2025年湖南省長沙市中考數(shù)學模擬試卷（附答案解析）

2025年湖南省長沙市中考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項符合題意的。請在答題卡中填涂符合題

意的選項。本大題共10小題，每小題3分,共30分）

1.（3分）下列實數(shù)中，為有理數(shù)的是（)

A.V3B.TTC.V2D.1

1

2.（3分）若分式口在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,則X的取值范圍是)

A.xWOB.xWlC.x>lD.x<l

3.（3分）下列立體圖形中，俯視圖與主視圖不同的是（

A.

4.（3分）下列說法正確的是（

A.打開電視機，正在播放“張家界新聞”是必然事件

B.天氣預(yù)報說“明天的降水概率為65%”，意味著明天一定下雨

C.兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，則方差大的更穩(wěn)定

D.數(shù)據(jù)5,6,7,7,8的中位數(shù)與眾數(shù)均為7

5.（3分）2023年前三季度全國GDP30強城市排名已經(jīng)揭曉，長沙GDP約為10800億名

列第十五，同比增速為6.32%,數(shù)據(jù)10800用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.108X105B.10.8X103C.1.08X104D.1.08X103

6.（3分）下列運算正確的是（）

7Q5

A.a2'a3=a6B.〃=。

C.(a+b)2—a2+b2D.(a3)2=°6

7.（3分）在直角坐標系中，點A（2,-3)關(guān)于原點對稱的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.（3分）如圖，E、F、G、X分別是四邊形ABC。四條邊的中點，則四邊形EFG8一定是

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

9.（3分）如圖所示，四邊形4BC。為。。的內(nèi)接四邊形，ZBCD=nO°,則的大

A.80°B.120°C.100°D.90°

10.（3分）我國古代數(shù)學典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有道兩鼠穿墻問題：“今

有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日

相逢，各穿幾何”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿

墻，大、小鼠第一天都進一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇，

這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為20尺，則需要幾天時間才能

打穿（結(jié)果取整數(shù)）（）

A.4B.5C.6D.7

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

11.（3分）分解因式：1-/=.

12.（3分）如圖，在中，圓心角NAOB=70°,那么圓周角/C=.

13.（3分）睡眠管理作為“五項管理”中重要的內(nèi)容之一，也是學校教育重點關(guān)注的內(nèi)容.某

老師了解到某班40位同學每天睡眠時間（單位：小時）如下表所示，則該班級學生每天

的平均睡眠時間是小時.

睡眠時間8小時9小時10小時

人數(shù)62410

14.（3分）已知關(guān)于無的方程/+3x-m=0的只有一個解，則m的值

是

15.（3分）如圖所示，點A是反比例函數(shù)y=9圖象上一點，作48,無軸，垂足為點2,若

△AOB的面積為2,則左的值是

16.（3分）若一次函數(shù)y=x+l與y=-尤-1交于A點，則A點的坐標為

三、解答題（本大題共9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，

第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、

證明過程或演算步驟）

17.（6分）計算：|2-Tt|+（^）-1-（V2-2025）°+V3-tan30°.

18.（6分）先化簡，再求值：（1+1）+2*匚其中x=2.

x—r2x+l

19.（6分）如圖所示，湘府中路是一段東西走向的公路，在省政府（A處）測得小明家（P

處）在北偏東60°方向上，繼續(xù)往東走3而z到了德思勤（2處）測得我家（P處）在北

偏東30°方向上，請問小明家到湘府路有多遠？（參考數(shù)據(jù):百切.73,結(jié)果精確到0.1h〃）

20.（8分）“賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美”，某校舉辦了首屆“中國詩詞大會”,

經(jīng)選拔后有50名學生參加決賽，根據(jù)測試成績（成績都不低于50分）繪制出如圖所示

的部分頻數(shù)分布直方圖.

請根據(jù)圖中信息完成下列各題.

(1)將頻數(shù)分布直方圖補充完整人數(shù)；

(2)若測試成績不低于80分為優(yōu)秀，則本次測試的優(yōu)秀率是多少；

(3)現(xiàn)將從包括小明和小強在內(nèi)的4名成績優(yōu)異的同學中隨機選取兩名參加市級比賽,

求小明與小強同時被選中的概率.

21.(8分)如圖，在平行四邊形A8CZ)中，ZB=ZAFE,E4是28EF的角平分線.求證：

(1)AABE咨AAFE；

(2)ZAFD=ZECD.

22.(9分)為了響應(yīng)“足球進校園”的目標，某校計劃為學校足球隊購買一批足球，已知

購買2個A品牌的足球和3個8品牌的足球共需380元；購買4個A品牌的足球和2個

8品牌的足球共需360元.

(1)求A,B兩種品牌的足球的單價.

(2)2023年學校購買足球的預(yù)算為6400元，總共購買100個球且購買A品牌足球的數(shù)

量不多于B品牌足球數(shù)量的2倍，有幾種購買方案.

23.(9分)如圖，已知是△ABC的外接圓，是。。的直徑，且BO=8C,延長A。

至UE,且有

(1)求證：是的切線；

(2)若BC=2^,AC=10,求圓的直徑A￡)；

(3)在(2)的條件下求切線BE的長.

24.(10分)我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)yi—aix2+bix+ci與y2—av?+bix+ci同時滿足

C11W0,42#0,田+。2|+嘉二瓦+(C1+C2)2=0,則稱函數(shù)yi與y2互為"回旋"函數(shù).根

據(jù)該約定，解答下列問題：

(1)求二次函數(shù)y=/-4.r+3的“回旋”函數(shù)的解析式；

(2)若關(guān)于x的二次函數(shù)y=o?+2依+。的頂點在它的“回旋”函數(shù)圖象上，且當￡<x<

a

CL—C

---時，-4WyzW4,求a,c的值；

a

(3)關(guān)于x的函數(shù)尤+c(a>0)的圖象頂點為M,與無軸的交點為A、B,當

它的“回旋”函數(shù)”的頂點為N,與x軸的交點為C、D,從左往右依次是A、B、C、D,

若AC=38C,是否存在b使得AMON為矩形？

25.(10分)如圖，在平面直角坐標系中A(1,0),B(F,0),P(無，y)為平面坐標系中

任意一點且左>0,后勺.

(1)若左=2且尸(V2,V2),求證：PA=^PB；

(2)若?必，求證：/+/=好；

(3)在問題(2)的條件下，龍軸上一點C(-3,0),求取得最小值時尸點

的坐標.

（備用圖）

2025年湖南省長沙市中考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項符合題意的。請在答題卡中填涂符合題

意的選項。本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.（3分）下列實數(shù)中，為有理數(shù)的是（）

A.V3C.V2

【解答】解：V3,it,好是無理數(shù)，

1是有理數(shù)，

故選：D.

1

2.（3分）若分式一：在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則工的取值范圍是（）

A.xWOB.xWlC.x>lD.x<l

【解答】解：當分母X-IWO,即xWl時，分式二7在實數(shù)范圍內(nèi)有意義;

%-1

故選：B.

3.（3分）下列立體圖形中，俯視圖與主視圖不同的是（）

【解答】解：圓錐的主視圖是三角形，俯視圖是圓，

???圓錐的俯視圖與主視圖不同，

故選：D.

4.（3分）下列說法正確的是（）

A.打開電視機，正在播放“張家界新聞”是必然事件

B.天氣預(yù)報說“明天的降水概率為65%”，意味著明天一定下雨

C.兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，則方差大的更穩(wěn)定

D.數(shù)據(jù)5,6,7,7,8的中位數(shù)與眾數(shù)均為7

【解答】解：4打開電視機，正在播放“張家界新聞”是隨機事件，故A錯誤;

B.天氣預(yù)報說“明天的降水概率為65%”，意味著明天可能下雨，故8錯誤;

C.兩組數(shù)據(jù)平均數(shù)相同，則方差大的更不穩(wěn)定，故C錯誤;

D,數(shù)據(jù)5,6,1,7,8的中位數(shù)與眾數(shù)均為7,正確.

故選：D.

5.（3分）2023年前三季度全國GDP30強城市排名已經(jīng)揭曉，長沙GDP約為10800億名

列第十五，同比增速為6.32%,數(shù)據(jù)10800用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.108X105B.10.8X103C.1.08X104D.1.08X103

【解答】解：10800=1.08X104,

故選：C.

6.（3分）下列運算正確的是（）

9Qs

A.a2*a3=a6B.a~+a—a

C.（a+b）2—cr+b2D.(cz3)2=5

【解答】解：a2,a3=a2+3=a5-,A錯誤；

ci2+cz3=o2+a3；B錯誤;

Qa+b）2=/+廿+2血C錯誤；

（a3）2=a3X2=a6；。正確；

故選：D.

7.（3分）在直角坐標系中，點A（2,-3）關(guān)于原點對稱的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：：點A（2,-3）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（-2,3）,其橫坐標小于0,

縱坐標大于0,

...點A（2,-3）關(guān)于原點對稱的點位于第二象限.

故選：B.

8.（3分）如圖，E、F、G、X分別是四邊形ABC。四條邊的中點，則四邊形所G8一定是

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

【解答】解：如圖，連接AC,

,:E、F、G、”分別是四邊形A8C。邊的中點，

：.HG//AC,HG=|AC,EF//AC,EF=1AC；

:.EF=HG且EF〃HG；

四邊形EFGH是平行四邊形.

故選：A.

9.（3分）如圖所示，四邊形ABC。為的內(nèi)接四邊形，NBCD=120。，則的大

小是（）

A.80°B.120°C.100°D.90°

【解答】解：：四邊形ABCD為。。的內(nèi)接四邊形，

/.ZA=180°-ZBCD=60°,

由圓周角定理得，ZBOD=2ZA=120°,

故選：B.

10.（3分）我國古代數(shù)學典籍《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今

有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日

相逢，各穿幾何”，翻譯過來就是：有五尺厚的墻，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿

墻，大、小鼠第一天都進一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠減半，則幾天后兩鼠相遇，

這個問題體現(xiàn)了古代對數(shù)列問題的研究，現(xiàn)將墻的厚度改為20尺，則需要幾天時間才能

打穿（結(jié)果取整數(shù)）（）

A.4B.5C.6D.7

【解答】解：設(shè)需要"天時間才能打穿，

111

根據(jù)題意得：1+2+2?+....+2"「i+l+z+(-)2+....+(-)G=20.

2

令0=1+2+22+...+2”-1,貝u24=2+22+....+2"7+2",

：.2a-a=2+22+...+2n-1+2n-(1+2+22+...+2,!-1):=2n-1,

.\a=2n-1.

21-1

令6=1+鼻(-)+……+(-)〃1,則%=4+(-)2+……+(-)n'+(-)n,

22222222

1111_,111711

:.b-^b=l+^+(-)02+……+(-)n1-[-+(-)02+-????+(-)n1+(-)"]=1-(-)

222222222

n

：.b=2-(-)〃一I

2

1

：.2n-1+2-(-)n-1=20,

2

1

：.2n-(一)e=19.

2

1117

當“=4時，2n-(-)?-1=24-(-)4'=16-^=15-<20；

2288

11115

當九=5時，2n-(-)1=25-(-)5-1=32一與=3].—>20.

221616

需要5天時間才能打穿(結(jié)果取整數(shù)).

故選：B.

二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)

11.(3分)分解因式：1-*=(1+尤)(1-x)

【解答】解：1--=(1+X)(1-X).

故答案為：(1+X)(1-X).

12.(3分)如圖，在。。中，圓心角/A"B=70°,那么圓周角NC=35°

A

【解答】解：?.?圓心角NAQB=70。，

11

：.ZC=^ZAOB=^x70°=35°.

故答案為:35°.

13.（3分）睡眠管理作為“五項管理”中重要的內(nèi)容之一，也是學校教育重點關(guān)注的內(nèi)容.某

老師了解到某班40位同學每天睡眠時間（單位：小時）如下表所示，則該班級學生每天

的平均睡眠時間是9.1小時.

睡眠時間8小時9小時10小時

人數(shù)62410

8X6+9X24+10X10

【解答】解:=9.1（小時）,

40

即該班級學生每天的平均睡眠時間是9.1小時.

故答案為：9.1.

14.（3分）已知關(guān)于x的方程/+3x-m=0的只有一個解，則根的值是——

【解答】解：根據(jù)題意得：A=32-4X（-m）=0,

9

-

4

故答案為：-浦

15.（3分）如圖所示，點A是反比例函數(shù)y=5圖象上一點，作ABLx軸，垂足為點8,若

△AOB的面積為2,則女的值是4.

【解答】解：???點A是反比例函數(shù)尸三圖象上一點，作A5_Lx軸，垂足為點'

.1

??S/\AOB=2因=2;

又??,函數(shù)圖象位于一、三象限，

；?左=4,

故答案為4.

16.（3分）若一次函數(shù)y=x+l與y=-X-1交于A點，則■點的坐標為（-1,0）

【解答】解：根據(jù)題意得，W二”±11,

（y=-x—1

解得：01

AA(-1,0).

故答案為：（-1,0）.

三、解答題（本大題共9小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，

第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、

證明過程或演算步驟）

17.（6分）計算：|2--（V2-2025）°+V3-tan30°.

【解答】解：原式=『2+2-l+Wx孚

=n-2+2-1+1

=71.

18.（6分）先化簡，再求值：（1+工）+2之\，其中尤=2.

x-rxz—2x+l

【解答】解：Q+SD+V*

X—lx（x+l）

）

—__X__?-0------1----2

X-lx（x+l）

_x—1

=x+l,

當x—2時,原式=，+;=號.

19.（6分）如圖所示，湘府中路是一段東西走向的公路，在省政府（A處）測得小明家（尸

處）在北偏東60°方向上，繼續(xù)往東走36到了德思勤（5處）測得我家（尸處）在北

偏東300方向上，請問小明家到湘府路有多遠？（參考數(shù)據(jù)：8句.73,結(jié)果精確到0.1版）

北

勺東

C

【解答】解：如圖，過點P作尸交A2的延長線于點

由題意得：/PBD=60°,ZB4D=30°,

AZBPA=ZPBD-ZPAD^60°-30°=30°,

：.ZBPA=ZPAD,

.\PB=AB=3km,

在RtzXPBZ)中，NPBD=3U°,

PD

VsinZPBD=p^,

.?.PD=PB?sinZPBD=3x?2.6(km),

答：小明家到湘府路約為2.6A〃.

20.（8分）“賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美”，某校舉辦了首屆“中國詩詞大會”,

經(jīng)選拔后有50名學生參加決賽，根據(jù)測試成績（成績都不低于50分）繪制出如圖所示

的部分頻數(shù)分布直方圖.

小頻數(shù)（人數(shù)）

請根據(jù)圖中信息完成下列各題.

（1）將頻數(shù)分布直方圖補充完整人數(shù)；

（2）若測試成績不低于80分為優(yōu)秀，則本次測試的優(yōu)秀率是多少；

（3）現(xiàn)將從包括小明和小強在內(nèi)的4名成績優(yōu)異的同學中隨機選取兩名參加市級比賽,

求小明與小強同時被選中的概率.

【解答】解：（1）70到80分的人數(shù)為50-（4+8+15+12）=11人，

補全頻數(shù)分布直方圖如下：

15+12

⑵本次測試的優(yōu)秀率是一端一X1O°%=54%；

(3)設(shè)小明和小強分別為A、B,另外兩名學生為：C、D,

則所有的可能性為：AB,AC,AD,BC、BD、CD,

所以小明與小強同時被選中的概率為士

6

21.(8分)如圖，在平行四邊形ABC。中，ZB=ZAFE,EA是N2EP的角平分線.求證:

(1)AABE冬△AFE；

(2)ZAFD=ZECD.

【解答】證明：(1),??以是尸的角平分線,

；.NBEA=NAEF,

在△ABE和中，

Z.BEA=Z.AEF

乙B=Z.AFE，

AE=AE

：.AABE^AAFE(A4S)；

(2)???四邊形ABC。是平行四邊形，

AZB+ZECD=180°,

?：NB=/AFE,ZAFE+ZAF￡)=180°,

4AFD=/ECD.

22.(9分)為了響應(yīng)“足球進校園”的目標，某校計劃為學校足球隊購買一批足球，已知

購買2個A品牌的足球和3個8品牌的足球共需380元；購買4個A品牌的足球和2個

B品牌的足球共需360元.

(1)求A,8兩種品牌的足球的單價.

(2)2023年學校購買足球的預(yù)算為6400元，總共購買100個球且購買A品牌足球的數(shù)

量不多于8品牌足球數(shù)量的2倍，有幾種購買方案.

【解答】解：(1)設(shè)A品牌的足球的單價為x元/個，8品牌的足球的單價為y元/個，

根據(jù)題意得：落林二歌，

解得：

答：A品牌的足球的單價為40元/個，3品牌的足球的單價為100元/個.

(2)設(shè)購買A品牌足球。個，則購買8品牌足球(100-個.則

(a<2(100—a)

(40a+100(100-a)<6400'

/.60<a<竽，

...a可取60,61,62,63,64,65,66共7種購買方案.

答：有7種購買方案.

23.(9分)如圖，已知OO是△ABC的外接圓，AO是。。的直徑，且BD=8C,延長A。

至UE,且有

(1)求證：BE是O。的切線；

(2)若BC=2痘,AC=10,求圓的直徑A。；

(3)在(2)的條件下求切線3E的長.

【解答】(1)證明：如圖1,連接02,

?；BD=BC,

：.ZCAB=ZBAD,

?：/EBD=/CAB,

：.ZBAD=ZEBD,

:A。是。。的直徑，

AZABD=90°,OA=BO,

：.ZBAD=ZABO,

：.ZEBD=ZABO,

：.ZOBE=/EBD+/OBD=NABD+NOBD=ZABD=90°,

???點5在OC上,

???5￡是。。的切線，

(2)解：如圖2,

圖2

設(shè)圓的半徑為R,連接CD,

:AZ）為。。的直徑，

???ZACD=90°

?；BC=BD,

：.OB±CD,

：?OB〃AC,

*：OA=OD,

1

.??OF=^AC=5.

???四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形,

.ZBDE=ZACB.

?/EBD=NCAB,

.ADBE^ACAB,

DBDE

9AC~BC"

2V3DE

?10-2行

.DE=\2,

9ZOBE=ZOFD=90°,

.DF//BE,

OFOPDF

?OB~OE~BE'

OFOP

?OB-OE

5_R

?R~R+1.29

?R>0.

?R=6,

?直徑A0=12；

(3)解：如圖3,

圖3

在RtZXOO尸中，。尸=5,0D=R=6,

DF=y/OD2—OF2=V62-52=VT1,

..0尸DF

?OB~BE'

.clOB-DF6x7116萬

24.（10分）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)yLaV+bix+ci與＞2=02，+6”+。2同時滿足

m#0,122#0,|。1+及|+,&—。+（。1+。2）2=0,則稱函數(shù)yi與"互為"回旋”函數(shù).根

據(jù)該約定，解答下列問題：

（1）求二次函數(shù)y=/-4x+3的“回旋”函數(shù)的解析式；

(2)若關(guān)于x的二次函數(shù)>=辦2+2依+。的頂點在它的“回旋”函數(shù)圖象上，且當￡<x<

a

a—c

---時，-4W”W4,求〃，c的值；

a

(3)關(guān)于x的函數(shù)yi=o?+法+c(cz>0)的圖象頂點為M,與無軸的交點為A、B,當

它的“回旋”函數(shù)”的頂點為N,與x軸的交點為C、D,從左往右依次是A、B、C、D,

若AC=33C,是否存在6使得AMLW為矩形？

【解答】解：(1),..|m+a2|+J瓦-歷+(。1+。2)2=0,

則。1=-Q2,bl=b2,Cl=-C2,

貝lJy=7-4x+3的“回旋”函數(shù)的解析式為：y=-x2-4x-3；

(2)y=ax2+2ax+cK“回旋”函數(shù)為：y=--c,

由>=/+2辦+c知，其頂點坐標為：(-1,c-〃)，

=

將該點代入y~"2+2依-c得：c-a=~a-2a-cf

解得：a=-c,

則函數(shù)的表達式為：尸-〃(X-1)2+2〃，

即-1WxW2時，-4W”W4,

當a>0時，

當x=1時，y=-a(x-1)2+2。=2〃=4,

解得：。=2,則c=-2；

當a<0時，

當x=l時，y=-a(x-1)2+2a=2a=-4,

解得：a=-2,貝ijc=2；

綜上，〃=2,。=-2或〃=-2,則c=2；

(3)如下圖:

設(shè)點A、B、C＞。的橫坐標分別為：XI,X2,X3,X4,△=b2-4ac,

則點M的坐標為：（一女,」）且％1,2=絲丹點N的坐標為：（二,二）且工3,4=?共^,

2a4a2a2a4a2a

則-X2=BC=xs-X2==^AC=iX

AC=X3ciba"33a

則VZ=學，

當四邊形AMQN為矩形時，則NA0N=9O°,設(shè)左