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq\f(a60－a15,60－15)＝eq\f(20－8,60－15)＝eq\f(4,15)，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq\f(4,15)＝24.解法三：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差數(shù)列．設(shè)其公差為d′，則a15為首項(xiàng)，a60為第4項(xiàng)，∴a60＝a15＋3d′，即20＝8＋3d′，∴d′＝4，∴a75＝a60＋d′＝20＋4＝24.(1)應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的變形公式am＝an＋(m－n)d可以便利地求出d，從而寫出通項(xiàng)公式．(2)奇妙地應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求解，可大大簡化解題過程．[跟蹤訓(xùn)練2]等差數(shù)列{an}中，若a7＝m，a14＝n，則a21＝________.答案2n－m解析∵7＋21＝14＋14，∴a7＋a21＝2a14，∴a21＝2a14－a7＝2n－m.題型二敏捷設(shè)項(xiàng)求解等差數(shù)列例3(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為21，它們的平方和為155，求這三個(gè)數(shù)；(2)已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項(xiàng)的積為40，求這四個(gè)數(shù)．[解](1)設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝21，,a－d2＋a2＋a＋d2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－2，))∴這三個(gè)數(shù)為5,7,9或9,7,5.(2)設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝28，,a－da＋d＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－3.))∴這四個(gè)數(shù)依次為－2,4,10,16或16,10,4，－2.常見設(shè)元技巧(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間一項(xiàng)為a，再用公差為d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)為a－d，a＋d，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，這樣可削減計(jì)算量．[跟蹤訓(xùn)練3]已知遞增的等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)之和為21，前三項(xiàng)之積為231，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．解解法一：依據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)分別為a1，a1＋d，a1＋2d，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＋a1＋2d＝21，,a1a1＋da1＋2d＝231，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a1＋3d＝21，,a1a1＋da1＋2d＝231，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－4.))因?yàn)閿?shù)列{an}為遞增數(shù)列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝4，))從而等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－1.解法二：由于數(shù)列{an}為等差數(shù)列，因此可設(shè)前三項(xiàng)分別為a－d，a，a＋d，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝21，,a－daa＋d＝231，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＝21，,aa2－d2＝231，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝－4.))由于數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,d＝4，))從而an＝4n－1.題型三等差數(shù)列的綜合應(yīng)用例4數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，λ是常數(shù)．(1)當(dāng)a2＝－1時(shí)，求λ及a3的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列？若存在，求出λ及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由．[解](1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以當(dāng)a2＝－1時(shí)，得－1＝2－λ，故λ＝3.從而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)不存在實(shí)數(shù)λ使數(shù)列{an}為等差數(shù)列．證明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{an}為等差數(shù)列，則a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.這與{an}為等差數(shù)列沖突．所以不存在λ使{an}是等差數(shù)列．一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，要看隨意相鄰兩項(xiàng)的差是否為同一常數(shù)，要推斷一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，需證明an＋1－an＝d(d為常數(shù))對n∈N*恒成立，若要推斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需舉出一個(gè)反例即可．[跟蹤訓(xùn)練4]已知數(shù)列{an}滿意(an＋1－an)(an＋1＋an)＝16，且a1＝1，an>0.(1)求證：數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}為等差數(shù)列；(2)求an.解(1)證明：由(an＋1－an)(an＋1＋an)＝16，得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝16，∴數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}構(gòu)成以aeq\o\al(2,1)＝1為首項(xiàng)，以16為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)知aeq\o\al(2,n)＝1＋(n－1)×16＝16n－15，又an>0，∴an＝eq\r(16n－15).題型四等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例5某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年獲利200萬元，從第2年起由于市場競爭等方面的緣由，利潤每年比上一年削減20萬元，依據(jù)這一規(guī)律假如公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？[解]由題意可知，設(shè)第1年獲利為a1，第n年獲利為an，則an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且首項(xiàng)為a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)×d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an<0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，由an＝－20n＋220<0，解得n>11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損．解決等差數(shù)列實(shí)際問題的步驟(1)將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)構(gòu)建等差數(shù)列模型，由條件確定a1，d，n，an；(3)利用通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解；(4)將所求問題還原到實(shí)際問題中．[跟蹤訓(xùn)練5]如圖所示，三個(gè)正方形的邊AB，BC，CD的長組成等差數(shù)列，且AD＝21cm，這三個(gè)正方形的面積之和是179cm2.(1)求AB，BC，CD的長；(2)以AB，BC，CD的長為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，以第10項(xiàng)為邊長的正方形的面積是多少？解(1)設(shè)公差為d(d>0)，BC＝x，則AB＝x－d，CD＝x＋d.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－d＋x＋x＋d＝21，,x－d2＋x2＋x＋d2＝179，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,d＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,d＝－4))(舍去)．所以AB＝3(cm)，BC＝7(cm)，CD＝11(cm)．(2)正方形的邊長組成首項(xiàng)是3，公差是4的等差數(shù)列{an}，所以a10＝3＋(10－1)×4＝39.aeq\o\al(2,10)＝392＝1521(cm2)．所求正方形的面積為1521cm2.1．已知等差數(shù)列{an}中，a3＝1，a7＝－9，則a5＝()A．－4 B．4C．－8 D．8答案A解析∵2a5＝a3＋a7＝1－9＝－8，∴a5＝－4.2．若{an}為等差數(shù)列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，則a3＋a6＋a9＝()A．39 B．20C．19.5 D．33答案D解析∵a1＋a4＋a7＝3a4＝45，∴a4＝15，∵a2＋a5＋a8＝3a5＝39，∴a5＝13，∴d＝a5－a4＝－2，a6＝a5＋d＝11，∴a3＋a6＋a9＝3a6＝3×11＝33.故選D.3．首項(xiàng)是18，公差為3的等差數(shù)列從第________項(xiàng)起先大于100.答案29解析由題意，知an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，由3n＋15>100得n>28eq\f(1,3).∵n∈N*，∴n＝29，即從29項(xiàng)起先大于100.4．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于________.答案100解析設(shè){an}，{bn}的公差分別為d1，d2，∴(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴{an＋bn}為等差數(shù)列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴a37＋b37＝100.5．成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26，其次個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)之積為40，求這四個(gè)數(shù)．解設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝－\f(3,2).))所以這四個(gè)數(shù)為2,5,8,11或11,8,5,2.A級：“四基”鞏固訓(xùn)練一、選擇題1．假如等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21C．28 D．35答案C解析∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.又a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.2．已知等差數(shù)列{an}滿意a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有()A．a(chǎn)1＋a101>0 B．a(chǎn)2＋a100<0C．a(chǎn)3＋a100≤0 D．a(chǎn)51＝0答案D解析由題設(shè)a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.3．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給五個(gè)人，使每人所得面包數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的eq\f(1,7)是較小的兩份之和，則最小的1份為()A.eq\f(5,3) B．eq\f(10,3)C．eq\f(5,6) D．eq\f(11,6)答案A解析設(shè)五個(gè)人分得的面包為a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d(d>0)，則(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100，∴a＝20，由eq\f(1,7)(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d得3a＋3d＝7(2a－3d)，∴24d＝11a，∴d＝eq\f(55,6)，∴最小的一份為a－2d＝20－eq\f(110,6)＝eq\f(5,3).故選A.4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋a4，則k的值為()A．6 B．7C．8 D．9答案B解析因?yàn)閍1＝0，d≠0，∴a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝6d＝a7.故選B.5．(多選)已知等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，且a3＝1，a2a4＝eq\f(3,4)，則()A．?dāng)?shù)列{an}的公差為－eq\f(1,2)B．a(chǎn)n＝－eq\f(1,2)n＋eq\f(5,2)C．?dāng)?shù)列{a1an}是公差為－1的等差數(shù)列D．a(chǎn)1a7＋a4＝－1答案ABC解析由題意知，a2＋a4＝2a3＝2.又a2a4＝eq\f(3,4)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，∴a4＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2).∴公差d＝eq\f(a4－a2,2)＝－eq\f(1,2)，故A正確；又a1＝a2－d＝2.∴an＝2＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2)n＋eq\f(5,2)，故B正確；由上可知a1an＝2an，則當(dāng)n≥2時(shí)，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1，當(dāng)n＝1時(shí)，aeq\o\al(2,1)＝4，∴數(shù)列{a1an}是首項(xiàng)為4，公差為－1的等差數(shù)列，故C正確；∵a1an＝4－(n－1)＝5－n，∴a1a7＋a4＝5－7＋eq\f(1,2)＝－eq\f(3,2)，故D錯(cuò)誤．故選ABC.二、填空題6．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9＝________.答案27解析在等差數(shù)列{an}中，設(shè)a3＋a6＋a9＝x①，已知a2＋a5＋a8＝33②，a1＋a4＋a7＝39③，②－③得3d＝－6，①－②得3d＝x－33，∴x＝33＋3d＝33－6＝27.7．假如有窮數(shù)列a1，a2，…，am(m為正整數(shù))滿意條件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，則稱其為“對稱”數(shù)列．例如數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,4,8都是“對稱”數(shù)列．已知在21項(xiàng)的“對稱”數(shù)列{cn}中c11，c12，…，c21是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則c2＝________.答案19解析因?yàn)閏11，c12，…，c21是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19，又{cn}為21項(xiàng)的對稱數(shù)列，所以c2＝c20＝19.8．設(shè)數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，前3項(xiàng)成等差數(shù)列，且前3項(xiàng)的和為12，前3項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是________，它的第2項(xiàng)是________.答案64解析∵前3項(xiàng)成等差數(shù)列，所以可以設(shè)前3項(xiàng)分別為a－d，a，a＋d，由題設(shè)可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝12，,a－da＋da＝48，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,d＝－2.))∴該數(shù)列的第2項(xiàng)是4.∵數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，∴d<0，∴d＝－2，∴首項(xiàng)a－d＝4－(－2)＝6.三、解答題9．四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其平方和為94，第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的積比其次個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積少18，求此四個(gè)數(shù)．解設(shè)四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.據(jù)題意得，(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94?2a2＋10d2＝47.①又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18?8d2＝18?d＝±eq\f(3,2)代入①得a＝±eq\f(7,2).故所求四個(gè)數(shù)為8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.10．在等差數(shù)列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.解(1)依據(jù)已知條件a2＋a3＋a10＋a11＝48，得2(a6＋a7)＝48，∴a6＋a7＝24.(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，得a2＋a5＝17.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2a5＝52，,a2＋a5＝17，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4.))∴d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝eq\f(13－4,3)＝3，或d＝eq\f(a5－a2,5－2)＝eq\f(4－13,3)＝－3.B級：“四能”提升訓(xùn)練1．已知數(shù)列{an}滿意an＋1＝eq\f(1＋an,3－an)(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3的值；(2)是否存在一個(gè)實(shí)常數(shù)λ，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))為等差數(shù)列，請說明理由．解(1)因?yàn)閍1＝0，an＋1＝eq\f(1＋an,3－an)(n∈N*)，所以a2＝eq\f(1＋a1,3－a1)＝eq\f(1＋0,3－0)＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1＋a2,3－a2)＝eq\f(1＋\f(1,3),3－\f(1,3))＝eq\f(1,2).(2)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)常數(shù)λ，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))為等差數(shù)列，則eq\f(1,a1－λ)，eq\f(1,a2－λ)，eq\f(1,a3－λ)成等差數(shù)列，所以eq\f(2,a2－λ)＝eq\f(1,a1－λ)＋eq\f(1,a3－λ)，所以eq