七年級數(shù)學(xué)上冊第三章 導(dǎo)學(xué)案新人教版

第三章一元一次方程

3.1.1一元一次方程

卜學(xué)'習(xí)?標(biāo)〉

1.能根據(jù)題意用字母表示未知數(shù)，然后分析出等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程；

2.理解什么是一元一次方程；

3.理解什么是方程的解及解方程，學(xué)會檢驗一個數(shù)的值是不是方程的解.

k重，點舉點、,

找等量關(guān)系，會用方程表示簡單的實際問題，能驗證一個數(shù)是否是一個方程的解.

?預(yù)'習(xí)■§?苦,

一、溫故知新

1.前面學(xué)過有關(guān)方程的一些知識，同學(xué)們能說出什么是方程嗎？

答：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2.判斷下列是不是方程，是打“，不是打“X”

①x+3；(X)②3+4=7；(X)

③2x+13=6—y；(J)④^=6；(」)

⑤2x-8>-10；(X)⑥-2x+3Hl.(X)

二、自主學(xué)習(xí)

例1根據(jù)下面實際問題中的數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)列出方程：

(1)用一根長為24的鐵絲圍成一個正方形，正方形的邊長為多少？

解：設(shè)正方形的邊長為xcm,列方程，得4x=24.

(2)一臺計算機己使用1700小時，預(yù)計每月再使用150小時，經(jīng)過多少月這臺計算機的

使用時間達到規(guī)定的檢修時間2450小時？

解：設(shè)x月后這臺計算機的使用時間達到規(guī)定的檢修時間2450小時，

列方程得1700+150x=2450.

(3)某校女生人數(shù)占全體學(xué)生數(shù)的52%,比男生多80人，這個學(xué)校有多少學(xué)生？

解：設(shè)這個學(xué)校的學(xué)生數(shù)為x,則女生數(shù)為0.52x,男生數(shù)為(1一0.52)x,依題意,

得0.52x-(l-0.52)x=80.

1.一元一次方程的概念

觀察下面方程的特點：

(l)4x=24；(2)1700+150x=2450；

(3)0.52x-(l-0.52)x=80.

小結(jié)：上面的方程，它們都只含有個未知數(shù)(元)，未知數(shù)的次數(shù)都是」_，等

號兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程.(即方程的一邊或兩邊含有未知數(shù))

2.方程的解

如何求出使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值？

如方程x+3=4中，x=?

方程-2x+3=l中的x呢？

請用小學(xué)所學(xué)過的逆運算解決上面的問題.

解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程的解.

例檢驗2和一3是否為方程2x+3=3x+l的解.

解：當(dāng)x=2時，

左邊=2X2+3=?,

右邊=3X2+1=7,,左邊=右邊,(填=或#)

.?.x=2是.方程的解.(填是或不是)

當(dāng)x=—3時，

左邊=2X(—3)+3=—3,右邊=3X(—3)+1=—8,

?.?左邊左右邊，(填=或#)

；.x=3不是方程的解.(填是或不是)

匕當(dāng)，堂訓(xùn)煉，

1.判斷下列式子是不是一元一次方程，是打“J”，不是打“x”.

①x+3=4；(V)②-2x+3=l；(V)

@2x4-13=6—y；(X)嗡=0；(V)

⑤2x-8>-10；(X)⑥3+4x=7x；(V)

2.x=l是下列方程(B)的解.

A.1—x=2B.2x—1=4—3x

C.3—(x—1)—4D.x—4=5x—2

3.已知方程(1一@)(+2乂-3=2是關(guān)于x的一元一次方程，則a=1.

4.課本/BO練習(xí).

5.練習(xí)本每本0.8元，小明拿了10元錢買了若干本，還找回4.4元.問：小明買了幾

本練習(xí)本？

解：設(shè)小明買了x本練習(xí)本，列方程得

0.8x4-4.4=10.

6.長方形的周長為24cm,長比寬多2cm,求長和寬分別是多少？

解：設(shè)長方形的寬為xcm,則長為(X+2)M.

(x+x+2)X2=24.

k課'堂小豬1

上面的分析過程可以表示如下：

I-R-L斯I設(shè)未知數(shù)列方程|一力十二|

實際問題----?一兀一次方程

分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實際問題的

一種方法.

3.1.2等式的性質(zhì)

k學(xué)'習(xí)?麻>

掌握等式的兩條性質(zhì)，并能運用這兩條性質(zhì)解方程.

?重'點庫■點、,

運用等式的兩條性質(zhì)解方程.

k預(yù)'習(xí)導(dǎo)學(xué);

一、溫故知新

1.什么是等式？

用等號來表示相等關(guān)系的式子叫等式.

例如：m+n=n+m,x+2x=3x,3X3+1=5X2,3x+l=5y這樣的式子，都是等式.

2.方程是含有未知數(shù)的等式,為了討論解方程，我們先來研究等式有什么性質(zhì)？

2

二、自主學(xué)習(xí)

1.探索等式性質(zhì).

⑴觀察課本P81圖3.1-1,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

從左往右看，發(fā)現(xiàn)如果在平衡的天平的兩邊都加上同樣的量，天平還保持平衡;

從右往左看，是在平衡的天平的兩邊都減去同樣的量，結(jié)果天平還是保持平衡;

等式就像平衡的天平，它具有與上面的事實同樣的性質(zhì).

等式的性質(zhì)1等式兩邊都加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等;

怎樣用式子的形式表示這個性質(zhì)？

如果a=b,那么a土c=b±c.

注：運用性質(zhì)1時，應(yīng)注意等號兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，才能保持

所得結(jié)果仍是等式，否則就會破壞相等關(guān)系.

(2)觀察課本圖3.1-2,由它你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

可以發(fā)現(xiàn)，如果在平衡的天平的兩邊都乘以(或除以)同樣的量，天平還保持平衡.

等式的性質(zhì)2等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不等于0的數(shù)，結(jié)果仍相等.

怎樣用式子的形式表示這個性質(zhì)？

如果a=b,那么ac=皿；

ah

如果a=b(cWO),那么一==.

cc

注：運用性質(zhì)2時，應(yīng)注意等式兩邊都乘以(或除以)同一個數(shù)，才能保持所得結(jié)果仍是

等式，但不能除以0,因為0不能作除數(shù).

2.等式的性質(zhì)應(yīng)用

例2利用等式的性質(zhì)解下列方程：

(l)x+7=26；(2)-5x=20；(3)-Jx-5=4.

解：(1)根據(jù)等式性質(zhì)_1_,兩邊同減7,得x+7—7=26—等x=19.

(2)分析：-5x=20中一5x表示一5乘x,其中一5是式子一5x的系數(shù)，如何把方程一

5x=20轉(zhuǎn)化為x=a的形式呢？即把一5x的系數(shù)變?yōu)?,應(yīng)把方程兩邊同除以二

解；根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊都除以一5,得一=三，于是x=-4.

(3)分析：方程一4一5=4左邊的一5要去掉，同時還要把一1X的系數(shù)化為1,如何去

掉一5呢？根據(jù)兩個互為相反數(shù)的和為所以應(yīng)在方程兩邊都加上5.

解：根據(jù)等式性質(zhì)兩邊都加上5,得一Jx—5+5=4+5

化簡，得一，x=9

再根據(jù)等式的性質(zhì)2,兩邊同除以一(即乘以-3),得一5?(-3)=9X(—3),

oO

于是x=-27.

請同學(xué)們自己代入原方程檢驗.

k當(dāng)'堂劃球:

1.課本P83練習(xí).

3

/課，堂小結(jié)，

1.根據(jù)等式的兩條性質(zhì)，對等式進行變形必須等式兩邊同時進行，即同時加或減，同

時乘或除，不能漏掉一邊；

2.等式變形時，兩邊加、減、乘、除的數(shù)或式必須相同；

3.利用性質(zhì)2進行等式變形時，須注意除以的同一個數(shù)不能是0.

4

3.2解一元一次方程(一)

一一合并同類項

卜學(xué)'習(xí)?標(biāo)〉

會列一元一次方程解決實際問題，并會用合并同類項解一元一次方程.

上重，點舉點、,

重點：合并同類項解一元一次方程；

難點：會列一元一次方程解決實際問題.

?預(yù)'習(xí)■§?苦,

一、溫故知新

1.等式性質(zhì)1：；

等式性質(zhì)2：.

2.解方程：

(1)X—9=8；(2)3x+l=4.

解：x=17；解：x=l.

二、自主探究

1.問題1：某校三年共購買計算機140臺，去年購買數(shù)量是前年的2倍，今年購買數(shù)

量又是去年的2倍，前年這個學(xué)校購買了多少臺計算機？

分析：設(shè)前年這個學(xué)校購買了x臺計算機，已知去年購買數(shù)量是前年的2倍，那么去年

購買2x臺,又知今年購買數(shù)量是去年的2倍，則今年購買了2X2x(即4x)臺.

題目中的相等關(guān)系為：前年購買量+去年購買量+今年購買量=140,

列方程x+2x+4x=140.

如何解這個方程呢？

根據(jù)分配律，x+2x+4x=(l+2+4)x=7x.

這樣就可以把含x的項合并為一項，得7x=140.

下面的框圖表示了解這個方程的具體過程：

錯誤！

I系數(shù)化為1

x=20|K

由上可知，前年這個學(xué)校購買了20臺計算機.

上面解方程中“合并”起了化簡作用，把含有未知數(shù)的項合并為一項，從而達到把方程

轉(zhuǎn)化為ax=b的形式，其中a,b是常數(shù).

2.自己試著完成

例1解方程：

,、5

(l)2x—~x=6—8；

(2)7x—2.5x+3x—1.5x——15X4—6X3.

例2有一列數(shù)，按一定規(guī)律排列成1,-3,9,一27,81,-243……其中某三個相鄰

數(shù)的和是一1701,這三個數(shù)各是多少？引導(dǎo)學(xué)生觀察這列數(shù)有什么規(guī)律？(從符號和絕對值

兩方面)

學(xué)生討論后發(fā)現(xiàn)：后面一個數(shù)是前一個數(shù)的一3倍.

5

師生共同分析，完成解答過程：

解：設(shè)這三個相鄰數(shù)中的第一個數(shù)為X,則第2個數(shù)為一3X,第3個數(shù)為一3X(-3x)

=9x.

根據(jù)這三個數(shù)的和是一1701,得

X—3x+9x=-1701.

合并同類項，得

7x=-1701.

系數(shù)化為1,得

x=-243

所以-3x=729,

9x=-2187.

答：這三個數(shù)是一243,729,-2187.

引導(dǎo)學(xué)生討論以上列方程解決實際問題的關(guān)鍵.

學(xué)生討論、分析：探索規(guī)律，找出相等關(guān)系.

如有學(xué)生提出不同的設(shè)未知數(shù)的方法，同樣給予鼓勵.

［當(dāng)'堂訓(xùn)秣,

1.課本P88練習(xí).

2.某班學(xué)生共60人，外出參加種樹活動，根據(jù)任務(wù)的不同，要分成三個小組且使甲、

乙、丙三個小組人數(shù)之比是2：3：5,求各小組人數(shù).

思路：這里甲、乙、丙三個小組人數(shù)之比是2：3：5,就是說把總數(shù)60人分成此份，

甲組人數(shù)占2份,乙組人數(shù)占份，丙組人數(shù)占3份,如果知道每一份是多少，

那么甲、乙、丙各組人數(shù)都可以求得，所以本題應(yīng)設(shè)每一份為x人.

關(guān)鍵：本題中相等關(guān)系是什么？三個小組的總?cè)藬?shù)為60人.

解：設(shè)每一份為x人，則甲組人數(shù)為紅人，乙組人數(shù)為組人，丙組為空人，列方程:

2x+3x+5x=60.

合并，得10x=60.

系數(shù)化為1,得x=g：

所以2x=12,3x—18.5x—30.

答：甲組11人，乙組更人，丙組泣人.

請同學(xué)們檢驗一下，答案是否合理，即這三組人數(shù)的比是否是2：3：5,且這三組人數(shù)

之和是否等于60.

3.三個連續(xù)偶數(shù)的和是30,求這三個偶數(shù).

設(shè)：第二個偶數(shù)為x,則第一個偶數(shù)為X—2,第三個偶數(shù)為x+2,列方程，得x—2+x

+x+2=30,3x=30,x=10.這三個偶數(shù)為8,10,12.

?課'堂小豬＞

1.列一元一次方程解決實際問題的一般步驟中，找等量關(guān)系是關(guān)鍵也是難點，本節(jié)課

的兩個問題的相等關(guān)系都是：“各部分量的和=總量”，這是一個基本的相等關(guān)系；

2.合并就是把類型相同的項系數(shù)相加合并為一項，也就是反用分配律，合并時，注意

x或一x的系數(shù)分別是1,-1,而不是0.

3.2解一元一次方程(一)

移項

6

k學(xué)'習(xí)?標(biāo),

運用方程解決實際問題，會用移項法則解方程.

k重'點舉點、，

重點：運用方程解決實際問題，會用移項法則解方程；

難點：理解“移項法則”的依據(jù)，以及尋找問題中的等量關(guān)系.

k預(yù)'習(xí)品。＞

一、溫故知新

解方程：

(l)3x—2x=7；

解：x—7；

(2)x+x=8.

解：x—4.

二、自主探究

1.問題2把一些圖書分給某班學(xué)生閱讀，如果每人分3本，則剩余20本；如果每人

分4本，則還缺25本，這個班有多少學(xué)生？

分析：設(shè)這個班有x名學(xué)生.

(1)每人分3本，那么共分出3x本,加上剩余的20本，可知道這批書共有(3x+20)

本.

(2)每人分4本，那么需要分出4x本,減去缺的25本，那么這批書共有(4x-25)

本.

這批書的總數(shù)是一個定值(不變量)，表示它的兩個式子應(yīng)相等，根據(jù)這一相等關(guān)系，列

方程

3x+20=4x—25.

本題還可以畫示意圖，幫助我們分析：

注意變化中的不變量，尋找隱含的相等關(guān)系，從本題列方程的過程，可以發(fā)現(xiàn)：”表示

同一個量的兩個不同式子相等”.

分析：方程3x+20=4x—25的兩邊都含有x的項(3x與4x),也都含有不含字母的常數(shù)

項(20與-25),怎樣才能使它轉(zhuǎn)化為x=a(常數(shù))的形式呢？

要使方程右邊不含x的項，根據(jù)等式性質(zhì)1,兩邊都減去4x,同樣，把方程兩邊都減去

20,方程左邊就不含常數(shù)項20,即3x+20-4x-20=4x-25-4x-20.BP3x-4x=-25-

20.

將它與原來方程比較，相當(dāng)于把原方程左邊的+20變?yōu)橐?0后移到方程右邊，把原方

程右邊的4x變?yōu)橐?x后移到左邊.像上面那樣，把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫

7

做移項.

方程中的任何一項都可以在改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，即可以把方程等號

右邊的項改變符號后移到等號的左邊，也可以把方程左邊的項改變符號后移到方程的右邊，

注意要先變號后移項，別忘了變號.

下面的框圖表示了解這個方程的具體過程.

錯誤！

I合并同類項

|—x=一詞

I系數(shù)化為1

x=45|K

由此可知，這個班共有45個學(xué)生.

2.例3解方程：

⑴3x+7=32-2x；

解：移項，得3x+2x=32—7.

合并同類項，得5x=25.

系數(shù)化為1,得x=5.

(2)x—3=尹+1.(自己動手做一做)

解：x=-8.

卜當(dāng)，堂訓(xùn)秣,

i.解方程：

⑴6x—7=4x—5；

解：x=l；

,、13

(2)-x-6=~x；

解：x=-24；

(3)3x+5=4x+l；

解：x=+4；

(4)9-3y=5y+5.

e1

解:y=2-

?課'堂小豬＞

上面解方程中“移項”的作用很重要：“移項”使方程中含X的項歸到方程的同一邊

(左邊)，不含X的項即常數(shù)項歸到方程的另一邊(右邊)，這樣就可以通過“合并”把方程轉(zhuǎn)

化為X=a形式.

在解方程時，要弄清什么時候要移項，移哪些項，目的是什么？

解方程時經(jīng)常要“合并同類項”和“移項”，前面提到的古老的代數(shù)書中的“對消”和

“還原”，指的就是“合并”和“移項”.

3.3解一元一次方程(二)

8

——去分母

?學(xué)'習(xí)?麻＞

1.會運用等式的性質(zhì)2正確去分母解一元一次方程；

2.會運用方程解決實際問題.

/重'點碓點、F

重點：去分母解方程；

難點：去分母時，不含分母的項會漏乘公分母，及沒有對分子加括號.

/預(yù)'習(xí)導(dǎo)學(xué).

一、溫故知新

1.解方程：

(1)4—3(2—x)=5x；

解：x=-1；

,、x

(2)-=3x—1.

2

解：x=-

o

2.求下列各數(shù)的最小公倍數(shù)：

(1)2,3,4；(2)3,6,8；

解：12；解：24；

(3)3,4,18；

解：36.

在上面的1.(2)中，可以保留分母，也可以去掉分母，得到整數(shù)系數(shù)，這樣做比較簡便.所

以若方程中含有分母，則應(yīng)先去掉分母，這樣比較簡便.

二、自主學(xué)習(xí)

1力護2x—lx-3

1.解方程：3—4.

解：兩邊都乘以12,去分母，得4(2x—l)=3(x—3).去括號，得8x—4=3x—9.移

項，得8x—3x=-9+4.合并同類項，得5x=-5.系數(shù)化為1,得x=-1.

練習(xí)：解方程：用=喑.

例3解方程：

/、,X—12x—1

(1)3x+~~~~~=3~；

乙O

x+12-x

(2)--1=2+—j-.

解：(D兩邊都乘以6,去分母，得18x+3(x—l)=18—2(2x—1).去括號.得出

+3x—3=18—4x+2.移項,得18x+3x+4x=18+2+3.合并同類項，得25x=23.系數(shù)化

23

為1,得x==.

---25

(2)學(xué)生按上述格式自己寫出解答過程.(老師點撥：去分母時不要漏乘每一項，去分母

9

后分子是多項式的要用括號括起來.)

》當(dāng)堂訓(xùn)麻,

1.小明是個“小馬虎”，下面是他做的題目，我們看看對不對？如果不對，請幫他改

正.

YY------1

(1)方程5——廠=0.去分母，得2x—x+l=4；(錯，應(yīng)為2x—x+l=0.)

Y------1Y

⑵方程1+工一=￡.去分母，得l+2x—2=x；(錯，6+2x—2=X.)

36

YY------1I

(3)方程:一一「=可.去分母，得3x—x—l=2；

Zoo

(錯,3x—x+l=2.)

Ix

⑷方程5、=x+l.去分母，得3-2x=6x+L

(錯,3—2x=6x+6.)

2.課本P98練習(xí).

/課,堂小鉆

1.解一元一次方程的一般步驟為：

①去分母，②去括號，③移項，④合并同類項，⑤系數(shù)化為1.

2.去分母時要注意什么？(兩點：去分母時不要漏乘每一項，去分母后分子是多項式的

要用括號括起來)

3.3解一元一次方程(二)

——去括號

k學(xué)'習(xí)尚彝r

i.了解“去括號”是解方程的重要步驟；

2.準(zhǔn)確而熟練地運用去括號法則解帶有括號的方程；

3.列一元一次方程解應(yīng)用題時，關(guān)鍵是找出條件中的相等關(guān)系.

重點：了解“去括號”是解方程的重要步驟；

難點：括號前是“一”號的，去括號時，括號內(nèi)的各項要改變符號，乘數(shù)應(yīng)乘遍括號內(nèi)

的各項.

k預(yù)'習(xí)導(dǎo)生＞

一、溫故知新

1.敘述去括號法則，化簡下列各式：

(l)4x+2(x—2)=4x+2x—4；

(2)12—(x—4)=12—x+4；

(3)3x—7(x—1)—3x—7x4-7.

2.解方程：2x+5=5x-7.

解：移項，得2x—5x=-7—5

合并同類項，得-3x=-12

系數(shù)化為1，得x=4

10

前幾節(jié)學(xué)習(xí)的是不帶括號的一類方程的解法，本節(jié)課是學(xué)習(xí)帶有括號的方程的解法，如

果去掉括號，就與前面的方程一樣了，所以我們要先去括號.

要去括號，就要根據(jù)去括號法則，及分配律，特別是當(dāng)括號前是“一”號，去括號時，

各項都要變號，若括號前有數(shù)字，則要乘遍括號內(nèi)所有項，不能漏乘并注意符號.

二、自主學(xué)習(xí)

1.問題：你會解方程4x+2(x—2)=8嗎？這個方程有什么特點？

解：去括號，得4x+2x-4=8,

移項，得4x+2x=8+4,

合并同類項，得6x=12,

系數(shù)化為1,得x=2.

例1解方程：

(1)3x-7(x—1)—3—2(x+3)；

(2)2x—(x+10)=5x+2(x—1).

注意：1.當(dāng)括號前是“一”號，去括號時，各項都要變號.

2.括號前有數(shù)字，則要乘遍括號內(nèi)所有項，不能漏乘并注意符號.

解：去括號，得3x—7x+7=3—2x—6,

移項，得3x—7x+2x=3-6—7,

合并同類項，得一2x=10,

系數(shù)化為1,得x=5.

學(xué)生學(xué)著完成第(2)題.(指導(dǎo)學(xué)生書寫正確格式)

例2一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了2小時；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，

用了2.5小時.已知水流的速度是3千米/時，求船在靜水中的平均速度.

(教師引導(dǎo)學(xué)生尋找相等關(guān)系，列出方程.)

順?biāo)兴?船速度+水流速度

逆水行速=船速度一水流速度

船速度指水不動(靜水中)的速度.

一般情況下可以認為這艘船往返的路程相等，由此可填空：

順流速度X順流時間=逆流速度又逆流時間

解：設(shè)船在靜水中的平均速度為x千米/時，則順流行駛的速度為(x+3)千米度寸,逆流

行駛的速度為(x—3)千米/時.

根據(jù)往返路程相等,得方程2(x+3)=2.5(x—得.

去括號，得2x+6=2.5x-7.5.

移項，得2x-2.5x=-7.5—6.

合并同類項，得-0.5x=-13.5.

系數(shù)化為1,得x=27.

答：船在靜水中的平均速度為——千米/時.

?當(dāng)，也叫維＞

1.解方程：

(1)2(X—2)=—(x+3)；

解:x=~；

(2)2(x-4)+2x=7-(x-l).

11

2.課本P95練習(xí).

，課'堂小牯；

去括號時要注意什么？

3.4實際問題與一元一次方程

——產(chǎn)品配套問題與工程問題

?學(xué)'習(xí)@彝＞

1.進一步熟悉一元一次方程的解法；

2.會用一元一次方程解決配套問題和工程問題.

k重'點整點、，

能準(zhǔn)確熟練地解一元一次方程，能根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，列出一元一次方程.

k預(yù)'習(xí)導(dǎo)4,

一、溫故知新

解一元一次方程的一般步驟為：①去分母，②去括號，③移項，④合并同類項，⑤系數(shù)

化為1.

二、自主學(xué)習(xí)

1.老師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)課本中例1,例2.

列一元一次方程，解決實際問題的一般步驟：1、審題，弄清題意，找出數(shù)量關(guān)系；2、

設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系表示出另一個未知量；3、列方程，根據(jù)題意中的另

一個數(shù)量關(guān)系，列出一元一次方程；4、解方程，依據(jù)解方程的步驟解出未知數(shù)的值.5、作

答.

匕當(dāng)，堂訓(xùn)煉，

1.課本P101練習(xí)1,2題.

2.某水利工地派48人去挖土和運土，如果每人每天平均挖土5方或運土3方，那么應(yīng)

怎樣安排人員，正好能使挖的土及時運走？

解：設(shè)挖土x人，由題意得5x=3（48—x）,解得

x=18.48-x=48-18=30（人）.

答：挖土18人，運土30人.

3.某工程要按時完工，甲隊獨做6天可以完工，乙隊獨做12天可以完工，現(xiàn)由兩隊合

作2天后，余下的由乙隊獨做，剛好按期完工，問該工程的工期幾天？

解：設(shè)工程的工期x天，由題意，得2（，+紜）+^（x—2）=1.解得，x=8.

答：該工程的工期8天.

k課'堂小豬＞

i.解配套問題的關(guān)鍵是找出參加配套的兩個量之間的比例關(guān)系進而列方程求解；

2.解決工程問題的關(guān)鍵：（1）把總的工作量看作“1”；（2）工作量=人均效率X人數(shù)X

時間；（3）三者之間的關(guān)系：工作總量=工作效率X工作時間.

上拓'展訓(xùn)展，

1.用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵片可制盒身16個或制盒底48個，一個盒身與兩個盒底

配成一套罐頭盒.現(xiàn)有100張白鐵片，用多少張制盒身，多少張制盒底，可以既使做出的盒

身和盒底配套，又能充分地利用白鐵皮？

解：設(shè)x張做盒身，由題意，得16x：48（100—x）=1：2.解得x=60.100—x=100—60

12

=40（張）.

答:用60張制盒身，40張制盒底.

2.一本稿件，甲打字員單獨打20小時可以完成，甲、乙兩打字員合打，12小時可以

完成，現(xiàn)在由兩人合打7小時，余下部分由乙完成，還需多少小時？

解：設(shè)還需x小時，由題意，得*X7++一5）x=l.解得x=12.5.

答：還需12.5小時.

3.4實際問題與一元一次方程

——電話計費問題

上學(xué)'習(xí)?旗,

1.會從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，會用一元一次方程解決電話計費等有關(guān)方案決策

的問題；

2.體驗建立方程模型來解決問題的一般過程；

3.體會模型轉(zhuǎn)化和方程思想，增強應(yīng)用意識和應(yīng)用能力.

上重，點舉焉）

重點：由實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型；

難點：建立方程模型來解決電話計費問題.

k預(yù)'習(xí)導(dǎo)。＞

一、情境導(dǎo)入

1.現(xiàn)在電話和手機基本普及到家，你家里有幾部手機？你知道手機的收費標(biāo)準(zhǔn)嗎？手

機（移動、聯(lián)通、電信）的各種收費方式嗎？

2.兩種移動電話計費方式（課本月04,展示探究3）

月使用主叫限定主叫超時

被叫

費/元時間/分費/阮/分）

方式一581500.25免費

方式二883500.19免費

二、自主學(xué)習(xí)

老師提出下列問題：

（1）你能從表中獲得哪些信息，試用自己的話說說.

（2）猜一猜，使用哪一種計費方式合算？跟什么有關(guān)？

（3）從表格數(shù)據(jù)中，你能把主叫時間分為幾部分？

（4）你能分別把主叫時間不同時的話費情況用含t的代數(shù)式表示出來嗎？

（5）一個月內(nèi)在本地通話200分和300分，按兩種計費方式各需交費多少元？

小組探討：

1.對于某個本地通話時間，會出現(xiàn)兩種計費方式的收費一樣的情況嗎？如果有這一時

間，那么如何分別表示收費表達式呢？（等量關(guān)系“收費相等”）

2.你能根據(jù)表格判斷兩種收費方式哪種更合算嗎？

3.你的父母各有一部手機，父親業(yè)務(wù)繁忙，通話時間比較長，母親家庭主婦，通話時

間短，你能幫助你的父母設(shè)計一個省錢的方案嗎？

三、解決問題

13

1.學(xué)生充分討論后完成表格.

主叫時間方式一計方式二計

t/min費/元費/元

t<1505888

t=1505888

150<t<35058+0.25(t-150)88

58+0.25(350-150)

t=35088

=108

88+0.19

t>35058+0.25(t-150)

(t-350)

觀察完成后的表格，可以看出，主叫時間超出限定時間越長，計費越多，并且隨著主叫

時間的變化，按哪種方式的計費少也會變化.

①當(dāng)tW150,按方式一的計費少.

②當(dāng)t從150增加到350時，按方式一的計費由58元增加到108元，而方式二一直是

88元，所以方式一在變化過程中，可能在某一主叫時間，兩種方式的計費相等.

列方程58+0.25(t-150)=88,解得t=270.

故當(dāng)t=270時，兩種計費方式相同，都是88元；當(dāng)150<t<270時，按方式一計費少于

按方式二計費：當(dāng)270<t〈350時，按方式一計費多于按方式二計費.

③當(dāng)t=350時，按方式二的計費少.

④當(dāng)t>350時，可以看出，按方式一的計費為108元加上超出350分鐘的部分的超時費

0.25(t—350),按方式二的計費為88元加上超時費0.19(t—350),故按方式二的計費少.綜

合以上的分析，可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)t<270加為時,選擇方式一省錢；當(dāng)以270加〃時,選擇方式

二省錢.

k當(dāng)'堂切球，

1.大明估計自己每月通話大約300分鐘，小李每月通話大約200分鐘，那么針對以上

兩種計費方式他們選擇哪一種移動通信通話費才最省呢？你能幫助他們出個主意嗎？

解：大明選擇上面的方式二省錢，小李選擇方式一省錢.

2.燈06練習(xí)第2題.

解：依題意列表得：

復(fù)印頁數(shù)X譽印社復(fù)印

費用/元圖書館復(fù)印

費用/元

x小于200.12x0.lx

x等于200.12X20=2.40.1X20=2

x大于202.4+0.09(x—20)0.lx

(1)當(dāng)x小于20時，0.12x大于0.lx恒成立，圖書館價格便宜；

(2)當(dāng)x等于20時，2.4大于2,圖書館價格便宜；

(3)當(dāng)片大于20時，依題意得2.4+0.09(x—20)=0.lx,解得x=60.

當(dāng)x大于20且小于60時，圖書館價格便宜；當(dāng)不大于60時，誓印社價格便宜.綜

上所述：當(dāng)x小于60頁時，圖書館價格便宜；當(dāng)x大于60時，譽印社價格便宜.

/課'堂小豬:

請回顧電話計費問題的探究過程，并回答以下問題:

14

(1)電話計費問題的核心問題是什么？

(2)探究解題的過程大致包含哪幾個步驟？

(3)我們在探究過程中用到了哪些方法，你有哪些收獲？

3.4實際問題與一元一次方程

——球賽積分類問題

?學(xué)'習(xí)日彝＞

1.通過對實際問題的分析，掌握用方程計算球賽積分一類的問題；

2.培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

k重'點舉點、，

重點：審清題意，分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系，找出解決問題的等量關(guān)系;

難點：把生活中的實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題.

?預(yù)'習(xí)導(dǎo)噂r

一、溫故知新

1.你知道籃球比賽時是如何計算積分的嗎？

2.如果不知道記分規(guī)則，你能從比賽后的積分表中得出來嗎？

請同學(xué)們嘗試解決下面的問題.

二、自主學(xué)習(xí)

探究2：球賽積分問題：

某次籃球聯(lián)賽積分榜

隊名比賽場次勝場負場積分

前進1410424

東方1410424

光明149523

藍天149523

雄鷹147721

遠大147721

衛(wèi)星1441018

鋼鐵1401414

(1)探究某球隊總積分與勝、負場數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：

若某球隊總積分為M,勝場為n,則用含n的式子表示M：M=2n+(14-n)

(2)有人說：在這個聯(lián)賽中，有一個隊的勝場總積分等于它的負場總積分.你認為這個

說法正確嗎？請說明理由.

解：2n=14—n.

14

片子

應(yīng)為非負整數(shù)，...不正確.

分析：對于問題(1)要弄清積分與勝負場數(shù)的關(guān)系，必須清楚勝一場得幾分，負一場得

幾分？

表中H那個信息最特別？能馬上解決上面哪個問題？

另一個問題又如何解決呢？

15

若一球隊勝了m場，則負了幾場？總積分的代數(shù)式如何表示？

對于問題(2)能否應(yīng)用方程知識來說明嗎？

k當(dāng)'堂到熱，

1.七年級進行法律知識競賽，共有30題，答對一題得4分，不答或答錯一題倒扣2

分.

(1)小明同學(xué)參加了競賽，成績是96分.請問小明在競賽中答對了多少題？

(2)小王也參加了競賽，考完后他說：“這次競賽我一定能拿到100分.”請問小王有

沒有可能拿到100分？試用方程的知識來說明理由.

解：(D設(shè)小明答對了x道題，則不答或答錯(30-x)道題.

4x—2(30—x)—96.

x=26.

答：小明在競賽中答對了26道題.

(2)4x-2(30-x)=100.

6x=160.

80

x=T

???x應(yīng)為整數(shù)，

.?.小王不可能拿到100分.

k課'堂小豬＞

1.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是什么？

2.解應(yīng)用題步驟是什么？

3.球賽積分問題的等量關(guān)系是什么？

4.列方程解應(yīng)用題除正確列出方程求出解外，還要注意什么？

上拓'展劃舞,

1.在一次足球循環(huán)賽中(每兩隊必須賽一場)，規(guī)定勝一場3分，平一場1分，負一場

。分，某隊在這次循環(huán)賽中所勝場數(shù)比所負的場數(shù)多兩場，結(jié)果得18分，共參加了12場比

賽，那么該隊勝了幾場？

解：設(shè)這個隊勝了x場，則負了(x—2)場，平了(12—x—x+2)場，列方程得

3x+(12-x-x+2)=18.

x=4.

答：這個隊勝了4場.

3.4實際問題與一元一次方程

——銷售中的盈虧問題

卜學(xué)'習(xí)?標(biāo)〉

1.使學(xué)生能根據(jù)商品銷售問題中的數(shù)量關(guān)系找出等量關(guān)系，列出方程，掌握商品盈虧

的求法；

2.培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決實際問題的能力；

3.讓學(xué)生在實際生活問題中，感受到數(shù)學(xué)的價值.

k重，點犀點、,

重點：用列方程的方法解決打折銷售問題；

難點：準(zhǔn)確理解打折銷售問題中的利潤(利潤率)、成本、銷售價之間的關(guān)系.

16

》預(yù)'習(xí)■&■0，

一、溫故知新

隨著市場經(jīng)濟的不斷發(fā)展，商品交易成了人們?nèi)粘Ｉ钪凶顬槠毡榈囊环N社會現(xiàn)象，反

應(yīng)在數(shù)學(xué)上，商品銷售問題也成了一類非常重要的實際問題，在商品銷售問題中，首先理解

幾個概念：

(1)成本價：有時也稱進價，是商家進貨時的價格；

(2)標(biāo)價：商家在出售時，標(biāo)注的價格；

(3)售價：消費者購買時真正花的錢數(shù)；

(4)利潤：商品出售后，商家所賺的部分；

(5)利潤率：商品出售后利潤與成本的比值；

(6)打折：商家為了促銷所采用的一種銷售手段，打折就是以標(biāo)價為基礎(chǔ)，按一定比例

降價出售，如：打一8折，就是按標(biāo)價的80%出售.

其次掌握幾個等量關(guān)系式：

利潤

(1)利潤=售價一進價；(2)利潤率=舒><10()%；(3)實際售價=標(biāo)價X打折率.

嘗試練習(xí)：

1.進價為90元的籃球，賣了120元，利潤是30元,利潤率是33.3%元;

2.原價100元的商品打9折后價格為90元;

3.原價100元的商品提價40%后的價格為140元;

4.一件襯衣進價為100元，利潤率為20%,這件襯衣售價為120元;

5.一臺電視機售價為1100元，利潤率為10%,則這臺電視的進價為1000元:

6.一件商品按原定價八五折出售，賣價是17元，那么原定價是20元.

二、自主學(xué)習(xí)

自學(xué)課本月02探究1

1.提問：

①如何判定是盈還是虧？

②盈利率、虧損率指的是什么？

③這一問題情境中哪些是已知量？哪些是未知量？如何設(shè)未知數(shù)？相等關(guān)系是什么？

如何列方程？

2.寫出正確的、完整的解題過程.

［當(dāng)'堂訓(xùn)秣,

1.兩件商品都賣84元，其中一件節(jié)本20%,另一件盈利40%,則兩件商品賣后(C)

A.盈利16.8元B.虧本3元

C.盈利3元D.不盈不虧

2.一批校服按八折出售，每件為x元，則這批校服每件的原價為(B)

一X一

480%x兀B.=7兀

oU%

一X一

C.20%x兀D.兀

3.一家三人(父、母、女兒)準(zhǔn)備參加旅行團外出旅游，甲旅行社告知：“父母買全票,

女兒按半價優(yōu)惠”，乙旅行社告知：“家庭旅游可按團體票計價，即每人均按8折優(yōu)惠收

費.”若這兩家旅行社每人的原票價相同，那么(B)

A.甲比乙更優(yōu)惠B.乙比甲更優(yōu)惠

C.甲與乙相同D.與原票價有關(guān)

17

（課’堂小牯，

1.本節(jié)學(xué)了哪些知識，有什么感想？

2.商品銷售中的盈虧是如何計算？

第三章一元一次方程復(fù)習(xí)

/學(xué)'習(xí)日庭，

1.使學(xué)生對本章所學(xué)知識有一個總體認識，對數(shù)學(xué)建模思想和解方程中的化歸思想有

較深刻的認識；

2.熟練掌握一元一次方程的解法，能列方程解應(yīng)用題.

k重'點整點、，

重點：一元一次方程的解法；

難點：列方程解應(yīng)用題.

k預(yù)'習(xí)導(dǎo)4,

知識回顧

（一）方程的概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2.方程的解：使方程的等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值,就是方程的解.

3.一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元）,未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫

做一元一次方程.

（二）方程變形一一解方程的重要依據(jù)

1.等式的基本性質(zhì)

等式的性質(zhì)1等式的兩邊同時加（或減）同一個數(shù)（或式子）,結(jié)果仍相等.

即：如果a=6,那么a±c=Z>±c；

等式的性質(zhì)2等式的兩邊同時乘一個數(shù),或除以一個不為0的數(shù),結(jié)果仍相等.

即：如果a=6,那么ac=6c；

ab

或如果a=6,那么-=TcWO）.

cc

2.分?jǐn)?shù)的基本的性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變.

aama+m

即:（其中mWO）.

bbinm

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)主要是用于將方程中的小數(shù)系數(shù)（特別是分母中的小數(shù)）化為整數(shù)，如下

Y—QV—I—4

面的方程：表■—?7=1.6.將方程化為下面的形式后，可用習(xí)慣的方法解了.

U.0U.2

10x—3010x+40

~5~一―2-=L6.

（三）解一元一次方程的一般步