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文檔簡介
2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1.如圖所示,A,B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O的任意一對對稱點(diǎn),AC平行于y軸,BC平行于x軸,△ABC的面積為S,則()A.S=1 B.S=2 C.1<S<2 D.S>22.如圖,矩形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),將△BCE沿CE翻折,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,tan∠BCE=.設(shè)AB=x,△ABF的面積為y,則y與x的函數(shù)圖象大致為A. B.C. D.3.下列方程中,關(guān)于x的一元二次方程的是()A.x+=2 B.a(chǎn)x2+bx+c=0C.(x﹣2)(x﹣3)=0 D.2x2+y=14.如圖,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,則cosA可表示為(
)A. B. C. D.5.已知是方程的一個(gè)根,則方程的另一個(gè)根為()A.-2 B.2 C.-3 D.36.如圖1,點(diǎn)從的頂點(diǎn)出發(fā),沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),圖2是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),線段的長度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖象,其中為曲線部分的最低點(diǎn),則的面積為()A. B. C. D.7.如圖,矩形的對角線交于點(diǎn)O,已知?jiǎng)t下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A. B.C. D.8.用配方法解方程x2+3=4x,配方后的方程變?yōu)?)A.(x-2)2=7 B.(x+2)2=1C.(x-2)2=1 D.(x+2)2=29.如圖,E,F(xiàn)分別為矩形ABCD的邊AD,BC的中點(diǎn),若矩形ABCD與矩形EABF相似,AB=1,則矩形ABCD的面積是()A.4 B.2 C. D.10.小新拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,連續(xù)拋三次,硬幣落地均正面朝上,如果他第四次拋硬幣,那么硬幣正面朝上的概率為()A. B. C.1 D.二、填空題(每小題3分,共24分)11.如圖所示,小明在探究活動(dòng)“測旗桿高度”中,發(fā)現(xiàn)旗桿的影子恰好落在地面和教室的墻壁上,測得,,而且此時(shí)測得高的桿的影子長,則旗桿的高度約為__________.12.m、n分別為的一元二次方程的兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根,則代數(shù)式的值為________13.如圖,平行四邊形ABCD的一邊AB在x軸上,長為5,且∠DAB=60°,反比例函數(shù)y=和y=分別經(jīng)過點(diǎn)C,D,則AD=_____.14.兩同學(xué)玩扔紙團(tuán)游戲,在操場上固定了如下圖所示的矩形紙板,E為AD中點(diǎn),且∠ABD=60°,每次紙團(tuán)均落在紙板上,則紙團(tuán)擊中陰影區(qū)域的概率是________.15.已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,則△ABC的面積等于_____.16.已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示,則_____
,在圖象的每一支上,隨的增大而_____.17.正六邊形的邊長為6,則該正六邊形的面積是______________.18.已知一列分式,,,,,,…,觀察其規(guī)律,則第n個(gè)分式是_______.三、解答題(共66分)19.(10分)如圖,是的直徑,軸,交于點(diǎn).(1)若點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若為線段的中點(diǎn),求證:直線是的切線.20.(6分)如圖,點(diǎn)P在y軸上,⊙P交x軸于A,B兩點(diǎn),連接BP并延長交⊙P于點(diǎn)C,過點(diǎn)C的直線y=2x+b交x軸于點(diǎn)D,且⊙P的半徑為,AB=4.(1)求點(diǎn)B,P,C的坐標(biāo);(2)求證:CD是⊙P的切線.21.(6分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,點(diǎn)D是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合),連接CD,將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,連接AE,DE.(1)求△ADE的周長的最小值;(2)若CD=4,求AE的長度.22.(8分)(1)問題:如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90°.求證:AD·BC=AP·BP.(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.(3)應(yīng)用:請利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題:如圖3,在△ABD中,AB=12,AD=BD=10.點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),且滿足∠DPC=∠A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),當(dāng)以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,求t的值.23.(8分)在半圓O中,AB為直徑,AC、AD為兩條弦,且∠CAD+∠CAB=90°.(1)如圖1,求證:弧AC等于弧CD;(2)如圖2,點(diǎn)E在直徑AB上,CE交AD于點(diǎn)F,若AF=CF,求證:AD=2CE;(3)如圖3,在(2)的條件下,連接BD,若AE=4,BD=12,求弦AC的長.24.(8分)如圖,一次函數(shù)y=﹣x+5的圖象與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)y=的圖象交于M,N兩點(diǎn),過點(diǎn)M作MC⊥y軸于點(diǎn)C,且CM=1,過點(diǎn)N作ND⊥x軸于點(diǎn)D,且DN=1.已知點(diǎn)P是x軸(除原點(diǎn)O外)上一點(diǎn).(1)直接寫出M、N的坐標(biāo)及k的值;(2)將線段CP繞點(diǎn)P按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ,當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q能否在反比例函數(shù)的圖象上?如果能,求出所有的點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不能,請說明理由;(3)當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí),是否存在反比例函數(shù)圖象(第一象限的一支)上的點(diǎn)S,使得以P、S、M、N四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出符合題意的點(diǎn)S的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.25.(10分)已知二次函數(shù)y1=x2﹣2x﹣3,一次函數(shù)y2=x﹣1.(1)在同一坐標(biāo)系中,畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象;(2)根據(jù)圖形,求滿足y1>y2的x的取值范圍.26.(10分)數(shù)學(xué)概念若點(diǎn)在的內(nèi)部,且、和中有兩個(gè)角相等,則稱是的“等角點(diǎn)”,特別地,若這三個(gè)角都相等,則稱是的“強(qiáng)等角點(diǎn)”.理解概念(1)若點(diǎn)是的等角點(diǎn),且,則的度數(shù)是.(2)已知點(diǎn)在的外部,且與點(diǎn)在的異側(cè),并滿足,作的外接圓,連接,交圓于點(diǎn).當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時(shí),求證:是的等角點(diǎn).(要求:只選擇其中一道題進(jìn)行證明!)①如圖①,②如圖②,深入思考(3)如圖③,在中,、、均小于,用直尺和圓規(guī)作它的強(qiáng)等角點(diǎn).(不寫作法,保留作圖痕跡)(4)下列關(guān)于“等角點(diǎn)”、“強(qiáng)等角點(diǎn)”的說法:①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點(diǎn);②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點(diǎn);③正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn);④若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn),則該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等;⑤若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn),則該點(diǎn)是三角形內(nèi)部到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn),其中正確的有.(填序號(hào))
參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】設(shè)點(diǎn)A(m,),則根據(jù)對稱的性質(zhì)和垂直的特點(diǎn),可以表示出B、C的坐標(biāo),根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系得出BC、AC的長,從而得出△ABC的面積.【詳解】設(shè)點(diǎn)A(m,)∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱∴B(-m,)∴C(m,)∴AC=,BC=2m∴=2故選:B【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)和關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的求解,解題關(guān)鍵是表示出A、B、C的坐標(biāo),從而得出△ABC的面積.2、D【解析】設(shè)AB=x,根據(jù)折疊,可證明∠AFB=90°,由tan∠BCE=,分別表示EB、BC、CE,進(jìn)而證明△AFB∽△EBC,根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比平方,表示△ABF的面積.【詳解】設(shè)AB=x,則AE=EB=x,由折疊,F(xiàn)E=EB=x,則∠AFB=90°,由tan∠BCE=,∴BC=x,EC=x,∵F、B關(guān)于EC對稱,∴∠FBA=∠BCE,∴△AFB∽△EBC,∴,∴y=,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù),相似三角形,三角形面積計(jì)算,二次函數(shù)圖像等知識(shí),利用相似三角形的性質(zhì)得出△ABF和△EBC的面積比是解題關(guān)鍵.3、C【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可.含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程是一元二次方程.【詳解】解:A、x+=2不是整式方程,不符合題意;B、ax2+bx+c=0不一定是一元二次方程,不符合題意;C、方程整理得:x2﹣5x+6=0是一元二次方程,符合題意;D、2x2+y=1不是一元二次方程,不符合題意.故選:C.4、C【解析】解:cosA=,故選C.5、B【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)另一根為m,則
1?m=1,解得m=1.
故選B.【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.根與系數(shù)的關(guān)系為:x1+x1=-,x1?x1=.要求熟練運(yùn)用此公式解題.6、C【分析】根據(jù)圖象可知點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),此時(shí)AM不斷增大,而從B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),AM先變小后變大,從而得出AC=AB,及時(shí)AM最短,再根據(jù)勾股定理求出時(shí)BM的長度,最后即可求出面積.【詳解】解:∵當(dāng)時(shí),AM最短∴AM=3∵由圖可知,AC=AB=4∴當(dāng)時(shí),在中,∴∴故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的認(rèn)識(shí)及勾股定理,解題關(guān)鍵是將函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化為幾何圖形中各量.7、C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ABC=∠DCB=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,AB=DC,再解直角三角形判定各項(xiàng)即可.【詳解】選項(xiàng)A,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,∴AO=OB=CO=DO,∴∠DBC=∠ACB,∴由三角形內(nèi)角和定理得:∠BAC=∠BDC=∠α,選項(xiàng)A正確;選項(xiàng)B,在Rt△ABC中,tanα=,即BC=m?tanα,選項(xiàng)B正確;選項(xiàng)C,在Rt△ABC中,AC=,即AO=,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D,∵四邊形ABCD是矩形,∴DC=AB=m,∵∠BAC=∠BDC=α,∴在Rt△DCB中,BD=,選項(xiàng)D正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和解直角三角形,能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.8、C【分析】將方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊,未知項(xiàng)移到左邊,然后兩邊都加上4,左邊化為完全平方式,右邊合并即可得到結(jié)果.【詳解】x2+3=4x,整理得:x2-4x=-3,配方得:x2-4x+4=4-3,即(x-2)2=1.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法,利用此方法解方程時(shí),首先將方程常數(shù)項(xiàng)移到右邊,未知項(xiàng)移到左邊,二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,左邊化為完全平方式,開方即可求出解.9、D【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式,計(jì)算即可.【詳解】∵矩形ABCD與矩形EABF相似,∴,即=,解得,AD=,∴矩形ABCD的面積=AB?AD=,故選:D.【點(diǎn)睛】此題主要考查相似多邊形,解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似的定義列出比例式進(jìn)行求解.10、A【解析】試題分析:因?yàn)橐幻顿|(zhì)地均勻的硬幣只有正反兩面,所以不管拋多少次,硬幣正面朝上的概率都是.故選A.考點(diǎn):概率公式.二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【分析】作BE⊥AC于E,可得矩形CDBE,利用同一時(shí)刻物高與影長的比一定得到AE的長度,加上CE的長度即為旗桿的高度【詳解】解:作BE⊥AC于E,∵BD⊥CD于D,AC⊥CD于C,∴四邊形CDBE為矩形,∴BE=CD=1m,CE=BD=2m,∵同一時(shí)刻物高與影長所組成的三角形相似,∴,即,解得AE=2(m),∴AC=AE+EC=2+2=1(m).故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用;作出相應(yīng)輔助線得到矩形是解決本題的難點(diǎn);用到的知識(shí)點(diǎn)為:同一時(shí)刻物高與影長的比一定.12、1【分析】由一元二次方程的解的定義可得m2-4m-1=1,則m2-4m=1,再由根于系數(shù)的關(guān)系可得mn=-1,最后整體代入即可解答.【詳解】解:∵m、n分別為的一元二次方程∴m+n=4,mn=-1,m2-4m-1=1,∴m2-4m=1∴=1-1=1故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系,其中正確運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.13、1【分析】設(shè)點(diǎn)C(),則點(diǎn)D(),然后根據(jù)CD的長列出方程,求得x的值,得到D的坐標(biāo),解直角三角形求得AD.【詳解】解:設(shè)點(diǎn)C(),則點(diǎn)D(),∴CD=x﹣()=∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD=AB=5,∴=5,解得x=1,∴D(﹣3,),作DE⊥AB于E,則DE=,∵∠DAB=60°,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、反比例性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值,利用平行四邊形性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)列出等式是解題的關(guān)鍵.14、【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出矩形對角線所分的四個(gè)三角形面積相等,再根據(jù)E為AD中點(diǎn)得出S△ODES△OAD,進(jìn)而求解即可.【詳解】∵ABCD是矩形,∴S△AOD=S△AOB=S△BOC=S△CODS矩形紙板ABCD.又∵E為AD中點(diǎn),∴S△ODES△OAD,∴S△ODES矩形紙板ABCD,∴紙團(tuán)擊中陰影區(qū)域的概率是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率,用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.15、15或10【分析】作AD⊥BC交BC(或BC延長線)于點(diǎn)D,分AB、AC位于AD異側(cè)和同側(cè)兩種情況,先在Rt△ABD中求得AD、BD的值,再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的長,繼而就兩種情況分別求出BC的長,根據(jù)三角形的面積公式求解可得.【詳解】解:作AD⊥BC交BC(或BC延長線)于點(diǎn)D,①如圖1,當(dāng)AB、AC位于AD異側(cè)時(shí),在Rt△ABD中,∵∠B=30°,AB=10,∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5,在Rt△ACD中,∵AC=2,∴CD=,則BC=BD+CD=6,∴S△ABC=?BC?AD=×6×5=15;②如圖2,當(dāng)AB、AC在AD的同側(cè)時(shí),由①知,BD=5,CD=,則BC=BD-CD=4,∴S△ABC=?BC?AD=×4×5=10.綜上,△ABC的面積是15或10,故答案為15或10.【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形,解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的運(yùn)用、分類討論思想的運(yùn)算及勾股定理.16、,增大.【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象所在的象限可以確定k的符號(hào);根據(jù)圖象可以直接回答在圖象的每一支上,y隨x的增大而增大.【詳解】根據(jù)圖象知,該函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限,故k<0;
由圖象可知,反比例函數(shù)y=在圖象的每一支上,y隨x的增大而增大.
故答案是:<;增大.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象.解題時(shí),采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.17、【分析】根據(jù)題意可知邊長為6的正六邊形可以分成六個(gè)邊長為6的正三角形,從而計(jì)算出正六邊形的面積即可.【詳解】解:連接正六變形的中心O和兩個(gè)頂點(diǎn)D、E,得到△ODE,因?yàn)椤螪OE=360°×=60°,又因?yàn)镺D=OE,所以∠ODE=∠OED=(180°-60°)÷2=60°,則三角形ODE為正三角形,∴OD=OE=DE=6,∴S△ODE=OD?OE?sin60°=×6×6×=9.正六邊形的面積為6×9=54.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對正多邊形的概念掌握和計(jì)算的能力,即要熟悉正六邊形的性質(zhì),也要熟悉正三角形的面積公式.18、【分析】分別找出符號(hào),分母,分子的規(guī)律,從而得出第n個(gè)分式的式子.【詳解】觀察發(fā)現(xiàn)符號(hào)規(guī)律為:正負(fù)間或出現(xiàn),故第n項(xiàng)的符號(hào)為:分母規(guī)律為:y的次序依次增加2、3、4等等,故第n項(xiàng)為:=分子規(guī)律為:x的次數(shù)為對應(yīng)項(xiàng)的平方加1,故第n項(xiàng)為:故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查找尋規(guī)律,需要注意,除了尋找數(shù)字規(guī)律外,我們還要尋找符號(hào)規(guī)律.三、解答題(共66分)19、(1);(2)見解析.【分析】(1)由A、N兩點(diǎn)坐標(biāo)可求AN的長,利用,,由勾股定理求BN即可,(2)連接MC,NC,由是的直徑,可得,D為線段的中點(diǎn),由直角三角形斜邊中線CD的性質(zhì)得ND=CD,由此得,由半徑知,利用等式的性質(zhì)得∠MCD=∠MND=90o,可證直線是的切線.【詳解】的坐標(biāo)為,,,,由勾股定理可知:,;連接MC,NC,是的直徑,,,為線段的中點(diǎn),,,,,,,即,直線是的切線.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)與切線問題,掌握用兩點(diǎn)坐標(biāo)求線段的長,能在直角三角形中,利用30o角求線段,會(huì)利用勾股定理解決問題,會(huì)利用半徑證角等,利用直角三角形的斜邊中線解決角等與線段相等問題,利用等式的性質(zhì)證直角等知識(shí).20、(1)C(-2,2);(2)證明見解析.【解析】試題分析:(1)Rt△OBP中,由勾股定理得到OP的長,連接AC,因?yàn)锽C是直徑,所以∠BAC=90°,因?yàn)镺P是△ABC的中位線,所以O(shè)A=2,AC=2,即可求解;(2)由點(diǎn)C的坐標(biāo)可得直線CD的解析式,則可求點(diǎn)D的坐標(biāo),從而可用SAS證△DAC≌△POB,進(jìn)而證∠ACB=90°.試題解析:(1)解:如圖,連接CA.∵OP⊥AB,∴OB=OA=2.∵OP2+BO2=BP2,∴OP2=5-4=1,OP=1.∵BC是⊙P的直徑,∴∠CAB=90°.∵CP=BP,OB=OA,∴AC=2OP=2.∴B(2,0),P(0,1),C(-2,2).(2)證明:∵直線y=2x+b過C點(diǎn),∴b=6.∴y=2x+6.∵當(dāng)y=0時(shí),x=-3,∴D(-3,0).∴AD=1.∵OB=AC=2,AD=OP=1,∠CAD=∠POB=90°,∴△DAC≌△POB.∴∠DCA=∠ABC.∵∠ACB+∠CBA=90°,∴∠DCA+∠ACB=90°,即CD⊥BC.∴CD是⊙P的切線.21、(1)6+;(2)3﹣或3+【分析】(1)根據(jù)勾股定理得到AB=AC=6,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD,當(dāng)DE最小時(shí),△ADE的周長最小,過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,于是得到結(jié)論;(2)當(dāng)點(diǎn)D在CF的右側(cè),當(dāng)點(diǎn)D在CF的左側(cè),根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論【詳解】解:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3∴AB=AC=6,∵∠ECD=∠ACB=90°,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE與△BCD中,,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,∴△ADE的周長=AE+AD+DE=AB+DE,∴當(dāng)DE最小時(shí),△ADE的周長最小,過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,當(dāng)CD⊥AB時(shí),CD最短,等于3,此時(shí)DE=3,∴△ADE的周長的最小值是6+3;(2)當(dāng)點(diǎn)D在CF的右側(cè),∵CF=AB=3,CD=4,∴DF=,∴AE=BD=BF﹣DF=3﹣;當(dāng)點(diǎn)D在CF的左側(cè),同理可得AE=BD=3+,綜上所述:AE的長度為3﹣或3+.【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).22、(1)見解析;(2)結(jié)論AD·BC=AP·BP仍成立.理由見解析;(3)t的值為2秒或10秒.【分析】(1)由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可證得△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;
(2)由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC,即可證得△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題;
(3)過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=6,根據(jù)勾股定理可得DE=8,由題意可得DC=DE=8,則有BC=10?8=2,易證∠DPC=∠A=∠B,根據(jù)AD·BC=AP·BP,即可求出t的值.【詳解】(1)證明:∵∠DPC=∠A=∠B=90°,∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°,∴∠ADP=∠BPC,∴△ADP∽△BPC,∴,∴AD·BC=AP·BP;(2)結(jié)論AD·BC=AP·BP仍成立理由:∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,且∠BPD=∠A+∠ADP,∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP,∵∠DPC=∠A=θ,∴∠BPC=∠ADP,又∵∠A=∠B=θ,∴△ADP∽△BPC,∴,∴AD·BC=AP·BP;(3)如圖3,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,∵AD=BD=10,AB=12,.∴AE=BE=6,∴,∵以D為圓心,以DC為半徑的圓與AB相切,∴DC=DE=8,∴BC=10-8=2,∵AD=BD,∴∠A=∠B,又∵∠DPC=∠A,∴∠DPC=∠A=∠B,由(1)(2)的經(jīng)驗(yàn)得AD·BC=AP·BP,又∵AP=t,BP=12-t,∴,解得:,,∴t的值為2秒或10秒.【點(diǎn)睛】本題是對K型相似模型的探究和應(yīng)用,考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)以及運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力,滲透了特殊到一般的思想.23、(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)4.【分析】(1)如圖1,連接BC、CD,先證∠CBA=∠CAD,再證∠CDA=∠CAD,可得出AC=CD,即可推出結(jié)論;(2)過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G,則∠CGA=90°,證CG垂直平分AD,得出AD=2AG,再證△ACG≌△CAE,推出AG=CE,即可得出AD=2CE;(3)取BD中點(diǎn)H,連接OH、OC,則BH=DH=BD=6,OH⊥BD,證Rt△OEC≌Rt△BHO,推出OE=BH=6,OC=OA=10,則在Rt△OEC中,求出CE的長,在Rt△AEC中,可求出AC的長.【詳解】(1)證明:連接BC、CD,∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°,∵∠CAB+∠CAD=90°,∴∠CBA=∠CAD,又∵∠CDA=∠CBA,∴∠CDA=∠CAD,∴AC=CD,∴;(2)過點(diǎn)C作CG⊥AD于點(diǎn)G,則∠CGA=90°,由(1)知AC=CD,∴CG垂直平分AD,∴AD=2AG,∵AF=CF,∴∠CAD=∠ACE,∵∠CAD+∠CAB=90°,∴∠ACE+∠CAB=90°,∴∠AEC=90°=∠CGA,∵AC=CA,∴△ACG≌△CAE(AAS),∴AG=CE,∴AD=2CE;(3)取BD中點(diǎn)H,連接OH、OC,則BH=DH=BD=6,OH⊥BD,∴∠OHB=90°=∠CEO,∵OA=OB,∴OH是△ABD的中位線,∴AD=2OH,由(2)知AD=2CE,∴OH=CE,∵OC=OB,∴Rt△OEC≌Rt△BHO(HL),∴OE=BH=6,∴OC=OA=AE+OE=4+6=10,∴在Rt△OEC中,CE2=OC2﹣OE2=82,∴在Rt△AEC中,AC==4.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等,第證明∠AEC=90°和通過作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是.解題的關(guān)鍵.24、(1)M(1,4),N(4,1),k=4;(2)(2+2,﹣2+2)或(2﹣2,﹣2﹣2)或(﹣2,﹣2);(3)(,5)或(,3).【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題;(2)分三種情形求解:①如圖2,點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí),繞P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Q,根據(jù)△COP≌△PHQ,得CO=PH,OP=QH,設(shè)P(x,0),表示Q(x+4,x),代入反比例函數(shù)的關(guān)系式中可得Q的兩個(gè)坐標(biāo);②如圖3,點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時(shí);③如圖4,點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí),繞P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Q,同理可得結(jié)論.(3)分兩種情形分別求解即可;【詳解】解:(1)由題意M(1,4),n(4,1),∵點(diǎn)M在y=上,∴k=4;(2)當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q能在反比例函數(shù)的圖象上;如圖1,CP=PQ,∠CPQ=90°,過Q作QH⊥x軸于H,易得:△COP≌△PHQ,∴CO=PH,OP=QH,由(2)知:反比例函數(shù)的解析式:y=;當(dāng)x=1時(shí),y=4,∴M(1,4),∴OC=PH=4設(shè)P(x,0),∴Q(x+4,x),當(dāng)點(diǎn)Q落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí),x(x+4)=4,x2+4x+4=8,x=﹣2±,當(dāng)x=﹣2±時(shí),x+4=2+,如圖1,Q(2+2,2+2);當(dāng)x=﹣2﹣2時(shí),x+4=2﹣2,如圖2,Q(2﹣2,2﹣2);如圖3,CP=PQ,∠CPQ=90°,設(shè)P(x,0)過P作GH∥y軸,過C作CG⊥GH,過Q作QH⊥GH,易得:△CPG≌△PQH,∴PG=QH=4,CG=PH=x,∴Q(x﹣4,﹣x),同理得:﹣x(x﹣4)=4,解得:x1=x2=2,∴Q(﹣2,﹣2),綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2+2,﹣2+2)或(2﹣2,﹣2﹣2)或(﹣2,﹣2).(3)當(dāng)MN為平行四邊形的對角線時(shí),根據(jù)MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,可得點(diǎn)S的縱坐標(biāo)為5,即S(,5);當(dāng)MN為平行四邊形的邊時(shí),易知點(diǎn)S的縱坐標(biāo)為3,即S(,3);綜上所述,滿足條件的點(diǎn)S的坐標(biāo)為(,5)或(,3).【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于一次函數(shù)和反比例函數(shù)相結(jié)合的綜合題目,題目中涉及到了旋轉(zhuǎn)及動(dòng)點(diǎn)問題,主要是通過作輔助線利用三角形全等來解決,充分考查了學(xué)生綜合分析問題的能力.25、(1)見解析;(2)x<或x>.【分析】(1)利用描點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象;(2)設(shè)二次函數(shù)y1=x2﹣2x﹣3的圖象與一次函數(shù)y2=x﹣1的圖象相交于A、B兩點(diǎn),如圖,通過解方程x2﹣2x﹣3=x﹣1得A點(diǎn)和B點(diǎn)的橫坐標(biāo),然后結(jié)合函數(shù)圖象,寫出拋物線在直線上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可.【詳解】解:(1)列表如下:xy﹣2﹣101234y150﹣3﹣4﹣305y2﹣10這兩個(gè)函數(shù)的圖象,如圖,(2)設(shè)二次函數(shù)y1=x2﹣2x﹣3的圖象與一次函數(shù)y2=x﹣1的圖象相交于A、B兩點(diǎn),如圖,令y1=y(tǒng)2,得x2﹣2x﹣3=x﹣1,整理得x2﹣3x﹣2=0,解得x1=,x2=,∴A點(diǎn)和B點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,,∴當(dāng)x<或x>,∴y1>y2,即滿足不等式y(tǒng)1>y2的x的取值范圍為x<或x>.【點(diǎn)睛】本題主要考察二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖形,解題關(guān)鍵是熟練掌握計(jì)算法則.26、(1)100、130或1;(2)選擇
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