新教材高中數(shù)學第二章直線和圓的方程2.3直線的交點坐標與距離公式2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離導學案新人教A版選擇性必修第一冊

.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離學問點一點到直線的距離公式點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\x(\s\up1(01))eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).學問點二兩條平行直線間的距離(1)兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的eq\x(\s\up1(01))公垂線段的長，也就是一條平行直線上任一點到另始終線的eq\x(\s\up1(02))距離.(2)兩條平行直線間的距離公式①P(x0，y0)為l1：Ax＋By＋C1＝0上一點，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，則l1與l2間的距離d＝eq\x(\s\up1(03))eq\f(|Ax0＋By0＋C2|,\r(A2＋B2)).②兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)間的距離d＝eq\x(\s\up1(04))eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).1．點到幾種特別直線的距離(1)點P(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|；(2)點P(x0，y0)到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|；(3)點P(x0，y0)到與x軸平行的直線y＝b(b≠0)的距離d＝|y0－b|；(4)點P(x0，y0)到與y軸平行的直線x＝a(a≠0)的距離d＝|x0－a|.2．應用點到直線的距離公式應留意的問題(1)直線方程應為一般式，若給出其他形式，應先化成一般式再用公式．例如求P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離，應先把直線方程化為kx－y＋b＝0，得d＝eq\f(|kx0－y0＋b|,\r(k2＋1)).(2)點P在直線l上時，點到直線的距離為零，公式仍舊適用，故應用公式時不必判定點P與直線l的位置關(guān)系．3．對兩平行直線間的距離公式的理解(1)求兩平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離，也可以利用公式．(2)利用公式求平行線間的距離時，兩直線方程必需是一般式，且x，y的系數(shù)對應相等．(3)當兩直線都與x軸(或y軸)垂直時，可利用數(shù)形結(jié)合來解決．①兩直線都與x軸垂直時，l1：x＝x1，l2：x＝x2，則d＝|x2－x1|；②兩直線都與y軸垂直時，l1：y＝y(tǒng)1，l2：y＝y(tǒng)2，則d＝|y2－y1|.1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)點(m，n)到直線x＋y－1＝0的距離是eq\f(m＋n－1,\r(2)).()(2)連接兩條平行直線上兩點，即得兩平行線間的距離．()(3)兩平行線間的距離是兩平行線上兩點間的最小值．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知點A(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝()A．eq\r(2) B．2－eq\r(2)C．eq\r(2)－1 D．eq\r(2)＋1(2)點P(1,2)到直線2x＋y－4＝0的距離等于________.(3)若點(4,3)到直線3x－4y＋C＝0的距離為1，則C＝________.(4)兩平行線4x＋6y＝16與2x＋3y＋18＝0間的距離等于________.答案(1)C(2)0(3)±5(4)2eq\r(13)題型一點到直線的距離例1已知P1(2,3)，P2(－4,5)與點A(－1,2)，求過點A且與P1，P2距離相等的直線l的方程．[解]當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，符合題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，因為P1，P2到直線l的距離相等，所以eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，化簡得|3k－1|＝|3k＋3|，解得k＝－eq\f(1,3)，故直線l的方程為x＋3y－5＝0.綜上可知，直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＋1＝0.[解法探究]本例還有其他解法嗎？解(數(shù)形結(jié)合)設所求直線為l，由l過點A且與P1，P2距離相等，所以l有兩種狀況(如圖所示)．①當P1，P2在l的同側(cè)時，有l(wèi)∥P1P2，此時可求得l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.②當P1，P2在l的異側(cè)時，l必過P1P2的中點(－1,4)，此時l的方程為x＝－1，即x＋1＝0.∴所求直線的方程為x＋3y－5＝0或x＋1＝0.點到直線的距離的求解方法(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式方程，干脆應用點到直線的距離公式求解即可．(2)對于與坐標軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點P(x0，y0)到它們的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以干脆寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點到直線的距離求參數(shù)時，只需依據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．[跟蹤訓練1]求點P0(－1,2)到下列直線的距離．(1)2x＋y－10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y－1＝0.解(1)依據(jù)點到直線的距離公式得d＝eq\f(|2×－1＋2－10|,\r(22＋12))＝2eq\r(5).(2)直線方程可化為x＋y－2＝0，所以d＝eq\f(|－1＋2－2|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2).(3)因為直線y－1＝0平行于x軸，所以d＝|2－1|＝1.題型二兩條平行直線間的距離例2求與直線2x－y－1＝0平行，且與直線2x－y－1＝0距離為2的直線方程．[解]由已知，可設所求的直線方程為2x－y＋C＝0(C≠－1)，則它到直線2x－y－1＝0的距離d＝eq\f(|C－－1|,\r(22＋－12))＝eq\f(|C＋1|,\r(5))＝2，∴|C＋1|＝2eq\r(5)，C＝±2eq\r(5)－1.∴所求直線的方程為2x－y＋2eq\r(5)－1＝0或2x－y－2eq\r(5)－1＝0.[解法探究]本例還有其他解法嗎？解設所求直線上隨意一點P(x，y)，則P到2x－y－1＝0的距離為d＝eq\f(|2x－y－1|,\r(22＋－12))＝eq\f(|2x－y－1|,\r(5))＝2，∴2x－y－1＝±2eq\r(5).∴所求直線的方程為2x－y＋2eq\r(5)－1＝0或2x－y－2eq\r(5)－1＝0.求兩平行直線間距離的兩種思路(1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為求一條直線上隨意一點到另一條直線的距離．(2)干脆利用兩平行線間的距離公式，當直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；當直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，必需留意兩直線方程中x，y的系數(shù)對應相等．[跟蹤訓練2]兩平行直線l1，l2分別過P1(1,0)，P2(0,5)，若l1與l2間的距離為5，求兩直線的方程．解依題意，兩直線的斜率存在，設l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.因為l1與l2距離為5，所以eq\f(|－k－5|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝0或eq\f(5,12).所以l1和l2的方程分別為y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.題型三距離公式的綜合應用例3已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點．(1)若點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值．[解](1)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0))?交點P(2,1)．當直線斜率存在時，設l的方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴eq\f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3).∴l(xiāng)的方程為y－1＝eq\f(4,3)(x－2)，即4x－3y－5＝0.而直線斜率不存在時，直線x＝2也符合題意，故所求l方程為4x－3y－5＝0或x＝2.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交點P(2,1)．過P隨意作直線l，設d為A到l的距離，則d≤|PA|(當l⊥PA時等號成立)，∴dmax＝|PA|＝eq\r(10).[解法探究]本例(1)還有其他解法嗎？解設經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴eq\f(|52＋λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或eq\f(1,2).∴l(xiāng)的方程為4x－3y－5＝0或x＝2.兩種距離公式在解析幾何中的應用(1)點到直線的距離公式及兩平行線間的距離公式是解析幾何的基本公式之一，在解析幾何中具有重要的作用．(2)在運用距離公式時要首先把直線方程化為一般式．[跟蹤訓練3]已知三條直線l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1與l2的距離是eq\f(7\r(5),10).(1)求a的值；(2)能否找到一點P，使P同時滿意下列三個條件：①點P是第一象限的點；②點P到l1的距離是點P到l2的距離的eq\f(1,2)；③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是eq\r(2)∶eq\r(5).若能，求點P的坐標；若不能，請說明理由．解(1)因為l2可化為2x－y－eq\f(1,2)＝0，所以l1與l2的距離為d＝eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))),\r(22＋12))＝eq\f(7\r(5),10).因為a>0，所以a＝3.(2)設存在點P(x0，y0)滿意②，則點P在與l1，l2平行的直線l′：2x－y＋c＝0上，且eq\f(|c－3|,\r(5))＝eq\f(1,2)·eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2))),\r(5))，即c＝eq\f(13,2)或c＝eq\f(11,6).所以滿意條件②的點P滿意2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0.若點P滿意條件③，由點到直線的距離公式，有eq\f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq\f(\r(2),\r(5))·eq\f(|x0＋y0－1|,\r(2))，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|.所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.因為點P在第一象限，所以3x0＋2＝0不行能．聯(lián)立方程2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)))(舍去)，聯(lián)立方程2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18).))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(37,18)))即為同時滿意條件的點．1．P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋6＝0上隨意的點，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(9,5) B．eq\f(18,5)C．3 D．6答案C解析∵eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,6)，∴已知兩直線平行，方程可化為3x＋4y－12＝0與3x＋4y＋3＝0.|PQ|的最小值為兩平行線間的距離d＝eq\f(|－12－3|,\r(32＋42))＝3.2．(多選)已知點A(1＋t,1＋3t)到直線l：y＝2x－1的距離為eq\f(\r(5),5)，則點A的坐標可以為()A．(0，－2) B．(2,4)C．(－1，－5) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))答案AB解析(1＋t,1＋3t)到直線2x－y－1＝0的距離d＝eq\f(|21＋t－1＋3t－1|,\r(22＋12))＝eq\f(\r(5),5)，解得t＝±1，當t＝1時，A(2，4)，當t＝－1時，A(0，－2)，故選AB.3．若點P到直線5x－12y＋13＝0和直線3x－4y＋5＝0的距離相等，則點P的坐標應滿意的方程是()A．32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0B．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0C．7x＋4y＝0D．x－4y＋4＝0答案A解析設點P(x，y)，由題意，得eq\f(|5x－12y＋13|,13)＝eq\f(|3x－4y＋5|,5)，解得32x－56y＋65＝0或7x＋4y＝0.4．經(jīng)過兩條直線x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交點，且和原點相距為1的直線的條數(shù)為________.答案2解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y－10＝0，,3x－y＝0))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))故兩條直線x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交點坐標為(1,3)．又知過該點的直線與原點的距離為1，分類探討如下：若直線的斜率不存在，則直線方程為x＝1，滿意題意；若直線的斜率存在，則可設所求直線方程為y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原點的距離為1，所以eq\f(|3－k|,\r(1＋k2))＝1，故有1＋k2＝9－6k＋k2，即9－6k＝1，得k＝eq\f(4,3).所以所求直線方程為y－3＝eq\f(4,3)(x－1)．綜上，滿意條件的直線有2條．5．已知直線l1：2x＋3y－1＝0與l2：4x＋6y－5＝0，直線l∥l1∥l2，且直線l在直線l1與l2的正中間位置，求直線l的方程．解∵直線l1的方程可化為4x＋6y－2＝0，∴可設直線l的方程為4x＋6y＋C＝0，又直線l在直線l1與l2的正中間位置，∴eq\f(|－2－C|,\r(42＋62))＝eq\f(|－5－C|,\r(42＋62))，即|C＋2|＝|C＋5|，解得C＝－eq\f(7,2).∴直線l的方程為4x＋6y－eq\f(7,2)＝0，整理得8x＋12y－7＝0.A級：“四基”鞏固訓練一、選擇題1．直線l經(jīng)過點P(－2,1)且點A(－2，－1)到直線l的距離等于1，則直線l的方程是()A．eq\r(3)x－y＋1＋2eq\r(3)＝0B．－eq\r(3)x－y＋1－2eq\r(3)＝0C．eq\r(3)x－y＋1＋2eq\r(3)＝0或－eq\r(3)x－y＋1－2eq\r(3)＝0D．x－eq\r(3)y＋1＋2eq\r(3)＝0或x＋eq\r(3)y－1－2eq\r(3)＝0答案C解析由題意，可設直線l的方程為y－1＝k(x＋2)，整理，得kx－y＋2k＋1＝0，因點A(－2，－1)到直線l的距離為1，由公式eq\f(|－2k＋1＋2k＋1|,\r(k2＋1))＝1，得k＝±eq\r(3).所以直線l的方程為eq\r(3)x－y＋1＋2eq\r(3)＝0或－eq\r(3)x－y＋1－2eq\r(3)＝0.2．直線l過點A(3,4)且與點B(－3,2)的距離最大，那么l的方程為()A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0答案C解析由已知可知，l是過A且與AB垂直的直線，∵kAB＝eq\f(2－4,－3－3)＝eq\f(1,3)，∴kl＝－3.由點斜式，得y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.3．已知兩直線3x＋2y－3＝0與6x＋my＋1＝0相互平行，則它們之間的距離等于()A．4 B．eq\f(2\r(13),13)C．eq\f(5\r(13),26) D．eq\f(7\r(13),26)答案D解析因為3x＋2y－3＝0與6x＋my＋1＝0相互平行，所以－eq\f(6,m)＝－eq\f(3,2)，所以m＝4.所以6x＋my＋1＝0為6x＋4y＋1＝0，即3x＋2y＋eq\f(1,2)＝0.所以兩平行線間的距離d＝eq\f(\a\vs4\al(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3－\f(1,2)))),\r(32＋22))＝eq\f(7,2\r(13))＝eq\f(7\r(13),26).4．直線2x＋3y－6＝0關(guān)于點(1，－1)對稱的直線方程是()A．3x－2y－6＝0 B．2x＋3y＋7＝0C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0答案D解析設所求直線的方程為2x＋3y＋C＝0(C≠－6)，由題意可知eq\f(|2－3－6|,\r(22＋32))＝eq\f(|2－3＋C|,\r(22＋32)).∴C＝－6(舍去)或C＝8.故所求直線的方程為2x＋3y＋8＝0.5．(多選)已知點A(0,2)，B(2,0)，若點C在函數(shù)y＝x2的圖象上，則使得△ABC的面積為2的點C的坐標可能為()A．(0,0)B．(－1,1)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17)－1,2)，\f(9－\r(17),2)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－\r(17)－1,2)，\f(9＋\r(17),2)))答案ABCD解析設點C(t，t2)，直線AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2eq\r(2).由于△ABC的面積為2，則這個三角形中AB邊上的高h滿意方程eq\f(1,2)×2eq\r(2)h＝2，即h＝eq\r(2).由點到直線的距離公式，得eq\r(2)＝eq\f(|t＋t2－2|,\r(2))，即|t2＋t－2|＝2，即t2＋t－2＝2或t2＋t－2＝－2，解得t＝eq\f(－1±\r(17),2)，t＝0，t＝－1，所以滿意條件的點C的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(17)－1,2)，\f(9－\r(17),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－\r(17)－1,2)，\f(9＋\r(17),2)))，(0,0)，(－1,1)，故選ABCD.二、填空題6．若點(2，－k)到直線5x＋12y＋6＝0的距離是4，則k的值是________.答案－3或eq\f(17,3)解析d＝eq\f(|5×2＋12×－k＋6|,\r(52＋122))＝eq\f(|16－12k|,13)，由題意知eq\f(|16－12k|,13)＝4，即eq\f(|4－3k|,13)＝1，∴k＝－3或k＝eq\f(17,3).7．若直線m被兩條平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0截得的線段長為2eq\r(2)，則直線m的傾斜角是_______.答案75°或15°解析如圖，兩平行線間的距離為|AH|＝eq\f(|3－1|,\r(2))＝eq\r(2)，直線m被平行線截得線段的長為|AB|＝|AC|＝2eq\r(2)，由圖知直線m與l1的夾角為30°，l1的傾斜角為45°，所以直線m的傾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.8．過點M(2,4)作兩條相互垂直的直線，分別交x，y軸的正半軸于點A，B，若四邊形OAMB的面積被直線AB平分，則直線AB的方程為____________________，此時四邊形OAMB的面積為________.答案x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝08或eq\f(25,2)解析設直線AB的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)，∴A(a,0)，B(0，b)．∵MA⊥MB，∴(a－2)×(－2)＋(－4)×(b－4)＝0，即a＝10－2b.∵a>0，b>0，∴0<b<5,0<a<10.∵直線AB的一般式方程為bx＋ay－ab＝0，∴點M到直線AB的距離d＝eq\f(|2b＋4a－ab|,\r(a2＋b2)).∴△MAB的面積S1＝eq\f(1,2)d|AB|＝eq\f(1,2)|2b＋4a－ab|＝|b2－8b＋20|＝b2－8b＋20，△OAB的面積S2＝eq\f(1,2)ab＝5b－b2.∵直線AB平分四邊形OAMB的面積，∴S1＝S2，可得2b2－13b＋20＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4，,a＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(5,2)，,a＝5.))∴所求直線AB的方程為x＋2y－5＝0或2x＋y－4＝0.∵四邊形OAMB的面積為S1＋S2＝b2－8b＋20＋5b－b2＝－3b＋20，∴四邊形OAMB的面積為8或eq\f(25,2).三、解答題9．已知直線l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直線l與l1，l2的距離分別是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直線l的方程．解由直線l1，l2的方程知l1∥l2，又由題意知，直線l與l1，l2均平行(否則d1＝0或d2＝0，不符合題意)．設直線l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由兩平行線間的距離公式，得d1＝eq\f(|m＋1|,\r(13))，d2＝eq\f(|m＋13|,\r(13))，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋