2021屆高三高考數(shù)學復習壓軸題39-雙曲線三【含答案】

2021屆高三高考數(shù)學復習壓軸題專練39—雙曲線（3）【含

答案】

一、單選題

?v2

1.已知圓*-2）2+）,2=9與X軸的交點分別為雙曲線C：r-4=1（。>0力>0）的頂點和焦

ab~

II2

點，設(shè)片，B分別為雙曲線c的左、右焦點，尸為C右支上任意一點，則HpF匕的取

值范圍為（）

99

A.（1,B.（0,-]C.[2,+00）D.（1,2]

解：令（x-2y+y2=9中的y=0,解得x=-l或5,

則雙曲線的a=l,c=5,

設(shè)|PF21=t>t..c—a=4,

由雙曲線的定義可得|「耳|=2a+f=2+r,

4

所+4+r=+

，44

廠tf+

f

4

由+-,

z..5

則

故選：A.

22

2.已知雙曲線土-乙=1,O為坐標原點，P,。為雙曲線上兩動點，且OP_LOQ,則APOQ

45

面積的最小值為（）

A.20B.15C.30D.25

解：設(shè)直線OP的方程為y=fcc,k>0,

且P在第一象限內(nèi)，

由OP，O。，可將上面中的無換為一:

20

)，

可得跳店55k2-4

所以APOQ面積S=」|OP|,|OQ|=」Jl+〃?

22

=10(1+k1)1------~；——..10(1+/)-------J~--=20,

丫(5-4k,X5k2-4)5-4公+5X-4

2

當且僅當5-4/=5^-4,即4=1時，上式取得等號,

所以APOQ面積的最小值為20.

故選：A.

fv2

3.已知雙曲線￡:-?-4=1(“>0力>0)的右頂點為4,拋物線C:y2=12ox的焦點為F.若

a-b-

在雙曲線的漸近線上存在一點P,使得胡?尸戶=0,則雙曲線E的離心率的取值范圍是(

)

A.(1,2)B.(1,手］C.(2,-K?)D.［竿，+oo)

解：由題意知，A(a,0),F(3a,0),

不妨設(shè)點P在漸近線y=^x上，P(%2〃］),

aa

PAPF=0,

(a-m,-—m)?(3a-m?--m)=0,即(〃-nt)(3a-根)+(-—m)2=0,

aaa

2

整理得,g療-4am+3a*=0，

a

原問題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于機的方程二蘇-4〃〃?+3/=0有根，

a

2

.?.△=16。2_4二.3/=161-124:2..0,

a

c2G

,p=----,

a3

又e>1,ew(1,———].

故選：B.

22

4.已知雙曲線C:二-5=l(a>0力>0)的左、右焦點分別為片，鳥，過點鳥作傾斜角為。

a"b~

的直線/交雙曲線C的右支于A,B兩點、,其中點A在第一象限，且COS0=L.若

4

|A8|=|AEI，則雙曲線C的離心率為（）

A.4B.715C.-D.2

2

解：由雙曲線的定義知，|A耳|-|4工=2a,

???|AB|=|AKI，

.--IAF2\+\BF2\=\AFt\,即I*I-1但HBF21=2a,

:\BFt\=\BF2\+2a=4a,

在中，由余弦定理知，cos"世F+W』「二I姐『,

2\BF2\-\FtF2\

1_4/+4c2-16a2_c2-3a2

"4~2-2a-2c一lac'

/.2c2-ac-6a2=0,

c,

e=—>i,

a

.-.2e2-e-6=0,解得e=2或一］（舍），

雙曲線C的離心率為2.

故選：D.

5.已知雙曲線￡5-3=13>0,。>0）的左、右焦點分別為巴，鳥，過心作圓

O:d+y2=/的切線，切點為T,延長尼7交雙曲線E的左支于點P.若|PE|>2|*|,

則雙曲線E的離心率的取值范圍是（）

A.（2,-H?）B.（百，+oo）C.（0,石）D.（2,76）

解：在RtAOTE,中，|OT|=a,|OFJ=c,:\TF,|=fe,cosNP86=2,

c

由雙曲線的定義知，|空|-|PZI=2a,

2l

在△尸耳月中,由余弦定理知，|PFt|=|PF^+\F,F2\-2\PF2\-\FtF2\-cosZPF2F},

(|PF,|-2a)2=|PF,\2+4C2-2|PF\-2C--,

2c

22i2

b-ab-a

：.b>a，

',]PF\>2\TF\>2b,即力v2a,

22fb-a

2v2

6.已知雙曲線C:——x匕=1的右焦點為尸，過原點O的直線與雙曲線。交于A,B兩點、,

169

且NAFB=60。，則AABF的面積為（）

A.3B.-C.36D.6G

2

解：設(shè)雙曲線的左焦點為白，連接A耳，BF,,

由雙曲線的定義知，|B/"-|BF|=2a=8,|4尸|=2c=10,

由雙曲線的對稱性知，ZAFF,=ZBF,F,

ZAFB=60°,即ZAFFt+NBFF、=60°,

ZBFtF+ZBFFt=60°,NF、BF=120°,

在△F,BF中，由余弦定理知

cosNFBF=I-『+1明12TMl2=(|86|一|8-|)2+2|8尸||85|一|F二|2,

'。"2|8尸|?|8片|一2|BF|-|^|

.1_64+2|3/4|防|一100

"~2~2\BF\-\BF}\

:]6戶|?|班|=12,

.?.AAfi/的面積5=52"=|?sinZF；B尸=gxl2xsinl20°=36.

7.已知橢圓C與雙曲線W-y2=i有相同的左焦點耳、右焦點招，點。是兩曲線的一個交

點，且P/，Pg=0.過鳥作傾斜角為45。的直線交C于A,8兩點（點A在x軸的上方），

且Ag=/lA/<,則;I的值為（）

A.3+73B.3+V2C.2+6D.2+72

->2

解：設(shè)橢圓的方程為二+馬=im>b>o）,

ab

雙曲線的方程為d-V=i的焦點為片（_忘，0）,居（夜，0）,

可得片-Z?2=2,

由尸方?尸8=0,可得尸耳_126，

設(shè)|尸耳|=〃7,|PF21=n,則m+〃=2?,\m-n\=2,

且加2+/=|耳工『=（2&）2=8,

所以mn=2，

則4a*=6？+/+2mn=8+4=12,即。=6,b=l9

則橢圓的方程為—+y2=i,

3.

過F工作傾斜角為45。的直線的方程為y=x-血，

4r-

聯(lián)立可得，2-2岳+1=0,

3

372+763五-瓜

解得％=X-f=，

4~4

3近+限瓜-近、3A/2-V6-瓜-也、

交點為4，------),DD\-Z----------------------------,-)

4444

h_1

|AB|=G,I伍1=三」，

所以力=也1=3+6.

\AF2\

故選：A.

8.設(shè)《，心為雙曲線—=1(4>0力>0)的兩個焦點,點P是雙曲線C上一點，若

右焦點E(2,0),|尸/"+|尸乙1=4”,且一條漸近線與圓(x-2)2+y2=i相切，則△P4月的

最小內(nèi)角的余弦值為()

2A/3「573D.述

\_z.--------------

亍9II

22

解:雙曲線C:‘方=1(4>0,。>0)的c=2,即a2+b2=4,

且法-ay=0是雙曲線的一條漸近線,

又漸近線桁-0=0與圓(x-2)?+y2=l相切，

所以圓心(2,0)到漸近線的距離為1,即.=],

y/h2+a2

可得2/?=c=2,解得b=l,a=6,

由IP4I+IP鳥|=44=46，

不妨設(shè)P為雙曲線右支上的一點，

由雙曲線的定義可得IPf；|-|Pg1=2a=2后,

所以|P耳|=36,|尸鳥|=G,|片名|=4,

則△尸百心的最小內(nèi)角為NP61,

由余弦定理可得“四飛部^二號"￥

故選：C.

二、多選題

22

9.己知我尸2分別為雙曲線°：^-a=1（。＞°力＞°）的左、右焦點，c的一條漸近線/的

方程為y=Gx,且K到/的距離為36,點P為c在第一象限上的點，點Q的坐標為（2,0）,

PQ為/耳Pg的平分線，則下列正確的是（）

A.雙曲線的方程為工-上=1

927

B.皿2

\PF2\

C.\PF}+PFA=3＞/6

D.點尸到x軸的距離為主叵

2

解：?.?漸近線/的方程為y=6x,.?.3=6，

I—■(-c)|

4(-c,0)至I"的距離為3岔，,3G=7一=b,

..a—3,

二.雙曲線的標準方程為工-￡=1,即選項A正確；

927

c=^cr+tr=J9+27=6，

.?.4(-6,0),6(6,0),

由角分線定理知，叨=h^l=§=2,即選項B正確;

1尸611。耳4

由雙曲線的定義知，|PE|-|PR|=2a=6,

」尸耳|=12=|耳|尸￡|=6,

3￡

在等腰中，cosZPf；/*=?

124

2

sin/尸鳥耳=^\-COSAPF2FX=乎,

19

:.Xp=|Of；|-|P^|cosZPf；f；=6-6x-=-,

力=|尸K|?sinNP8耳=6x孚=孑乎，即選項O正確;

??.IOP1=/（,+（誓）2=3限,

:\西+網(wǎng)|=|2OP|=2|（9P|=6娓,即選項C錯誤.

故選：ABD.

10.已知雙曲線方程為工=1,A為雙曲線右支上任意一點，耳，工為左、右焦點,

916-

△的內(nèi)切圓圓心為/,0/與x軸切于點N,線段4的延長線與x軸交于點

0）.則以下結(jié)論正確的有（）

A.|f；N|-|乙N|為定值B./的橫坐標為定值

C.%的范圍是（0,3）D.0/半徑的最大值為4

解：雙曲線方程為—工-=1的a=3,b=4,c=5）

916

0/與x軸切于點N,與4=；切于點P,與A心切于點T,

因為/的橫坐標與N的橫坐標相等，設(shè)/（赤，r）,

由切線長相等，可得IWIHN月\PA\=\TA\,\TF2HNF2\,

由雙曲線的定義可得|A耳|-1A心|=2a,即有|胡|-1”|=2〃，

又|N耳|+|”|=2c,解得|NKI=c-a,可得|ON|=a,

則A,8都正確；

由內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理可得"豆=生」=6+1,

5—%\AF2\\AF2\

即有|A居|=3(2—l)>c—a=2,解得0<x<X()v3,故C正確;

可設(shè)A。％"),m,n>0,△A"K的內(nèi)切圓的半徑為尸，

22

則工一工=1,①

916

又SA.M=；?2C-〃=；?2C+|4K|+|A巴|),

即為5〃=r(5+3+|AF2\)=r(S+e/n-a)=r(5+,

化為〃=〃(1+：加)，

若r=4,貝！J〃=4(1+,m)，②

3

聯(lián)立①②，可得方程組無解.

故。錯誤.

故選：ABC.

11.已知雙曲線C:工--匚=1(〃蚱/?)的一條漸近線方程為4》-3>=0,則()

mw+7

A.(",0)為C的一個焦點

B.雙曲線C的離心率為*

3

C.過點(5,0)作直線與C交于A,8兩點，則滿足|A8|=15的直線有且只有兩條

D.設(shè)A,B,M為C上三點且A,8關(guān)于原點對稱，則M4,MB斜率存在時其乘積

為約

9

22

解：雙曲線C:三--匚?=1(m￡/?)的一條漸近線方程為4*-3'=0,

m"2+7

可得竺±2=3,解得〃=29,

m9

則雙曲線的方程為《-廿?=1，

916

可得a=3,6=4,c=5,焦點為(±5,0),故4錯誤；

雙曲線的離心率為e=￡=?,故5正確；

a3

過右焦點（5,0）作直線與C交于力，8兩點，

2A232

若A,3均在右支上，可得|AB|..J=§,

而15＞當，可得這樣的直線有兩條；

3

若A,3分別在雙曲線的左、右支上，可得|A8|..2a=6,

而15＞6,可得這樣的直線有兩條，則滿足|AB|=15的直線共有4條，故C錯誤；

、IYT鹿2c2尸

設(shè)A（m,"），M（5,Z）,可得--------I9..............-19

916916

兩式相減可得（"T）M+S）=婦以3）,

916

即有M4,MB斜率存在時其乘積為2匚="，

m-sm+s9

故。正確.

故選：BD.

12.設(shè)O為坐標原點，耳，亮是雙曲線予?-￡=1（〃＞0力＞0）的左、右焦點.在雙曲線的

右支上存在點P滿足N4Pf；=60。，且線段P4的中點5在y軸上，則（）

A.雙曲線的離心率為6

B.雙曲線的方程可以是工-丁=1

C.\OP\=^a

D.的面積為G/

解：如圖，耳（-c,0）,?（c,0）,

???3為線段「耳的中點，。為耳心的中點，.1OB//P用，

NP）耳=90°,

由雙曲線定義可得，|P/"-|P/"=2a,

設(shè)|=2租（機＞0）,則1Pgi=〃？，\FtF2\=y^m,

.\2m—m=2a,艮□〃=一,

2

又?n=2c，：.c=^m,則《=￡=6，故A正確；

2a

=c1-a1則3=岑機，雙曲線的漸近線方程為y=±&x,

選項B的漸近線方程為〉=±3'，故B錯誤；

對于C,為百鳥的中點，,P[+PU=2P0.,

則（所+理了=4PO,即|PF^+1PKl2+21||PF^\cos600=4|PO|2,

即|西『+|理『+|所||網(wǎng)上4|所F，①

而|尸耳|-"鳥|=2?,兩邊平方并整理得，|不|2+|尸6|2一2|尸/"|/>6|=4/,②

聯(lián)立①②可得，|「用|徐；|=8〃，4|用『=28/,即|PO|=Jf。，故c正確；

SPFF,=-1IIIsin60°=-x8?2x=2x/3a2,故。錯誤.

A12222

故選：AC.

三、填空題

22

13.雙曲線r：1-與=1（。>0/>0）的左、右焦點分別為乙，尸,，過尺的直線與「的左、

ab~

右兩支分別交于A，8兩點，點〃在x軸上，亞'=g麗，B鳥平分N￡BM,則「的漸近

線方程為—.

解：根據(jù)題意，作出如下所示的圖形，

由題可知，|月月|=2c,由48=；5而，..△FiAF!s"BM,:\F2M\=4C,

設(shè)|A乙|=加，則

由角分線定理可知，

BF2平分NRBM,

.I耳片I_Im|=2c=1

"\MFZ\~2

:.\BFt\~,\AF,\=^\BFl\=^,\AB\=^\BFt\=m,

由雙曲線的定義知，|4￡|-|A4|=2a,

m——m=2a,即/??=4a①，

2

\BF,\-\BF2\=2a,

:\BF2\=^m-2a=m,|=|AB\^AF2\=m,即乙48瑪是等邊三角形,

NF?BM=ZABF2=60°,

在中，由余弦定理知，

\BF^+\BM^-\MF^1*+9*_]6。2

cosZ.F.BM=----=-----------------=—,即m一=----------------,

2\BF2\-\BM\22m-3m

化簡得，=16c2②，

由①②可得，==7,

a

則h2=c2-a2=6a2,

可得雙曲線的漸近線方程為y=土瓜x.

故答案為：y=±y/6x.

22

14.已知耳，尸,分別為雙曲線=-與=1(“>0,6>0)的左、右焦點，過點F,作圓f+y2=/

ab

的切線交雙曲線左支于點且/￡岫=60。，則該雙曲線的漸近線方程為一.

解：設(shè)切點為A,過月作片8，沙，垂足為3,

由題意可得IOA|=a,IOg|=c,|A/s|=x/c2*4—a2=b>

由Q4為△明馬的中位線，可得|8/"=2°,

|BF2|=2b,

y.ZFtMF2=60°,可得|M8|=||

\MF2\=4MB\+\BF21=

又耳\=~L+2b-^-=2a,

所以6=(1+

所以雙曲線的漸近線方程為y=±(l+

22

15.己知點F為雙曲線[-]=l(a>0,6>0)的左焦點，4為該雙曲線漸近線在第一象限

a'b'

內(nèi)的點，過原點O作OA的垂線交E4于點8,若3恰為線段AF的中點，且AA8O的內(nèi)切

圓半徑為j(6>a),則該雙曲線的離心率為

4

解：設(shè)|OA|=〃，\OB\=m,

由題意知，點A在漸近線y=2x上，點B在漸近線y=-2x上,

-ab、~ba、

：.A(一〃，—n),8(——m,—m),

???B為線段4r的中點，且尸(-c,0),

_ba

—2?一"2=一〃一c