函數(shù)專題二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題（5大題型）（原卷版）

二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題一、二次函數(shù)的三種形式1、一般式：2、頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，則其解析式為3、兩根式：若相應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)根為，，則其解析式為二、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，核心是函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置討論，一般為：對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊、中間、右邊三種情況.設(shè)，求在上的最大值與最小值。將配方，得頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸為（1）當(dāng)時(shí)，的最小值為，的最大值為與中的較大值；（2）時(shí)，若，由在上是增函數(shù)，則的最小值為，最大值為；若，由在上是減函數(shù)，則的最小值為，最大值為；三、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值類型1、定軸定區(qū)間型：即定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值，其區(qū)間和對(duì)稱軸都是確定的，要將函數(shù)配方，再根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求其最值（可結(jié)合圖象）；2、動(dòng)軸定區(qū)間型：即動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值，其區(qū)間是確定的，而對(duì)稱軸是變化的，應(yīng)根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三種情況分類討論，再利用二次函數(shù)的示意圖，結(jié)合其單調(diào)性求解；3、定軸動(dòng)區(qū)間型：即定二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值，其對(duì)稱軸確定而區(qū)間在變化，只需對(duì)動(dòng)區(qū)間能否包含拋物線的定點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)行分類討論；4、動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間型：即動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值，其區(qū)間和對(duì)稱軸均在變化，根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過區(qū)間這三種情況討論，并結(jié)合圖形和單調(diào)性處理。題型一定軸定區(qū)間求二次函數(shù)最值【例1】（2023秋·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域是（）A．B．C．D．【變式11】（2022秋·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則在區(qū)間的值域?yàn)椋咀兪?2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則的值域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【變式13】（2023秋·廣西玉林·高一?？奸_學(xué)考試）已知二次函數(shù).（1）寫出這個(gè)二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最大值、最小值.題型二定軸動(dòng)區(qū)間求二次函數(shù)最值【例2】（2023秋·江西宜春·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，不等式的解集為，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的表達(dá)式.【變式21】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，，的最大值為16；（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間的最大值.【變式22】（2023秋·貴州黔東南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求的解析式；（2）若為任意實(shí)數(shù)，試討論在上的單調(diào)性和最小值.【變式23】（2023秋·陜西渭南·高一考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的最小值和最大值；（2）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的最小值.【變式24】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且．（1）求的解析式；（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值．題型三動(dòng)軸定區(qū)間求二次函數(shù)最值【例3】（2023秋·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)．（1）若，求在上的最值；（2）求函數(shù)在上的最小值．【變式31】（2022秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，．（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求的最小值．【變式32】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的最小值.【變式33】（2022秋·山東淄博·高一校考期中）已知a，若函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值為（1）求的函數(shù)表達(dá)式；（2）若求的最大值.題型四動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間求二次函數(shù)最值【例4】（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)是正數(shù)，且函數(shù)在上的最大值為，求的表達(dá)式．【變式41】函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式.【變式42】已知二次函數(shù)，設(shè)對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式43】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為，求與的表達(dá)式.題型五逆向型二次函數(shù)最值問題【例5】（2023秋·山東淄博·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若該函數(shù)的最大值為m，最小值為，則m等于（）A．1B．2C．3D．4【變式51】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一校考開學(xué)考試）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值3，最小值2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式52】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式53】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值可以是（）A．1B．2C．