農(nóng)業(yè)大學教案

河北農(nóng)業(yè)大學教案（章節(jié)備課）

學時：16

章節(jié)第四章積分

1.理解定積分的概念并掌握基本性質(zhì)及幾何意義；

2.理解微積分第一基本定理掌握積分上下限函數(shù)的求導公式；掌握微積分第二基

本定理；

教學目的3.正確運用兩類換元法及分部積分法計算不定積分及定積分；

和要求

4.掌握換元法在定積分證明題上的應用；

5.掌握幾種特殊類型函數(shù)的積分方法；

6.掌握兩類反常積分的計算；

7.理解微元法的基本思想并掌握定積分的幾何應用.

重點：1.定積分的概念；

2.微積分第一基本定理、積分上限函數(shù)的求導公式及微積分第二基本定理；

3.不定積分、定積分的計算；

重點和4.微元法的基本思想及定積分的幾何應用.

難點

難點：1.積分上下限函數(shù)求導結(jié)合其它知識點的綜合題；

2.兩類換元法及分部積分法計算不定積分、定積分；

3.換元法在定積分證明題上的應用；

教學內(nèi)容（14學時）：

§4.1定積分概念（2學時）；

§4.2微積分基本定理（4學時）；

教學內(nèi)容與

學時分配§4.3基本積分法（4學時）；

§4.4反常積分（2學時）；

§4.5定積分的應用（2學時）；

期中考試（2學時）.

教學方法與教學方法：課堂以講授為主，適當提問、討論和練習。

教學手段

教學手段：板書

備注講完此章后2學時用于進行期中考試

河北農(nóng)業(yè)大學教去（課時備課）

2學時

第四章積分

章節(jié)

§4.1定積分概念

1.正確理解和掌握定積分的概念、幾何意義

教學目的

和要求2.掌握定積分的基本性質(zhì)并能正確地運用

3.培養(yǎng)學生歸納抽象的能力和理論聯(lián)系實際的觀念

重點：1.定積分的概念和性質(zhì)

重點和難點難點：1.利用定積分的幾何意義計算定積分

2.用定積分表示極限

教學方法：課堂以講授為主，適當提問和練習。

教學方法與

教學手段教學手段：板書。在講解求曲邊梯形的面積及利用幾何意義求定積分時在板書過

程中注意從圖形上直觀解釋。

1、教學內(nèi)容

一、引例

二、定積分概念

三、定積分的幾何意義和物理意義

四、定積分的基本性質(zhì)

教學內(nèi)容

與要點

2、講授要點

首先通過講解兩個引例：1.曲邊梯形的面積2.變速直線運動的路程引出定積

分的概念。注意結(jié)合圖形把抽象的概念直觀化，幫助學生理解。并通過例題講解

如何利用定積分表示極限。然后結(jié)合概念給出定積分的幾何意義和物理意義，并

通過例題講解如何利用定積分的幾何意義計算定積分。最后結(jié)合證明講解定積分

的基本性質(zhì)，并通過例題對性質(zhì)如何進行應用進行說明。

§4.1定積分概念

一、引例

1.曲邊梯形的面積2.變速直線運動的路程

S=粵方/(玉)必§=甄t

z=li=l

注：注意從圖形上進行直觀解釋

二、定積分概念

fbg

1.定義：Jf{x}dx=W,

2.定義的補充說明：

例題1.用定積分表示lim，sin—+sin—++sin—~DE

教學進程isn\_nnnJ

三、定積分的幾何意義和物理意義

1.幾何意義：它是介于x軸、函數(shù)/(%)的圖形及兩條直線尤=a,x=A之間的各

部分的面積代數(shù)和，在x軸上方的取正號，在x軸下方的取負號

例題2.利用幾何意義求￡xdx

2.物理意義：變速直線運動的路程

四、定積分的基本性質(zhì)

性質(zhì)內(nèi)容：

注：對有些性質(zhì)加以證明，并通過幾何意義進行解釋

例題3.比較積分「eeZx和「\心值的大小

JoJo

71?

例題4.估計積分「吧功的值

4X

板書設(shè)計教學主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1253、4(1)、5(2)、6(1)

課后教師教師可以根據(jù)重點與難點的把握以及提問等師生互動情況，適當調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學教去（課時備課）

2學時

第四章積分

章節(jié)

§4.2微積分基本定理

1.理解微積分第一基本定理

教學目的

和要求2.掌握各種形式的積分上下限函數(shù)的求導公式

3.能夠結(jié)合積分上限函數(shù)求導解決一些綜合性題目

重點：1.微積分第一基本定理

2.積分上下限函數(shù)的求導

重點和難點

難點：1.積分上下限函數(shù)的求導問題

2.積分上限函數(shù)求導結(jié)合其它知識點的綜合題

教學方法：課堂以講授為主，適當提問和練習。

教學方法與

教學手段

教學手段：板書。

1、教學內(nèi)容

一、微積分第一基本定理

2、講授要點

教學內(nèi)容首先通過講解積分上限函數(shù)引出微積分第一基本定理，揭示了微分與積分之

與要點

間的內(nèi)在聯(lián)系，并針對于積分上下限函數(shù)的各種不同形式給出相應的求導公式，

并結(jié)合例題說明此知識點與其他知識的一些綜合應用。

§4.2微積分基本定理

一、微積分第一基本定理

1.積分上限函數(shù)

定義：(p{x)=[<x<b)

Ja

注：對積分上限函數(shù)形式進行解釋說明

2.微積分第一基本定理

定理內(nèi)容：

注：對定理內(nèi)容進行簡單證明，揭示微分與積分之間的內(nèi)在聯(lián)系

3.積分上限函數(shù)的求導

不同形式下的求導公式：右]=—/(X),

教學進程⑺力=/[9(切9(乃,[j；J⑺力=-f[(p(x)](p(x),

[C于⑦出=f[<pM]0(x)-f[〃(切〃(x),

例題1.lim-J——.

f

例題2.設(shè)/(X)在(一8,+8)內(nèi)連續(xù)，且/(X)>0.證明函數(shù)F(x)='------在

L/⑺力

*1)

(0,+8)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).

例題3.設(shè)/(x)在[0,1]上連續(xù)，且.證明2x—⑺力=1在[0,1]上

只有一個根.

板書設(shè)計教學主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1352⑵(3)、3、4、

課后教師教師可以根據(jù)重點與難點的把握以及提問等師生互動情況，適當調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學教去（課時備課）

2學時

第四章積分

章節(jié)

§4.2微積分基本定理

1.理解微積分第一基本定理

教學目的

和要求2.掌握各種形式的積分上下限函數(shù)的求導公式

3.能夠結(jié)合積分上限函數(shù)求導解決一些綜合性題目

重點：1.微積分第一基本定理

2.積分上下限函數(shù)的求導

重點和難點

難點：1.積分上下限函數(shù)的求導問題

2.積分上限函數(shù)求導結(jié)合其它知識點的綜合題

教學方法：課堂以講授為主，適當提問和練習。

教學方法與

教學手段

教學手段：板書。

1、教學內(nèi)容

一、微積分第一基本定理

2、講授要點

教學內(nèi)容首先通過講解積分上限函數(shù)引出微積分第一基本定理，揭示了微分與積分之

與要點

間的內(nèi)在聯(lián)系，并針對于積分上下限函數(shù)的各種不同形式給出相應的求導公式，

并結(jié)合例題說明此知識點與其他知識的一些綜合應用。

§4.2微積分基本定理

一、微積分第一基本定理

1.積分上限函數(shù)

定義：(p{x)=[<x<b)

Ja

注：對積分上限函數(shù)形式進行解釋說明

2.微積分第一基本定理

定理內(nèi)容：

注：對定理內(nèi)容進行簡單證明，揭示微分與積分之間的內(nèi)在聯(lián)系

3.積分上限函數(shù)的求導

不同形式下的求導公式：右]=—/(X),

教學進程

⑺力=/[9(切9(乃,[j；J⑺力=-f[(p(x)](p(x),

[C于⑦出=f[<pM]0(x)-f[〃(切〃(x),

例題1.lim-J——.

f

例題2.設(shè)/(X)在(一8,+8)內(nèi)連續(xù)，且/(X)>0.證明函數(shù)F(x)='------在

L/⑺力

*1)

(0,+8)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù).

例題3.設(shè)/(x)在[0,1]上連續(xù)，且.證明2x—⑺力=1在[0,1]上

只有一個根.

板書設(shè)計教學主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1352⑵(3)、3、4、

課后教師教師可以根據(jù)重點與難點的把握以及提問等師生互動情況，適當調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學教去（課時備課）

2學時

第四章積分

章節(jié)

§4.3基本積分法

1.能夠掌握兩類換元法的基本思想和公式

教學目的2.正確運用兩類換元法求不定積分及定積分

和要求

3.掌握換元法在定積分證明題上的應用

4.培養(yǎng)學生靈活的思維能力。

重點：1.兩類換元法的思想和公式

2.用兩類換元法計算不定積分及定積分

重點和難點

難點：1.掌握兩類換元法的常用方法和技巧

2.換元法在定積分證明題上的應用

教學方法：課堂以講授為主，適當提問，因涉及變換方法靈活需較多引入例題。

教學方法與

教學手段

教學手段：板書。

1、教學內(nèi)容

一、換元積分法

2、講授要點

教學內(nèi)容首先由一個簡單的復合函數(shù)求導運算結(jié)合積分與微分的關(guān)系引出不定積分第

與要點

一類換元積分法（湊微分法），給出相應的變換公式及具體的操作步驟，然后通過

例題加以說明解釋，并通過例題體現(xiàn)其變換靈活的特點。給出不定積分第二類換

元法的變換公式及具體的操作步驟后，比較說明此類換元法與第一類換元法針對

對象的不同，重點講解其三種變換形式。最后說明兩種換元法在定積分計算上的

應用及用換元法做關(guān)于定積分的證明題。

§4.3基本積分法

一、換元積分法

1.第一類換元積分法(湊微分法)

引例：(sin2x)'=2cos2x,J2cos2xdxq~~Jcosudu=sin2c+C

公式：J/S(x)]"(x)dx=[Jf(u)du]u=^x)=F[(/)(x)]+C

具體步驟：jg(x)tZx=Jf[(/)(x)](/>'(x)dx=[j/(")如=g)=F(M)+C=F[^(X)]+C.

2.例題練習

例1.dx.例2.I*dx；例3.j-----dx(〃>0)

」3+2xJx(l+21nx)J廬了

J￡+fJi+cosxJl+「

3.第二類換元積分法

公式：jf(x)dx=[J/匕⑺]〃'⑺必]=/⑴

教學進程

2

常用的三角代換：(1)Ja2-x1,X=asint;(2),x-atant;

(3)6—a1,;c=asec].

例7J1r/r、rn.,1

例8..i-----UA；ivyJ.[7dx；

yjx2+a2X4V77TJ%(『+2)

4.定積分的情形

換元公式：\f^dx=f/[(力⑺M(t)dt

JaJa

*4a

例10.2cos5xsmxdx；例11.J4i2-x2dx；例12.Vsin3x-sin5xdx

Jo0

0

例13.7(%)在上連續(xù),

①“X)為偶函數(shù),則[f(x)dx=2\f(x)dx；

J-aJ。

②/(X)為奇函數(shù)，則|f(x)dx=0.

-a

板書設(shè)計教學主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1571(雙號題)、2(單號題)、4(雙號題)5(3)(5)、6(2)(4)

課后教師教師可以根據(jù)重點與難點的把握以及提問等師生互動情況，適當調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學教去（課時備課）

2學時

第四章積分

章節(jié)

§4.3基本積分法

1.正確理解和掌握分部積分法的公式

教學目的

和要求2.掌握幾種特殊類型函數(shù)的積分方法

3.能夠綜合運用各種方法求積分

重點：L分部積分法的公式和應用

2.有理函數(shù)三角有理函數(shù)的積分方法

重點和難點

難點：L分部積分公式中u及V的正確選擇

2.有理函數(shù)中真分式的拆分

3.綜合運用各種方法求積分

教學方法：課堂以講授為主，適當提問，因涉及變換方法靈活需較多引入例題。

教學方法與

教學手段教學手段：板書。

1、教學內(nèi)容

二、分部積分法

三、幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例

2、講授要點

首先由函數(shù)乘積的的求導法則引出不定積分的分部積分公式，指明公式的作

用及應用時被積函數(shù)的形式和一般情況下""選取的原則。然后通過講解例題總

教學內(nèi)容

與要點結(jié)事函數(shù)與四類函數(shù)相乘時"/選取的規(guī)律，再通過例題講述應用分部積分公式

循環(huán)求解的積分問題。給出定積分的分部積分公式后，指明與不定積分公式的不

同，后通過例題練習。

有理函數(shù)的積分中關(guān)鍵是真分式的拆分，要詳細講解其拆分的原則。對于三

角有理函數(shù)主要講了利用萬能變換公式進行積分，要注意dx正確的變換形式。最

后給出幾個常見“積不出來”的函數(shù)，要求記憶。

§4.3基本積分法

二、分部積分法

1.不定積分的分部積分法

公式：juv'dx=wv-Ju'vdx,judv=wv-jvdu

作用：

u,v選取的原則：(1)積分容易者選為/(2)求-學簡單者選為Uo

例題l.jxcosxdc例題2.'%2/辦例題3jxzirctanAz/x例題4.Jx3Inxdx

注：總結(jié)上述情況下選取的原則。

例題5Jsin(lnx)dx例題6.jexsinxdx

2.定積分的分部積分法

公式：udv-\uv\-vdu

JaL」qJa

2??S-??—

教學進程例題7,farcsinxdx.例題8.「——------例題9./=2sin"xdx-2cos〃xdx

JoJ。1+coslxnJoJo

三、幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例

1.有理函數(shù)積分

定義：

利用多項式除法，假分式可以化成一個多項式和一一個真分式之和.

真分式的拆分原則：

待定系數(shù)法：

11

例題10」f--------dx例題11」f-------------clx

Jx(x-l)2J(1+2x)(1+/)

2.三角有理函數(shù)積分

定義：

萬能變換：

x2ui-u2,2,

u=tan—,x=2arctan〃，sinx=-----,cc)SA—)clJC—r.CLU

21+u21+Z41+"

“phrsin%,-口xrcosY

例題12.--------------dx例題13.----—dx注:說明換元法更簡單.

J1+sinx+cosxJ1+sinx

注：給出常見“積不出3E”的函數(shù)。

板書設(shè)計教學主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1597(雙號題)、8(3)(6)、9(3)(5)(6)、

課后教師教師可以根據(jù)重點與難點的把握以及提問等師生互動情況，適當調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學教去（課時備課）

2學時

第四章積分

章節(jié)

§4.4反常積分

教學目的1.正確理解和掌握兩類反常積分的計算

和要求

2.記住「函數(shù)的形式并能計算特殊值下的r函數(shù)值

重點：1.兩類反常積分的計算

2.「函數(shù)的計算

重點和難點

難點：L函數(shù)中含有待定常數(shù)的反常積分的計算

2.與換元法結(jié)合的「函數(shù)的計算

教學方法：課堂以講授為主，適當提問和練習。

教學方法與

教學手段

教學手段：板書。

1、教學內(nèi)容

一、無窮區(qū)間上的反常積分

二、有無窮間斷點的反常積分

三、「函數(shù)

教學內(nèi)容2、講授要點

與要點

首先給出無窮區(qū)間上的反常積分的三種不同情況下的定義形式，也是相應的

計算公式，講解與正常積分計算方法上的相同及不同之處，并通過例題練習。對

于有無窮間斷點的反常積分同樣給出三種不同情況下的定義即計算公式，尤其是

無窮間斷點位于積分區(qū)間內(nèi)部的情形一定要強調(diào)說明勿作為正常積分去計算，與

正常積分計算方法比較后通過例題練習。對于「函數(shù)關(guān)鍵是掌握其遞推公式，并

能夠利用此公式計算兩種特殊值下的r函數(shù)。

§4.4反常積分

一、無窮區(qū)間上的反常積分

f4-00pbpb

定義：If(x)dx=lim[f(x)dx,|f(x)dx=lim|f(x)dx,

Jab—>+℃JaJ-ooa—>-ooJa

f+oopcfb

[f(x)dx=lim[f(x)dx+lim[f(x)dx

J—ooa—>—ooJabf+8Jc

注：說明與正常積分計算方法上的相同及不同之處

r+oodxr+co11

例題1.[例題2」與sin土然

例題3.證明反常積分「8十公當p>1時收斂，當p41時發(fā)散.

f4-00

例題4.證明反常積分(當口〉0時收斂，當?<0時發(fā)散.

二、有無窮間斷點的反常積分

定義：If(x)dx=lim[f(x)dx,ff(x)dx=lim[f(x)dx,

Ja￡9()+Ja+￡Ja￡_>()+Ja

pbpcfbpc-￡pb

教學進程[于(y

x)dx=[f{x]dx+[f(x)dx=limff{x}dx+lim+fc+￡f{x}dx

JaJaJc所_>o+Ja￡2^^2

注：說明與正常積分計算方法上的相同及不同之處，強調(diào)要小心第三種情形

例題5.V,dX(a>0)例題6.

JoVa2-x2J1xlnx

例題7.證明反常積分]」公當p<1時收斂，當pN1時發(fā)散.

三、「函數(shù)

定義：「(a)=「xa~xe~xdx

Jo

遞推公式：

兩個特殊情況下的計算公式：「5+1)=加，

嗎)=丁??…If'卞

例題8.匚⑦例題9.求廣人松質(zhì)的值例題8.求/了%，小的值

「(4)J。Jo

板書設(shè)計教學主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1651(4)(5)(9)(10)、2、3(2)

課后教師教師可以根據(jù)重點與難點的把握以及提問等師生互動情況，適當調(diào)整

總結(jié)分析下一輪授課的內(nèi)容和方法。

河北農(nóng)業(yè)大學教去（課時備課）

2學時

第四章積分

章節(jié)

§4.5定積分的應用

1.正確理解和掌握定積分微元法的基本思想

教學目的

和要求2.掌握用定積分解決幾何方面的實際問題

3.培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力和數(shù)形結(jié)合的觀念

重點：1.正確理解和掌握定積分微元法的基本思想

2.定積分的幾何應用

重點和難點

難點：1.參數(shù)方程確定的曲線所圍的面積

2.平行截面面積已知的立體體積

教學方法與教學方法：課堂以講授為主，適當提問和練習。

教學手段

教學手段：板書。因涉及幾何及物理應用教學過程中注意從圖形上進行直觀解釋。

1、教學內(nèi)容

一、定積分的微元法

二、定積分的幾何應用

教學內(nèi)容

與要點2、講授要點

首先通過回顧求曲邊梯形面積的過程給出元素法的定義及可應用需滿足的四

個條件，并給出具體的操作步驟。然后根據(jù)元素法的思想，分別講了定積分在求

平面圖形的面積、立體的體積及平面曲線的弧長中的應用，并通過例題進行練習。

最后又把元素法的思想推廣到物理應用的方面，講解了變力沿直線所做的功及液

體壓力的問題，后通過例題進行練習。

§4.5定積分的應用

一、定積分的微元法

n2

1.定義：U==Jf{x}dx

日a

b

2.操作步驟：(1)求微元dU=/(x)公(2)求積分。=

a

二、定積分的幾何應用

1.平面圖形的面積

(1)在直角坐標系中計算面積

例題1.求由兩曲線>=/，x=y2所圍平面圖形的面積

例題2.求由兩曲線產(chǎn)=2x,y=x—4所圍平面圖形的面積

(2)在極坐標系中計算面積

教學進程例題3.求心形線r=。(1+85。)(?！?)所圍平面圖形的面積.

例題4.求雙紐線22=。2cos2。所圍平面圖形的面積.

2.立體的體積

(1)平行截面面積已知的立體體積

例題5?一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角e,計算這平

面截圓柱體所得立體的體積.

(2)旋轉(zhuǎn)體的體積

22

例題6.求橢圓二+2r=1所圍成的平面圖形分別繞X軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的

ab

旋轉(zhuǎn)體的體積.

3.平面曲線的弧長

例題7.計算曲線y=gx'上相應于x從。到b的一段弧的長度

(3

x=Qcos"t

例題8.計算星形線\(0<r<2^)的弧長.

[y=asint

板書設(shè)計教學主要內(nèi)容例題講解演算區(qū)

作業(yè)布置教材P.1761(2)(3)(5)、2⑴、3(1)(3)、4(1)

課后教師教師可以根據(jù)重點與難點的把握以及提問等師生互動情況，適當調(diào)整

總結(jié)分析