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二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題一、二次函數(shù)的三種形式1、一般式:2、頂點(diǎn)式:若二次函數(shù)的頂點(diǎn)為,則其解析式為3、兩根式:若相應(yīng)一元二次方程的兩個(gè)根為,,則其解析式為二、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在區(qū)間上的最值,核心是函數(shù)對(duì)稱軸與給定區(qū)間的相對(duì)位置討論,一般為:對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊、中間、右邊三種情況.設(shè),求在上的最大值與最小值。將配方,得頂點(diǎn)為,對(duì)稱軸為(1)當(dāng)時(shí),的最小值為,的最大值為與中的較大值;(2)時(shí),若,由在上是增函數(shù),則的最小值為,最大值為;若,由在上是減函數(shù),則的最小值為,最大值為;三、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值類型1、定軸定區(qū)間型:即定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值,其區(qū)間和對(duì)稱軸都是確定的,要將函數(shù)配方,再根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,求其最值(可結(jié)合圖象);2、動(dòng)軸定區(qū)間型:即動(dòng)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值,其區(qū)間是確定的,而對(duì)稱軸是變化的,應(yīng)根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過(guò)區(qū)間這三種情況分類討論,再利用二次函數(shù)的示意圖,結(jié)合其單調(diào)性求解;3、定軸動(dòng)區(qū)間型:即定二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值,其對(duì)稱軸確定而區(qū)間在變化,只需對(duì)動(dòng)區(qū)間能否包含拋物線的定點(diǎn)橫坐標(biāo)進(jìn)行分類討論;4、動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間型:即動(dòng)二次函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值,其區(qū)間和對(duì)稱軸均在變化,根據(jù)對(duì)稱軸在區(qū)間的左、右兩側(cè)和穿過(guò)區(qū)間這三種情況討論,并結(jié)合圖形和單調(diào)性處理。題型一定軸定區(qū)間求二次函數(shù)最值【例1】(2023秋·河南鄭州·高一??茧A段練習(xí))函數(shù)的值域是()A.B.C.D.【變式11】(2022秋·新疆烏魯木齊·高一??计谥校┮阎瘮?shù),則在區(qū)間的值域?yàn)椋咀兪?2】(2023·全國(guó)·高一假期作業(yè))已知函數(shù),則的值域?yàn)椋ǎ〢.B.C.D.【變式13】(2023秋·廣西玉林·高一??奸_(kāi)學(xué)考試)已知二次函數(shù).(1)寫(xiě)出這個(gè)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo);(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)最大值、最小值.題型二定軸動(dòng)區(qū)間求二次函數(shù)最值【例2】(2023秋·江西宜春·高三??茧A段練習(xí))已知函數(shù),不等式的解集為,且.(1)求函數(shù)的解析式;(2)設(shè)函數(shù)在上的最小值為,求的表達(dá)式.【變式21】(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))已知二次函數(shù),,的最大值為16;(1)求函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)在區(qū)間的最大值.【變式22】(2023秋·貴州黔東南·高三??茧A段練習(xí))已知函數(shù).(1)求的解析式;(2)若為任意實(shí)數(shù),試討論在上的單調(diào)性和最小值.【變式23】(2023秋·陜西渭南·高一考階段練習(xí))已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的最小值和最大值;(2)當(dāng),時(shí),求函數(shù)的最小值.【變式24】(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))已知二次函數(shù)滿足,且.(1)求的解析式;(2)求函數(shù)在區(qū)間,上的最大值.題型三動(dòng)軸定區(qū)間求二次函數(shù)最值【例3】(2023秋·陜西咸陽(yáng)·高三??茧A段練習(xí))已知二次函數(shù).(1)若,求在上的最值;(2)求函數(shù)在上的最小值.【變式31】(2022秋·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期中)已知函數(shù),.(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)求的最小值.【變式32】(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))已知二次函數(shù)滿足,且.(1)求的解析式;(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),求的最小值.【變式33】(2022秋·山東淄博·高一校考期中)已知a,若函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最小值為(1)求的函數(shù)表達(dá)式;(2)若求的最大值.題型四動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間求二次函數(shù)最值【例4】(2023·全國(guó)·高一課堂例題)設(shè)是正數(shù),且函數(shù)在上的最大值為,求的表達(dá)式.【變式41】函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求的表達(dá)式.【變式42】已知二次函數(shù),設(shè)對(duì)任意的,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式43】設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為,求與的表達(dá)式.題型五逆向型二次函數(shù)最值問(wèn)題【例5】(2023秋·山東淄博·高一統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)已知二次函數(shù),當(dāng)時(shí),若該函數(shù)的最大值為m,最小值為,則m等于()A.1B.2C.3D.4【變式51】(2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高一??奸_(kāi)學(xué)考試)當(dāng)時(shí),函數(shù)有最大值3,最小值2,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.【變式52】(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))已知函數(shù),當(dāng)時(shí),,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.【變式53】(2023·全國(guó)·高一專題練習(xí))(多選)已知函數(shù)在上的值域?yàn)?,則實(shí)數(shù)的值可以是()A.1B.2C.
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